Aufgabensammlung

Aufgaben- und Formelsammlung
zur Lehrveranstaltung
NICHTLINEARE DYNAMISCHE
SYSTEME
Technischen Universität Ilmenau
Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut für Informationstechnik
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
3. Auflage (29.03.2012)
M EINEM L EHRER
H ERRN P ROFESSOR D R . SC . TECHN . D R . MULT. E UGEN S. P HILIPPOW
IN D ANKBARKEIT GEWIDMET
N ICHTLINEARE DYN . S YSTEME
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E INFÜHRUNG
1 Einführung
Aufgabe 1.1 – Begriffe, Zusammenhänge
Erläutern Sie die folgenden Begriffe und Zusammenhänge:
(a) Auf der Grundlage welcher Gesetze können die Differntialgleichungen zur Beschreibung
eines Netzwerkes mit nichtlinearen Elementen aufgestellt werden? Gehen Sie auf die verschiedenen Grundformen der Beschreibungsgleichungen ein! Welche Variablen eines Netzwerkes werden als Zustandsgrößen bezeichnet? Welche Vorteile bringt die Normierung der
Differentialgleichungen ?
(b) Wie können die entstehenden Differentialgleichungen klassifiziert werden?
Aufgabe 1.2 – Van der Pol DGL, Isoklinenmethode
Leiten Sie für die Van der Polsche Differentialgleichung die Isoklinengleichung ab und erläutern
Sie die Konstruktion das Isoklinenfeldes prinzipiell
ẍ − ε(1 − x2 ) ẋ + x = 0
.
Integrieren Sie mit Hilfe eines geeigneten Programms die Differentialgleichung für ε = 1 und
ε = −1 in den Intervallen −3 ≤ x ≤ 3 und −3 ≤ ẋ ≤ 3. Drucken Sie die Lösungen für die
Anfangsbedingungen x = −1 und ẋ = 0 aus und deuten Sie die Konstruktion mit Isoklinen an!
Diskutieren Sie den Vorteil der Methode! Bestimmen Sie den Gleichgewichtszustand und dessen
Stabilitätseigenschaft !
Aufgabe 1.3 – Rayleighsche DGL, Methode von Liénard
Lösen Sie die Rayleighsche Differentialgleichung :
3
d2 x
dx
ε dx
−
ε
+
+x =0
dτ
3 dτ
dτ 2
mit der Methode von Liénard für ε = 0, 5 bei den Anfangsbedingungen x (τ = 0) = 0 und
dx = 4.
dτ τ =0
Aufgabe 1.4 – Delta-Methode
Erläutern Sie das Prinzip der Delta-Methode und leiten Sie daraus einen geeigneten Algorithmus für die numerische Bearbeitung einer Differentialgleichung ab. Modifizieren Sie diesen Algorithmus entsprechend der angegebenen Fragestellungen und führen Sie Testrechnungen mit
der einfachen Delta-Methode, der verbesserten Methode und der Methode mit automatischer
Zeitschrittweitensteuerung für eine Differentialgleichung Duffingschen Typs
d2 x
dx
+ 0, 5 + 0, 65x + 0, 75x9 = 0, 1 cos τ
dτ
dτ 2
dx für x (τ = 0) = 0 und
= 0 aus.
dτ τ =0
• Wie kann man die Winkelabhängigkeit in eine Zeitabhängigkeit umformen?
• Wie ist Verbesserung der Rechengenauigkeit möglich?
• Erläutern Sie den Grundgedanken der automatischen Zeitschrittweitensteuerung!
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D IFFERENTIALGLEICHUNGEN
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2 Nichtlineare Differentialgleichungen
Aufgabe 2.1 – Differentialgleichungen I
Gegeben ist die folgende Wechselstromersatzschaltung eines Oszillators. Die Übertragungskennlinie des aktiven Elementes ist durch i2 = a1 u1 − a3 u31 approximierbar. Die Strom-Spannungskennlinie
des nichtlinearen Widerstandes wird durch die Gleichung u = bi3 beschrieben.
a) Stellen Sie die normierte Differentialgleichung für die Spannung uc am Kondensator auf !
