Vorlesung “Logik” Sommersemester 2012 Universität Duisburg

Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Universum
Motivation: Um die Erfüllbarkeit/Unerfüllbarkeit einer
prädikatenlogischen Formel zu testen, müsste man ungeheuer viele
Strukturen durchprobieren.
Vorlesung “Logik”
Sommersemester 2012
Universität Duisburg-Essen
Wir zeigen im folgenden, dass es reicht nur ganz bestimmte
Strukturen, sogenannte Herbrand-Strukturen—benannt nach dem
Logiker Jacques Herbrand—zu testen.
Barbara König
Übungsleitung: Christoph Blume
Diese können immer noch ein unendlich großes Universum haben
und unendlich viele sein, sind aber dennoch wesentlich
überschaubarer.
Darauf aufbauend kann dann ein automatisches Verfahren
entwickelt werden, dass mit Hilfe von Resolution die
Unerfüllbarkeit einer prädikatenlogischen Formel überprüft.
Barbara König
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Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
1
Barbara König
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Herbrand-Universum
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
175
Herbrand-Universum
Definition (Herbrand-Universum)
Das Herbrand-Universum D(F ) einer geschlossenen Formel F in
Skolemform ist die Menge aller variablenfreie Terme, die aus den
Bestandteilen von F gebildet werden können. Falls in F keine
Konstante vorkommt, wählen wir zunächst eine beliebige
Konstante, zum Beispiel a, und bilden dann die variablenfreien
Terme.
Beispiel: Bestimmen Sie die Herbrand-Universen zu folgenden
Formeln
F1 = ∀x P(f (x), g (a))
F2 = ∀x∀y Q(h(x, y ))
F3 = ∀x P(x)
D(F ) wird wie folgt induktiv definiert:
1
2
Alle in F vorkommenden Konstanten sind in D(F ). Falls F
keine Konstante enthält, so ist a in D(F ).
Für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und
Terme t1 , . . . , tn in D(F ) ist der Term f (t1 , . . . , tn ) in D(F ).
Barbara König
Logik
176
Barbara König
Logik
177
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Herbrand-Strukturen
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Strukturen
Definition (Herbrand-Struktur)
Für eine Herbrand-Struktur A vereinfacht sich das
Überführungslemma:
Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende
Struktur A = (UA , IA ) eine Herbrand-Struktur für F , falls
folgendes gilt:
1
2
Lemma (Überführungslemma für Herbrand-Strukturen)
UA = D(F ),
Sei A eine Herbrand-Struktur. Dann gilt für jede Formel F , jede
Variable x und jeden variablenfreien Term t:
für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und
t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) ist f A (t1 , t2 , . . . , tn ) = f (t1 , t2 , . . . , tn ).
A(F [x/t]) = A[x/t] (F ).
Idee: Jeder variablenfreie Term t wird “durch sich selbst”
interpretiert, d.h., A(t) = t. (Vermischung von Syntax und
Semantik.)
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Barbara König
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Der fundamentale Satz der Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
179
Der fundamentale Satz der Prädikatenlogik
Beispiel zum vorherigen Satz: Gegeben sei die Formel
F = ∀x P(x, f (x))
Satz
Sei F eine Aussage in Skolemform. F ist genau dann erfüllbar,
wenn F ein Herbrand-Modell besitzt.
Aufgaben:
Bestimmen Sie ein beliebiges Modell A von F .
Anschließend definieren Sie ein Herbrand-Modell B von F ,
dessen Relation P B analog zu P A definiert ist. (So wie im
Beweis zum vorherigen Satz beschrieben.)
Barbara König
Logik
180
Barbara König
Logik
181
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
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Prädikatenlogik
Herbrand-Expansion
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Wiederholung: Abzählbarkeit
Definition (Abzählbarkeit)
Definition (Herbrand-Expansion)
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung
f : N0 → M gibt. Das heißt es gibt eine (nicht notwendigerweise
konstruktive) Aufzählung f (0), f (1), f (2), . . . aller Elemente von
M, in der jedes Element von M mindestens einmal vorkommt.
