Lineare Algebra

Günter M. Gramlich
Mathematik-Studienhilfen
Lineare Algebra
Eine Einführung
2., aktualisierte Auflage
Inhaltsverzeichnis
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
1.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen . .
1.4 Das Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren . . . . . .
1.5 Mehr uber
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¨
1.6 Operationen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Die Matrixform eines linearen Gleichungssystems . . .
1.8 Losen
quadratischer Systeme durch Matrixinvertierung
¨
1.9 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . .
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9
9
12
13
16
22
24
37
38
45
2 Vektoren in der Ebene und im Raum
2.1 Geometrische Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vektoren in Koordinatensystemen . . . . . . . . . . .
2.3 Rechenregeln fur
¨ Vektoren in Koordinatendarstellung
2.4 Die Lange
von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
¨
2.5 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . .
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48
48
52
57
58
60
69
73
Ebenen
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
76
76
79
86
3 Analytische Geometrie von Geraden und
3.1 Darstellungen von Geraden . . . . .
3.2 Darstellungen von Ebenen . . . . . .
3.3 Weitere Bemerkungen und Hinweise
4 Reelle Vektorraume
und Unterraume
¨
¨
4.1 Die Vektorraum-Definition . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der Vektorraum Rn . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Weitere Beispiele von reellen Vektorraumen
. . .
¨
4.4 Untervektorraume
. . . . . . . . . . . . . . . . .
¨
4.5 Der Nullraum einer Matrix . . . . . . . . . . . .
4.6 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Die vier Fundamentalraume
einer Matrix . . . .
¨
4.8 Der Spaltenraum und lineare Gleichungssysteme
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87
. 87
. 90
. 91
. 92
. 94
. 96
. 100
. 101
8
Inhaltsverzeichnis
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
Lineare Unabhangigkeit
. . . . . . . . . . . . . .
¨
Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Struktur der Losungsmenge
von Ax = b . .
¨
Basen des Zeilen-, Spalten- und Nullraumes einer
Die Dimensionen der vier Fundamentalraume
. .
¨
Der Euklidische Vektorraum Rn . . . . . . . . . .
Die Orthogonalitat
.
¨ der vier Fundamentalraume
¨
Orthogonale Projektionen . . . . . . . . . . . . .
Lineare Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . .
Orthogonal- und Orthonormalbasen . . . . . . .
Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . .
5 Determinanten
5.1 Die Determinante einer (2, 2)-Matrix .
5.2 Verallgemeinerung auf (n, n)-Matrizen
5.3 Determinanten und lineare Systeme .
5.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise .
. . . . .
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Matrix .
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108
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115
117
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121
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132
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144
144
146
149
154
6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren?
6.2 Diagonalisierung einer Matrix . . . . . . . . . . . . .
6.3 Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Diagonalisierung mit orthogonalen Matrizen . . . . .
6.5 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . .
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156
158
163
168
172
176
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7 Lineare Abbildungen und Matrizen
178
7.1 Lineare Abbildungen von Rn nach Rm . . . . . . . . . . . . . 178
7.2 Beispiele linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 185
Losungen
¨
187
Literaturverzeichnis
195
Sachwortverzeichnis
196
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
The simplest model in applied mathematics is a system of linear equations.
It is also by far the most important.
Gilbert Strang
In vielen realen, aber auch innermathematischen Problemen treten lineare Gleichungssysteme auf; ihre Behandlung ist eines der wichtigsten Themen der Linearen Algebra. In der Elektrotechnik etwa fuhrt
die Anwendung
¨
der Kirchhoffschen Knotenregel fur
Schaltkreise
auf
lineare
Gleichungs¨
¨
systeme, Bilanzaufgaben in Technik und Okonomie
werden mit linearen Systemen modelliert. Innerhalb der Mathematik werden Losungen
nichtlinea¨
rer Gleichungssysteme und Optimierungsaufgaben mit linearen Systemen
gesucht (Quasi-Newton-Verfahren). Interpolationen und Approximationen
von Kurven und Flachen
mittels Spline- und anderer Funktionen fuhren
¨
¨
auf lineare Systeme. Die Integration von Anfangswertaufgaben bei Systemen
gewohnlicher
Differenzialgleichungen, die Diskretisierung von Randwertauf¨
gaben bei gewohnlichen
und partiellen Differenzialgleichungen mittels Dif¨
ferenzenverfahren oder finiter Elemente oder das Losen
von Anfangs- und
¨
Randwertaufgaben bei partiellen Differenzialgleichungen fuhrt
uber
lineare
¨
¨
Gleichungssysteme zur Losung.
