Mathematische Logik

Prädikatenlogiken
Mathematische Logik
Vorlesung 9
Alexander Bors
11. & 18. Mai 2017
1
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Überblick
1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe
(Un-)Entscheidbarkeitsresultate (Quellen heute:
http://homepages.abdn.ac.uk/k.vdeemter/pages/
teaching/CS3518/abdn.only/MonadicFOPL.pdf und
http:
//kilby.stanford.edu/~rvg/154/handouts/fol.html)
2
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Erinnerung
Wir haben, zu jeder Signatur σ, ein formales System zur
Formalisierung von Prädikatenlogik erster Stufe über σ, den
σ-Hilbertkalkül, definiert und untersucht.
Zunächst haben wir den Korrektheitssatz gezeigt, der besagt,
dass alle in diesem Kalkül ableitbaren Formeln so genannte
σ-Tautologien sind, d.h., in allen σ-Strukturen unter allen
Belegungen gelten.
Im letzten Abschnitt haben wir dann auch die Umkehrung
gezeigt und damit den Gödelschen Vollständigkeitssatz
bewiesen: Die im σ-Hilbertkalkül ableitbaren σ-Formeln sind
gerade die σ-Tautologien. Das gibt uns also eine semantische
Charakterisierung von Ableitbarkeit in solchen Kalkülen.
3
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Ausblick auf diesen Abschnitt
Wir verstehen nun also den Ableitbarkeitsbegriff in
σ-Hilbertkalkülen etwas besser. Für die Frage, ob eine
konkrete gegebene σ-Formel ϕ ableitbar ist, scheint uns dies
aber nicht viel zu nützen, denn die Frage, ob ϕ eine
Tautologie ist, ist ja nicht auf offensichtliche Weise einfacher
als die Frage, ob ϕ ableitbar ist.
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der
Entscheidbarkeit der σ-Hilbertkalküle und verwandter formaler
Systeme, d.h., mit der Frage, ob es einen (nur vom Kalkül
abhängigen) Algorithmus gibt, der zu einer gegebenen
σ-Formel ϕ stets nach endlicher Arbeitszeit entscheidet, ob ϕ
ableitbar ist oder nicht.
4
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Der (σ, T )-Hilbertkalkül
Zuerst führen wir noch ein paar neue formale Systeme ein.
Definition 2.6.1
Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie. Der (σ, T )-Hilbertkalkül
ist das formale System, dessen Axiome
alle Axiome des σ-Hilbertkalküls sowie
die σ-Sätze aus T
sind, und dessen Schlussregeln gerade die Schlussregeln des
σ-Hilbertkalküls sind.
Im letzten Abschnitt hatten wir den Ableitbarkeitsbegriff aus einer
Theorie definiert (T ` ϕ), und zwar über den Ableitbarkeitsbegriff
im entsprechenden σ-Hilbertkalkül. Man kann aber auch zeigen,
dass er mit dem Ableitbarkeitsbegriff im (σ, T )-Hilbertkalkül
zusammenfällt.
5
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Ableitbarkeit im (σ, T )-Hilbertkalkül
Satz 2.6.2
Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie, ϕ eine σ-Formel.
Folgende Aussagen sind äquivalent:
1
T ` ϕ.
2
ϕ ist im (σ, T )-Hilbertkalkül ableitbar.
Um Satz 2.6.2 zu beweisen, erinnern wir zuerst an die Notation
T |= ϕ aus Korollar 2.5.19, welche bedeutet, dass ϕ in allen
Modellen von T unter allen Belegungen gilt. Wir sagen dann “ϕ
folgt semantisch aus T ” oder “ϕ ist eine (σ, T )-Tautologie”.
Man kann leicht verifizieren (sh. die Übungen):
6
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Ableitbarkeit im (σ, T )-Hilbertkalkül
Satz 2.6.3 (Korrektheitssatz für den (σ, T )-Hilbertkalkül
Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie. Dann gilt: Alle im
(σ, T )-Hilbertkalkül ableitbaren σ-Formeln sind
(σ, T )-Tautologien.
Beweis von Satz 2.6.2
Zu “(1) ⇒ (2)”: Angenommen also, T ` ϕ. D.h., es gibt
ψ1 , . . . , ψn ∈ T mit ` ψ1 ∧ · · · ∧ ψn → ϕ.
Mit Aussagenlogik erhält man daraus auch
` ψ1 → (ψ2 → (· · · (ψn−1 → (ψn → ϕ)) · · · )).
