Einführung in die Mathematische Statistik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
T. Harth, A. Rößler, B. Walther
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester
18.06.2003
2003
Einführung in die Mathematische Statistik
8. Tutorium (1. Semester)
Aufgabe 1 Starkes Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz
Gegeben sei eine Folge X1 , X2 , . . . von Zufallsvariablen mit:
X1 sei N (0, 1)-verteilt und Xk = −Xk−1 für k ≥ 2. Wir wollen folgende Aussagen zeigen:
(A1) P ( lim X (n) = 0) = 1
n→∞
(A2)
lim P
n→∞
X + . . . + X
1
n
√
≤ x 6= Φ(x) für x 6= 0
n
1. Sei
Pn ω ∈ Ω beliebig und x1 1= X1 (ω). Geben Sie in Abhängigkeit von x1 an: Xn (ω),
√ (X1 + . . . + Xn )(ω). Berechnen Sie lim X (n) (ω).
k=1 Xk (ω), X (n) (ω) und
n
n→∞
2. Geben Sie {ω ∈ Ω : lim X (n) (ω) = 0} an und folgern Sie hieraus (A1). Vergleichen
n→∞
Sie das Ergebnis mit dem starken Gesetz der großen Zahlen.
3. Wie ist Xk verteilt? Für welche k ∈ N gilt X1 = Xk ? Für welche k ∈ N sind X1 und
Xk identisch verteilt? Berechnen Sie ρ(X1 , Xk ) für k ≥ 2.
n
√
4. Zeigen Sie (A2), indem Sie lim P X1 +...+X
≤
x
berechnen. Unterscheiden Sie die
n
n→∞
Fälle x < 0 und x > 0. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Zentralen Grenzwertsatz.
5. Drei Fragen, eine Antwort:
Was schließen Sie aus der Tatsache, daß man aus der Kenntnis von X1 (ω) den Wert
Xk (ω) errechnen kann? Warum dürfen Sie nicht Satz 2.79 verwenden? Welche Voraussetzung aus Satz 2.80 wird von der Folge (X1 , X2 , . . . ) nicht erfüllt?
Aufgabe 2 Gesetze der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz
Gegeben sei eine Folge Y1 , Y2 , . . . von unabhängigen Zufallsvariablen, wobei Yk normalverteilt sei mit Erwartungswert 0 und Varianz σk2 = 2k − 1 für alle k ∈ N. Wir wollen folgende
Aussagen zeigen:
(B1)
(B2)
Pn
lim P (|Y (n) | ≤ ε) 6= 1 für mindestens ein ε > 0
n→∞
lim P
n→∞
Y + . . . + Yn
p1
≤x
σ12 + . . . + σn2
!
= Φ(x) für alle x ∈ R
n
Yk verteilt? Wie ist Y (n) verteilt? Wie ist √Y1 +...+Y
verteilt?
2
σ12 +...+σn
Pn
HINWEIS: k=1 (2k − 1) = n2
1. Wie ist
k=1
2. Zeigen Sie (B2).
Es ist schwierig, für die Folge Y1 , Y2 , . . . die Gültigkeit des starken Gesetzes der großen
Zahlen durch Betrachtung von Realisierungen zu überprüfen, wie wir dies in Aufgabe 2
1.) und 2.) für die Folge (X1 , X2 , . . . ) getan hatten. Wir begnügen uns daher damit, zu
beweisen, daß für die Folge (Y1 , Y2 , . . . ) nicht das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt.
Man kann zeigen, daß hieraus folgt, daß für diese Folge auch nicht das starke Gesetz der
großen Zahlen gilt (vgl. Übungen, Aufgabe H18).
3. Zeigen Sie (B1), indem Sie ε > 0 beliebig wählen und hierfür P (|Y (n) | ≤ ε) und
lim P (|Y (n) | ≤ ε) berechnen.
n→∞
4. Welche der in Satz 2.78 angegebenen Voraussetzungen erfüllt die Folge (Y1 , Y2 , . . . )
nicht?
Aufgabe 3 Schätzer und Schätzvariable
Richtig oder falsch? Nehmen Sie Stellung zu den folgenden Aussagen:
1. Ein Schätzer ordnet einer Meßreihe x1 , . . . , xn einen Näherungswert für τ (θ) zu.
2. Ein Schätzer ist eine Abbildung Tn : Rn → R.
3. τ ist eine Abbildung τ : Rn → R.
4. Für einen erwartungstreuen Schätzer für τ (θ) gilt Eθ (Tn (X1 , . . . , Xn )) = θ für alle
θ ∈ Θ.
5. Es sei x1 , . . . , xn eine Meßreihe, die als Realisierung der Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn
angesehen werden kann. Tn : Rn → R sei ein Schätzer. Dann gilt:
(i) Tn (x1 , . . . , xn ) ist eine reelle Zahl.
(ii) Tn (x1 , . . . , xn ) ist eine Zufallsvariable.
(iii) Tn (X1 , . . . , Xn ) ist eine reelle Zahl.
(iv) Tn (X1 , . . . , Xn ) ist eine Zufallsvariable.