¨
Zur sachgerechten Behandlung mathematischer Probleme der Technik und
Wirtschaft, etwa zu Netzwerkberechnungen in der Elektrotechnik oder zur
Berechnung von Fachwerken in der Statik, zur Losung
von Transportproble¨
men oder anderen Optimierungsaufgaben, zur qualitativen und quantitativen
Diskussion mechanischer dynamischer Systeme bedient man sich der Matrizenrechnung.
1.1 Lineare Gleichungssysteme
Die Gleichung
2x − 5 = 3
ist eine lineare Gleichung, weil die Variable x linear in ihr vorkommt. Lost
¨
man die Gleichung 2x − 5 = 3 nach der Unbekannten x auf, so erhalt
¨ man
die Losung
x = 4.
¨
p
10
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Allgemein ist eine lineare Gleichung in einer Variablen x von der Form
ax = b,
wobei a, b reelle Konstanten sind. Fur
0 ist x = b/a die Losung.
Eine
¨ a =
¨
lineare Gleichung in n Variablen x1 , x2 , . . . , xn hat die Gestalt
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,
wobei a1 , a2 , . . . , an und b gegebene reelle Konstanten sind. Die reellen Zahlen
ai nennt man die Koeffizienten der Gleichung und b ∈ R ist die rechte
Seite der Gleichung (Zur Schreibweise sei bemerkt, dass wir fur
¨ die Variablen
x1 , x2 , x3 einer Gleichung auch x, y oder z schreiben. Kommen mehr als drei
Unbekannte vor, so schreiben wir x mit Index, also x1 , x2 usw.).
Eine Losung
der linearen Gleichung a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b ist eine
¨
endliche Folge (n-Tupel) von n Zahlen x̄1 , x̄2 , . . ., x̄n mit der Eigenschaft,
dass die Gleichung durch die Substitution x1 = x̄1 , x2 = x̄2 , . . ., xn =
x̄n erfullt
heißt allgemeine Losung
¨ wird. Die Gesamtheit aller Losungen
¨
¨
(Losungsmenge)
der Gleichung.
¨
Beispiel 1.1
Finden Sie die allgemeine Losung
der Gleichung
¨
4x − 2y = 1.
Losung:
Um Losungen
dieser Gleichung zu finden, konnen
wir fur
¨
¨
¨
¨ x einen
beliebigen Wert aus R wahlen
und nach y auflosen;
alternativ konnen
wir
¨
¨
¨
auch irgendeinen Wert fur
und nach x auflosen.
Der erste Ansatz
¨ y wahlen
¨
¨
liefert fur
¨ x = t, wobei t ∈ R beliebig ist, y = 2t − 1/2. Die derart bestimmte
parameterabhangige
Losung
¨
¨
x = t,
y = 2t − 1/2
ist die allgemeine Losung,
jede spezielle Wahl des Parameters t ergibt
¨
eine spezielle Losung
(Teillosung).
Einzelne Losungen
erhalten wir durch
¨
¨
¨
Einsetzen entsprechender Zahlen fur
t.
Beispielsweise
liefert
t = 3 die Losung
¨
¨
x = 3, y = 11/2. Schlagen wir die zweite Losungsstrategie
ein, so erhalten
¨
wir
x = 1/2t + 1/4,
y = t.
Obwohl sich diese Formeln von den ersten unterscheiden, beschreiben sie
dieselbe allgemeine Losung.
Zum Beispiel liefert hier t = 11/2 genau die
¨
Losung
x = 3, y = 11/2, die wir oben fur
¨
¨ t = 3 erhalten haben. 1.1 Lineare Gleichungssysteme
11
¨
Ublicherweise
treten lineare Gleichungen mit mehreren Variablen nicht einzeln auf. Kommen endlich viele Gleichungen mit den Variablen x1 , x2 , . . .,
xn vor, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Die m
linearen Gleichungen
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
=
b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
=
..