Da alle Axiome resp. Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls auch
Axiome resp. Schlussregeln des (σ, T )-Hilbertkalküls sind, ist
diese letzte Formel auch im (σ, T )-Hilbertkalkül ableitbar.
7
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Ableitbarkeit im (σ, T )-Hilbertkalkül cont.
Beweis von Satz 2.6.2 cont.
Da aber im (σ, T )-Hilbertkalkül auch jedes ψi ein Axiom ist,
erhält man somit durch wiederholte Anwendung des Modus
Ponens, dass ϕ im (σ, T )-Hilbertkalkül ableitbar ist, wie
gewünscht.
Zu “(2) ⇒ (1)”: Indirekt. Angenommen, ϕ ist zwar im
(σ, T )-Hilbertkalkül ableitbar, aber T 6` ϕ.
Nach Satz 2.6.3 gilt dann T |= ϕ, aber zugleich folgt aus
T 6` ϕ mittels Korollar 2.5.19, dass T 6|= ϕ, ein
Widerspruch.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeitsresultate: Überblick
Grundsätzlich: Es gibt entscheidbare σ-Hilbertkalküle (für
geeignete Signaturen σ), ebenso wie es passieren kann, dass
für eine bestimmte Signatur σ zwar der σ-Hilbertkalkül
unentscheidbar ist, aber manche der (σ, T )-Hilbertkalküle
entscheidbar sind (man spricht auch von entscheidbaren
Theorien).
Beispiele für entscheidbare Kalküle und Theorien:
der Hilbertkalkül über der leeren Signatur (Löwenheim, 1915),
jeder σ-Hilbertkalkül, wenn σ nur aus genau einem einstelligen
Operationssymbol besteht (Ehrenfeucht, 1959),
jeder σ-Hilbertkalkül, wenn σ monadisch ist, d.h., nur aus
einstelligen Relationssymbolen besteht,
die Presburger-Arithmetik, welche aus PA durch Entfernen des
Operationssymbols · in der Signatur sowie aller Axiome, die ·
enthalten, entsteht.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeitsresultate: Überblick cont.
Beispiele für unentscheidbare Kalküle und Theorien:
jeder σ-Hilbertkalkül, wenn σ irgendein Symbol von Stelligkeit
größer als 1 enthält (egal, ob Operations- oder
Relationssymbol) oder wenn σ mindestens zwei einstellige
Operationssymbole enthält (Trakhtenbrot, 1953)
PA, bzw. allgemeiner jede widerspruchsfreie Erweiterung der so
genannten Robinson-Arithmetik (Robinson, 1950), womit auch
Hilberts Traum von einem widerspruchsfreien und
entscheidbaren Kalkül für die Mathematik platzt,
die σgroup -Theorie bestehend aus den drei formalisierten
Gruppenaxiomen (Tarski, 1953).
Wir werden in diesem Abschnitt exemplarisch Folgendes
zeigen:
σ-Hilbertkalküle für monadische σ sind entscheidbar.
Es gibt Signaturen σ, sodass der σ-Hilbertkalkül
unentscheidbar ist (angelehnt an Turings ursprünglichen
Beweis aus 1936).
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeit monadischer σ-Hilbertkalküle
Quelle: http://homepages.abdn.ac.uk/k.vdeemter/pages/
teaching/CS3518/abdn.only/MonadicFOPL.pdf (welche sich
wiederum auf das Buch Computability and Logic von Boolos et
al. bezieht).
Der wichtigste Schritt ist der Beweis folgenden Satzes (einer
Variante des Löwenheim-Skolem-Theorems speziell für monadische
Signaturen):
Satz 2.6.4
Es sei σ eine monadische Signatur, τ ein σ-Satz, der r
verschiedene Variablen und k verschiedene (einstellige)
Relationssymbole enthält. Dann gilt: Ist τ erfüllbar, d.h., gibt es
ein Modell von {τ }, so gibt es auch ein Modell von {τ }, dessen
Trägermenge höchstens r · 2k Elemente hat.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeit monadischer σ-Hilbertkalküle cont.
Bevor wir Satz 2.6.4 beweisen, zeigen wir, wie man aus ihm relativ
leicht folgern kann, dass monadische Hilbertkalküle entscheidbar
sind.
Definition 2.6.5
Es sei σ eine Signatur. Wir betrachten folgende algorithmische
Entscheidungsprobleme betreffend den σ-Hilbertkalkül:
1
Das Beweisbarkeitsproblem: Entscheide zu einer gegebenen
σ-Formel ϕ algorithmisch, ob `σ ϕ gilt.
