Analysis I Kurzskript

Analysis I Kurzskript
25. Januar 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Die
1.1
1.2
1.3
1.4
Sprache der Mathematik
Mathematische Aussagen .
Aussagenlogik . . . . . . . .
Beweise . . . . . . . . . . .
Vollständige Induktion . . .
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5
5
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2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
Arbeitsweise des Mathematikers
Induktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deduktiv: die axiomatische Methode . . . .
Axiome der reellen Zahlen R . . . . . . . .
Die natürlichen Zahlen N := {0, 1, 2, 3, . . . }
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6
6
6
6
6
3 Folgen, Reihen und Grenzwerte I
3.1 Folgen reeller Zahlen (an )n∈N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
4 Folgen, Reihen und Grenzwerte II
4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Bestimmte Divergenz / Uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
8
5 Vollständigkeit
5.1 Cauchyfolgen und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Teilfolgen und Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
6 Beschränkte Folgen I
6.1 Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 sup / inf und min / max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10
10
7 Beschränkte Folgen II
7.1 Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 lim sup und lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Metrische Räume I
8.1 Metrische Räume (X, d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Konvergenz in metrischen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Metrische Räume II
9.1 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Vollständigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Prof. Dr. László Székelyhidi
Analysis I, WS 2012
10 Konvergenz auf Rd ; Konvergente Reihen I
10.1 Der euklidische Raum Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Reihen mit nicht-negativen Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Konvergente Reihen II
11.1 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 Potenzreihen und Exponentialfunktion
12.1 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Reelle Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Potenzreihen und Exponentialfunktion II
13.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14 Komplexe Potenzreihen
14.1 Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Konvergenz in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Komplexe (Potenz)reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 Stetigkeit in metrischen Räumen I
15.1 Allgemeine Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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19
16 Stetigkeit in metrischen Räumen II
16.1 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20
20
17 Stetigkeit R → R
17.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
21
18 Elementare Funktionen und Grenzwerte I
18.1 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Einige Grenzwerte mit exp und log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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22
22
19 Elementare Funktionen und Grenzwerte II
19.1 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Die Zahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23
23
20 Die Funktionen tan, arctan, arcsin und arccos
24
21 Differentialrechnung auf R
21.1 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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24
22 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
22.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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25
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23 Probeklausur
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Prof. Dr. László Székelyhidi
Analysis I, WS 2012
24 Mittelwertsatz und Anwendungen
24.1 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.2 Regel von de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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27
27
25 Extrema, Monotonie
25.1 Kriterium für Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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28
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26 Konvexität
26.1 Anwendungen von Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
27 Das Riemann’sche Integral
27.1 Charakterisierung von Riemann-integrierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
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30
28 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung
28.1 Riemann’sche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.2 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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31
31
29 Integrationsmethoden
29.1 Stammfunktionen . . .
29.2 Substitutionsregel . . .
29.3 Partielle Integration .
29.4 Uneigentliche Integrale
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Prof. Dr. László Székelyhidi
Analysis I, WS 2012
Empfohlene Literatur
[F] Otto Förster: Analysis 1
[H] Stefan Hildebrandt: Analysis 1
[K] Konrad Königsberger: Analysis 1
9. Oktober 2012
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1
Analysis I, WS 2012
Die Sprache der Mathematik
[F] §1
[H] §1.4
1.1
Mathematische Aussagen
[K] §1
tertium non datur
1.2
Aussagenlogik
• Implikation: P ⇒ Q,
P (n) ⇒ Q(n)
• Äquivalenz: P ⇔ Q
• Konjuktion: P und Q
• Disjunktion: P oder Q
• Negation: nicht P
Beispiel 1 (Fallunterscheidung).
(x − 1)(x − y) = 0
(y − 3)(x2 − y 2 + 1)y = 0
1.3
Beweise
• Direkter Beweis;
• Indirekter Beweis; Beispiel 3|n2 ⇒ 3|n;
√
• Widerspruchsargument; Beispiel 2 irrational;
• Vollständige Induktion.
Kontraposition: P ⇒ Q ⇔ nicht Q ⇒ nicht P
1.4
Vollständige Induktion
(1) Induktionsanfang: P (n0 ) für ein n0 ∈ N;
(2) Induktionsschritt: P (n) ⇒ P (n + 1).
Beweisprinzip: aus (1) und (2) folgt P (n) für alle n ≥ n0 .
Definition 1 (Summen/Produktzeichen).
0
X
ak = 0 und
k=1
Satz 1.
k+1
X
ak = ak+1 +
k=1
Pn
k=1
k=
n(n+1)
2
k
X
ak ;
k=1
0
Y
ak = 1 und
k=1
k+1
Y
k=1
ak = ak+1 ·
k
Y
ak .
k=1
Satz 2. Die Anzahl Anordnungen von {1, . . . , n} ist n!
Satz 3 (Bernoulli’sche Ungleichung). Falls x > −1 und n ∈ N, dann (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Pn
1−xn+1
k
Satz 4 (geometrische Reihe).
k=0 x =
1−x .
Satz 5. Die Anzahl k-elementigen Teilmengen von {1, . . . , n} ist nk .
Satz 6 (Binomischer Lehrsatz).
n X
n k n−k
(x + y) =
x y
.
k
n
k=0
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2
Analysis I, WS 2012
Die Arbeitsweise des Mathematikers
2.1
Induktiv
Beispiel 1. Der Kreis besitzt unter allen ebenen Figuren mit gleichem Flächeninhalt den kleinsten
Umfang.
Beispiel 2. an = n2 + n + 41 ist eine Primzahl für alle n ≤ 39!
Pn
n
2
−1
Beispiel 3.
= 2n+1
.
k=1 (4k − 1)
2.2
Deduktiv: die axiomatische Methode
Grundbegriffe werden nicht definiert, sondern durch Axiome beschrieben.
2.3
[F] §2-3
Axiome der reellen Zahlen R
• Algebraischen Axiome, Definition eines Körpers;
• Anordnungsaxiome;
• Das Archimedische Axiom (Gegenbsp. Körper der rationalen Funktionen);
• Das Vollständigkeitsaxiom (siehe Vorlesung 5)
Satz 1. Die Zahl 0 ist eindeutig bestimmt. Die Zahl 1 ist eindeutig bestimmt.
Satz 2. Für alle x ∈ R ist −x eindeutig bestimmt. Weiterhin gilt −0 = 0. Das Inverse ist eindeutig
bestimmt, und es gilt 1−1 = 1.
Satz 3. Die Gleichung a + x = b hat eine eindeutig bestimmte Lösung, nämlich x = b − a. Die
Gleichung ax = b hat eine eindeutig bestimmte Lösung, nämlich x = a−1 b.