Sei F = ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn F ∗ eine Aussage in Skolemform. Dann ist
E (F ) die Herbrand-Expansion von F , definiert als
E (F ) = {F ∗ [y1 /t1 ][y2 /t2 ] . . . [yn /tn ] | t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F )}
Bemerkungen:
Beispiele für abzählbare Mengen sind N0 , Q (die Menge der
rationalen Zahlen bzw. Brüche) und die Menge aller Terme,
die aus einer endlichen Menge von Funktionssymbolen
gebildet werden. (Daher: ein Herbrand-Universum D(F ) ist
immer abzählbar.)
Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht abzählbar.
Die Formeln in E (F ) entstehen also, indem die Terme in D(F ) in
jeder möglichen Weise für die Variablen in F ∗ substituiert werden.
Bemerkung: Da das Herbrand-Universum D(F ) abzählbar ist, ist
auch die Menge E (F ) abzählbar.
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
182
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Prädikatenlogik
Herbrand-Expansion
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
183
Herbrand-Expansion
Idee: Behandle die Formeln in der Herbrand-Expansion wie
aussagenlogische Formeln. D.h., betrachte jedes auftauchende
Prädikat P(t1 , . . . , tn ) wie eine atomare Formel A.
Beispiel:
Beispiel: Bestimme die Herbrand-Expansion der Formel
E (F ) = {F1 , F2 , . . . }.
Sei beispielsweise
∀x∀y ∀zP(x, f (y ), g (z, x)).
F1 = (P(f (a), f (b)) ∨ Q(g (a, b)) ∨ P(a, b)) ∧ P(f (a), f (b)) .
|
{z
} | {z } | {z }
|
{z
}
A
B
C
A
Dies entspricht (A ∨ B ∨ C ) ∧ A.
Eine Formel in der Herbrand-Expansion ist erfüllbar, genau dann,
wenn sie im aussagenlogischen Sinne erfüllbar ist.
Barbara König
Logik
184
Barbara König
Logik
185
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Satz von Gödel-Herbrand-Skolem
Satz von Gödel-Herbrand-Skolem
A ist ein Herbrand-Modell für F
gdw. für alle t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt:
Satz (Gödel-Herbrand-Skolem)
Für jede Aussage F in Skolemform gilt: F ist erfüllbar genau dann,
wenn die Formelmenge E (F ) (im aussagenlogischen Sinn) erfüllbar
ist.
A[y1 /t1 ][y2 /t2 ]...[yn /tn ] (F ∗ ) = 1
gdw. für alle t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt:
A(F ∗ [y1 /t1 ][y2 /t2 ] . . . [yn /tn ]) = 1
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass F ein Herbrand-Modell besitzt
genau dann, wenn E (F ) erfüllbar ist.
Die Formel F habe die Form ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn F ∗ . Es gilt:
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
gdw. für alle G ∈ E (F ) gilt A(G ) = 1
gdw. A ist ein Modell für E (F )
186
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Satz von Herbrand
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
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Algorithmus von Gilmore
Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei
{F1 , F2 , F3 , . . . } eine Aufzählung von E (F ).
Satz (Herbrand)
Algorithmus von Gilmore
Eingabe: F
Eine Aussage F in Skolemform ist unerfüllbar genau dann, wenn es
eine endliche Teilmenge von E (F ) gibt, die (im aussagenlogischen
Sinn) unerfüllbar ist.
Beweis: Ummittelbare Folge des Satzes von
Gödel-Herbrand-Skolem und des Endlichkeitssatzes.
Barbara König
Logik
n := 0;
repeat
n := n + 1;
until (F1 ∧ F2 ∧ . . . ∧ Fn ) ist unerfüllbar;
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
Endlichkeitssatz
188
Barbara König
Logik
189
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Prädikatenlogik
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Prädikatenlogik
Algorithmus von Gilmore
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Bemerkungen zum Algorithmus von Gilmore:
Man wählt eine beliebige unendliche Aufzählung F1 , F2 , F3 , . . .
aller Formeln in E (F ).
Dabei muss nur darauf geachtet werden, dass jede Formel
irgendwann in dieser Aufzählung vorkommt. Das ist möglich,
da E (F ) abzählbar ist.
Beispiel: Zeigen Sie mit Hilfe des Algorithmus von Gilmore, dass
folgende Formeln
Es dürfen Formeln mehrfach vorkommen. Das ist insbesondere
immer dann so, wenn E (F ) endlich ist.
unerfüllbar sind.
