Algebra

Formeln und Notizen
Algebra
(Studiengang I+K)
Florian Franzmann∗
7. April 2009, 23:50 Uhr
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlegende Definitionen
1.1 Morphismen . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Homomorphismus . . . . .
1.1.2 Isomorphismus . . . . . . .
1.2 Gruppen und Halbgruppen . . . .
1.2.1 Halbgruppe . . . . . . . . .
1.2.2 Gruppe . . . . . . . . . . .
1.2.3 Untergruppe . . . . . . . .
1.2.3.1 Definition . . . . .
1.2.3.2 Satz von Lagrange
1.2.4 Zyklische Gruppe . . . . . .
1.2.5 Symmetrische Gruppe . . .
1.2.6 Ordnung einer Gruppe . . .
1.2.6.1 Definition . . . . .
∗
[email protected]
1
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3
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4
4
4
1 Grundlegende Definitionen
1.3
1.4
1.2.6.2 Ordnung einer Gruppe Z = G × H . .
1.2.6.3 Ordnung eines Elements einer Gruppe
1.2.7 Exponent einer Gruppe . . . . . . . . . . . . .
Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.1 Nullteiler . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.2 Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Körper (Galois-Felder) . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.1 Primitives Element . . . . . . . . . .
1.3.2.2 Erweiterungskörper . . . . . . . . . .
Größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . . . . . . . . .
2 Polynome
2.1 Grad eines Polynoms .
2.2 Irreduzibilität . . . . .
2.3 Minimalpolynom . . .
2.4 Diskreter Logarithmus
2.5 Zechscher Logarithmus
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3 Sätze (altes Skript)
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Teilbarkeit in Polynomringen . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Mehr Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Die Eindeutigkeit und Existenz von endlichen Körpern
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4 Sätze (neues Skript)
4.1 Der Ring der ganzen Zahlen . . . . .
4.2 Der Polynomring . . . . . . . . . . .
4.3 Die Teilbarkeit . . . . . . . . . . . .
4.4 Nullstellen von Polynomen . . . . . .
4.5 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . .
4.6 Das Rechnen im endlichen Körper .
4.7 Erweiterungskörper . . . . . . . . . .
4.8 Existenz und Eindeutigkeit endlicher
4.9 Irreduzible Polynome . . . . . . . . .
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Körper
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1 Grundlegende Definitionen
Zn := {0; 1; . . . ; n − 1}
2
(1)
1 Grundlegende Definitionen
(
0 falls U = {0}
MinU =
kleinste Zahl in U ≥ 1 sonst
(2)
1.1 Morphismen
1.1.1 Homomorphismus
Eine Abbildung ϕ heißt Homomorphismus, falls gilt
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)
(3)
ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)
(4)
1.1.2 Isomorphismus
Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
1.2 Gruppen und Halbgruppen
1.2.1 Halbgruppe
Eine Menge G und eine binäre Operation ·, für die folgende Axiome erfüllt sind:
1. Abgeschlossenheit, d. h. a ∈ G ∧ b ∈ G ⇒ a · b ∈ G.
2. Assoziativität, d. h. a · (b · c) = (a · b) · c.
1.2.2 Gruppe
Gelten zusätzlich folgende Axiome, so heißt (G, ·) Gruppe:
1. Neutrales Element, d. h. ∃e ∈ G : a · e = e · a = a.
2. Inverses Element, d. h. a ∈ G ⇒ a−1 ∈ G : a · a−1 = a−1 · a = e.
Gilt zusätzlich a · b = b · a (Kommutativität), so heißt (G, ·) Abelsche Gruppe.
1.2.3 Untergruppe
1.2.3.1 Definition Sei U ⊂ G und (G, ·) eine Gruppe. Falls für (U, ·) die Gruppenaxiome gelten, heißt (U, ·) Untergruppe von (G, ·).
G = hxi ⇒ U = hxm i Untergruppe von G
(5)
hjin ist die von j in Zn erzeugte Untergruppe.
1.2.3.2 Satz von Lagrange Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen
Gruppe (M, ◦) teilt die Kardinalität dieser Gruppe oder hxin erzeugt eine Untergruppe
von En , wenn x Teiler von n ist.
3
1 Grundlegende Definitionen
1.2.4 Zyklische Gruppe
Gibt es in G ein Element a, so daß man jedes andere Element als Potenz an schreiben
kann, so heißt G Zyklische Gruppe und a erzeugendes Element.
1.2.5 Symmetrische Gruppe
Die symmetrische Gruppe Sn besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen. Gruppenoperation ist die Verkettung der Permutationen.