2
Das Erfüllbarkeitsproblem: Entscheide zu einer gegebenen
σ-Formel ϕ algorithmisch, ob es eine σ-Struktur M sowie eine
Belegung β in M gibt mit M |= ϕ[β].
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A. Bors
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Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeit monadischer σ-Hilbertkalküle cont.
Nach Definition ist ein σ-Hilbertkalkül genau dann entscheidbar,
wenn sein Beweisbarkeitsproblem entscheidbar ist. Wir zeigen nun:
Lemma 2.6.6
Es sei σ eine Signatur. Dann gilt: Das Erfüllbarkeitsproblem zum
σ-Hilbertkalkül ist genau dann entscheidbar, wenn das
Beweisbarkeitsproblem zu diesem Kalkül entscheidbar ist.
Beweis
Das folgt sofort aus der Beobachtung (aus dem
Vollständigkeitssatz folgend), dass eine σ-Formel ϕ genau dann
erfüllbar (resp. beweisbar) ist, wenn ¬ϕ nicht beweisbar
(resp. nicht erfüllbar) ist.
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A. Bors
Logik
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Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeit monadischer σ-Hilbertkalküle cont.
Wir brauchen nun auch noch einige elementare Fakten zu
isomorphen Strukturen:
Lemma 2.6.7
Es sei σ eine Signatur, M1 und M2 seien σ-Strukturen,
F : M1 → M2 sei ein Isomorphismus zwischen M1 und M2 . Dann
gilt für alle σ-Formeln ϕ und alle Belegungen β1 in M1 :
M1 |= ϕ[β1 ] genau dann, wenn M2 |= ϕ[β1 ◦ F ]
Beweis
Einfache Induktion über den Aufbau von ϕ.
Das nächste Lemma kann man auch durch einfaches Nachrechnen
beweisen:
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeit monadischer σ-Hilbertkalküle cont.
Lemma 2.6.8 (induzierte σ-Struktur unter Bijektion)
Es sei σ eine Signatur, M eine σ-Struktur mit Trägermenge M.
Weiter sei N eine Menge und F : M → N eine Bijektion. Dann
kann man wie folgt auf N als Trägermenge Konstanten,
Operationen und Relationen definieren, sodass die entsprechende
σ-Struktur N zu M isomorph ist via dem Isomorphismus F :
1
Für c ∈ σconst definiere c N := F (c M ).
2
Für f ∈ σop , k-stellig, definiere
f N (b1 , . . . , bk ) := F (f M (F −1 (b1 ), . . . , F −1 (bk ))).
3
Für R ∈ σrel , k-stellig, definiere
(b1 , . . . , bk ) ∈ R N :⇔ (F −1 (b1 ), . . . , F −1 (bk )) ∈ R M .
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeit monadischer σ-Hilbertkalküle cont.
Korollar 2.6.9
Es sei σ eine monadische Signatur. Dann ist das
Erfüllbarkeitsproblem, und damit nach Lemma 2.6.6 auch das
Beweisbarkeitsproblem, zum σ-Hilbertkalkül entscheidbar.
Beweis
Wir beschreiben einen Algorithmus, um zu einer gegebenen
σ-Formel ϕ zu entscheiden, ob sie in einer geeigneten
σ-Struktur unter einer geeigneten Belegung gilt.
Beachte, dass dies genau dann der Fall ist, wenn der
existentielle Abschluss von ϕ (definiert wie der universelle
Abschluss, aber mit Bindung der freien Variablen durch
Existenzquantoren, nicht durch Allquantoren) in einer
geeigneten σ-Struktur wahr ist.
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A. Bors
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Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeit monadischer σ-Hilbertkalküle cont.
Beweis von Korollar 2.6.9 cont.
Es sei also τ der existentielle Abschluss von ϕ. τ enthalte
genau r verschiedene Variablen und k verschiedene
Relationssymbole. Dann ist τ nach Satz 2.6.4 genau dann
erfüllbar, wenn τ in einer σ-Struktur von Kardinalität
höchstens r · 2k gilt.
Beachte auch (ähnlich wie bei der Situation in Lemma 2.3.22
aus Vorlesung 6), dass die Symbole aus σ, welche in τ gar
nicht vorkommen, für die Erfüllbarkeit von τ irrelevant sind.