.
b2
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
=
bm
ergeben ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen. Die beiden Gleichungen
x1 − 2x2 = 1
3x1 + 2x2 = 11
bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, das heißt, es ist
m = 2 und n = 2.
Eine Losung
des linearen Gleichungssystems ist eine endliche Folge von
¨
n Zahlen (n-Tupel) x̄1 , x̄2 , . . ., x̄n mit der Eigenschaft, dass jede Gleichung erfullt
¨ ist, wenn man x1 = x̄1 , x2 = x̄2 , . . ., xn = x̄n in das Gleichungssystem einsetzt. Besitzt ein lineares System keine Losung,
so sagt
¨
man, es ist unlosbar
(inkonsistent); hat es eine Losung,
so ist es losbar
¨
¨
¨
(konsistent). Sind die rechten Seiten des Gleichungssystems Null, das heißt
b1 = b2 = · · · = bm = 0, so heißt das System homogen. Beachten Sie, dass
ein homogenes Gleichungssystem stets die Losung
x1 = x2 = · · · = xn = 0
¨
hat; man nennt sie die triviale Losung.
¨
Zwei Gleichungssysteme sind ¨
aquivalent, wenn sie dieselbe Losungsmenge
¨
haben. Das lineare System
x1 − 3x2 = −7
2x1 + x2 = 7
hat die Losung
x1 = 2 und x2 = 3. Das lineare System
¨
8x1 − 3x2 = 7
3x1 − 2x2 = 0
10x1 − 2x2 = 14
hat ebenfalls die Losung
x1 = 2 und x2 = 3. Daher sind die beiden Systeme
¨
¨aquivalent.
12
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
1.2 Matrizen
Das rechteckige Zahlenschema
⎡
a11 a12 · · · a1n
⎢ a21 a22 · · · a2n
⎢
⎢ ..
..
..
..
⎢ .
.
.
.
⎢
⎢ ai1 ai2 · · · ain
⎢
⎢ .
..
..
..
⎣ ..
.
.
.
am1 am2 · · · amn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
mit aij ∈ R, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n heißt Matrix mit m Zeilen und
n Spalten oder (m, n)-Matrix. Die reellen Zahlen aij sind die Elemente der
Matrix. Zum Beispiel ist
√
1
2 −2
7 −3
π
eine Matrix mit 2 Zeilen, 3 Spalten und insgesamt 6 Elementen. Ein lineares
Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten konnen
wir als
¨
Matrix in der Form
⎡
⎤
a11 a12 · · · a1n b1
⎢ a21 a22 · · · a2n b2 ⎥
⎢
⎥
⎢ ..
..
..
..
.. ⎥
⎢ .
⎥
.
.
.
.
⎢
⎥
⎢ ai1 ai2 · · · ain bi ⎥
⎢
⎥
⎢ .
..
..
..
.. ⎥
⎣ ..
.
.
.
. ⎦
am1 am2 · · · amn bm
schreiben, wenn wir uns merken, dass die Matrixelemente in der j-ten Spalte
mit der Variablen xj zu multiplizieren sind, zwischen zwei Spalten ein Pluszeichen + und zwischen der vorletzten und letzten Spalte ein Gleichheitszeichen
= steht. Wir nennen diese Matrix die erweiterte Koeffizientenmatrix des
linearen Gleichungssystems. Erweitert deshalb, weil die rechte Seite des
Gleichungssystems mit in die Matrix aufgenommen wird. Ist dies nicht der
Fall, so spricht man nur von der Koeffizientenmatrix des linearen Systems.
Zum Beispiel hat das lineare Gleichungssystem
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 − 3x3 = 1
3x1 + 6x2 − 5x3 = 0
1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen
13
die erweiterte Koeffizientenmatrix
⎤
⎡
1 1
2 9
⎣ 2 4 −3 1 ⎦ .
3 6 −5 0
Mit Hilfe von Matrizen konnen
wir lineare Gleichungssysteme ubersichtlicher
¨
¨
und kompakter schreiben und behandeln.
1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen
Wir entwickeln nun ein Losungsverfahren
fur
¨
¨ lineare Gleichungssysteme. Die
grundlegende Idee dieses Verfahrens besteht darin, das gegebene System in
ein aquivalentes
System zu bringen, das einfacher gelost
¨
¨ werden kann. Systeme, die einfach zu losen
sind, sind zum Beispiel Systeme in Diagonalform“,
¨
”
Dreiecksform“ oder Orthogonalform“. Wir betrachten folgende drei grund”
”
legende Operationen.