Sn besitzt n! Elemente. Für n > 2 ist Sn nicht kommutativ.
1.2.6 Ordnung einer Gruppe
1.2.6.1 Definition
einer Gruppe.
Als Ordnung o(g) = | hgi | bezeichnet man die Zahl der Elemente
1.2.6.2 Ordnung einer Gruppe Z = G×H
erzeugt die Ordnung.
Multiplikation der höchsten Ordnungen
1.2.6.3 Ordnung eines Elements einer Gruppe Die Ordnung eines Elements a
ist die kleinste Zahl n ∈ N für die an = e gilt.
1.2.7 Exponent einer Gruppe
e(G) = MinŨ ≥ 1
(6)
Ũ = he(G)i
(7)
In einer zyklischen Gruppe gilt: e(G) = o(x) = |G|.
1.3 Ringe und Körper
1.3.1 Ring
Eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + und · heißt Ring, wenn gilt
1. Bezüglich + ist R abelsche Gruppe mit neutralem Element 0.
2. Bezüglich · ist R Halbgruppe.
3. Es gilt a · (b + c) = a · b + a · c (Distributivität).
(R, +·) heißt kommutativer Ring, falls a · b = b · a gilt. Falls R \ {0} abgeschlossen ist,
heißt R nullteilerfrei.
Dann gilt a · b = a · c ∧ a 6= 0 ⇒ b = c (Kürzregel).
4
2 Polynome
1.3.1.1 Nullteiler Existiert zu a 6= 0 ein b ∈ R mit a · b = 0, so heißt a Nullteiler.
Ein Ring heißt nullteilerfrei, wenn a, b ∈ R∗ ⇒ a · b ∈ R∗ .
Ein Ring Zn ist nullteilerfrei, wenn n Primzahl ist.
1.3.1.2 Ideal Eine additive Untergruppe U einer Gruppe G heißt Ideal, falls sie bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist.
1.3.2 Körper (Galois-Felder)
Ist (R, ·) zusätzliche eine Abelsche Gruppe mit neutralem Element 1, so heißt (R, +, ·)
Körper.
Ein Körper mit q n verschiedenen Elementen wird GF(q n ) geschrieben. q ist immer
Primzahl. Ist F = Zn und N = P (X), so enthält FN genau |F|gradN = q n Elemente.
Ein Ring Zp ist genau dann ein Körper, wenn p Primzahl ist.
1.3.2.1 Primitives Element Ein primitives Element eines Körpers ist multiplikativer Erzeuger dieses Körpers. Eigenschaften eines Erzeugers:
m −1
aq−1 = ap
ai 6= 1
=1
(für 1 ≤ i ≤ q − 2)
(8)
(9)
Ist a Erzeuger der zyklischen Gruppe G, so auch m, falls 0 < m < |G| und m, |G|
teilerfremd.
1.3.2.2 Erweiterungskörper Ein Körper, der neben den ursprünglichen Elementen
noch weitere Elemente enthält, wobei die Körpereigenschaften erhalten bleiben. Er kann
nicht durch Restklassen beschrieben werden =⇒ Irreduzible Polynome (siehe Abschnitt
2.2).
1.4 Größter gemeinsamer Teiler
hki + hni = {ik + jn : i, j ∈ Z}
(10)
= hgi
(11)
= ggT(k, n)
(12)
2 Polynome
Fn [X] bezeichnet die Menge aller Polynome vom grad ≤ n − 1.
5
3 Sätze (altes Skript)
2.1 Grad eines Polynoms
gradA = n, falls
n
X
ai · X i und an 6= 0
(13)
i=0
gradA = −1, falls ai = 0 ∀i ∈ {0; 1; . . . ; n}
(14)
grad(λA) = gradA, wenn λ 6= 0
(15)
grad(A + B) ≤ max {gradA, gradB} ; grad(A + B) = max {gradA; gradB} , falls gradA = gradB
(16)
grad(AB) = gradA + gradB, falls A 6= 0
∧
B 6= 0
(17)
2.2 Irreduzibilität
Besitzt ein Polynom keine Nullstelle in F, so ist es irreduzibel.
2.3 Minimalpolynom
Das eindeutig bestimmte irreduzible Polynom p(x) mit 1 als Koeffizienten der höchsten
Potenz heißt Minimalpolynom über für v.
Sei v ein Polynom. Berechne alle Potenzen vonP
v in P[X] (d. h. bis zum höchsten
Exponent von N ). Finde linear abhängige v. Bilde
vi und ersetze v durch X.