Satz 4. x · 0 = 0 für alle x ∈ R.
Satz 5. xy = 0 genau dann wenn x = 0 oder y = 0.
Satz 6. 1 > 0
Beispiel 4. R, Q, Z, C
2.4
Die natürlichen Zahlen N := {0, 1, 2, 3, . . . }
Definition 1. Eine Teilmenge eines Körpers heißt induktiv, falls 0 ∈ M und (a ∈ M ⇒ a+1 ∈ M ).
N ist die kleinste induktive Teilmenge von R.
Definition 2.
|x| =
(
x
x≥0
−x x < 0
Satz 7. (a) Für alle x ∈ R gilt: |x| ≥ 0 und |x| = 0 genau dann wenn x = 0. (b) |xy| = |x||y|, (c)
|x + y| ≤ |x| + |y|.
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3
Analysis I, WS 2012
Folgen, Reihen und Grenzwerte I
[F] §4
3.1
Folgen reeller Zahlen (an )n∈N
Definition 1. Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent falls es ein a ∈ R gibt, so dass folgende
Bedingung gilt: für alle ε > 0 existiert ein N ∈ N so dass
|an − a| < ε
für alle n ≥ N .
Negation der Bedingung in obiger Definition: Es existiert ein ε > 0 so dass für alle N ∈ N
existiert n ≥ N mit |an − a| ≥ ε.
Notation: abgeschlossene [a, b] und offene ]a, b[ Intervalle.
Definition 2. beschränkte Folgen
Satz 1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beispiel 1.
• konstante Folge an = a; an → a,
• an =
1
n;
an → 0,
• an = (−1)n ; nicht konvergent,
• an =
n
n+1 ;
• an =
n
2n ;
an → 1,
an → 0,
• Fibonacci Zahlen, f0 = 0, f1 = 1, fn+2 = fn + fn+1 für n ≥ 0.
• unendliche Kettenbrüche; a0 = 0, an+1 = 1 +
1
1+an .
Satz 2. Das Limes einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.
Satz 3 (Regeln und Operationen mit Folgen).
(i) aus an → a und bn → b folgt an + bn → a + b;
(ii) aus an → a und bn → b folgt an bn → ab;
(iii) aus an → a und bn → b folgt λan + µbn → λa + µb;
(iv) aus an → a und bn → b mit b 6= 0 folgt
an
bn
→ ab ;
(v) aus an → a folgt |an | → |a|;
(vi) aus an → a, bn → b und an ≤ bn folgt a ≤ b;
16. Oktober 2012
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4
Analysis I, WS 2012
Folgen, Reihen und Grenzwerte II
[F] §4
[H] §1.9
4.1
Folgen
Satz 1 (Regeln und Operationen mit Folgen).
(i) aus an → a und bn → b folgt an + bn → a + b;
(ii) aus an → a und bn → b folgt an bn → ab;
(iii) aus an → a und bn → b folgt λan + µbn → λa + µb;
(iv) aus an → a und bn → b mit b 6= 0 folgt
an
bn
→ ab ;
(v) aus an → a folgt |an | → |a|;
(vi) aus an → a, bn → b und an ≤ bn folgt a ≤ b;
Satz 2 (Quetschlemma). Aus an → a, bn → a und an ≤ cn ≤ bn folgt cn → a.
•
Beispiel 1.
1
• 1+
2+
• 1+
1+
1
2+
2n2 +1
3n2 +n+1
=
√
2;
→ 23 ;
1
2+...
1
1
1+ 1
1+...
√
= 21 ( 5 + 1);
• c > 0, a0 = 1 und an+1 = 12 (an +
4.2
c
an ).
Unendliche Reihen
Definition 1. Eine unendliche Reihe ist definiert als Grenzwert der Partialsummen:
∞
X
ak = lim
k=0
n→∞
n
X
ak .
k=0
Beispiel 2. Die geometrische Reihe. Sei |x| < 1. Dann
∞
X
k=0
4.3
xk =
1
.
1−x
Bestimmte Divergenz / Uneigentliche Konvergenz
Definition 2. Bestimmt divergente Folgen (gegen ∞ oder −∞).
Satz 3. Reziprokes einer positiven (oder negativen) Nullfolge = bestimmt divergente Folge.
19. Oktober 2012
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5
Vollständigkeit
5.1
[F] §5
Analysis I, WS 2012
Cauchyfolgen und Vollständigkeit
Definition 1. Cauchyfolgen.
Satz 1. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Das Vollständigkeitsaxiom: In R ist jede Cauchyfolge konvergent.
[H] §8
Beispiel 1 (Dezimalbrüche, p-adische Brüche).
∞
X
an p−n ,
n=0
p, an ∈ N, p ≥ 2, 0 ≤ an < p.
Satz 2. Sei p ∈ N, p ≥ 2.
(i) Jeder p-adischer Bruch stellt eine Cauchyfolge dar.
(ii) Jede reelle Zahl lässt sich in einem p-adischen Bruch entwickeln.
Definition 2. Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (In )n∈N von Intervallen in R so dass
In+1 ⊂ In für alle n ∈ N,
lim |In | = 0.
und
n→∞
Satz 3 (Intervallschachtelungsprinzip).
Zu jeder Intervallschachtelung (In )n existiert genau eine
T
reelle Zahl im Durchschnitt n In .
Beispiel 2.
1+
1
2+
1
=
√
2
1
2+ 2+...
Satz 4. Q liegt dicht in R. d.h. zu jedem x ∈ R und jedem ε > 0 existiert q ∈ Q mit |x − q| < ε.
5.2
[F] §5
[H] §1.11
Teilfolgen und Häufungspunkte
Definition 3.
(i) Teilfolgen
(ii) Häufungspunkte
Beispiel 3.
• an = (−1)n ;
• falls an → a, dann ist a der einzige Häufungspunkt von (an )n∈N ;
• die rationalen Zahlen Q als eine Folge; Cantor’sches Diagonalverfahren.
23. Oktober 2012
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6
Analysis I, WS 2012
Beschränkte Folgen I
[F] §5
[H] §1.8
6.1
Satz von Bolzano-Weierstraß
Satz 1 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt.
Korollar 1. Eine beschränkte Folge konvergiert dann und genau dann, wenn sie genau einen
Häufungspunkt besitzt.
6.2
[F] §9
sup / inf und min / max
Definition 1. Supremum und Infimum einer Folge.
Satz 2. Jede nach oben beschränkte Folge besitzt ein Supremum.
Definition 2. Maximum und Minimum einer Folge.
Beispiel 1.
an =
1
, n ≥ 1,
n
an =
n
, n ≥ 0,
n+1
an =
2n
, n ≥ 1.
n2
Definition 3. Sup/Inf und Max/Min einer Teilmenge M ⊂ R.