Elementare Gleichungsumformungen:
• Vertauschen von zwei Gleichungen,
• Multiplikation einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Konstanten,
• Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung.
Unter einer elementaren Gleichungsumformung versteht man solch eine
Operation.
Satz 1.1
Elementare Gleichungsumformungen andern
nicht die Losungsmenge
eines
¨
¨
linearen Gleichungssystems.
Anders ausgedruckt:
Lineare Systeme, die durch elementare Gleichungsum¨
formungen auseinander hervorgehen, sind ¨aquivalent; sie haben die gleiche
Losungsmenge.
Da die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix den Glei¨
chungen des zugehorigen
Systems entsprechen, liefern die elementaren Glei¨
chungsumformungen folgende elementare Zeilenumformungen innerhalb
der erweiterten Koeffizientenmatrix.
Sachwortverzeichnis
Alle fett gedruckten Seitenzahlen sind Referenzen auf die Definition des jeweiligen Begriffs. Demgegenüber geben normal gedruckte Seitenzahlen die Seiten der
Verwendung des jeweiligen Begriffs wieder.
Abbildung
affin-lineare, 180
identische, 183
lineare, 178, 179
Abgeschlossenheit
gegenüber der skalaren Multiplikation, 92
gegenüber der Vektoraddition, 92
Addition
von Vektoren, 50, 53
äquivalente Gleichungssysteme, 11
affin-lineare Abbildung, 180
allgemeine Lösung
eines Gleichungssystems, 10
Approximation, 9
Ausgleichsproblem
lineares, 128
Basis, 105, 105, 132, 134, 151, 161,
163, 170, 173, 174, 181, 193,
194
orthogonale, 133
orthonormale, 133
Betrag
eines Vektors, 59
Bildraum, 138
Blockmatrix, 29
charakteristische Gleichung, 158
charakteristisches Polynom, 158
Cramersche Regel, 152
Darstellungsmatrix, 182
Determinante, 144–148, 151, 159, 176
einer (2, 2)-Matrix, 144
einer (3, 3)-Matrix, 146
diagonalisierbare Matrix, 164
Diagonalmatrix, 23, 24, 166, 172
Dimension, 108
Drehimpuls, 69
Drehmoment, 69, 73
Drehungen, 185
Dreiecksungleichung, 180
dyadisches Produkt, 32, 73
Ebenengleichung
in Parameterform, 79
Eigenpaar, 156
Eigenraum, 161, 162, 168
Eigenvektor
einer Matrix, 156
Eigenvektoren, 158–166, 172, 173, 176
Eigenvektorenmatrix, 163, 166, 167,
173, 174
Eigenwert, 157–162, 166
einer Matrix, 156
Eigenwertaufgabe, 160, 160, 176
Eigenwertmatrix, 166
Einheitsmatrix, 24, 169
Einheitsvektor, 59
elementare Gleichungsumformung, 13
elementare Zeilenumformung, 13, 111
Elemente
der Matrix, 12
endlich dimensionaler Vektorraum, 108
endliche Folge, 10, 11
Erzeugendensystem, 100
Euklidische Länge, 119
Sachwortverzeichnis
197
Euklidische Norm, 119
Euklidischer Vektorraum, 117
Hauptdiagonale, 23
Hintereinanderausführung, 50, 50
führende Eins, 14, 14, 115
führende Variablen, 16, 115
Falksches Schema, 27
Fehlervektor, 126
Folge
endliche, 10, 11
freie Variablen, 16, 115
Fundamentalräume, 101
Fundamentalsatz der Algebra, 158
Funktion
lineare, 178
reelle, 178
Funktionalanalysis, 185
identische Abbildung, 183
inkonsistentes Gleichungssystem, 11
Interpolation, 9
Inverse, 38
Moore-Penrose, 129
inverse Matrix, 38
invertierbare Matrix, 38
Gauß-Jordan-Verfahren, 16
Gauß-Verfahren, 17
Gegenvektor, 49, 88
Geometrie, 48, 69, 73, 86, 156
