Universität Würzburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Oliver Roth

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Oliver Roth, Sebastian Schleißinger
SS 2013
2. Übung zur Einführung in die Zahlentheorie
2.1 Zeigen Sie:
a) Ist p eine Primzahl mit p > 2, so gilt 24 | p3 − p.
b) Ist p eine Primzahl mit p > 5, so gilt 240 | p4 − 1.
(2+4 Punkte)
Lösungshinweise:
a) Es gilt p3 − p = p(p − 1)(p + 1). Als Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist p3 − p
damit durch 3 teilbar. Da p eine ungerade Primzahl ist, muss p − 1 oder p + 1 durch 4 teilbar
sein. Der jeweils andere Term ist dann durch 2 (und nicht durch 4) teilbar. Folglich ist p3 − p
durch 2 · 4 · 3 = 24 teilbar.
b) Da nun p 6= 3, ist sogar p2 −1 durch 24 teilbar. Da p2 +1 gerade ist und p4 −1 = (p2 +1)(p2 −1),
ist p4 − 1 damit durch 24 · 2 = 48 teilbar. Es fehlt noch die Teilbarkeit durch 5.
Hierbei genügt es nachzuweisen, dass k 4 − 1 für k ∈ {1, 2, 3, 4} durch 5 teilbar ist, denn
5|k 4 − 1 ⇐⇒ 5|(k − 5m)4 − 1 für jedes m ∈ N.
Tatsc̈hlich sind alle vier Zahlen 14 −1 = 0, 24 −1 = 15, 34 −1 = 80, 44 −1 = 255 durch 5 teilbar.
2.2 Die Primzahlen p1 , p2 , p3 , ... ∈ P seien der Größe nach geordnet: p1 < p2 < p3 < ...
Zeigen Sie, dass es α, β ∈ (0, ∞) gibt, so dass
α · n log n ≤ pn ≤ β · n log n
für alle n > 1.
(5 Punkte)
Lösungshinweise:
Nach Satz 2.2 gibt es a, b > 0, so dass a · logx x ≤ π(x) ≤ b ·
Für die n-te Primzahl pn gilt π(pn ) = n. Es ergibt sich
a·
x
log x
für alle x ≥ 2.
pn
pn
≤n≤b·
log pn
log pn .
Also pn ≥ b−1 n log pn ≥ b−1 n log n. Wir können also α = b−1 wählen.
Des Weiteren ergibt sich
pn ≤ a−1 n log pn .
Logarithmieren ergibt log pn ≤ − log a + log n + log log pn , also
log a
log log pn
log n ≥ log pn 1 +
.
−
log pn
log pn
(∗)
(∗∗)
log a
− logloglogx x → 1 für x → ∞, gibt es ein x0 , so dass f (x) ≥ 21 für alle x ≥ x0 .
Da f (x) := 1 + log
x
Für n ≥ x0 gilt also mit (∗∗): log pn ≤ 2 log n. Auch für alle (endlich vielen) n ∈ N \ {1} mit
n < x0 gibt es ein c > 0, so dass log pn ≤ c log n. Es folgt aus (∗):
pn ≤ a−1 max{2, c}n log n = βn log n für β = a−1 · max{2, c}.
2.3 Folgern Sie aus dem Primzahlsatz: Für jedes ε ∈ (0, 1) gibt es ein N ∈ N, so dass für alle n ∈ N
mit n ≥ N eine Primzahl p mit n < p ≤ (1 + ε)n existiert.
(Vergleichen Sie mit Satz 2.4.)
(4 Punkte)
Lösungshinweise:
Nach dem Primzahlsatz existiert n0 ∈ N, so dass
(1 + ε)x
ε x
ε
− (1 + )
π((1 + ε)x) − π(x) ≥ (1 − )
3 log((1 + ε)x)
3 log x
≥
≥
x
ε
ε
((1 − )(1 + ε) log x − (1 + ) log((1 + ε)x))
log x · log((1 + ε)x)
3
3
x
ε
ε2
ε
((1 − ) log x + (ε − ) log x − (1 + )(log 2 + log x))
log x · log((1 + ε)x)
3
3
3
=
x
2ε
ε2
ε
(− log x + (ε − ) log x − (1 + ) log 2)
log x · log((1 + ε)x)
3
3
3
=
ε − ε2
ε
x
((
) log x − (1 + ) log 2)
log x · log((1 + ε)x)
3
3
für alle x ≥ n0 . Nun gibt es n1 ∈ N, so dass der letzte Ausdruck für alle x ≥ n1 positiv ist. Für
alle n ≥ N := max{n0 , n1 } gilt somit die Behauptung.
2.4 Zeigen Sie, dass sich n! für n > 1 nicht als mk mit m, k ∈ N und k > 1 schreiben lässt.
9
(5 Punkte)
Lösungshinweise:
Für n = 2 und n = 3 ist die Aussage klar.
Für n ≥ 4 gibt es nach Satz 2.4 stets eine Primzahl p mit
n
2
< p ≤ n. Dann gilt also p | n!.
Angenommen p2 | n!, dann hat ein a mit 1 ≤ a ≤ n die Form a = p · b, b ≥ 2. Es folgt
p = ab ≤ nb ≤ n2 , ein Widerspruch. Folglich kann n! nicht die Form mk besitzen.