Beispiel 2.
[a, b] und ]a, b[
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7
Beschränkte Folgen II
7.1
[F] §5
[H] §1.10
Analysis I, WS 2012
Monotone Folgen
Definition 1.
• monoton wachsend/fallend;
• streng monoton wachsend/fallend.
Satz 1. Jede beschränkte monotone Folge reeller Zahlen ist konvergent.
• Intervallschachtelungen;
n
• e = limn→∞ 1 + n1 .
Beispiel 1.
7.2
[F] §9
[H] §1.11
lim sup und lim inf
Definition 2. Limsup und liminf einer Folge.
Lemma 1. Sei (an ) beschränkt. Dann
lim inf an ≤ lim sup an .
Gleichheit besteht dann und genau dann wenn die Folge konvergent ist. In diesem Fall gilt
lim inf an = lim an = lim sup an .
Lemma 2. Sei (an )n∈N beschränkt. Dann
lim sup an = lim sup{ak : k ≥ n}
n→∞
n→∞
lim inf an = lim inf{ak : k ≥ n}
n→∞
n→∞
Beispiel 2. Sei (an )n∈N die Folge
0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, . . ..
Die Menge der Häufungspunkte von bn =
7.3
an
n+an
ist das Intervall [1/3, 1/2].
Vollständigkeit
Bolzano-Weierstraß ⇔ Vollständigkeitsaxiom ⇔ Intervallschachtelungsprinzip
Satz 2. Der Satz von Bolzano-Weierstraß impliziert das Vollständigkeitsaxiom
30. Oktober 2012
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8
Analysis I, WS 2012
Metrische Räume I
[H] §1.14
8.1
Metrische Räume (X, d)
Definition 1. Metrik d : X × X → R: für alle x, y, z ∈ X gilt
(i) d(x, y) = d(y, x);
(ii) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 genau dann wenn x = y;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Beispiel 1. R mit d(x, y) = |x − y|.
(Diskrete Metrik): Beliebige Menge X mit d(x, y) =
(
1 x 6= y
0 x=y
Beispiel 2.
n
o
Rd = x = (x(1) , x(2) , . . . , x(d) ) : x(i) ∈ R für i = 1, . . . , d
mit
|x − y| =
d
X
i=1
(x(i) − y (i) )2
1/2
, |x − y|max = max |x(i) − y (i) |, |x − y|1 =
i=1,...,d
d
X
i=1
|x(i) − y (i) |
Lemma 1. In Rd gilt
(a)
d
P
i=1
xi yi ≤ |x||y| (Cauchy-Schwarz Ungleichung);
(b) |x + y| ≤ |x| + |y| (Dreiecksungleichung).
8.2
Konvergenz in metrischen Räumen
Definition 2. Konvergenz in (X, d): xn → x falls d(xn , x) → 0.
Lemma 2. Eindeutigkeit des Limes
8.3
[H] §16
Offene und abgeschlossene Mengen
Definition 3.
• Offene Kugel Br (x) := {y ∈ X : d(x, y) < r};
• A ⊂ X ist offen, falls für alle x ∈ A ein r > 0 existiert so dass Br (x) ⊂ A;
• A ⊂ X ist abgeschlossen, falls für alle konvergente Folgen (xn )n ⊂ A mit xn → x gilt: x ∈ A.
Satz 1. Eine Menge A ⊂ X ist genau dann offen, wenn das Komplement X \ A abgeschlossen ist.
Folgende Definition wird in Aufgabe 21 benötigt, in der Vorlesung war jedoch keine Zeit mehr:
Definition 4. Sei A ⊂ X.
• Das Innere A◦ := {x ∈ A : es existiert ε > 0 so dass Bε (x) ⊂ A};
• Der Abschluss A := {x ∈ X : es existiert (xn )n ⊂ A mit xn → x};
• Der Rand ∂A := {x ∈ X : für alle ε > 0 gilt Bε (x) ∩ A 6= ∅ und Bε (x) \ A 6= ∅}.
2. November 2012
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9
Analysis I, WS 2012
Metrische Räume II
[H] §1.16
9.1
Offene und abgeschlossene Mengen
Definition 1. Sei A ⊂ X.
• Das Innere A◦ := {x ∈ A : es existiert ε > 0 so dass Bε (x) ⊂ A};
• Der Abschluss A := {x ∈ X : es existiert (xn )n ⊂ A mit xn → x};
• Der Rand ∂A := {x ∈ X : für alle ε > 0 gilt Bε (x) ∩ A 6= ∅ und Bε (x) \ A 6= ∅}.
Lemma 1.
• Der Durchschnitt endlich vieler offenen Mengen ist offen;
• Die Vereinigung beliebig vieler offenen Mengen ist offen;
• Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen;
• Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Lemma 2. Sei A ⊂ X. A◦ ist offen und A ist abgeschlossen.
Definition 2. Eine Teilmenge B ⊂ A ist dicht in A falls A ⊂ B.
Beispiel 1.
• In Rd : Br (x) = {y : |x − y| ≤ r}; ∂Br (x) = {y : |x − y| = 1};
• In R: Q = R, Q◦ = ∅, ∂Q = R;
• Für die diskrete Metrik: B1 (x) = {x}; jede Teilmenge ist offen und abgeschlossen.
9.2
Vollständigkeit und Kompaktheit
Definition 3. Cauchyfolgen
Lemma 3. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Lemma 4. Jede Cauchyfolge, die eine konvergente Teilfolge besitzt, ist selbst konvergent.
Definition 4. Beschränkte Mengen. (Folgen-)kompakte Mengen.
Lemma 5. Jede Cauchyfolge ist beschränkt.
Definition 5. Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchyfolge konvergiert.
6. November 2012
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10
10.1
Analysis I, WS 2012
Konvergenz auf Rd ; Konvergente Reihen I
Der euklidische Raum Rd
[H] §1.16
Satz 1. Charakterisierung der Konvergenz auf Rd : Konvergent komponentenweise.
Definition 1. Würfelschachtelungen.
Lemma 1 (Würfelschachtelungsprinzip). Jede Würfelschachtelung in Rd erfasst genau einen
Punkt im Durchschnitt.
Satz 2. Jede beschränkte Folge in Rd besitzt eine konvergente Teilfolge.
Korollar 1. (a) Rd ist vollständig; (b) Eine Teilmenge A ⊂ Rd ist genau dann kompakt, wenn
sie beschränkt und abgeschlossen ist.
10.2
[F] §7
[H] §1.12
Reihen mit nicht-negativen Gliedern
∞
P
Satz 3. Eine Reihe
n=1
an mit an ≥ 0 ist entweder konvergent oder bestimmt gegen ∞ divergent.