F = ∀x∀y (¬P(f (f (x))) ∧ P(f (y )))
G = ∀x (P(f (x)) ∧ ¬P(x))
Wenn alle Formeln in einer endlichen Menge E (F )
abgearbeitet sind, dann kann der Algorithmus auch stoppen
und “erfüllbar” ausgeben.
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
190
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Algorithmus von Gilmore
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
191
Algorithmus von Gilmore
Semi-Entscheidbarkeit (informell)
Aus dem Satz von Herbrand folgt:
Sei M ⊆ X eine Menge (auch Sprache oder Problem genannt). Die
Menge M heißt semi-entscheidbar, wenn es einen Algorithmus A
gibt, der
Falls die Formel F unerfüllbar ist, so stoppt der Algorithmus
von Gilmore nach endlicher Zeit und gibt unerfüllbar aus.
Falls der Algorithmus von Gilmore unerfüllbar ausgibt, so ist F
tatsächlich unerfüllbar.
ein Element x ∈ X als Eingabe nimmt und
genau dann, wenn x ∈ M gilt, terminiert und “x ist in M
enthalten” zurückgibt.
Wenn F jedoch erfüllbar ist, so gibt es keine Garantie dafür, dass
der Algorithmus jemals terminiert.
Der Algorithmus A muss jedoch nicht terminieren, wenn x 6∈ M
gilt. Falls A auch in diesem Fall terminiert und “x ist nicht in M
enthalten” zurückgibt, so heißt M entscheidbar.
Es kann auch gezeigt werden, dass es tatsächlich keinen
Algorithmus gibt, der das Unerfüllbarkeitsproblem der
Prädikatenlogik löst und immer mit der korrekten Antwort
(unerfüllbar bzw. erfüllbar) terminiert.
Barbara König
Barbara König
Logik
Bemerkung: die Begriffe Entscheidbarkeit und
Semi-Entscheidbarkeit werden detailliert in der Vorlesung
“Berechenbarkeit und Komplexität” besprochen.
192
Barbara König
Logik
193
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semi-Entscheidbarkeitssätze
Semi-Entscheidbarkeitssätze
Satz (Semi-Entscheidbarkeit)
Beweis:
Folgende Probleme sind semi-entscheidbar, jedoch nicht
entscheidbar:
(a) Das Problem ist nicht entscheidbar (ohne Beweis). Der
Algorithmus von Gilmore kann es jedoch “semi-entscheiden”.
(a) Das Unerfüllbarkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(b) F gültig gdw. ¬F unerfüllbar.
(b) Das Gültigkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(c) F |= G gdw. F → G gültig.
(c) Das Folgerungsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(d) F ≡ G gdw. F ↔ G gültig.
(d) Das Äquivalenzproblem für prädikatenlogische Formeln.
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
194
Barbara König
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Prädikatenlogik
Resolution in der Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
195
Wiederholung: Resolution in der Aussagenlogik
Resolutionsschritt:
{L0 , . . . , L0m , ¬A}
{L1 , . . . , Ln , A}
1
jj
jjjj
j
j
j
jjj
jjjj
TTTT
TTTT
TTTT
TTT
Der Algorithmus von Gilmore funktioniert zwar, ist in der Praxis
aber unbrauchbar, weil er zuviele Formeln erzeugt und nicht
zielgerichtet arbeitet.
{L1 , . . . , Ln , L01 , . . . , L0m }
Mini-Beispiel:
Daher ist unser Programm der nächsten Stunden:
{¬A, B}
II
II
II
II
I
Wie sieht Resolution in der Prädikatenlogik aus?
{A}
z
zz
zz
z
zz
{B} QQ
QQQ
QQQ
QQQ
QQQ
QQ
{¬B}
Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn die leere
Klausel abgeleitet werden kann.
Barbara König
Logik
196
Barbara König
Logik
197
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Anpassung des Algorithmus von Gilmore
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Definition von Res(M) (Wiederholung)
Algorithmus von Gilmore:
Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei
{F1 , F2 , F3 , . . . , } eine Aufzählung von E (F ).
Definition
Sei M eine Klauselmenge. Dann ist Res(M) definiert als
Res(M) = M ∪ {R | R ist Resolvent zweier Klauseln in M}.
