Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für
Studierende der Informatik
PD Dr. U. Ludwig
Vorlesung 7
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§
2.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
(Fortsetzung)
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Bedingter Erwartungswert
Erinnerung: letzte Stunde
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable
P
E (X ) = x ∈X (Ω) x · p(X = x )
X
Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable
E (X ) :=
Z
∞
−∞
X:
mit Dichte
f:
xf (x )dx
Denition (Bedingter Erwartungswert)
Sei
Ω
ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und sei
Ereignis. Sei
X
eine Zufallsvariable auf
Ω.
A ⊂ Ω ein
Der bedingte
Erwartungswert ist deniert als:
E (X |A) =
X
ω∈Ω
X (ω)p({ω}|A) =
X
ω∈A
X (ω)p({ω}|A).
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Varianz diskreter Zufallsvariablen
Denition 2.18
Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit Erwartungswert E (X ) = µ,
so heiÿt der Wert
Var (X ) := E ((X − µ)2 )
die Varianz von
X.
Satz
Für eine diskrete Zufallsvariable
Var (X ) =
X
x ∈X (Ω)
X
mit Erwartungswert
µ
gilt
(x − µ)2 p (X = x ) = E (X 2 ) − µ2 .
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Beispiel: Roulette (Erwartungswert)
XA Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro
auf die Zahl 7 beschreibt.
XB
Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro
auf ungerade Zahl beschreibt.
XC
Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro
auf
(1, 2, 3).
Erwartungswerte:
E (XA ) = 36 · p(XA = 7) + 0 · p(XA 6= 7) =
36
37
E (XB ) = 2 · p(XB = ungerade) + 0 · p(XB = gerade) =
E (XC ) = 12 · p(XC
= 1, 2, 3) + 0 · p (XC 6= 1, 2, 3) =
36
37
36
37
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Beispiel: Roulette (Varianz)
Var (XA ) =
x ∈Ω(x )
Var (XB ) = 2
2
Var (XC ) = 12
·
2
x p (X
2
X
18
37
·
−
3
37
36
2 1
37
−
36
37
2
' 34, 08
2
37
−
= x ) − µ = 36
2
36
37
' 0, 999
2
' 10, 73
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Varianz stetiger Zufallsvariablen
Denition 2.18
Ist X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f
2
dass E (X ) existiert, so deniert man die Varianz durch
Var (X ) :=
Z
∞
−∞
derart,
(x − E (X ))2 f (x )dx .
Denition 2.18
p
σ = σX = Var (X ) heiÿt Standardabweichung von X .
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Rechenregeln für die Varianz
Satz 2.20 (Rechenregeln für die Varianz)
Sei X eine Zufallsvariable. Dann gilt:
2
2
(i) Var (X ) = E (X ) − µ .
2
(ii) Var (aX + b ) = a Var (X ) für a, b ∈ R.
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Standardisierte von X
Denition
2
Ist X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Varianz σ , so
heiÿt die Zufallsvariable
X∗ =
die Standardisierte von
X −µ
σ
X.
Bemerkung
Für die Standardisierte von
X
gilt:
µ
µ µ
= − =0
σ
σ
σ σ
2
1
σ
Var (X ∗ ) = 2 Var (X ) = 2 = 1
σ
σ
1
E (X ∗ ) = E (X ) −
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Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz, im Falle
unabhängiger Zufallsvariablen
Satz 2.20
Sind
X
und
Y
unabhängige Zufallsvariable mit den
Erwartungswerten
E (X ), E (Y ) so gilt:
E (X · Y ) = E (X ) · E (Y ).
X und Y unabhängige Zufallsvariable mit den Varianzen
Var (X ), Var (Y ) so gilt:
Sind
Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y ).
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Kovarianz zweier Zufallsvariablen
Denition
Sind X und Y
Zufallsvariable, für die
E (X ), E (Y ) existiert, so heiÿt
Cov (X , Y ) := E ((X − E (X ))(Y − E (Y )))
X und Y . X
Cov (X , Y ) = 0 ist.
die Covarianz von
Covarianz
und
Y
heiÿen unkorreliert, wenn die
Satz (Eigenschaften der Kovarianz)
Es gilt:
Cov (X , Y ) = E (XY ) − E (X ) · E (Y ).
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, so sind sie
unkorreliert.
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§2.3
Schwaches Gesetz groÿer Zahlen
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Tschebyschesche Ungleichung
Satz 2.21 [Tschebyschesche Ungleichung]
Es seien (Ω, P(Ω), p ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X
Zufallsvariable mit endlicher Varianz. Dann gilt für jedes
p(|X − E (X )| ≥ ε) ≤
Var (X )
ε2
eine
ε > 0:
.
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Schwaches Gesetz der groÿen Zahlen für unabhängige
Zufallsvariable mit beschränkter Varianz
Satz 2.22
Seien X1 , . . . , Xn
paarweise unabhängige Zufallsvariable mit
gleichem Erwartungswert
E (X1 ) = E (X2 ) = . . . = E (Xn ) = µ
und beschränkter Varianz
für alle
Var (Xk ) ≤ M
für 1
≤ k ≤ n.
Dann gilt
ε > 0:
1
M
p (X1 + . . . + Xn ) − µ ≥ ε ≤ 2 .
n
nε
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Relative Häugkeiten versus Wahrscheinlichkeit
n-stuges Bernoulli-Experiment mit {A, A}
absolute Häugkeit des Eintretens von A:
hn (A) =
Anzahl der Fälle in denen
A eintritt
relative Häugkeit des Eintretens von A:
rn =
hn (A)
n
n nähert sich die relative Häugkeit rn (A) der
Wahrscheinlichkeit p (A) an!
Für groÿe
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§3 Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
§3.1
Die Binomialverteilung
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Binomialverteilte Zufallsvariable
Denition 3.1.
X heiÿt binomial-verteilt mit den
n und p, wenn für 0 ≤ k ≤ n gilt
Eine diskrete Zufallsvariable
Parametern
p (X
Wir sagen kurz:
= k) =
X
ist
n pk (1 − p)n−k =: B (k ).
n ,p
k
B (n, p)- verteilt.
n-stuges Bernoulliexperiment mit
n
Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {A, A} .
Beispiel:
Wir betrachten ein
Die Zufallsvariable
XA :
ist binomialverteilt.
Ω → R
ω 7→ Anzahl
der
A in ω,
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Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten
Zufallsvariablen
Satz 3.4
Ist X B (n , p )−verteilt, so gilt für den Erwartungswert E (X ) = np
und für die Varianz Var (X ) = np (1 − p ).
Hilfssatz
In einem n -stugen Bernoulliexperiment sei p (A) = p .
k = 1, . . . , n sei die Zufallsvariable Xi deniert durch
Xi (ω) :=
Für
A beim i-ten Versuch eintritt,
1
falls
0
sonst.
X = X1 + . . . + Xn die B (n, p)-verteilte Zufallsvariable
XA , welche die Anzahl der Versuche angibt, in denen A eintritt.
Dann ist
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Binomialverteilung (n=50)
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