2.4 Diskreter Logarithmus
In einem Körper Fq existiert genau eine Zahl iv ∈ {0; 1; . . . ; q − 1}, so daß
v = biv
(18)
mit v ∈ F∗ und b Erzeuger von F∗ .
2.5 Zechscher Logarithmus
bL(j) := 1 + bj
Für v, w ∈ F∗ gilt
j ∈ {0; . . . ; q − 2}
(19)
L(j) := −∞ falls 1 + bj = 0
(20)
v + w = biv ◦ (1 + bρq−1 (iw −iv ) )
(21)
3 Sätze (altes Skript)
3.1 Einleitung
3.2 Zyklische Gruppen
3.2.1 En ist die Menge aller komplexen Zahlen z = cos ϕ + j sin ϕ, so daß nϕ ein
Vielfaches von 2π ist.
6
3 Sätze (altes Skript)
3.2.2 Sei z ∈ En . Dann liegen auch alle Potenzen z k , k ∈ Z in En und zu jeder Potenz
z k existiert eine Zahl r ∈ {0; 1; . . . ; n − 1} mit z k = z r .
3.2.3 (Satz) En := 1; z0 z02 ; . . . ; z0n−1 . Insbesondere ist |En | = n.
Es sei hxi := xi |i ∈ Z die Menge aller Potenzen von x.
Eine nichtleere Untermenge U von G heißt Untergruppe von G, wenn U bezüglich der
in G erklärten Verknüpfung eine Gruppe ist. Es genügt zu fordern:
x ∈ U ∧ y ∈ U ⇒ xy ∈ U
(22)
x ∈ U ⇒ x−1 ∈ U
(23)
3.2.4 hxi ist Untergruppe von G.
Sei MinU := min(U ∩ N), MinU := 0 falls U = {0}.
3.2.5 (Satz) Sei U Untergruppe von Z und m := MinU . Dann ist U = hmi.
3.2.6
1. ρ(i) = i ⇔ i ∈ Zn
2. ρ(i) = 0 ⇔ i ∈ hni
3. ρ(i + j) = ρ(ρ(i) + ρ(j))
4. ρ(ij) = ρ(ρ(i)ρ(j))
Sei +̃ := ρ(i + j).
3.2.7 Bezüglich +̃ ist Zn eine Gruppe. Sie ist zyklisch und 1 ∈ Zn ist Erzeuger.
Sei Û := i ∈ Z|xi ∈ U
3.2.8 (Satz) Sei U Untergruppe der zyklischen Gruppe G = hxi und sei m := MinÛ .
Dann ist U = hxm i. Insbesondere ist auch U zyklisch.
Sei o(x) = n = MinŨ ≥ 1 die Ordnung von x. Sie ist die kleinste Zahl n aus N mit
xn = 1.
3.2.9 (Satz) Sei n := o(x). Dann gilt:
1. xi = 1 ⇔ i ∈ hni.
2. |hxi| = n und 1, x, x2 , . . . , xn−1 sind die Elemente von hxi.
3. Für i, j, k ∈ Z gilt: xi xj = xk ⇔ k = ρn (i + j)
3.2.10 (Satz) Sei U Untergruppe 6= {0} der Gruppe Zn und m ∈ U die kleinste Zahl
n
in U . Dann ist U = hmin und m Teiler von n. Ist k := m
, so ist |U | = k und U =
{im|i ∈ Zk }.
7
3 Sätze (altes Skript)
3.2.11 (Satz) Sei 0 6= j ∈ Zn und U := hjin die von j erzeugte Untergruppe von Zn .
n
Ist m := ggT(j,n), so ist U = hmin und |U | = m
.
3.2.12 Sei g := ggT(k,n). Dann existieren i, j ∈ Z mit g = ik + jn ⇔ hgi = hki + hni.
Sei e(G) = MinŨ ≥ 1 der Exponent von G und Ũ = i ∈ Z : xi = 1 ∀x ∈ G .
3.2.13 Für i ∈ N gilt:
i ∈ he(G)i ⇔ xi = 1 ∀x ∈ G ⇔ i ∈ ho(x)i ∀x ∈ G
(24)
3.2.14 Für i ∈ N gilt
i ∈ he(G)i ⇔ xi = 1 ∀x ∈ G ⇔ i ∈ ho(x)i ∀x ∈ G
(25)
Sei Gn := {x ∈ G : xn = 1}
3.2.15 (Satz) Für die endliche, abelsche Gruppe gelte ∀n ∈ N ist |Gn | ≤ n. Dann ist
G eine zyklische Gruppe.