(Hinweis : die Dgl. läßt sich in die Form ẍ − ε(1 − x2 ) ẋ + β ẋ3 + x = 0 bringen, wobei x = Uuc0
und ẋ =
dx
dτ
gilt)
b) Welche Bedingungen müssen die Bauelemente- und Netzwerkparameter erfüllen, damit die
modifizierte oder erweiterte van der Polsche Differentialgleichung ẍ − ε(1 − x2 − ẋ2 ) ẋ + x =
0 entsteht?
c) Mit welchen realen aktiven Bauelementen ist die angegebene Schaltung in erster Näherung
realisierbar?
M
i 2 (u 1)
u1
111
000
000 u
111
000
111
00
11
00
11
2
L1
i
111
000
L
u(i)
C
uc
Schaltbild zu Aufgabe 1
Aufgabe 2.2 – Differentialgleichungen II
Leiten Sie aus der normierten Oszillatorgleichung
b C3 U02 dx 3
d2 x
T2
MT 2 2 dx
+
a
−
3
a
U
x
+
x = 0
−
3 0
1
2
LC
dτ
LCT
dτ
LC
dτ
auf der Basis des Grundwellenansatzes x (τ ) = X̂ sin(ντ ) ab, wie Amplitude und Frequenz der
Schwingung unabhängig voneiander verändert werden können.
Aufgabe 2.3 – Differentialgleichungen III
Durch welche Koeffizienten muß die erweiterte Van der Polsche Differentialgleichung
ẍ − ε (1 − x2 − ẋ2 ) ẋ + x = 0
ergänzt werden, um eine Amplituden und Frequenzabhängigkeit der allgemeinen Lösungen analysieren zu können.
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N ÄHERUNGSLÖSUNG
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3 Näherungslösung nichtlinearer Differentialgleichungen
Aufgabe 3.1 – Näherungslösungen, Verfahren der Variation der Parameter
Lösen Sie die van der Polsche Differentialgleichung ẍ − ε(1 − x2 ) ẋ + x = 0
mit ε > 0, ε 1 mit dem Verfahren der Variation der Parameter von van der Pol. Verwenden Sie
den Lösungsansatz x (τ ) = b(τ ) cos τ.
a) Weshalb reicht dieser Lösungsansatz aus?
b) Bestimmen Sie die stationäre Lösung!
Aufgabe 3.2 – Näherungslösungen, van der Polsche Methode
Die Differentialgleichung ẍ + ε ẋ3 + x = 0 mit ε > 0 ist mit der Methode von van der Pol zu lösen!
Verwenden Sie den Ansatz x (τ ) = a(τ ) sin τ!
Welche Bedingung ist zur Anwendung dieser Methode an den Parameter ε zu stellen?
Hinweis : cos3 α = 34 cos α + 41 cos 3α
Aufgabe 3.3 – Näherungslösungen, Perturbationsmethode
Für die homogene
Duffingsche Differentialgleichung ẍ + 2δ ẋ + x + εx3 = 0
√
mit δ = 2, x (0) = X0 , ẋ (0) = Y0 ist mit der Perturbationsmethode das zugehörige lineare Differentialgleichungssystem aufzustellen. Lösen Sie die lineare Differentialgleichung für das Glied
nullten Grades der Potenzreihe des kleinen Parameters für den Lösungsansatz x (t). Erläutern Sie
den Lösungsalgorithmus bei Berücksichtigung von Gliedern höheren Grades. Zeigen Sie, daá die
Lösung für das Glied nullten Grades unabhängig von ε ist und exakt der Lösung der linearen Differentialgleichung (ε = 0) ẍ + 2δ ẋ + x = 0 mit den angegebenen Anfangsbedingungen entspricht!
Aufgabe 3.4 – Näherungslösungen, Prinzip der harmonischen Balance
a) Beschreiben Sie das Prinzip der harmonischen Balance !
b) Untersuchen Sie die Lösung der Duffingschen Gleichung
d2 x
dx
+ δ + αx + βx3 = Γ̂ cos τ
2
dτ
dτ
mit der 1. Approximation x (τ ) = A10 cos τ + B10 sin τ
und der 2. Approximation
x (τ ) = ( A10 + εA11 ) cos τ + ( B10 + εB11 ) sin τ + εA31 cos 3τ + εB31 sin 3τ
Bestimmen Sie die Koeffizienten A10 und B10 der ersten Approximation und stellen Sie ein
Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten εA11 , εB11 , εA31 und εB31 auf.
c) Überlegen Sie, wie die numerische Ausführung der in b) durchgeführten analytischen Berechnung prinzipiell erfolgen könnte !