Eingabe: F
Außerdem setzen wir:
n := 0;
repeat n := n + 1;
until (F1 ∧ F2 ∧ . . . ∧ Fn ) ist unerfüllbar;
(dies kann mit Mitteln der Aussagenlogik,
beispielsweise Wahrheitstafeln, getestet werden)
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
“Mittel der Aussagenlogik”
Unerfüllbarkeitstest
Res 0 (M) = M
Res n+1 (M) = Res(Res n (M))
und schließlich sei
Res ∗ (M) =
wir verwenden Resolution für den
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
[
für n ≥ 0
Res n (M).
n≥0
198
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundresolutionsalgorithmus
Logik
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Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionssatz
Sei F1 , F2 , . . . weiterhin die Aufzählung der Herbrand-Expansion.
Aus dem Grundresolutionsalgorithmus ergibt sich folgender Satz:
Grundresolutionsalgorithmus
Grundresolutionssatz
Eine Aussage in Skolemform F = ∀y1 . . . ∀yk F ∗ mit der Matrix F ∗
in KNF ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine Folge von
Klauseln K1 , . . . , Kn gibt mit der Eigenschaft:
Eingabe: eine Aussage F in Skolemform
i := 0;
M := ∅;
repeat
i := i + 1; M := M ∪ Fi ; M := Res∗ (M)
until ∈ M
Kn ist die leere Klausel
Für i = 1, . . . , n gilt:
entweder ist Ki eine Grundinstanz einer Klausel K ∈ F ∗ ,
d.h. Ki = K [y1 /t1 ] . . . [yk /tk ] mit ti ∈ D(F )
oder Ki ist (aussagenlogischer) Resolvent zweier Klauseln
Ka , Kb mit a < i und b < i
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
Warum der Name Grundresolution? Im Gegensatz zu späteren
Verfahren werden Terme ohne Variable (= Grundterme)
substituiert, um die Formeln der Herbrand-Expansion zu erhalten.
Barbara König
199
Logik
Weglassen von Klauseln und Resolutionsschritten, die nicht zur
Herleitung der leeren Klausel beitragen.
200
Barbara König
Logik
201
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundresolutionsalgorithmus
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionssatz
Bei der Grundresolution kann man unnötigerweise in Sackgassen
laufen.
Beispiel:
Beispiel: Zeigen Sie mit Hilfe von Grundresolution, dass folgende
Formel in Klauselform unerfüllbar ist.
{P(f (x)), Q(x)}
{¬P(f (g (y )))}
RRR
RRR
RRR
R
[x/g (f (a))] RRRR
{{P(f (x)), Q(x)}, {¬P(f (g (y )))}, {¬Q(g (a))}}
{¬Q(g (a))}
{
{{
{
{{
{{
{
{Q(g (f (a)))} {{{
{{
{{
{
{{
{{
[y /f (a)]
?
Besser wäre gewesen, die Variable x durch g (a) anstatt durch
g (f (a)) zu ersetzen. Aber woher kann man das vorher wissen?
Barbara König
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Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
202
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Grundresolutionssatz
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203
Wiederholung: Substitutionen
Eine Substitution sub ist eine Abbildung von Variablen auf Terme.
Idee: Variablen nur noch so weit “wie nötig” durch Terme ersetzen.
Statt Grundtermen Terme mit Variablen verwenden.
{P(f (x)), Q(x)}
{¬P(f (g (y )))}
RRR
RRR
RRR
R
[x/g (y )] RRRR
F sub: Anwendung der Substitution sub auf die Formel F
t sub: Anwendung der Substitution sub auf den Term t
Eine Substitution kann auch als Folge von Ersetzungen beschrieben
werden:
[x/f (z)] [y /g (a, z)] [z/h(w )]
{¬Q(g (a))}
{{
{{
{
{{
{{
{
{Q(g (y ))} {{{ []
{{
{{
[y /a]
{
{
{{
[]
entspricht folgender entflochtener Substitution:
[x/f (h(w )), y /g (a, h(w )), z/h(w )].
Ersetzungen werden von links nach rechts durchgeführt!
Verknüpfung von Substitutionen: sub 1 sub 2 (zuerst wird sub 1
angewandt, anschließend sub 2 ).
Barbara König
Logik
204
Barbara König
Logik
205
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
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Vertauschen von Substitutionen
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Vertauschen von Substitutionen
Regel für das Vertauschen von Substitutionen:
Definition (Unifikation)
Gegeben sei eine Menge L = {L1 , . . . , Lk } von Literalen. Eine
Substitution sub heißt Unifikator von L, falls
[x/t]sub = sub[x/t sub],
falls x in sub nicht vorkommt, d.h. weder ersetzt noch eingesetzt
wird.