3.2.16 (Lemma) Die Zahl e(G) sei eine Potenz pn , n ∈ N, p Primzahl. Dann existiert
ein y ∈ G mit o(y) = e(G).
3.2.17 (Korollar) Es gelte ∀n ∈ N ist |Gn | ≤ nund sei G wie in 3.2.16. Dann ist
G = hyi, also G zyklisch.
3.2.18 (Satz) Seien k, n ∈ N teilerfremde Zahlen und e(G) = kn. Sind Gk und Gn
zyklische Gruppen, so ist auch G eine zyklische Gruppe.
3.3 Ringe und Körper
3.3.1 Bezüglich der Verknüpfung „+̃“ und „·“ ist Zn ein kommutativer Ring.
3.3.2 (Lemma) Der Ring Zn ist genau dann nullteilerfrei, wenn n eine Primzahl ist.
3.3.3 (Satz) Der Ring Zn ist genau dann ein Körper, wenn n Primzahl ist.
3.4 Polynome
3.4.1 (Division mit Rest) Zu jedem Polynom A ∈ F[X] existieren in eindeutiger
Weise Polynome P, R ∈ F[X] mit
A = P N + R, gradR < n
3.4.2
1. ρA = 0 ⇔ A ∈ hN i
2. ρA = A ⇔ A ∈ Fn [X]
8
(26)
3 Sätze (altes Skript)
3. ρ ist eine lineare Abbildung, d. h. es gilt mit λ, µ ∈ F
ρ(λA + µB) = λ(ρA) + µ(ρB)
(27)
4. ρ(AB) = ρ((ρA)(ρB))
3.4.3 (Satz) Sei A ∈ F[X] und λ ∈ F eine Nullstelle von A, d. h. A(λ) = 0. Dann
existiert ein P ∈ F[X] mit A = (X − λ)P .
3.4.4 (Korollar) Seien λ1 , . . . , λm verschiedene Nullstellen von A. Dann existiert
ein P ∈ F[X] mit A = (X − λ1 ) · · · (X − λm )P . Insbesondere ist m ≤ gradA.
Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
3.4.5 (Satz) Sei G eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe F∗ . Dann ist
G eine zyklische Gruppe.
3.5 Teilbarkeit in Polynomringen
Sei U 6= {0} Unterraum von F[X] und m := min {gradA : 0 6= A ∈ U }
3.5.1 In U existiert genau ein normiertes Polynom N mit gradN = m.
U heißt Ideal in F[X] genau dann, wenn
A, B ∈ U ⇒ λA + µB ∈ U
(28)
A ∈ U, P ∈ F[X] ⇒ P A ∈ U
(29)
und
gelten.
3.5.2 (Satz) Sei U Ideal in F[X] und sei N := MinU . Dann ist U = hN i.
3.5.3
1. hAi + hN i und hAi ∩ hN i sind Ideale 6= {0} von F[X].
2. Sei G := Min(hAi + hN i). Dann ist hGi = hAi + hN i; insbesondere existieren P, Q
mit G = P A + QN .
3. Sei K := Min(hAi ∩ hN i). Dann ist hKi = hAi ∩ hN i.
3.5.4 Sei ggT(A,N ) = 1 und seien A, N normiert. Dann ist kgV(A,N ) = AN .
3.5.5 (Satz) Sei N irreduzibel und sei N Teiler eines Produktes AB, 0 6= A, B ∈ F[X].
Dann ist N Teiler von A oder Teiler von B.
3.5.6 Ist R = 0, so ist ggT(B,C) = ggT(C,R). Ist R = 0 und C normiert, so ist
ggT(B,C) = C.
9
3 Sätze (altes Skript)
3.6 Mehr Körper
3.6.1 Genau dann ist der Ring FN nullteilerfrei, wenn N ein irreduzibles Polynom ist.
3.6.2 (Satz) Der Ring FN ist genau dann ein Körper, wenn das Polynom N irreduzibel
ist.
3.6.3 (Korrolar) Sei p ∈ N Primzahl und F := Zp . Dann ist FN ein endlicher Körper, nämlich |FN | = pn .
3.6.4 Sei N ∈ F[X], ngradN und n ∈ {2; 3}. Besitzt N keine Nullstelle in F, so ist N
irreduzibel.