Genauer: Bezeichnet σ 0 jene Teilsignatur von σ, die nur aus
jenen k Relationssymbolen besteht, welche auch in τ
vorkommen, dann ist τ genau dann erfüllbar, wenn τ in einer
σ 0 -Struktur von Kardinalität höchstens r · 2k gilt.
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A. Bors
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Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Entscheidbarkeit monadischer σ-Hilbertkalküle cont.
Beweis von Korollar 2.6.9 cont.
Nach Lemma 2.6.8 ist das genau dann der Fall, wenn τ in
einer σ 0 -Struktur mit Trägermenge von der Form {1, . . . , N}
mit 1 ≤ N ≤ r · 2k gilt.
Von diesen σ 0 -Strukturen gibt es aber nur endlich viele,
welche ein Algorithmus systematisch durchgehen und in jedem
einzelnen Fall überprüfen kann, ob τ gilt oder nicht (beachte,
dass hierfür auch die Endlichkeit der Trägermenge in jedem
einzelnen Fall wichtig ist; selbst für eine konkrete gegebene
Struktur mit unendlicher Trägermenge ist es z.B. nichttrivial,
eine Allaussage algorithmisch zu überprüfen).
Es bleibt noch die Aufgabe, Satz 2.6.4 zu beweisen, welche wir nun
angehen wollen.
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A. Bors
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Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen
Wir führen dazu zuerst ein paar Konzepte ein und zeigen ein
Lemma.
Definition 2.6.10
Es sei σ 0 eine endliche monadische Signatur, bestehend aus k
verschiedenen Relationssymbolen R1 , . . . , Rk . Weiter sei M eine
σ 0 -Struktur und a ∈ M. Der Typ von a, notiert type(a), ist
definiert(als das k-Tupel (δi (a))ki=1 , wobei
1, wenn a ∈ RiM ,
. Elemente a1 , a2 ∈ M heißen
δi (a) =
0, wenn a ∈
/ RiM
ähnlich, notiert a1 ∼ a2 , falls type(a1 ) = type(a2 ).
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A. Bors
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Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Definition 2.6.11
Es sei σ 0 eine endliche monadische Signatur, bestehend aus k
verschiedenen Relationssymbolen R1 , . . . , Rk . Weiter sei M eine
σ 0 -Struktur. Zwei endliche Folgen (a1 , . . . , an ) und (b1 , . . . , bn ) in
M, beide von der gleichen Länge n, heißen kompatibel, falls gilt:
1
ai ∼ bi für i = 1, . . . , n und
2
ai 6= aj ⇔ bi 6= bj für 1 ≤ i, j ≤ n.
Definition 2.6.12
Es sei σ 0 eine endliche monadische Signatur, M eine σ 0 -Struktur,
r ∈ N+ . Eine r -Teilstruktur von M ist eine σ 0 -Struktur
S N , deren
Trägermenge N eine disjunkte Vereinigung der Form C ∈M/∼ XC
mit XC ⊆ C von Kardinalität min{r , |C |} für C ∈ M/ ∼ ist und
0 gilt: R N = R M ∩ N.
sodass für R ∈ σrel
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A. Bors
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Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Lemma 2.6.13 (Hauptlemma zu r -Teilstrukturen)
Es sei σ 0 eine endliche monadische Signatur, bestehend aus k
verschiedenen Relationssymbolen R1 , . . . , Rk . Weiter sei M eine
σ 0 -Struktur und r ∈ N+ . Dann gilt:
1
M besitzt mindestens eine r -Teilstruktur.
2
Die Trägermenge jeder r -Teilstruktur von M hat Kardinalität
höchstens r · 2k .
3
Ist n ≤ r , (a1 , . . . , an ) eine Folge in M und (b1 , . . . , bk ) mit
k ≤ n eine zu (a1 , . . . , ak ) kompatible Folge in der
Trägermenge N einer r -Teilstruktur N von M, so gibt es
bk+1 , . . . , bn ∈ N, sodass (a1 , . . . , an ) und (b1 , . . . , bn )
kompatibel sind.
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Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Lemma 2.6.13 cont.
4
Ist n ≤ r , (b1 , . . . , bn ) eine Folge in der Trägermenge N einer
r -Teilstruktur N von M, und (a1 , . . . , ak ) mit k ≤ n eine zu
(b1 , . . . , bk ) kompatible Folge in M, so gibt es
ak+1 , . . . , an ∈ M, sodass (a1 , . . . , an ) und (b1 , . . . , bn )
kompatibel sind.