geordnete Paare, 52
Geradengleichgung
in Parameterform, 77
gleiche Vektoren, 49
Gleichung
charakteristische, 158
lineare, 10
Gleichungssystem
homogenes, 11
inhomogenes, 11
inkonsistentes, 11
konsistentes, 11
lösbares, 11
lineares, 11
unlösbares, 11
Gleichungssysteme
äquivalente, 11
Gleichungsumformung
elementare, 13
Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, 137
Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, 138
kartesisches Koordinatensystem, 52
kartesisches Produkt, 52
Kehrmatrix, 38
Kern, 138
Koeffizienten
einer linearen Gleichung, 10
einer Linearkombination, 96
Koeffizientenmatrix, 12, 94, 111
eines linearen Systems, 12
erweiterte, 12
Komplement
orthogonales, 120
komplexe Zahlen, 88
komplexer Vektorraum, 88
konsistent, 11
konsistentes Gleichungssystem, 11
Koordinaten, 53
Koordinatendarstellung, 81
der Ebene, 80
der Geraden, 76
Koordinatenebenen, 55
Koordinatengleichung, 78, 81, 82
Koordinatengleichung der Ebene, 80
Koordinatensystem
kartesisches, 52
rechtwinkliges, 52
Koordinatentransformationen, 180
Koordinatenursprung, 98, 109
Kosinussatz, 62
Kraft
nach Lorentz, 69
Kraftfeld, 73
Kreuzprodukt, 69, 69, 73
198
Sachwortverzeichnis
Länge
Euklidische, 118
eines Vektors, 118
lösbares Gleichungssystem, 11
Lösung
eines linearen Gleichungssystems,
11
linearer Gleichungen, 10
Lösungsraum, 95
linear abhängig, 103
linear unabhängig, 103
lineare Abbildung, 178, 179
lineare Funktion, 178
lineare Gleichungen, 10
lineare Hülle, 97, 98, 123
lineare Transformation, 179, 183, 185
linearer Operator, 185
lineares Ausgleichsproblem, 128
lineares Gleichungssystem, 11, 37, 82,
96
Linearkombination
von Matrizen, 27
von Vektoren, 96
Matlab, 74, 176
Matrix
Diagonal-, 23
diagonalisierbare, 164
Einheits-, 24
inverse, 38
invertierbare, 38
Null-, 23
obere Dreiecks-, 24
orthogonale, 124, 168
quadratische, 23
reguläre, 38
symmetrische, 24, 124, 163, 173
transponierte, 23
untere Dreiecks-, 24
Matrixelemente, 12
Matrixprodukt
skalares, 26
Matrizen
gleiche, 24
ungleiche, 24
Matrizenaddition, 25
Matrizengleichung, 40, 42, 164
Matrizenprodukt, 42, 63
Matrizensubtraktion, 26
Menge von Vektoren, 132
orthogonale, 132
orthonormale, 132
Modalmatrix, 163
Multiplikation
von Matrizen, 27
Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor, 54
Multiplikation mit Skalaren, 51
Multipliklation
skalare, 88
natürliche Basis, 106
negativer Vektor, 88
Norm
Euklidische, 118
eines Vektors, 59, 118
Normalenform
einer Ebenengleichung, 82
Normalenvektor, 83
Normalenvektor der Ebene, 82
Normalgleichungssystem, 126
normalisierter Vektor, 133
Normalsystem, 126
Nullabbildung, 183
Nullmatrix, 23, 34
Nullpunkt, 52
Nullraum, 95, 95, 96, 100, 101, 109,
111–114, 116, 117, 120, 126,
138, 151, 162
Nullunterraum, 95
Nullvektor, 49, 88
der Translationen, 49
der Verschiebungen, 49
Nullvektorraum, 93, 93
numerisch stabil, 171
obere Dreiecksmatrix, 24
Operator
Sachwortverzeichnis
linearer, 185
orthogonal, 65
Orthogonalbasis, 133, 135, 136
orthogonale Basis, 133
orthogonale Matrix, 124, 168
orthogonale Menge, 132
orthogonale Projektion, 66, 121, 128