3.6.5 Sei p = 2. Die irreduziblen Polynome aus F[X] vom Grad ≤ 3 sind wie folgt:
X, X + 1, X 2 + X + 1, X 3 + X + 1, X 3 + X 2 + 1
(30)
3.7 Endliche Körper
3.7.1 (Satz) Die multiplikative Gruppe F∗ von F = Fq ist eine zyklische Gruppe der
Ordnung q − 1.
3.7.2 v ◦ w = biv +̃iw . Dies gilt auch für v = 0 bzw. w = 0, wenn man −∞+̃iv = −∞
setzt.
Sei bL(j) = 1 + bj , j ∈ {0; . . . ; q − 2}
3.7.3 iv+w = iv +̃L(ρ(iw − iv ))
3.7.4 (v + w)p = v p + wp
n
3.7.5
1. v p = v ∀v ∈ F.
i
2. Ist b ein primitives Element von F, so ist bp 6= b, wenn i < n.
3.8 Die Eindeutigkeit und Existenz von endlichen Körpern
3.8.1 Sei M := MinU . Dann ist U = hM i; überdies ist 1 ≤ gradM ≤ n
3.8.2 (Kriterium) Sei A ∈ P[X] ein normiertes Polynom ≤ 0 mit A(v) = 0. Genau
dann gilt A = Mv , wenn A ein irreduzibles Polynom ist.
3.8.3 Sei v = X. Dann ist Mv = N .
3.8.4 (Lemma) Sei 0 ≤ v ∈ F. Hat das Minimalpolynom von v den Grad n, so ist der
Körper F = PN isomorph zum Körper PM .
Q
3.8.5 In F[X] hat man die Zerlegung Q = v∈F∗ (X − v).
10
4 Sätze (neues Skript)
3.8.6 Ist N ∈ P[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad n. Dann sind die Körper PN
und PM zueinander isomorph.
3.8.7 (Satz) Seien N , M zwei irreduzible Polynome vom Grad n. Dann sind die Körper PN und PM zueinander isomorph.
Sei E die Menge aller endlichen Körper E, welche den Körper P = Zp enthalten. Ein E ∈ E
heißt Zerfällungskörper von Q = X q − 1 ∈ P[X], wenn Q in E in Linearfaktoren
zerfällt,
Q
d. h. es existieren (nicht notwendig verschiedene) v1 , . . . , vq ∈ E mit Q = i (X − vi ).
3.8.8 (Satz) Es existiert ein Zerfällungskörper von Q.
3.8.9 F = {v ∈ E : v q = v} ist ein Zerfällungskörper von Q.
3.8.10 (Satz) Zu jeder Primzahlpotenz q = pn existiert ein endlicher Körper mit q
Elementen. Dieser enthält P.
3.8.11 (Satz) Ist F ein Körper mit q = pn Elementen, so existiert ein irreduzibles
Polynom vom Grad n, so daß F isomorph zum Körper FN ist.
4 Sätze (neues Skript)
4.1 Der Ring der ganzen Zahlen
4.1.1 In einem nullteilerfreien Ring kann gekürzt werden, d. h. es gilt:
a · b = a · c ∧ a 6= 0 ⇒ b = c
(31)
4.1.2 Die Menge Z der ganzen Zahlen bildet bezüglich Addition und Multiplikation einen
nullteilerfreien Ring.
4.1.3 Zu a ∈ Z existieren eindeutig bestimmte Zahlen i ∈ Z und r ∈ Zn , so daß
4.1.4
a=i·n+r
(32)
MinU := min(U ∩ N)
(33)
1. ρn (a) = a ⇔ a ∈ Zn
2. ρn (a) = 0 ⇔ a ∈ hni
3. ρn (a) = ρn (b) ⇔ a − b ∈ hni
4. ρn (a + b) = ρn (ρn (a) + ρn (b))
5. ρn (a · b) = ρn (ρn (a) · ρn (b))
4.1.5 (Satz) Sei U Untergruppe von Z(+) und n := MinU . Dann ist U = hni
11
4 Sätze (neues Skript)
4.1.6 Sei n > 1. Bezüglich der Addition und Multiplikation modulo n ist Zn ein Ring
mit Nullelement 0 ∈ Zn und Einselement 1 ∈ Zn .