5
Ist N eine r -Teilstruktur von M mit Trägermenge N,
ϕ = ϕ(y1 , . . . , yn ) eine σ 0 -Formel mit Free(ϕ) = {y1 , . . . , yn },
welche höchstens r verschiedene Variablen (egal, ob frei oder
nicht) enthält, und ist (a1 , . . . , an ) eine Folge der Länge n in
M sowie (b1 , . . . , bn ) eine mit (a1 , . . . , an ) kompatible Folge
der Länge n in N, so gilt
M |= ϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ N |= ϕ[b1 , . . . , bn ].
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A. Bors
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Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Beweis von Lemma 2.6.13
Zu Punkt (1): trivial (wähle einfach irgendwelche Teilmengen
XC ⊆ C von passender Kardinalität).
Zu Punkt (2): klar nach der Forderung bezüglich der
Kardinalität von XC und der Tatsache, dass ∼ höchstens 2k
(nichtleere) Äquivalenzklassen auf M hat.
Zu Punkt (3): Es genügt natürlich, den Fall k = n − 1 zu
behandeln. Wie in Definition 2.6.12 sei für C ∈ M/ ∼ mit XC
der Durchschnitt N ∩ C bezeichnet. Wir unterscheiden zwei
Fälle:
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A. Bors
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Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Beweis von Lemma 2.6.13 cont.
Zu Punkt (3), Fallunterscheidung:
Wenn ak+1 = ai für ein i ∈ {1, . . . , k}, setze einfach
bk+1 := bi ; dann sind auch (a1 , . . . , ak+1 ) und (b1 , . . . , bk+1 )
kompatibel.
Wenn ak+1 ∈
/ {a1 , . . . , ak }, dann hat [ak+1 ] mindestens
|[ak+1 ] ∩ {b1 , . . . , bk }| + 1 = |[ak+1 ] ∩ {a1 , . . . , ak }| + 1 ≤ n ≤ r
viele Elemente, also hat auch X[ak+1 ] mindestens so viele
Elemente, sodass wir bk+1 ∈ X[ak+1 ] \ {b1 , . . . , bk } wählen
können und wiederum (a1 , . . . , ak+1 ) und (b1 , . . . , bk+1 )
kompatibel sind.
Zu Punkt (4): Ähnlich wie Punkt (3).
Zu Punkt (5): Wir zeigen die Behauptung mit Induktion über
den Aufbau von ϕ.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Beweis von Lemma 2.6.13 cont.
Wenn ϕ atomar ist:
Wenn ϕ von der Gestalt t1 = t2 ist: Beachte: Da σ 0 weder
Konstanten- noch Operationssymbole enthält, sind die
σ 0 -Terme gerade die Variablen. ϕ ist dann also von der Gestalt
yi = yj , i, j ∈ {1, . . . , n}, und die zu zeigende Äquivalenz gilt
genau dann, wenn ai = aj stets (material) äquivalent ist zu
bi = bj . Das gilt aber nach Annahme, da die beiden Folgen
kompatibel sind.
Wenn ϕ von der Gestalt Ri t ist: Wiederum ist t ≡ yj für ein
j ∈ {1, . . . , n}, und die Äquivalenz gilt genau dann, wenn
ai ∈ Rj material äquivalent ist zu bi ∈ Rj , was wiederum nach
der Kompatibilitätsannahme der Fall ist.
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A. Bors
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Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Beweis von Lemma 2.6.13 cont.
Wenn ϕ zusammengesetzt ist:
Wenn ϕ von einer der Gestalten ¬ψ oder ψ1 ∧ ψ2 ist: trivial
nach Induktionsvoraussetzung.
Wenn ϕ von der Gestalt ∃xψ ist: Wir dürfen
o.B.d.A. annehmen, dass x in ψ frei vorkommt (sonst ist die
Aussage trivial nach Induktionsvoraussetzung). Dann ist
ψ = ψ(y1 , . . . , yn , x), und ψ enthält ebenfalls höchstens r
verschiedene Variable. Nach den Punkten (3) und (4) des
Lemmas gibt es zu jedem a ∈ M ein b(a) ∈ N, sodass
(a1 , . . . , an , a) und (b1 , . . . , bn , b(a)) kompatibel sind, und es
gibt zu jedem b ∈ N ein a(b) ∈ M, sodass (a1 , . . . , an , a(b))
und (b1 , . . . , bn , b) kompatibel sind. Es folgt nach
Induktionsvoraussetzung: M |= ϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ Es gibt a ∈
M mit M |= ψ[a1 , . . . , an , a] ⇔ Es gibt b ∈ N mit N |=
ψ[b1 , . . . , bn , b] ⇔ N |= ϕ[b1 , . . . , bn ].