orthogonale Projektionsmatrix, 124,
126
orthogonale Unterräume, 119
orthogonales Komplement, 120
Orthogonalprojektion, 66, 68
Orthonormalbasis, 133, 172, 173
orthonormale Basis, 133
orthonormale Menge, 132
orthonormale Vektoren, 119
Ortsvektor, 53
Parallelogramm, 50, 70
Parallelogrammregel, 50
parameterfreie Ebenengleichung, 83
Parametergleichung, 78, 80, 81
einer Ebene, 79
einer Geraden, 77
Pfeil
eines Vektors, 48
Polynom
charakteristisches, 158
Produkt, 54
dyadisches, 32, 73
kartesisches, 52
Skalar mit Vektor, 54
skalares Matrix-, 26
von Matrizen, 27
Produktmenge, 52
Projektion, 181
orthogonale, 66, 121
Projektionsmatrix
orthogonale, 124, 126
Pseudoinverse, 129
Punkt-Normalenform
einer Ebenengleichung, 82
199
quadratische Matrix der Ordnung n,
23
Rückwärtssubstitution, 17, 17, 19
Rang, 115, 116, 124
Raum
reeller linearer, 87
Rechenregeln, 48
rechte Seite
einer linearen Gleichung, 10
rechtwinkliges Koordinatensystem, 52
reduzierte Staffelform, 45
reduzierte Zeilenstufenform, 15, 22, 45
reelle Funktion, 178
reeller linearer Raum, 87
reeller Vektorraum, 87
reguläre Matrix, 38
Repräsentant
eines Vektors, 48, 48
Residuenvektor, 126
Richtungsvektor, 77, 78, 188
Rotation, 181
Satz
des Pythagoras im Rn , 119
Schema
nach Falk, 27
Skalare, 23, 88
skalare Multiplikation, 51, 54, 55, 88
skalares Matrixprodukt, 26
skalares Produkt, 54
skalares Vektorprodukt, 61, 61
skalares Vielfaches, 51
Skalarmultiplikation, 88
Skalarprodukt, 61, 69, 73, 118, 171
Spaltenmatrix, 22
Spaltenraum, 99, 99, 100–103, 108,
112, 115–117, 120, 122–126,
128
spaltenweise Berechnung
des Matrizenproduktes, 31
Spannvektoren, 79
Spektraldarstellung, 174, 174
Spektralsatz, 174
200
Sachwortverzeichnis
Spiegelungen, 183
Stützvektor der Ebene, 79
Stützvektor der Geraden, 77
Staffelform, 45
reduzierte, 45
Standardbasis, 106
Standarddarstellungsmatrix, 182
Standardmatrix, 182, 184
Summe, 53
einer Matrix, 25
von Vektoren, 55
symmetrische Matrix, 24, 124, 163,
173
Transformation, 183
lineare, 179, 183, 185
Translationen, 48
transponierte Matrix, 23
triviale Lösung
eines Gleichungssystems, 11
unlösbares Gleichungssystem, 11
untere Dreiecksmatrix, 24
Untermatrizen, 29
Unterräume
orthogonale, 119
triviale, 93
Unterraum, 92, 93, 98, 99, 101, 109,
122, 124, 162, 174
aufgespannter, 100
erzeugter, 100
Untervektorraum, 92
Ursprung, 52
Variablen
führende, 16
freie, 16
Vektor, 55
geometrischer, 48
in der Ebene, 52
in der Geometrie, 48
negativer, 88
normalisiert, 133
Vektoraddition, 50, 50, 53, 88
Vektoren, 48, 87
gleiche, 49
orthogonale, 65, 119
orthonormale, 119
senkrechte, 65, 119
Vektorgleichung, 78, 103, 158–160, 188
Vektorraum, 119, 156, 178
Euklidischer, 117
endlich dimensionaler, 108
reeller, 87
Vektorraumhomomorphismus, 185
verallgemeinerte Inverse, 129
Verfahren
nach Gauß-Jordan, 16
nach Gauß, 17
Verschiebungen, 48
vier Fundamentalräume, 101
Winkel
zwischen Vektoren, 60
Zahlen
komplexe, 88
Zeilenmatrix, 22, 63
Zeilenraum, 99, 99, 100, 101, 111, 112,
114–117, 120
Zeilenstufenform, 14, 14, 15–22, 45,
46, 113
Zeilenumformung
elementare, 13, 111
zeilenweise Berechnung
des Matrizenproduktes, 31