4.1.7 Die Restabbildung ρn ist ein Homomorphismus des Rings Z auf den Ring Zn ,
d. h. es gilt:
ρn (a + b) = ρn (a) +n ρn (b)
(34)
ρn (a · b) = ρn (a) ·n ρn (b)
(35)
ρn (−a) = −ρn (a) ∧ ρn (a − b) = ρn (a) − ρn (b)
(36)
Insbesondere gilt im Ring Zn
4.1.8 Der Ring Z ist genau dann nullteilerfrei, wenn n eine Primzahl ist.
4.1.9 (Satz) Genau dann ist der Ring Zn ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.
4.2 Der Polynomring
Sei F = Zn und F [X] die Menge aller Polynome über F.
4.2.1 Bezüglich der in F [X] erklärten Addition und Multiplikation ist F [X] ein nullteilerfreier Ring. Bezüglich der Addition und skalaren Multiplikation ist F [X] ein FVektorraum.
Sei Fn die Menge aller Polynome vom Grad ≤ n − 1 und κ die Abbildung, die jedem
Polynom A ∈ Fn [X] seine Koeffizienten zuordnet.
4.2.2 Die Koeffizientenabbildung κ ist ein Isomorphismus des Vektorraums Fn [X] auf
den Vektorraum Fn
4.2.3 (P, R) div(A, N) {
R = A;
P = 0;
lambda = Leitkoeffizient von N;
n = grad N;
while(grad R >= n) {
m = grad R;
mu = Leitkoeffizient von R;
R = R - mu/lambda X^(m - n) N;
P = P + mu/lambda X^(m - n);
}
return (P, R);
}
Sind R, P wie am Ende, so ist gradR < n und A = P N + R.
12
4 Sätze (neues Skript)
4.2.4 (Division mit Rest) Sei N ∈ F [Z], n := gradN ≥ 1. Zu A ∈ F [X] existieren
eindeutig bestimmte Polynome P, R ∈ F [X] mit
A = PN + R
4.2.5
gradR < n
(37)
• ρN (A) = A ⇔ A ∈ Fn [X]
• ρN (A) = ρN (B) ⇔ A − B ∈ hN i
• ρN (λA + µB) = λρN (A) + µρN (B), d. h. ρN ist eine lineare Abbildung.
• ρN (A · B) = ρN (ρN (A) · ρN (B))
4.2.6
1. Mit der Addition A +N B und der Multiplikation A ·N B ist die Menge
Fn [X] ein Ring. Wir bezeichnen ihn mit FN .
2. Die Restabbildung ρN ist ein Homomorphismus des Rings F [X] auf den Ring FN .
4.2.7 Der Körper F ist ein Unterring von FN . FN ist bezüglich der Addition und der
Multiplikation A 7→ λA der Vektorraum Fn [X].
4.2.8 |FN | = q n , falls |F| = q und gradN = n.
4.2.9 Ist der Ring FN nullteilerfrei, so ist er ein Körper.
4.3 Die Teilbarkeit
4.3.1 Sei U 6= {0} Unterraum von F [X]. Dann existiert in U genau ein normiertes
minimales Polynom MinU .
Im Fall U = {0} sei MinU := 0 gesetzt. Sei R Ring. Eine Teilmenge U von R heißt Ideal,
wenn gilt
1. U ist Untergruppe von R(+).
2. u ∈ U ∧ r ∈ R ⇒ r · u ∈ U
4.3.2 Ist U Ideal im Ring F [X], so ist U Unterraum des Vektorraums F [X].
4.3.3 (Satz) Sei U Ideal in F [X] und M := MinU . Dann ist U = hM i.
4.3.4 (Satz) Sei G := Min(hAi + hBi). Dann gilt:
1. G = ggT(A,B)
2. hGi = hAi + hBi
3. Es existieren P, Q ∈ F [X] mit G = P A + QB
4.3.5 (Satz) Sei K := Min(hAi ∩ hBi). Dann gilt:
13
4 Sätze (neues Skript)
1. K = kgV(A,B)
2. hKi = hAi ∩ hBi
3. Es existieren P, Q ∈ F [X] mit K = P A = QB.
4.3.6 Seien A und B zueinander teilerfremd. Dann ist (bis auf Normierung)
A · B = kgV(A,B)
(38)
Sei P(A) die Menge der normierten irreduziblen Teiler von A.
4.3.7 (Satz) Im Ring F [X] gilt
P(A · B) = P(A) ∪ P(A)
(39)
4.3.8 Genau dann ist der Ring FN nullteilerfrei, wenn N ein irreduzibles Polynom ist.
4.3.9 (Satz) Genau dann ist der Ring FN Körper, wenn N ein irreduzibles Polynom
ist.