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Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Wir sind nun endlich fertig für den
Beweis von Satz 2.6.4
Es sei σ 0 die Teilsignatur von σ, welche nur die
Relationssymbole enthält, die auch in τ vorkommen.
Weiter sei M ein σ-Modell von {τ }, und M0 sein Redukt auf
σ 0 . Dann ist M0 noch immer ein Modell von {τ }, mit einer
Argumentation wie im Beweis von Lemma 2.3.22.
Es sei N 0 eine r -Teilstruktur von M0 , wobei r die Zahl der
verschiedenen, in τ vorkommenden Variablen bezeichnet.
Nach Lemma 2.6.13(2) hat die Trägermenge von N 0
Kardinalität höchstens r · 2k .
27
A. Bors
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Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont.
Beweis von Satz 2.6.4 cont.
Zudem gilt nach Lemma 2.6.13(5), angewendet auf die
σ 0 -Formel τ (mit n := 0): Da M0 ein σ 0 -Modell von {τ } ist,
ist auch N 0 ein σ 0 -Modell von {τ }.
Nun expandiere noch N 0 auf σ, um ein σ-Modell N von {τ }
zu erhalten.
28
A. Bors
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Entscheidbarkeit
Das Halteproblem zu einer Turing-Maschine
Erinnerung: Noch in Kapitel 1 hatten wir gezeigt:
Satz 1.7.9
Das Halteproblem ist (Turing-)unentscheidbar.
D.h., es gibt keine Turing-Maschine, welche eine
Entscheidungsmaschine ist (d.h., auf jedem Input, d.h., Wort über
dem fixierten Alphabet A ⊇ {0, 1}, mit Output 0 oder 1 hält, 0
heißt “ablehnen”, 1 heißt “akzeptieren”) und gerade jene Inputs
akzeptiert, welche von der Form hpMq, w i sind, M eine
Turing-Maschine, w ein Input für M, auf dem M hält.
29
A. Bors
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Entscheidbarkeit
Das Halteproblem zu einer Turing-Maschine cont.
Betrachte nun folgende Variante davon:
Definition 2.6.14
Es sei M eine Turing-Maschine über dem Alphabet A. Das
Halteproblem zu M besteht gerade aus jenen Wörtern über A, auf
denen M hält.
Das ist eine eingeschränktere Situation als beim ursprünglich
beschriebenen Halteproblem, und es ist a priori denkbar, dass trotz
Satz 1.7.9 jedes einzelne Halteproblem zu einer festen
Turing-Maschine M entscheidbar ist. Tatsächlich ist dies aber
nicht der Fall, wie wir gleich sehen werden.
30
A. Bors
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Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Universelle Turing-Maschinen
Erinnerung: Eine universelle Turing-Maschine ist eine
Turing-Maschine, welche in der Lage ist, beliebige
Turing-Maschinen auf beliebigen Inputs zu emulieren. Wir halten
folgendes Lemma (ohne Beweis) fest:
Lemma 2.6.15 (Existenz universeller Turing-Maschinen)
Es gibt eine Turing-Maschine U, sodass Folgendes für jeden Input
w für U gilt:
Ist w nicht von der Form hpMq, v i, wobei M eine
Turing-Maschine und v ein Wort über A ist, so hält U mit
Output 0.
Wenn aber w von dieser Form ist, dann gilt:
Wenn M auf v nicht hält, dann hält auch U auf w nicht.
Wenn M auf v mit Output o hält, dann hält U auf w mit
Output 1o.
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A. Bors
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Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Das Halteproblem zu einer universellen Turing-Maschine
Lemma 2.6.16
Es sei U eine Turing-Maschine wie in Lemma 2.6.15. Dann ist das
Halteproblem zu U unentscheidbar.
Beweis
Indirekt. Angenommen, das Halteproblem zu U wäre
entscheidbar.
Dann könnte man auch einen Entscheidungsalgorithmus für
das allgemeine Halteproblem konstruieren (im Widerspruch zu
Satz 1.7.9), und zwar wie folgt:
Gegeben ein Input w , entscheide zuerst, ob w überhaupt von
der Form hpMq, w i ist für eine Turing-Maschine M und ein
Wort w über A. Wenn nicht, ist w auch kein Element des
Halteproblems, wir können 0 ausgeben und halten.