Satz 4. Majorantenkriterium.
Beispiel 1.
∞
P
n=1
10.3
1
n
= ∞ und
∞
P
n=1
1
n2
< ∞.
Absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien
Definition 2. absolute Konvergenz.
Satz 5. Cauchys Konvergenzkriterium.
Korollar 2. Wenn
∞
P
an konvergiert, dann ist (an )n eine Nullfolge.
n=1
9. November 2012
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11
[F] §7
[H] §1.16
11.1
Analysis I, WS 2012
Konvergente Reihen II
Konvergenzkriterien
Definition 1. Absolute Konvergenz.
Satz 1. Leibniz’ Konvergenzkriterium für alternierende Reihen.
Beispiel 1. Alternierende harmonische Reihe: 1 −
lim supn→∞ | aan+1
|
n
Satz 2 (Quotientenkriterium).
P1
P 1
Beispiel 2.
n divergiert,
n2 konvergiert.
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
− ...
< 1.
Satz 3. Cauchy’s Verdichtungskriterium.
Beispiel 3.
n
2
X
n
1
≥ .
k
2
k=1
Beispiel 4. Falls α > 1, dann
n
n
2
X
X
1
≤
q k−1
kα
k=1
11.2
mit q = 2−α+1 .
k=1
Umordnung von Reihen
[H] §1.19
P
P∞
Definition 2. Die Reihe ∞
n=0 bn ist eine Umordnung der Reihe
n=0 an , wenn es eine bijektive
Abbildung σ : N → N gibt so dass bn = aσ(n) für alle n.
Definition 3. Bijektive Abbildungen.
Beispiel 5. Umordungen der alternierenden harmonischen Reihe 1 −
13. November 2012
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
− ...
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12
12.1
Analysis I, WS 2012
Potenzreihen und Exponentialfunktion
Umordnung von Reihen
[H] §1.19
Satz 1 (Umordnungssatz von Dirichlet).
Satz 2 (Umordnungssatz von Riemann). Ohne Beweis.
12.2
Reelle Potenzreihen
[F] §8
[H] §1.20
Lemma 1. Falls |x| < |y| und die Reihe
absolut.
P
an y n konvergiert, dann konvergiert die Reihe
P
an xn
Definition 1 (Konvergenzradius).
n
o
X
R = sup x ∈ R :
an xn konvergent .
Satz 3. Sei
P∞
n=0
an xn eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R.
(i) Falls R = ∞, dann konvergiert die Potenzreihe für alle x ∈ R;
(ii) Falls R = 0, dann divergiert die Potenzreihe für alle x ∈ R \ {0};
(iii) Falls 0 < R < ∞, dann konvergiert die Potenzreihe absolut für alle |x| < R und divergiert
für alle |x| > R.
12.3
[F] §8
Die Exponentialfunktion
Definition 2. Für x ∈ R:
exp(x) =
∞
X
xn
.
n!
n=0
Konvergenzradius der Exponentialreihe ist R = ∞.
16. November 2012
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13
Analysis I, WS 2012
Potenzreihen und Exponentialfunktion II
13.1
Exponentialfunktion
[F] §8
[K] §8.1
Lemma 1 (Fundamentallemma für die Exponentialfunktion).
n
1
lim 1 +
= exp(1).
n→∞
n
Varianten:
• limn→∞ 1 +
• limn→∞ 1 +
Satz 1.
x n
n
= exp(x);
xn n
n
= exp(x) falls xn → x.
(i) exp(x + y) = exp(x)exp(y) für alle x, y ∈ R;
(ii) exp(−x) =
1
exp(x)
für alle x ∈ R;
(iii) exp(x) ≥ 1 + x und exp(x) > 0 für alle x ∈ R;
(iv) exp(nx) = exp(x)n für n ∈ N, x ∈ R;
(v) exp(1/n) = e1/n für n ∈ N, n 6= 0.
13.2
[F] §13
[H] §1.17
Körper der komplexen Zahlen
Satz 2. C ist ein Körper.
20. November 2012
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14
Analysis I, WS 2012
Komplexe Potenzreihen
14.1
Körper der komplexen Zahlen
[F] §13
[H] §1.17
Beispiel 1.
• Aus z 2 = w2 folgt z = ±w;
• Aus z 3 = 1 folgt z ∈ {1, − 21 + i
√
3
1
2 , −2
−
√
3
2 }
Definition 1. Komplexe Konjugierte z̄, Reeller und imaginärer Teil Re z und Im z.
Beispiel 2. Re z = 12 (z + z̄),
Satz 1.
Im z =
1
2i (z
− z̄),
|z̄| = |z|,
zw = z̄ w̄.
(i) |z| ≥ 0 und |z| = 0 genau dann wenn z = 0;
(ii) |zw| = |z||w|;
(iii) |z + w| ≤ |z| + |w|.
Satz 2. C mit der Metrik d(z, w) := |z − w| ist ein metrischer Raum.
14.2
Konvergenz in C
Definition 2. cn → c falls |cn − c| → 0.
Satz 3. cn → c genau dann wenn Re cn → Re c und Im cn → Im c.
Korollar 1. C ist vollständig.
Korollar 2. cn → c genau dann wenn cn → c̄.
14.3
Komplexe (Potenz)reihen
Beispiel 3.
(a)
n
∞ X
1+i
n=1
2−i
,
∞ n
X
i
(b)
,
n
n=1
Definition 3. Konvergenzradius der Potenzreihe
R = sup{|z| : z ∈ C und
Satz 4.
(c)
P∞
n=0 cn z
X
n
∞ X
1−i
n=1
n
1+i
.
ist
cn z n konvergent}.
(i) Falls R = ∞, dann konvergiert die Potenzreihe für alle z ∈ C;
(ii) Falls R = 0, dann divergiert die Potenzreihe für alle z ∈ C \ {0};
(iii) Falls 0 < R < ∞, dann konvergiert die Potenzreihe absolut für alle |z| < R und divergiert
für alle |z| > R.
P∞ n
Definition 4. exp(z) = n=0 zn! .
Satz 5.
(i) exp(z + w) = exp(z)exp(w) für alle z, w ∈ C;
(ii) exp(−z) =
1
exp(z)
für alle z ∈ C;
(iii) exp(z) 6= 0 für alle z ∈ C;
(iv) exp(z̄) = exp(z) für alle z ∈ C.
Beispiel 4. |eix | = 1 für alle x ∈ R.
Definition 5. cos(x) = Re (eix ) und sin(x) = Im (eix ).