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N ÄHERUNGSLÖSUNG
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Aufgabe 3.5 – Näherungslösungen, Ritzschen Verfahren
Eine Differentialgleichung Duffingschen Typs
ẍ + x + λx3 = Γ̂ cos ατ ,
die einen verlustfreien nichtlinearen Schwingkreis beschreibt, ist mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens zu lösen. Als Lösungsansatz soll
x (τ ) = a1 cos ατ
verwendet werden. Die Lösung ist in allgemeiner Form durchzuführen. Erst bei der Lösung der
algebraischen Gleichung sind die Werte α = 1/3, λ = 1 und Γ̂ = 1 einzusetzen.
Zeigen Sie mit Hilfe der Legendreschen Bedingung, daß die von Ihnen bestimmte Funktion f ( x, ẋ, τ )
des Variationsproblems ein relatives Minimum des Funktionals
Zτ1
f ( x, ẋ, τ )dτ
I=
τ0
liefern kann.
Hinweis: Lösen Sie die auftretende kubische Gleichung g( a1 ) = 0 grafisch. Zeigen Sie, daß die
Gleichung nur eine Nullstelle besitzt, indem Sie nachweisen, daß keine lokalen Extremwerte existieren.
Aufgabe 3.6 – Näherungslösungen, Methode von Galerkin
Lösen Sie das gleiche Problem wie in Aufgabe 3.5 mit der Methode von Galerkin. Verwenden Sie
als Lösungsansatz den oben angegebenen und außerdem den Ansatz
x (τ ) = a1 cos ατ + a3 cos 3ατ
Vergleichen Sie die hier auftretenden algebraischen Gleichungen mit denen, die beim Verfahren
von Ritz auftreten. Schätzen Sie den Lösungsaufwand im Vergleich zum Verfahren von Ritz ein!
Aufgabe 3.7 – Näherungslösungen,Kollokationsmethode
a) Beschreiben Sie das Grundprinzip der Kollokationsmethode!
b) Die Differentialgleichung ẍ + x + λx2 = Γ̂sinατ mit x (0) = 0 ist für λ = 1 und α = 1 mit
der Kollokationsmethode zu lösen. Verwenden Sie dabei den Ansatz
x (τ ) = A1 sin ατ + A2 sin2ατ. Wählen Sie die Kollokationsstellen τ1 = π4 und τ2 = 5π
4 .
Stellen Sie | A1 | und | A2 | in Abhängigkeit von der normierten Eingangsamplitude Γ̂ dar.
Diskutieren Sie das Ergebnis !
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D IMENSIONIERUNG
4 Dimensionierung nichtlinearer dynamischer elektrischer Netzwerke
Aufgabe 4.1 – Dimensionierung eines Tunneldiodenoszillator
Eine Tunneldiode ist ein trägheitsloses Bauelement, mit einer dynamischen Kennlinie entsprechend der dargestellten Skizze. Als spezielle Tunneldiode wird das französische Bauelement AEY
24 gewählt. Laut Datenblatt gilt für dieses Bauelement I p = 2, 5 mA, I p /Iv = 2, 94, U p = 55 mV
und Uv = 257, 5 mV.
a) Leiten Sie die Beschreibungsdifferentialgleichung für die Spannung an der Tunneldiode ab
!
b) Normieren Sie die entstandene Gleichung !
c) Prüfen Sie, ob sich unter bestimmten Bedingungen eine bekannte Differentialgleichung ergibt und diskutieren Sie die zu erwartenden Lösungen dieser Gleichung !
(d) Führen Sie eine Parameterdiskussion durch mit der Annahme, daß der Wendepunkt der
Tunneldiodenkennlinie als Arbeitspunkt gewählt wurde!