32
A. Bors
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Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Das Halteproblem zu einer universellen Turing-Maschine
cont.
Beweis von Lemma 2.6.16 cont.
Ansonsten entscheide, ob U auf dem Input w hält. Das ist
genau dann der Fall, wenn M auf w hält, und wir können
auch entsprechend antworten und halten.
Damit wissen wir, dass es Turing-Maschinen gibt, deren
individuelles Halteproblem unentscheidbar ist. Wir können dies nun
verwenden, um auch endliche Signaturen zu konstruieren, deren
Hilbertkalküle unentscheidbar sind. Der Rest dieses Abschnittes ist
inspiriert durch
http://kilby.stanford.edu/~rvg/154/handouts/fol.html.
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A. Bors
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Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Signaturen und Sätze zu Turing-Maschinen
Definition 2.6.17
Es sei M eine Turing-Maschine über dem Alphabet A, w ∈ A∗ ,
A+ := A ∪ {∅} (wir nehmen o.B.d.A. an, dass ∅ ∈
/ A gilt).
1
Wir definieren eine endliche Signatur σM , nur von M
abhängig, wie folgt: σM besteht gerade aus
einem Konstantensymbol λ,
einem einstelligen Operationssymbol a für jedes Zeichen
a ∈ A+ sowie
einem binären Relationssymbol Rs für jeden Zustand s von M.
2
Wir definieren einen σM -Satz τM,w , von M und w abhängig,
wie folgt: Es bezeichne s0 den Anfangs- und s1 den
Haltezustand von M. Betrachte folgende endliche Kollektion
von σM -Sätzen:
1
den einzelnen Satz Rs0 (λ, pw q), wobei für w = a1 · · · al die
Notation pw q := a1 (a2 (· · · (al (λ)) · · · )) definiert ist,
34
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Signaturen und Sätze zu Turing-Maschinen cont.
Definition 2.6.17 cont.
2
Satz-Liste von Punkt (2) cont.:
den einzelnen Satz λ = ∅(λ),
für jede Quellcode-Zeile von M der Gestalt (q, a, b, →, r ) (mit
a, b ∈ A+ ): ∀x0 ∀x1 : (Rq (x0 , a(x1 )) → Rr (b(x0 ), x1 ),
4 für jede Quellcode-Zeile von M der Gestalt (q, a, b, ←, r ) (mit
a, b ∈ A+ ) und alle c ∈ A+ :
∀x0 ∀x1 : (Rq (c(x0 ), a(x1 )) → Rr (x0 , c(b(x1 )))),
5 für jede Quellcode-Zeile von M der Gestalt (q, a, b, |, r ) (mit
a, b ∈ A+ ): ∀x0 ∀x1 : ((Rq (x0 , a(x1 )) → Rr (x0 , b(x1 ))).
2
3
Es bezeichne χM,w die Konjunktion all dieser endlich vielen
Sätze. Der Satz τM,w ist dann definiert als
χM,w → ∃x0 ∃x1 : Rs1 (x0 , x1 ).
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Existenz unentscheidbarer Hilbertkalküle
Der in Definition 2.6.17(2) definierte σM -Satz τM,w hat folgende
bemerkenswerte Eigenschaft:
Lemma 2.6.18
Es sei M eine Turing-Maschine über dem Alphabet A, w ∈ A∗ .
Dann gilt: `σM τM,w ⇔ M hält auf dem Input w .
Bevor wir den Beweis von Lemma 2.6.18 skizzieren, beweisen wir
damit:
Satz 2.6.19
Es gibt eine endliche Signatur σ, sodass der σ-Hilbertkalkül
unentscheidbar ist.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Existenz unentscheidbarer Hilbertkalküle cont.
Beweis von Satz 2.6.19
Es sei U eine “universelle Turing-Maschine”, wie in Lemma
2.6.15.
Nach Lemma 2.6.16 ist das individuelle Halteproblem zu U
unentscheidbar.
Damit kann der σU -Hilbertkalkül nicht entscheidbar sein, denn
könnte man für jede σU -Formel ϕ entscheiden, ob ` ϕ gilt
oder nicht, so könnte man nach Lemma 2.6.18 insbesondere
das individuelle Halteproblem zu U entscheiden.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Nochmals Signaturen und Sätze zu Maschinen
Beweisskizze zu Lemma 2.6.18
Zu “⇒”: Betrachte folgende σM -Struktur XM,w :
Die Trägermenge von XM,w ist X := (A+ )∗ / ∼, wobei
w1 , w2 ∈ (A+ )∗ genau dann als äquivalent gelten, wenn w2 aus
w1 durch eine Folge von Einfügungen und Streichungen des
uneigentlichen Symbols ∅ am (rechten) Ende von w1 entsteht.