23. November 2012
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15
15.1
[F] §10
Analysis I, WS 2012
Stetigkeit in metrischen Räumen I
Allgemeine Definitionen und Eigenschaften
Im Folgenden betrachten wir metrische Räume (X, dX ) und (Y, dY ) und Funktionen
[H] §2.1-2.3
f : D → Y,
[K] §7.1
wobei D ⊂ X eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f ). Falls Y = R, heißt die Funktion
reellwertig. Falls Y = C, heißt die Funktion komplexwertig. Falls Y = Rd , d > 1, heißt die Funktion
vektorwertig.
Definition 1. Die Funktion f ist stetig im Punkt x0 ∈ D wenn
∀ (xn )n∈N ⊂ D mit lim xn = x0 gilt : lim f (xn ) = f (x0 ).
n→∞
n→∞
Die Funktion f ist stetig in D wenn sie in jedem Punkt x ∈ D stetig ist.
Beispiel 1. Konstante Funktion und Identität stetig, Charakteristische Funktion einer Menge
A ⊂ X stetig in x ∈ X \ ∂A.
Lemma 1 (Summe, Produkt und Quotient). Falls f, g reellwertig und stetig, dann f + g und f g
stetig. Falls zusätzlich g(x0 ) 6= 0, dann f /g stetig im Punkt x0 .
Lemma 2 (Vektorwertige Funktionen). Eine vektorwertige Funktion f = (f1 , . . . , fd ) ist genau
dann im x0 ∈ D stetig, wenn jede Komponente fi , i = 1 . . . d stetig im x0 ist. Falls f, g vektorwertige, stetige Funktionen sind, ist auch f + g stetig. Falls h reellwertig und stetig ist, ist auch f h
stetig.
Lemma 3 (Die Abstandsfunktion). Sei x0 ∈ X. Die Funktion f : X → R definiert durch
f (x) = d(x, x0 )
ist stetig. Insbesondere ist die Funktion f (x) = |x|, f : R → R stetig.
Sei f : D ⊂ X → Y eine Funktion und A ⊂ D eine Teilmenge vom Definitionsbereich D. Das
Bild von A unter f ist die Teilmenge von Y definiert durch
f (A) := {f (x) : x ∈ A}.
[H] §2.4
Lemma 4 (Verknüpfung). Seien (X, dX ), (Y, dY ), (Z, dZ ) metrische Räume. Sei f : D ⊂ X → Y
stetig im Punkt x0 und g : f (D) → Z stetig im Punkt f (x0 ). Dann ist die Verknüpfung g ◦ f :
D → Z definiert durch g ◦ f (x) = g(f (x)) stetig im x0 .
[F] §11
Satz 1 (ε-δ Kriterium). Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann stetig im Punkt x0 , wenn
∀ε > 0
27. November 2012
∃ δ > 0 ∀ x ∈ D mit dX (x, x0 ) < δ :
dY (f (x), f (x0 )) < ε.
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16
Analysis I, WS 2012
Stetigkeit in metrischen Räumen II
Im Folgenden betrachten wir metrische Räume (X, dX ) und (Y, dY ) und Funktionen
f : D → Y,
wobei D ⊂ X eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f ). Sei B ⊂ Y eine Teilmenge. Das
Urbild von B unter f ist die Teilmenge von X definiert durch
f −1 (B) := {x ∈ D : f (x) ∈ B}.
Satz 1. Eine Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann stetig in D, wenn
∀ U ⊂ Y offen :
f −1 (U ) offen .
Beispiel 1. Sei f : X → R stetig und c ∈ R. Dann ist
f −1 (] − ∞, c[) = {x ∈ X : f (x) < c}
offen. Die Nullstellenmenge f −1 (0) = {x ∈ X : f (x) = 0} ist abgeschlossen.
16.1
Stetige Funktionen auf kompakten Mengen
Erinnerung (aus Vorlesung 9): eine Teilmenge K ⊂ X heißt kompakt, wenn jede Folge (xn )n∈N in
K eine konvergente Teilfolge besitzt.
In Rd sind die kompakte Mengen genau die beschränkte und abgeschlossene Mengen. Daraus
folgt:
[F] §11
[H] §2.6
Satz 2. Sei K ⊂ R kompakt und nichtleer. Dann besitzt K Minimum und Maximum. D.h. es
existieren xm , xM ∈ K so dass für alle x ∈ K gilt:
xm ≤ x ≤ xM .
Satz 3. Sei K ⊂ X kompakt und f : K → Y stetig. Dann ist die Bildmenge f (K) ⊂ Y kompakt.
Korollar 1. Sei K ⊂ X kompakt und f : K → R stetig. Dann besitzt f Minimum und Maximum
auf K. D.h. es existieren xm , xM ∈ K so dass für alle x ∈ K gilt:
f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ).
16.2
[F] §11
[H] §2.8
Gleichmäßige Stetigkeit
Definition 1. Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist gleichmäßig stetig auf D, wenn:
∀ε > 0
∃δ > 0
∀ x, y ∈ D mit dX (x, y) < δ :
Beispiel 2. Die Funktion f (x) =
1
x
dY (f (x), f (y)) < ε.
ist stetig aber nicht gleichmäßig stetig auf ]0, 1[.
Satz 4. Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann gleichmäßig stetig auf D, wenn für alle
Folgen (xn )n∈N , (yn )n∈N ⊂ D mit lim dX (xn , yn ) = 0 gilt:
n→∞
lim dY f (xn ), f (yn ) = 0.
n→∞
Satz 5. Falls K ⊂ X kompakt und f : K → Y stetig, dann ist f gleichmäßig stetig auf K.
30. November 2012
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17
Analysis I, WS 2012
Stetigkeit R → R
Im Folgenden betrachten wir Funktionen
f : D → R,
wobei D ⊂ R eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f ).
17.1
[F] §10
[H] §2.3
Grenzwerte von Funktionen
Definition 1. Sei a ∈ D. Man definiert
lim f (x) = c, falls ∀ (xn )n∈N ⊂ D mit lim xn = a gilt: lim f (xn ) = c;
[K] §7.7-7.8
x→a
n→∞
n→∞
lim f (x) = c, falls ∀ (xn )n∈N ⊂ D mit lim xn = ∞ gilt: lim f (xn ) = c;
x→∞
n→∞
n→∞
lim f (x) = c, falls ∀ (xn )n∈N ⊂ D mit
(
xn > a,
lim xn = a
gilt: lim f (xn ) = c;
lim f (x) = c, falls ∀ (xn )n∈N ⊂ D mit
(
xn < a,
lim xn = a
gilt: lim f (xn ) = c;
lim f (x) = c, falls ∀ (xn )n∈N ⊂ D mit
(
xn 6= a,
lim xn = a
gilt: lim f (xn ) = c.
xցa
xրa
x→a
x6=a
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Beispiel 1.
lim exp x = 1,
x→0
lim χ]∞,0] (x) = 1,
xր0
lim χ]∞,0] (x) = 0.
xց0
Definition 2. f : D ⊂ R → R ist stetig im Punkt a ∈ D falls lim f (x) = f (a).
x→a
Beispiel 2. exp : R → R ist stetig.