L1 sub = L2 sub = · · · = Lk sub
Das ist gleichbedeutend mit |Lsub| = 1, wobei
Lsub = {L1 sub, . . . , Lk sub}.
Beispiele:
[x/f (y )] [y /g (z)] = [y /g (z)][x/f (g (z))]
| {z }
Ein Unifikator sub von L heißt allgemeinster Unifikator von L, falls
für jeden Unifikator sub 0 von L gilt, dass es eine Substitution s gibt
mit sub 0 = sub s.
sub
aber: [x/f (y )] [x/g (z)] 6= [x/g (z)][x/f (y )]
| {z }
sub
Barbara König
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Herbrandtheorie und Resolution
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Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Logik
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Herbrandtheorie und Resolution
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207
Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Bemerkungen:
Beispiele: Bestimmen Sie die allgemeinsten Unifikatoren folgender
Mengen (falls sie existieren):
Eine Menge von Literalen kann mehrere allgemeinste
Unifikatoren haben.
{P(x), P(f (y ))}
Beispielsweise sind sowohl [y /f (x)] als auch [x/z][y /f (z)]
allgemeinste Unifikatoren von {P(f (x)), P(y )}.
{P(x), Q(y )}
{Q(x, f (x)), Q(y , g (y ))}
Alle allgemeinsten Unifikatoren kann man jedoch durch
einfache Variablenumbenennung ineinander umformen.
{P(x), P(f (x))}
{Q(x, f (y )), Q(g (z), f (x))}
Eine Menge L von (mehr als zwei) Literalen kann unter
Umständen nicht unifizierbar sein, auch wenn alle Paare von
Literalen unifizierbar sind.
{Q(x, f (y )), Q(g (y ), f (x))}
{Q(x, f (y )), Q(f (y ), z), Q(z, f (x))}
Barbara König
Barbara König
206
Logik
Beispiel: {Q(x, f (y )), Q(f (y ), z), Q(z, f (x))}
208
Barbara König
Logik
209
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
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Unifikationsalgorithmus
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikationsalgorithmus
Unifikationsalgorithmus
Eingabe: eine Literalmenge L 6= ∅
sub := []; (leere Substitution)
while |Lsub| > 1 do
Suche die erste Position, an der sich zwei Literale L1 , L2
aus Lsub unterscheiden
if keines der beiden Zeichen ist eine Variable
then stoppe mit “nicht unifizierbar”
else Sei x die Variable und t der Term im anderen Literal
(möglicherweise auch eine Variable)
if x kommt in t vor
then stoppe mit “nicht unifizierbar”
else sub := sub [x/t]
Beispiel: Wende den Unifikationsalgorithmus auf folgende
Literalmenge an
L = {¬P(f (z, g (a, y )), h(z)), ¬P(f (f (u, v ), w ), h(f (a, b)))}
Bemerkung: hier sind a, b Konstanten und y , z, u, v , w Variablen
Ausgabe: sub
Barbara König
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Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
210
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Korrektheit des Unifikationsalgorithmus
211
Definition (Prädikatenlogischer Resolvent)
Eine Klausel R heißt prädikatenlogischer Resolvent zweier Klauseln
K1 , K2 , wenn folgendes gilt:
Der Unifikationsalgorithmus terminiert immer und gibt bei
Eingabe einer nicht-unifizierbaren Literalmenge “nicht
unifizierbar” aus.
Es gibt Substitutionen s1 , s2 , die Variablenumbenennungen
sind, so dass K1 s1 und K2 s2 keine gemeinsamen Variablen
enthalten.
Wenn eine Menge L von Literalen unifizierbar ist, dann findet
der Unifikationsalgorithmus immer den allgemeinsten
Unifikator von L.
Es gibt Literale L1 , . . . , Lm aus K1 s1 und Literale L01 , . . . , L0n
aus K2 s2 , so dass L = {L1 , . . . , Ln , L01 , . . . , L0n } unifizierbar ist.
Sei sub der allgemeinste Unifikator von L.
(L bezeichnet das negierte Literal L.)