λXM,w ist als die Äquivalenzklasse des leeren Wortes definiert.
Für a ∈ A+ ist aXM,w die Funktion X → X , [w ]∼ 7→ [aw ]∼ .
X
Für einen Zustand q von M ist Rq M,w (wohl)definiert als jene
Teilmenge von X 2 , deren Elemente gerade die Paare
([x]∼ , [y ]∼ ) sind, sodass bei der Operation von M auf dem
Input w mindestens einmal die Situation eintritt, dass sich die
Maschine im Zustand q befindet, dabei das Arbeitsband
bedruckt ist mit x −1 y (x −1 bedeutet hier “x, von hinten
gelesen”) und der Kopf der Maschine über dem Feld mit dem
ersten Symbol von y ruht.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Nochmals Signaturen und Sätze zu Maschinen cont.
Beweisskizze zu Lemma 2.6.18 cont.
Man verifiziert leicht, dass XM,w ein Modell des in Definition
2.6.17 eingeführten Satzes χM,w ist, und dass
XM,w |= ∃x0 ∃x1 : Rs1 (x0 , x1 ) gerade bedeutet, dass M auf
dem Input w hält.
Daraus folgt: XM,w |= τM,w genau dann, wenn M auf dem
Input w hält. Da wir aber für diese Implikationsrichtung
annehmen, dass ` τM,w gilt, folgt nach dem Korrektheitssatz,
dass τM,w tatsächlich in XM,w (sogar in jeder σM -Struktur)
gilt. Damit sind wir mit dieser Richtung fertig.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Nochmals Signaturen und Sätze zu Maschinen cont.
Beweisskizze zu Lemma 2.6.18 cont.
Zu “⇐”: Wir nehmen nun also an, dass M auf dem Input w
hält (d.h., nach endlich vielen Arbeitsschritten den
Haltezustand s1 erreicht) und müssen daraus folgern, dass
τM,w im σM -Hilbertkalkül ableitbar ist.
Das ist an sich nicht schwer (in dem Sinne, dass man dafür
keine genialen neuen Einfälle benötigt), erfordert aber einigen
technischen Aufwand.
Man müsste zuerst Notation entwickeln, um über die
verschiedenen Arbeitsschritte von M auf w Buch führen zu
können. Ein geeignetes Konzept ist das einer Konfiguration
von M, welche aus der gesamten relevanten Information zu
Beginn eines Arbeitsschrittes besteht (Zustand von M, was
auf dem Band steht, Position des Kopfes von M).
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Nochmals Signaturen und Sätze zu Maschinen cont.
Beweisskizze zu Lemma 2.6.18 cont.
Die gesamte Operation von M auf w kann dann als eine
endliche Folge von Konfigurationen aufgefasst werden, mit
gewissen Regeln (durch den Quellcode von M vorgegeben),
wie man von einer Konfiguration zur nächsten kommt.
Der σM -Satz χM,w → Rs0 (λ, pw q) (welcher eine
aussagenlogische σM -Tautologie ist) entspricht dabei offenbar
der Anfangskonfiguration, und man muss sich überlegen, dass
es einem die Axiome und Schlussregeln des Kalküls erlauben,
sukzessive entsprechende Sätze auch für die anderen
Konfigurationen abzuleiten, bis man schließlich zu einem Satz
der Form χM,w → Rs1 (t1 , t2 ) für geeignete σM -Terme t1 und
t2 gelangt, welcher der Endkonfiguration entspricht, und aus
dessen Ableitbarkeit auch die Ableitbarkeit von τM,w folgt.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Entscheidbarkeit
Ausblick auf nächstes Mal
In der nächsten Vorlesungseinheit werden wir uns mit den
Gödelschen Unvollständigkeitssätzen beschäftigen.
Wir werden die exakten Formulierungen der Sätze besprechen
und die Beweise in den nächsten beiden Einheiten skizzieren.
Damit werden wir dann auch das Kapitel 2,
“Prädikatenlogiken erster Stufe”, beim übernächsten Mal
abschließen.
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A. Bors
Logik