17.2
[F] §11
[H] §2.5
[K] §7.4
Zwischenwertsatz
Satz 1 (Zwischenwertsatz). Sei f : [a, b] → R stetig, a < b und y ∈ R mit f (a) ≤ y ≤ f (b). Dann
existiert x ∈ [a, b] mit f (x) = y.
Korollar 1. Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R stetig. Dann ist f (I) auch ein Intervall.
17.3
Monotone Funktionen
Definition 3. Monotone/Streng monotone Funktionen.
Lemma 1. Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → R streng monoton. Dann ist f : I → f (I) bijektiv,
d.h. zu jedem y ∈ f (I) existiert genau ein x ∈ I mit f (x) = y.
Satz 2 (Umkehrfunktion, allgemeine metrische Räume). Sei f : K ⊂ X → Y stetig und bijektiv.
Dann ist f −1 : Y → K stetig.
[F] §11
[H] §2.5
Satz 3 (Umkehrfunktion, R → R). Sei f : [a, b] → [c, d] stetig und bijektiv. Dann ist f −1 : [c, d] →
[a, b] stetig.
4. Dezember 2012
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18
18.1
[F] §12-13
[H] §3.4
[K] §8.2-8.4
Analysis I, WS 2012
Elementare Funktionen und Grenzwerte I
Exponentialfunktion und Logarithmus
Lemma 1. (i) Die (komplexe) Exponentialfunktion (Vorlesung 14) exp : C → C ist stetig.
(ii) Die (reelle) Exponentialfunktion (Vorlesug 12) exp : R → R ist streng monoton wachsend.
Beispiel 1.
lim exp(x) = ∞,
lim exp(x) = 0.
x→∞
x→−∞
Definition 1. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von exp : R →]0, ∞[, also
log = exp−1 .
log :]0, ∞[→ R,
Beispiel 2. log :]0, ∞[→ R ist stetig, streng monoton wachsend und log(1) = 0.
Lemma 2 (Funktionalgleichung für log). Für alle x, y > 0 gilt
log(xy) = log(x) + log(y).
Insbesondere log x1 = − log x.
Definition 2. Die Exponentialfunktion zu Basis a > 0 ist definiert als
expa : R → R,
expa (x) = exp x log(a) .
Lemma 3. expa : R → R ist stetig und es gilt
(i) expa (x + y) = expa (x) expa (y),
(ii) expa (n) = an für n ∈ N,
√
(iii) expa ( pq ) = q ap für p ∈ Z, q ∈ N mit q ≥ 2.
√
Beispiel 3. Für alle a > 0 gilt lim n a = 1.
n→∞
18.2
[F] §12
Einige Grenzwerte mit exp und log
Beispiel 4. Sei k ∈ N.
ex
= ∞,
x→∞ xk
lim
lim xk e−x = 0,
x→∞
Beispiel 5. Die Funktion f : R → R, f (x) =
(
1
e− x
0
1
lim xk e x = ∞.
xց0
x>0
ist stetig.
x≤0
Beispiel 6.
lim log x = ∞,
x→∞
lim log x = −∞.
xց0
Beispiel 7. Sei α > 0.
lim xα = 0,
xց0
Beispiel 8.
lim x−α = ∞,
xց0
lim
x→∞
log x
= 0,
xα
lim xα log x = 0.
xց0
ex − 1
= 1.
x→0
x
lim
x6=0
7. Dezember 2012
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19
19.1
[F] §14
Analysis I, WS 2012
Elementare Funktionen und Grenzwerte II
Trigonometrische Funktionen
Definition 1 (vgl. Vorlesung 14).
[H] §3.5
cos x = Re(eix ),
[K] §8.6
sin x = Im(eix )
Euler’sche Identität: eix = cos x + i sin x.
1
Satz 1. (i) cos x = 12 (eix + e−ix ),
sin x = 2i
(eix − e−ix )
(ii) cos(−x) = cos x,
sin(−x) = − sin x
(iii) cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
Notation: cos2 (x) = (cos x)2 , sin2 (x) = (sin x)2
Satz 2. cos, sin : R → R sind stetig.
Satz 3 (Additionstheorem). (i) cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
(ii) sin(x + y) = sin x cos y − sin y cos x.
Satz 4 (Potenzreihen). cos x =
∞
P
2k
x
,
(−1)k (2k)!
sin x =
k=0
k=0
Beispiel 1. lim
x→0
x6=0
19.2
[F] §14
[K] §8.7
sin x
x
∞
P
2k+1
x
.
(−1)k (2k+1)!
= 1.
Die Zahl π
Satz 5. Die Funktion cos hat genau eine Nullstelle im Intervall [0, 2]
Definition 2. Die (eindeutige) Nullstelle von cos im Intervall [0, 2] wird mit
π
Satz 6. ei 2 = i,
eiπ = −1,
ei
3π
2
= −i,
Korollar 1 (Nullstellen von sin und cos).
(ii) cos x = 0 genau dann, wenn x =
π
2
π
2
bezeichnet.
e2iπ = 1.
(i) sin x = 0 genau dann, wenn x = kπ für ein k ∈ Z;
+ kπ für ein k ∈ Z.
Korollar 2. eix = 1 genau dann, wenn x = 2kπ für ein k ∈ Z.
Korollar 3. Sei n ≥ 2. Die Gleichung z n = 1 hat genau n komplexe Lösungen ei
0, 1, . . . , n − 1.
2πk
n
, k =
Satz 7. Umfang des Einheitskreises in der Ebene = 2π.
11. Dezember 2012
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20
Analysis I, WS 2012
Die Funktionen tan, arctan, arcsin und arccos
Definition 1. tan : R \ { π2 + kπ : k ∈ Z} → R
Satz 1. (i) cos : [0, π] → [−1, 1] streng monoton fallend und surjektiv;
(ii) sin : [− π2 , π2 ] → [−1, 1] streng monoton wachsend und surjektiv;
(iii) tan :] − π2 , π2 [→ R streng monoton wachsend und surjektiv.
Definition 2. arcsin, arccos : [−1, 1] → R, arctan : R → R
Satz 2 (Polarkoordinaten). Zu jeder komplexen Zahl z ∈ C existiert r ≥ 0 und θ ∈ [−π, π] so
dass z = reiθ .
