Mathcad - Kombinatorik.mcd

Kombinatorik
1
Kombinatorik
Permutationen
Permutationen eines Kollektivs
Die Funktion Pperm_a gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Anordnungen oder Permutationen an, die sich
bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . . oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter
Elemente ergeben, wenn alle n Zahlen oder Elemente des Kollektivs an der Umordnung teilnehmen. Das
Charakteristikum der Permutationen ist die Reihenfolge der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder in
einzelnen Gruppen bei der Umordnung.
Alle Rechenvorgänge werden mit Hilfe des Rechenprogramms MathCad durchgeführt. Alle für die Rechnung
notwendigen Parameter und Variable müssen örtlich vor der Auswertung mit Hilfe der entsprechenden
Berechnungsformeln definiert sein. Nach Möglichkeit wird die MathCad-Syntax verwendet.
Rechenbeispiel
Parameter und Variable
Anzahl der Elemente
n := 3
Auswertung
Anzahl der Anordnungen
Pperm_a := n!
Pperm_a = 6
Berechnung der Anzahl der Anordnungen mit Hilfe von MathCad
Pperm_a := permut ( n , n)
MathCad-Syntax
Ausgangsmenge der Elemente
123
Mögliche Anordnungen der Elemente
123
132
Pperm_a = 6
213
231
312
321
Permutationen unterschiedlicher Gruppen von Elementen eines Kollektivs
Die Funktion Pperm_b gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Anordnungen oder Permutationen an, die
sich bei der Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . .oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter
Elemente ergeben, wenn von den insgesamt n Zahlen oder Elementen p1 Zahlen oder Elemente von einer
gleichen Art, p2 Zahlen oder Elemente von einer zweiten anderen Art und schließlich pk Zahlen oder Elemente
von einer k -ten Art sind, wobei die Summe der Zahlen oder Elemente der Gruppen p1 , p2 bis pk wiederum gleich
der Gesamtzahl n der Elemente ist. Das Charakteristikum der Permutationen ist die Reihenfolge der Elemente in
der gesamten Ausgangsmenge oder in einzelnen Gruppen gleicher oder unterschiedlicher Größe bei der
Umordnung.
Rechenbeispiel
Parameter und Variable
Anzahl der jeweils gleichartigen Elemente in den einzelnen Gruppen
Die Nummerierung der Gruppen erfolgt mit dem Index i = 0, 1, 2 . . .k -1. Die Gruppenzahlen p sind sind in einer
Matrix zusammengestellt. Bei Verwendung des Rechenprogramms MathCad beginnt die Indizierung der
Feldelemente der Matrix bei der Einstellung ORIGIN = 0 (Startindex) mit Null. Durch die Verwendung der Matrix für
die Gruppenzahlen p0 , p1 . . . pk-1 als Elemente wird die Anwendung der Rechenoperatoren der iterativen
Addition Σ und Multiplikation Π ermöglicht.
Anzahl der gleichen Elemente
je Gruppe (Matrix nach MathCad)
Anzahl der Gruppen mit jeweils
gleichen Elementen
Gesamtzahl der Elemente
(Iterative Addition nach MathCad)
19.5.2004
1 

2 
p := 
p0 = 1
p1 = 2
ORIGIN = 0
k := 2
k −1
n :=
∑
pi
n=3
i = 0
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
Auswertung
n!
Pperm_b :=
Ausgangsmenge der Elemente
Mögliche Anordnung der Elemente
Pperm_b = 3
k −1
∏
Anzahl der Permutationen
(Iterative Multiplikation nach
MathCad)
2
ORIGIN = 0
pi!
i = 0
122
122
Rechenbeispiel
212
 1 
p :=  2 
1 
 