4.3.10 Seien A, N zueinander teilerfremde Polynome. Dann gilt
1. Es existieren P, Q ∈ F [X] mit 1 = P A + QN .
2. Sei gradA < gradN ≥ 1 und B := ρN (P ). Dann ist A ·N B = 1, B ist also im Ring
FN invers zu A.
Sei A = P B + R.
4.3.11 Im Fall R 6= 0 ist ggT(A,B) = ggT(B,R) und im Fall R = 0 ist ggT(A,B) = B
(bis auf Normierung).
4.4 Nullstellen von Polynomen
4.4.1 (Satz) Sei A ∈ F [X] und λ ∈ F Nullstelle von A, d. h. A(λ) = 0. Dann existiert
ein P ∈ F [X] mit A = (X − λ)P .
4.4.2 (Korollar) Seien λ1 , . . . , λm verschiedene Nullstellen von A. Dann existiert
ein P ∈ F [X] mit A = (X − λ1 ) · · · (X − λm ) · P .
4.4.3 Ein Polynom vom Grad n, n ≥ 0 hat höchstens n Nullstellen.
4.4.4 Sei N ∈ F [X], n = gradN und n ∈ {2; 3}. Besitzt N keine Nullstelle in F, so ist
N irreduzibel.
4.4.5 Sei F = Z2 . Die irreduziblen Polynome vom aus F [X] vom Grad ≤ 3 sind
X,X + 1,X 2 + X + 1,X 3 + X + 1,X 3 + X 2 + 1
14
(40)
4 Sätze (neues Skript)
Sei A0 die Ableitung von A.
4.4.6 Es gilt die Produktregel
(A · B)0 = A0 · B + A · B 0
(41)
4.4.7 (Lemma) Sei A 6= 0 aus F [X] und λ Nullstelle von A. Folgende Aussagen sind
äquivalent:
1. λ ist einfache Nullstelle von A.
2. A0 (λ) 6= 0.
4.5 Zyklische Gruppen
4.5.1 ∀i, j ∈ Z gilt:
ai+j = ai aj und (ai )j = ai·j
(42)
4.5.2 Seien U1 , U2 Untergruppen von G. Dann ist der Durchschnitt
U1 ∩ U2 = {a : a ∈ U1 ∧ a ∈}
(43)
Untergruppe von G.
4.5.3 hai ist Untergruppe von G.
4.5.4 (Satz) Sei n = o(a). Dann gilt:
1. ai = 1 ⇔ i ∈ hni
2. ai = aρn (i) , i ∈ Z
3. hai = 1; a; a2 ; . . . ; an−1 . Dabei sind die Potenzen von a verschieden. Insbesondere
ist n = |hai| die Ordnung der Untergruppe hai.
4. Für i, j ∈ Zn gilt ai aj = ai+n j
4.5.5 Sei G eine endliche zyklische Gruppe und a primitives Element von G. Dann ist
o(a) = |G|. Ist n := o(a), so ist G isomorph zu der Gruppe Zn (+)
4.5.6 (Satz) Sei G = hai eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Die Untergruppen U
von G sind ebenfalls zyklische Gruppen und haben die Form U = ham i, dabei ist m Teiler
n
von n. Ist k = m
, so ist |U | = k und k Teiler von n.
4.5.7 Sei G = hai eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Sei 0 6= m ∈ Z und g :=
ggT(m,n). Dann gilt
1. o(am ) = o(ag ) =
n
g
2. ham i = hag i ist eine Untergruppe der Ordnung
15
n
g.
4 Sätze (neues Skript)
4.5.8 Sei G = hai eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Genau dann ist eine Potenz
am (m ∈ Z \ {0}) primitives Element von G, wenn die Zahlen n und m teilerfremd sind.
4.5.9 In einer zyklischen Gruppe von Primzahlordnung ist jedes Element 6= 1 primitives
Element.
G(m) := {a ∈ G : am = 1}
4.5.10
(44)
1. G(m) ist Untergruppe von G.
2. Es existiert ein m ∈ N mit G = G(m)
4.5.11 (Satz) Seien m1 , m2 ∈ N teilerfremde Zahlen, so daß
G = G(m1 · m2 )
(45)
Sei G1 := G(m1 ) und G2 := G(m2 ). Dann gilt
1. G = G1 × G2
2. Ist a = a1 a2 mit a1 ∈ G1 und a2 ∈ G2 , so ist o(a) = o(a1 ) · o(a2 )
4.5.12 G = G1 × G2 × · · · × Gr . Ist a = a1 a2 · · · ar mit ai ∈ Gi , so ist
o(a) = o(a1 ) · o(a2 ) · · · o(ar )
(46)
4.5.13 (Satz) Sei z ∈ G ein Element von maximaler Ordnung in G und m := o(z).