21
[F] §15
Differentialrechnung auf R
Im Folgenden betrachten wir Funktionen
[H] §3.1
f : D ⊂ R → C.
[K] §9.1
21.1
Differenzierbare Funktionen
Definition 3. Die Funktion f ist im Punkt a ∈ D differenzierbar, falls der Grenzwert
f ′ (a) = x→a
lim
x6=a
f (x) − f (a)
x−a
existiert.
Beispiel 1. Sei n ∈ N, n ≥ 1 und c ∈ C.
d n
x = nxn−1 ,
dx
d cx
e = cecx ,
dx
d
1
log x = ,
dx
x
d
sin x = cos x,
dx
d
cos x = − sin x.
dx
Satz 3. f ist genau dann differenzierbar in a ∈ D, wenn es eine Funktion ϕ : D → C existiert so
dass
(i) ϕ ist stetig im Punkt a;
(ii) f (x) − f (a) = (x − a)ϕ(x) für alle x ∈ D.
In diesem Fall f ′ (a) = ϕ(a).
Korollar 1. Ist f : D ⊂ R → C im Punkt a ∈ D differenzierbar, so ist sie auch stetig.
Beispiel 2. x 7→ |x| nicht differenzierbar im Punkt x = 0.
14. Dezember 2012
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22
Analysis I, WS 2012
Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Im Folgenden betrachten wir Funktionen
f : D ⊂ R → C.
Satz 1 (Lineare Approximation). f ist genau dann in a ∈ D differenzierbar, wenn es eine lineare
Funktion L : R → C existiert, so dass
f (a + h) − f (a) − L(h)
= 0.
h→0
h
lim
In diesem Fall gilt: L(h) = f ′ (a)h.
22.1
[F] §15
[K] §8.1
[K] §9.2
Ableitungsregeln
Satz 2 (Algebraische Regeln).
(i) (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x);
(ii) (Produktregel) (f g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x);
′
′
(x)g′ (x)
.
(iii) (Quotientenregel) fg (x) = f (x)g(x)−f
g2 (x)
Satz 3 (Kettenregel).
(g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x))f ′ (x).
Satz 4 (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei g die Umkehrfunktion von f . Dann
g ′ (x) =
22.2
[F] §16
[K] §9.3
1
f ′ (g(x))
.
Extrema
Im Folgenden betrachten wir Funktionen
f : D ⊂ R → R.
Definition 1. Extrema = lokales Maximum/Minimum einer Funktion.
Satz 5. Sei x ein lokales Maximum/Minimum von f und f differenzierbar im Punkt x. Dann
f ′ (x) = 0.
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23
Analysis I, WS 2012
Probeklausur
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24
24.1
Analysis I, WS 2012
Mittelwertsatz und Anwendungen
Mittelwertsatz
Satz 1 (Satz von Rolle). Sei f : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzierbar, mit f (a) = f (b).
Dann existiert ξ ∈]a, b[ so dass f ′ (ξ) = 0.
Satz 2 (Mittelwertsatz). Sei f : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzierbar. Dann existiert ein
ξ ∈]a, b[ so dass
f (b) − f (a)
= f ′ (ξ).
b−a
Korollar 1. f ′ (x) = 0 für alle x ∈]a, b[ =⇒ f ist konstant.
24.2
Regel von de l’Hopital
Satz 3 (Verallgemeinertes Mittelwertsatz). Seien f, g : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzierbar. Dann existiert ein ξ ∈]a, b[ so dass
f ′ (ξ)
f (b) − f (a)
= ′ .
g(b) − g(a)
g (ξ)
Satz 4 (l’Hopital’sche Regeln). Seien f, g :]a, b[→ R differenzierbar und g ′ (x) 6= 0 für alle x ∈]a, b[.
In jedem der beiden Situationen
(a) f (x) → 0 und g(x) → 0 mit x ց a;
(b) f (x) → ∞ und g(x) → ∞ mit x ց a
f ′ (x)
,
′
xցa g (x)
gilt: Existiert lim
f (x)
xցa g(x)
so existiert auch lim
und
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
.
xցa g(x)
xցa g (x)
lim
Beispiel 1.
log x
xց0 1/x
lim (x log x) = lim
xց0
Beispiel 2.
1
x − sin x
1
lim
= lim
−
xց0 sin x
xց0
x
x sin x
l’Hopital
=
lim
xց0
l’Hopital
=
1/x
= 0.
xց0 −1/x2
lim
1 − cos x
x cos x + sin x
l’Hopital
=
lim
xց0
sin x
= 0.
2 cos x − x sin x
Eine bessere Lösung ist die Potenzreihe für sin x zu nutzen:
sin x = x −
so dass, mit
F (x) =
folgt
x−sin x
x sin x
=
x3 F (x)
x2 −x4 F (x)
8. Januar 2013
=
xF (x)
1−x2 F (x) .
x3
x5
x7
+
−
+ ...,
3!
5!
7!
x2
x4
1
−
−
+ ...
3!
5!
7!
Da F (0) = 1/6, erhalten wir limց
x−sin x
x sin x
= 0.
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25
25.1
Analysis I, WS 2012
Extrema, Monotonie
Kriterium für Extrema
Satz 1. Sei f :]a, b[→ R differenzierbar und f ′ (x0 ) = 0. Dann hat f in x0 ein
• lokales Minimum, falls ∃ ε > 0 so dass f ′ ≤ 0 in ]x0 − ε, x0 [ und f ′ ≤ 0 in ]x0 − ε, x0 [;
• lokales Maximum, falls ∃ ε > 0 so dass f ′ ≥ 0 in ]x0 − ε, x0 [ und f ′ ≥ 0 in ]x0 − ε, x0 [;
25.2
Monotonie
Satz 2 (Monotoniekriteria). Ist f : D → R differenzierbar, so gilt
• f ′ > 0 in D ⇒ f ist streng monoton wachsend,
• f ′ < 0 in D ⇒ f ist streng monoton fallend,
• f ′ ≥ 0 in D ⇔ f ist monoton wachsend,
• f ′ ≤ 0 in D ⇔ f ist monoton fallend.
Beispiel 1. x 7→ (1 + x1 )x ist streng monoton wachsend.
Satz 3. Sei f : D → R differenzierbar und in x0 zweimal differenzierbar, mit
f ′ (x0 ) = 0,
f ′′ (x0 ) > 0.
Dann ist x0 ein strenges lokales Maximum.
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26
Analysis I, WS 2012
Konvexität
[F] §16
[K] §9.7-9.8
Definition 1. f : [a, b] → R ist konvex, falls für alle x, y ∈ [a, b] und alle 0 < λ < 1 gilt:
f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
f ist konkav falls −f konvex ist.