Das bedeutet unter anderem auch, dass jede unifizierbare Menge
von Literalen einen allgemeinsten Unifikator hat (Unifikationssatz
von Robinson).
Logik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Prädikatenlogische Resolution
Satz (Korrektheit des Unifikationsalgorithmus)
Barbara König
Barbara König
Es gilt
R = ((K1 s1 − {L1 , . . . , Lm }) ∪ (K2 s2 − {L01 , . . . , L0n }))sub.
212
Barbara König
Logik
213
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Prädikatenlogische Resolution
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe
Schreibweise:
Zu resolvierende Literale unterstreichen und
Substitutionen angeben
Sind diese Klauseln resolvierbar?
Wieviele mögliche Resolventen gibt es?
Beispiel:
{P(x), P(f (y )), Q(x, y )}
K1
{P(x), Q(x, y )}
{Q(g (x)), R(f (x))}
{P(x), P(f (x))}
{¬P(f (g (x)))}
TTTT
TTTT
TTTT
s1 = []
TTT
sub = [x/f (g (z)), y /g (z)]
mm
mmm
m
m
mm
mmm s2 =[x/z]
{Q(f (g (z)), g (z))}
K2
{¬P(f (x))}
{¬Q(f (x))}
{¬P(y ), Q(y , z)}
Möglichkeiten
Hinweis: Es gibt noch zwei weitere Möglichkeiten, einen
prädikatenlogischen Resolutionsschritt mit diesen Klauseln
auszuführen.
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
214
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Prädikatenlogische Resolution
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
215
Korrektheit und Vollständigkeit
Zwei Fragen:
Wenn man mit prädikatenlogischer Resolution aus einer
Formel F die leere Klausel ableiten kann, ist F dann
unerfüllbar? (Korrektheit)
Beispiel: Leiten Sie aus folgender Klauselmenge die leere Klausel
her (diesmal mit prädikatenlogischer Resolution anstatt
Grundresolution).
Kann man für eine unerfüllbare Formel F immer durch
prädikatenlogische Resolution die leere Klausel herleiten?
(Vollständigkeit)
{{P(f (x)), Q(x)}, {¬P(f (g (y )))}, {¬Q(g (a))}}
Obiges ist zwar bereits für die Grundresolution bekannt, aber noch
nicht für die prädikatenlogische Resolution.
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Logik
216
Barbara König
Logik
217
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Lifting-Lemma
Beispiel zum Lifting-Lemma
Lifting-Lemma
Seien K1 , K2 zwei
prädikatenlogische Klauseln und
seien K10 , K20 zwei Grundinstanzen
hiervon, die aussagenlogisch
resolvierbar sind und den
Resolventen R 0 ergeben.
Dann gibt es einen
prädikatenlogischen Resolventen R
von K1 , K2 , so dass R 0 eine
Grundinstanz von R ist.
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
K1 @
K10
K2
@@
@@
@@
@
{P(f (x)), Q(x)}
~~
~~
~
~
~~
R
@@
~
@@
~~
@@
~
@ ~~~
{¬P(f (g (y )))}
SSS
SSS
SSS
[x/g (a)]
SSS
SS
K20
{P(f (g (a))), Q(g (a))}
{Q(g (y ))}
SSS
SSS
SSS
SSS
SS
R0
nn
nnn
n
n
nn
nnn
[y /a]
{¬P(f (g (a)))}
nn
nnn
n
n
nn
nnn
[y /a]
{Q(g (a))}
—: Resolution
→: Substitution
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
218
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Resolutionssatz
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
219
Resolutionssatz
Für eine Formel H mit freien Variablen x1 , . . . , xn bezeichnen wir
mit
∀H = ∀x1 ∀x2 . . . ∀xn H
Resolutionssatz der Prädikatenlogik
Sei F eine Aussage in Skolemform mit einer Matrix F ∗ in KNF.
Dann gilt: F ist unerfüllbar genau dann, wenn ∈ Res ∗ (F ∗ ).
(Dabei bezeichnet Res die Bildung aller möglichen
prädikatenlogischen Resolventen.)
ihren Allabschluss.
Sei F eine Aussage in Skolemform und sei F ∗ deren Matrix in
KNF, so gilt:
^
F ≡ ∀F ∗ ≡
∀K
K ∈F ∗
Beispiel:
Für den Beweis des Resolutionssatzes benötigen wir noch den
Begriff des Allabschlusses . . .