Dann gilt am = 1∀a ∈ G.
4.5.14 (Satz) Sei F Körper und G eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe F∗ . Dann ist F∗ eine zyklische Gruppe.
4.6 Das Rechnen im endlichen Körper
Sei q ∈ N Primzahl, F := Zq , N ∈ F [X] normiertes, irreduzibles Polynom und E := FN .
4.6.1
a + b = (a0 +q b0 , . . . , an−1 +q bn−1 )
(47)
4.6.2 (Satz) Die multiplikative Gruppe E∗ ist eine zyklische Gruppe der Ordnung m =
q n − 1.
4.6.3 Sei z primitives Element von E. Dann gilt:
1. E∗ = z i : i ∈ Zm
2. z i z j = z i+m j für j, i ∈ Zm
3. Ein Element a = z i von E ist genau dann primitiv, wenn die Zahlen i, m ∈ Z
zueinander teilerfremd sind.
16
Literatur
4. Ist m Primzahl, so ist jedes Element 6= 0, 6= 1 von E primitiv.
Sei a = z i . Man nennt i = ldz (a) den diskreten Logarithmus von a zur Basis z. Es gilt
per Definition ldz (0) = −∞.
4.6.4 ldz (ab) = ldz (a) +m ldz (b)
∀a, b ∈ E
Sei Lz (a) := ldz (1 + a) der Zechsche Logarithmus.
4.6.5
ldz (a + b) = ldz (a) +m Lz (ba−1 )
(48)
(a + b)q = aq + bq für a, b ∈ E
(49)
4.6.6 (Satz)
4.6.7
n
aq = a
∀a ∈ E ∧ aq = a
∀a ∈ F
(50)
Eine Basis v0 , . . . , vn heißt Normalbasis, wenn gilt
v0q = v1
(51)
v1q
(52)
q
vn−2
q
vn−1
= v2
..
.
(53)
= vn−1
(54)
= v0
(55)
4.6.8 Ist a = (a0 , . . . , an−1 ) bezüglich einer Normalbasis, so ist
aq = (an−1 , a0 , . . . , an−2 )
(56)
eine zyklische Vertauschung.
Sei Mk die Strukturmatrix (Multiplikationstabelle)
4.7 Erweiterungskörper
4.8 Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper
4.9 Irreduzible Polynome
Literatur
[1] Konstantin Adolfowitsch Semendjajew, Ilja Nikolajewitsch B.: Taschenbuch
der Mathematik. Thun und Frankfurt am Main : Verlag Harri Deutsch, 2001. – ISBN
3–8171–2005–2
[2] Kurzweil, Hans: Algebra. Erlangen : Vorlesungsskript zur gleichnamigen Veranstaltung, 2005
17
Index
A
Satz von, 3
Linearfaktoren, 11
Logarithmus
diskreter, 6
zechscher, 6
abelsche Gruppe, 8
E
Erzeuger, 5, 7
Exponent, siehe Gruppe
M
G
Min, 3
Minimalpolynom, 6
Minimum, 7
Morphismus
Homo-, 3
Iso-, 3
Galois-Feld, 5
ggT, 5, 8, 9
Gruppe, 3, 7
Exponent einer, 4
multiplikativ, 9
Ordnung einer, 4
symmetrische, 4
zyklisch, 9, 10
zyklische, 4
N
normiert, 9
Nullteiler, 5
P
H
Polynom, 8
Grad, 9
Grad eines, 6
Ideal, 9
irreduzibles, 6
irreduziebel, 10, 11
Minimal-, 6
Minimalpolynom, 10
normiert, 9, 10
Ring
Teilbarkeit, 9
primitives Element, 10
Primitives Element, 5
Primzahlpotenz, 11
Halbgruppe, 3
I
Ideal, 5, 9
irreduziebel, 9
K
Krper
endlich, 10
kgV, 9
Körper, 5, 9
endlich, 10, 11
Eindeutigkeit, 10
Existenz, 10
Erweiterung, 5
isomorph, 10, 11
Zerfällungskörper, 11
R
Ring, 4
Körper, 8, 10
kommutativ, 8
nullteilerfrei, 8, 10
L
Lagrange
18
Index
T
Teiler, 9
U
Untergruppe, 3, 7
Z
zyklisch, 7
zyklische Gruppe, 8
19