Satz 1. Sei f :]a, b[→ R zweimal differenzierbar. Dann
f ist konvex in ]a, b[ ⇔ f ′′ (x) ≥ 0 für alle x ∈]a, b[.
26.1
Anwendungen von Konvexität
Lemma 1 (Geometrische/arithmetische Mittel). Sei x, y > 0 und 0 < λ < 1. Dann gilt
xλ y 1−λ ≤ λx + (1 − λ)y.
Definition 2 (p-Norm). Sei p ≥ 1 und z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn . Die p-Norm von z ist
kzkp :=
n
X
k=1
|zk |
p
!1/p
.
1
p
1
q
Satz 2 (Hölder’sche Ungleichung). Sei p, q > 1 so dass
n
X
k=1
+
= 1. Dann gilt
|zk wk | ≤ kzkpkwkq
für alle z, w ∈ Cn .
Satz 3. Sei p ≥ 1. Dann gilt
n
kz + wkp ≤ kzkp + kwkp
für alle z, w ∈ C .
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27
Analysis I, WS 2012
Das Riemann’sche Integral
Definition 1. φ : [a, b] → R ist eine Treppenfunktion, φ ∈ T [a, b], falls eine Unterteilung a =
x0 < x1 < · · · < xn = b existiert so dass φ ist konstant (= ck ) auf jedem offenem Teilintervall
]xk , xk+1 [.
Lemma 1. T [a, b] ist ein Vektorraum.
Definition 2 (Integral für Treppenfunktionen).
ˆ
b
φ(x) dx =
a
n−1
X
k=0
ck (xk+1 − xk ).
Satz 1. Das Integral auf T [a, b] ist linear und monoton. Letzteres heißt
φ≤ψ ⇒
ˆ
b
φ(x) dx ≤
a
ˆ
b
ψ(x) dx.
a
Definition 3. Sei f : [a, b] → R beschränkt. Das Ober-/Unterintegral ist definiert als
(ˆ
)
ˆ
∗b
b
a
ˆ
a
b
f (x) dx = sup
(ˆ
b
a
∗a
f ist Riemann-integrierbar, f ∈ R[a, b] falls
ˆ
a
27.1
ψ(x) dx : φ ∈ T [a, b], ψ ≥ f
f (x) dx = inf
b
φ(x) dx : ψ ∈ T [a, b], φ ≤ f
´ ∗b
a
f (x) dx =
f (x) dx :=
ˆ
∗b
´b
a∗
,
)
.
f (x) dx. In diesem Fall
f (x) dx.
a
Charakterisierung von Riemann-integrierbaren Funktionen
Satz 2 (Einschliessung zwischen Treppenfunktionen). f ∈ R[a, b] genau dann, wenn für alle ε > 0
´b
es existiert φ, ψ ∈ T [a, b] so dass φ ≤ f ≤ ψ und a (ψ − φ)(x) dx ≤ ε.
Satz 3. Jede stetige Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.
Satz 4. Jede monotone Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.
Satz 5. R[a, b] ist ein Vektorraum und das Riemann Integral ist linear und monoton auf R[a, b].
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28
28.1
Analysis I, WS 2012
Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung
Riemann’sche Summen
Definition 1. Eine Zerlegung Z = (xk )k=0...n des Intervalls [a, b] ist eine streng monotone Folge
a = x0 < x1 < · · · < xn = b, mit Feinheit ∆(Z) = maxk (xk − xk−1 ). Für beliebige Stützstellen
ξk ∈ [xk−1 , xk ] und stetige Funktionen f : [a, b] → R definieren wir die Riemann’sche Summe
S(f, Z) =
n
X
k=1
f (ξk )(xk − xk−1 ).
Die Ober-/Untersummen sind definiert als
S ∗ (f, Z) =
n
X
k=1
max f (xk − xk−1 ),
S∗ (f, Z) =
[xk−1 ,xk ]
so dass S∗ (f, Z) ≤ S(f, Z) ≤ S ∗ (f, Z).
n
X
k=1
max f (xk − xk−1 ),
[xk−1 ,xk ]
Satz 1. Sei f : [a, b] → R stetig. Dann
lim
∆(Z)→0
Beispiel 1.
ˆ
a
0
n
X
k=1
f (ξk )(xk − xk−1 ) =
a2
x dx = ,
2
Beispiel 2.
lim
n→∞
Beispiel 3.
∞
X
ˆ
1
n
X
k=1
b
f (x) dx.
a
1
dx = log a, a > 1.
x
1
= log(2).
n+k
(−1)k+1
k=1
28.2
a
ˆ
1
= log(2).
k
Das unbestimmte Integral
Satz 2. Sei f : [a, b] → R stetig und setze
ˆ
F (x) :=
x
x ∈ [a, b].
f (t) dt
a
Dann ist F differenzierbar in ]a, b[ und
d
dx F (x)
= f (x).
Definition 2 (Stammfunktion). Eine differenzierbare Funktion F :]a, b[→ R heißt Stammfunktion
d
von f falls dx
F (x) = f (x).
Satz 3. Wenn F, G beide Stammfunktionen von f sind, dann F − G =konstant.
Satz 4 (Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei f : [a, b] → R stetig und F
eine Stammfunktion von f . Dann gilt
ˆ b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
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29
29.1
Integrationsmethoden
Stammfunktionen
(i)
(v)
xs+1
, s 6= −1,
x dx =
s+1
ˆ
ˆ
(vii)
1
(ii)
dx = log x
x
ˆ
(iv)
cos x dx = sin x
ˆ
s
ˆ
(iii)
29.2
Analysis I, WS 2012
sin x dx = − cos x,
x
1
√
dx = arcsin x
1 − x2
ˆ
1
(viii)
dx = tan x
(cos x)2
x
e dx = e ,
(vi)
1
dx = arctan x,
1 + x2
ˆ
ˆ
Substitutionsregel
Satz 5. Sei f : D → R stetig und φ : [a, b] → R stetig differenzierbar mit φ([a, b]) ⊂ D. Dann gilt
ˆ
b
f (φ(t))φ′ (t) dt =
a
ˆ
φ(b)
f (x) dx.
φ(a)
Beispiel 4.
1
p
π
1 − x2 dx = .
2
−1
ˆ
29.3
Partielle Integration
Satz 6. Seien f, g : [a, b] → R stetig differenzierbar. Dann
ˆ
29.4
b
′
f (x)g (x) dx =
a
[f (x)g(x)]ba
−
ˆ
b
f ′ (x)g(x) dx.
a
Uneigentliche Integrale
Definition 3.
1.
2.
3.
Beispiel 5.
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