F ∗ = P(x, y ) ∧ ¬Q(y , x)
F
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Logik
220
≡ ∀x∀y (P(x, y ) ∧ ¬Q(y , x)) ≡ ∀x∀yP(x, y ) ∧ ∀x∀y (¬Q(y , x))
Barbara König
Logik
221
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Verfeinerung der Resolution (Ausblick)
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Probleme bei der prädikatenlogischen Resolution:
Zu viele Wahlmöglichkeiten
Ist die Klauselmenge
Immer noch zu viele Sackgassen
{{P(f (x))}, {¬P(f (x)), Q(f (x), x)}, {¬Q(f (a), f (f (a)))},
Kombinatorische Explosion des Suchraums
{¬P(x), Q(x, f (x))}}
Lösungsansätze:
unerfüllbar?
Strategien und Heuristiken: Verbieten bestimmter
Resolutionsschritte, Suchraum wird dadurch eingeschränkt
Vorsicht: Die Vollständigkeit darf dadurch nicht verloren gehen!
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
222
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Beispiele
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
223
Beispiele
Wir betrachten folgende prädikatenlogische Formel:
Wir betrachten folgende Klauselmenge (Beispiel aus dem
Schöning):
F
Barbara König
F = ∀x(P(x) → P(f (x)))
= {{¬P(x), Q(x), R(x, f (x))}, {¬P(x), Q(x), S(f (x))}, {T (a)},
{P(a)}, {¬R(a, x), T (x)}, {¬T (x), ¬Q(x)}, {¬T (x), ¬S(x)}}
und zeigen ihre Unerfüllbarkeit mit Hilfe des
Resolutionstheorembeweisers otter (siehe auch die Vorstellung
von otter im Kapitel “Aussagenlogik”).
Barbara König
Logik
Ist diese Formel gültig, erfüllbar oder unerfüllbar?
Was passiert, wenn Sie als Eingabe für einen
Resolutionstheorembeweiser (wie beispielsweise otter)
verwendet wird?
Diese Formel ist erfüllbar: otter leitet immer neue Klauseln ab
und terminiert nicht.
224
Barbara König
Logik
225
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Beispiele
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Das Affe-Banane-Problem (Teil 1)
(A1) Ein Tier, das Arme hat und nahe bei einem Ding ist,
kann das Ding erreichen.
Das Affe-Banane-Problem (Teil 2)
(A6) Der Stuhl ist ein hoher Gegenstand.
(A2) Ein Tier auf einem hohen Gegenstand, der unter den
Bananen steht, ist nahe bei den Bananen.
(A7) Die Bananen sind ein Ding.
(A8) Der Affe, die Bananen und der Stuhl sind im Raum.
(A3) Wenn ein Tier in einem Raum einen Gegenstand zu
einem Ding schiebt, die beide im Raum sind, dann ist
das Ding nahe am Boden oder der Gegenstand ist
unter dem Ding.
(A9) Der Affe kann den Stuhl unter die Bananen schieben.
(A10) Die Bananen sind nicht nahe am Boden.
(A11) Der Affe kann den Stuhl ersteigen.
(A4) Wenn ein Tier einen Gegenstand ersteigt, ist es auf
dem Gegenstand.
(S?) Kann der Affe die Bananen erreichen?
(A5) Der Affe ist ein Tier, das Arme hat.
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Barbara König
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Beispiele
Logik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
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Anwendungen
Schema für die Lösung solcher Probleme:
Anwendungen der prädikatenlogischen Resolution
Theorembeweiser: Beweis von Sätzen aus der Mathematik
Seien A1 , . . . , An die Axiome oder Voraussetzungen und
S die Schlussfolgerung.
Verifikation: Beweis der Korrektheit von Programmen
Um zu zeigen, dass
Schlussfolgerung in Expertensystemen
Planungssysteme
A1 ∧ · · · ∧ An → S
Logik-Programmierung (PROLOG)
gültig ist, zeigen wir, dass
Bemerkung: Neben Resolution gibt es noch weitere Methoden, die
Unerfüllbarkeit prädikatenlogischer Formeln zu zeigen,
beispielsweise mit Hilfe von Tableau-Beweisen.
A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬S
unerfüllbar ist.
Barbara König
Logik
siehe nächstes Kapitel
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Barbara König
Logik
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