(e) Diskutieren Sie die entstehende Schwingungslösung und dimensionieren Sie die Bauelemente der Schaltung für R/ρ = 0, 17, X̂1 = 1, 1804769 = Û/Uv , T/T0 = 16, 86 und
f = 38kHz!
i
i
I
I'
iL
iC
A
R
U'
i (u)
u
L
E0
U
A
u
Approximation der Tunneldiodencharakteristik zur Aufg. 1
i (u) = a1∗ u − a2∗ u2 + a3∗ u3 bzw. i (u) = − a∗ (u − U A ) + b∗ (u − U A )2 + c∗ (u − U A )3 + I A
(U A , I A ) Koordinaten des Arbeitspunktes.
Aufgabe 4.2 – Numerische Analyse eines Tunneldiodenoszillator
Bei Verwendung des Wendepunktes als Arbeitspunkt kann der Tunneldiodenoszillator entsprechend Vorlesung durch die normierte Differentialgleichung
∗
∗
d2 x1∗
d x1
R
1 ∗2
∗
∗
∗ 2 d x1
− a 1 − x1
+ x1 +
− ax1 1 − x1
=0
dτ
ρ
dτ
3
d τ2
beschrieben werden! Es gilt a = 6, 606 und R/ρ = 0, 155 oder R/ρ = 0, 23.
(a) Bestimmen Sie die Anzahl und die Lage der singulären Punkte (Gleichgewichtspunkte)!
(b) Bestimmen Sie die Stabilität und den Charakter der Gleichgewichtspunkte für die unterschiedlichen Parametervorgaben! Bewerten Sie die Aussage Ihrer Berechnungen!
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D IMENSIONIERUNG
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Aufgabe 4.3 – Analyse Tunneldiodenoszillator, Grenzfrequenz
Der dynamische Widerstand des abfallenden Kennlinienastes du/di der Tunneldiodencharakteristik kann bei der Schaltungsanalyse in vielen Fällen durch den in diesem Bereich konstanten
Wert R N erfaßt werden.
I
I
P
I
RN
RB
L
V
U
P
U
V
C
Wechselstromersatzschaltbild
U
statische K ennlinie
Charakteristische Werte der Kennliniengrößen und der Elemente des Wechselstromersatzschaltbildes einer Tunneldiode sind :
I p = 1mA
Iv = 0, 1mA
U p = 60mA
Uv = 350mV
RN
C
L
RB
= −150Ω
= 5pF
= 6nH
= 1, 5Ω
(negativer Widerstand)
(Kapazität pn-Übergang)
(Zuleitungsinduktivität)
(Bahnwiderstand)
a) Geben Sie für das Wechselstromersatzschaltbild den Verlauf der Ortskurve z(ω ) an! Leiten
Sie die Bestimmungsgleichung für die Grenzfrequenz f g her oberhalb der die Diode keine negative Strom / Spannungscharakteristik mehr zwischen den Anschlußklemmen aufweist. Kennzeichnen Sie den entsprechenden Wert ω g auf der Ortskurve und berechnen Sie
fg !
b) Stellen Sie eine Gleichung für U1 ( p)/UB ( p) im Bildbereich auf. Diskutieren Sie, welche Bauelementerelationen bestehen müssen, um nach Einschalten der EMK im eingeschwungenen
Zustand eine harmonische Schwingung u1 (t) zu erhalten .
RS
U
B
R
B
L
u1
C
R
N
i (u)
Ersatschaltbild zu Aufg. 3 b
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DYNAMISCHE
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A NALYSE
5 Dynamische Analyse nichtlinearer Systeme
Aufgabe 5.1 - dynamische Analyse, fremderregte Differentialgleichungen
a) Erläutern Sie den Unterschied zwischen Phasenebene und Mappingebene! Für welche Systeme wird die Darstellung in der Mappingebene verwendet? Was versteht man unter einer
Mappingtransformation?
b) Erläutern Sie den Begriff Fixpunkt in der Mappingebene und geben Sie die Mappingtransformation für einen Fixpunkt an! Wie kann die Annäherung an einen Fixpunkt in einem
Rechenprogramm geprüft werden - geben Sie einen Algorithmus dazu an!
c) Wie kann der Begriff Invarianzkurve in der Mappingebene erklärt werden? Wann entstehen
subharmonische Fixpunkte? Wann kommt es zur Ausbildung geschlossener Invarianzkurven und wie bezeichnet man die entstehende Lösung?
d) Geben Sie die Schwerpunkte einer globalen Analyse an!
Aufgabe 5.2 - dynamische Analyse, Vorbereitung der Fixpunktsuche
a) Erklären Sie eine einfaches Verfahren zur groben Abschätzung der Lage von Fixpunkten!
b) Erläutern Sie das Prinzip für die Erzeugung eines sogenannten „Pfeildiagramms”!
c) Welche topologische Strukturen der Mapping-Ebene können erkannt werden! Erklären Sie
die charakteristischen Merkmale der Pfeilstrukturen an geeignet gewählten Darstellungen!
Aufgabe 5.3 - dynamische Analyse, Theorie von Floquet, Bifurkation
(a) Welche Aussage über periodische Lösungen enthalten die Floquet-Multiplikatoren?
(b) Erläutern in einem Prinzipalgorithmus die Bestimmung der Floquet-Multiplikatoren für
DGL’n 2. Ordnung und geben Sie die Klassifikation der Fixpunkte nach Levinson an!
(c) Was versteht man unter dem Begriff Bifurkation?
(d) Wie können Sie die Annäherung an einen Bifurkationspunkt feststellen?
(e) Geben Sie Grundtypen der Bifurkation an!
Aufgabe 5.4 - dynamische Analyse einer Differentialgleichung Duffingschen Typs
a) Untersuchen Sie die Differentialgleichung Duffingschen Typs
ẍ + δ ẋ + 0, 65x + 0, 75x9 = −Γ̂ cos(τ + ϕ)
mit dem Grundwellenansatz x (τ ) = X̂1 sin τ und ermitteln Sie für δ = 0, 15 einen Zusammenhang Γ̂( X̂1 )!
b) Interpretieren Sie den Zusammenhang Γ̂( X̂1 ) im Hinblick auf zu erwartende Fixpunkte!
c) Bestimmen Sie für Γ̂ = 0, 2 die vollständig stabilen Fixpunkte des Systems! Berechnen Sie
die dazugehörigen periodischen Lösungen und stellen Sie sie grafisch dar!
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DYNAMISCHE
N ETZWERKE
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6 Analyse nichtlinearer dynamischer Netzwerke
Aufgabe 6.1 – Magnetkreis mit Vormagnetisierung
a) Erläutern Sie, wie mittels einer zusätzlichen Wicklung w2 , die von einem Gleichstrom I0
durchflossen wird, eine Verschiebung des Arbeitspunktes bei einem Transformator erfolgen
kann.
Die Durchflutung sei durch die Gleichung θ = a∗ φ +
b∗ φ3 approximierbar. Für die Spannung gilt u =
Û1 sin(ωt + ϕ).
b) Geben Sie einen Zusammenhang zwischen dem
Steuerstrom I0 und der Grundwellenamplitude des
Stromes i → Iˆ1 ( I0 ) bzw. Iˆ1 (Û1 ) in normierter Form
an und stellen Sie die Zusammenhänge durch entsprechende Grafiken dar!
c) Diskutieren Sie kurz die Anwendung der gefundenen Erkenntnisse bei der Schaltungsanalyse!
Aufgabe 6.2 – Resonanzkurve
a) Stellen Sie die Differentialgleichung für den nichtlinearen Reihenresonanzkreis mit der nichtlinearen Kapazität uc (q) = mq + nq3 auf und normieren Sie diese Gleichung mit den Abp
n
kürzungen 2δ = ωR0 L , ω0 = mL , α = ωω0 , λ = Q2 m
und k = EÊ0 .
b) Passen Sie die Lösung des Grundwellenansatzes
x (τ ) = X̂ cos ατ an die Differentialgleichung an !
c) Ermitteln Sie eine Gleichung zur Bestimmung der
Resonanzkurve X̂ = X̂ (α) und erläutern Sie den Algortihmus zur Berechnung der Kurve!
d) Stellen Sie die Resonanzkurven für λ = 0 (R = 0
bzw. R 6= 0) und λ 6= 0 (R = 0 bzw. R 6= 0) prinzipiell dar! Bewerten Sie die entstehende Kurvenform!
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