Parameter und Variable
Anzahl der gleichen Elemente
je Gruppe
Anzahl der Gruppen mit jeweils
gleichen Elementen
k := 3
Gesamtzahl der Elemente
n :=
221
p0 = 1
p1 = 2
p2 = 1
k −1
∑
n=4
pi
i = 0
Auswertung
n!
Pperm_b :=
Anzahl der Permutationen
Pperm_b = 12
k −1
∏
ORIGIN = 0
pi!
i = 0
Ausgangsmenge der Elemente
1223
Mögliche Anordnung der Elemente
1223
3221
1322
3122
1232
2321
2231
2213
2123
2132
3212
2312
Kombinationen
Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen
Die Funktion Pkom_a gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Kombinationen an, die sich bei der
Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . .oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in
Gruppen gleicher Größe zu p Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen, d.h.
jede Zahl oder Element darf in der Gruppe nur einmal enthalten sein, ergeben. Das Charakteristikum der
Kombinationen ist das Vorhandensein der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder in einzelnen Gruppen
gleicher oder unterschiedlicher Größe bei der Umordnung.
Rechenbeispiel
Parameter und Variable
Anzahl der Elemente
n := 3
Anzahl der Elemente je Gruppe
p := 2
n
P kom _ a =  
 p
Binominalkoeffizient
Auswertung
Anzahl der Kombinationen
0≤p≤n=1
Boolescher Operator
Pkom_a :=
n!
p! ⋅ ( n − p)!
Pkom_a = 3
Berechnung der Anzahl der Kombinationen mit Hilfe von MathCad
MathCad-Syntax
19.5.2004
0≤p≤n=1
Boolescher Operator
Pkom_a := combin ( n , p)
Binominalkoeffizient
Pkom_a = 3
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
Ausgangsmenge der Elemente
123
Mögliche Anordnung der Elemente
12
13
3
23
Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholungen
Die Funktion Pkom_b gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Kombinationen an, die sich bei der
Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . .oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in
Gruppen gleicher Größe zu p Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholungen, d.h.
jede Zahl oder Element darf in der Gruppe bis zu p-mal enthalten sein, ergeben. Das Charakteristikum der
Kombinationen ist das Vorhandensein der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder in einzelnen Gruppen
gleicher oder unterschiedlicher Größe bei der Umordnung.
Rechenbeispiel
Parameter und Variable
Anzahl der Elemente
n := 3
Anzahl der Elemente je Gruppe
p := 2
Boolescher Operator
 n + p − 1  n + p − 1
Pkom _ b = 
=

p

  n −1 
Binominalkoeffizient
0≤p≤n=1
Auswertung
Pkom_b :=
Anzahl der Kombinationen
( n + p − 1)!
Pkom_b = 6
p! ⋅ ( n − 1)!
Berechnung der Anzahl der Anordnungen mit Hilfe von MathCad
0≤p≤n=1
Boolescher Operator
Anzahl der Kombinationen
MathCad-Syntax
Pkom_b := combin [ ( n + p − 1) , p]
Ausgangsmenge der Elemente
123
Mögliche Anordnungen der Elemente
11
12
13
23
Binominalkoeffizient
22
Pkom_b = 6
33
Bei der experimentellen Nachprüfung des Ergebnisses muss die Ausgangsmenge der Elemente wegen der
Wiederholungen p-mal vorhanden sein.
Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, mit variabler Gruppengröße und ohne
Wiederholungen
Die Funktion Pkom_c gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Kombinationen an, die sich bei der
Umordnung der natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . .oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in
Gruppen variabler Größe von 1 bis p Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne
Wiederholungen, d.h. jede Zahl oder Element darf in der Gruppe nur einmal enthalten sein, ergeben. Das
Charakteristikum der Kombinationen ist das Vorhandensein der Elemente in der gesamten Ausgangsmenge oder
in einzelnen Gruppen gleicher oder unterschiedlicher Größe bei der Umordnung.
Rechenbeispiel
Parameter und Variable
Anzahl der Elemente
n := 3
Auswertung
Anzahl der Kombinationen
n
Pkom_c := 2 − 1
Ausgangsmenge der Elemente
123
Mögliche Anordnung der Elemente
1
19.5.2004
2
3
12
Pkom_c = 7
13
23
123
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
4
Variationen
Variationen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung
Die Funktion Pvar_a gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Variationen an, die sich bei der Umordnung der
natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . . oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in Gruppen zu je
p Elementen ergeben. Das Charakteristikum der Variationen ist die Reihenfolge der Elemente in den einzelnen
Gruppen der Ausgangsmenge bei der Umordnung.
Rechenbeispiel
Parameter und Variable
Anzahl der Elemente
n := 3
Anzahl der Elemente je Gruppe
p := 2
Auswertung
Pvar_a :=
Anzahl der Variationen
n!
( n − p)!
n
Pvar_a = p !  
p
Pvar_a := p! ⋅ combin ( n , p)
Ausgangsmenge der Elemente
123
Mögliche Anordnungen der Elemente
12
13
23
21
31
Pvar_a = 6
Pvar_a = 6
MathCad-Syntax
32
Soll die gesamte Ausgangsmenge variiert werden, handelt es sich um eine Permutation. Dann gilt n = p.
Variationen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung
Die Funktion Pvar_b gibt die kombinatorische Anzahl der möglichen Variationen an, die sich bei der Umordnung der
natürlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3 . . . oder entsprechend bezifferter oder bezeichneter Elemente in Gruppen
gleicher Größe zu je p Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholungen, d.h. jede Zahl
oder jedes Element darf in der Gruppe bis zu p-mal enthalten sein, ergeben. Das Charakteristikum der Variationen
ist die Reihenfolge der Elemente in den einzelnen Gruppen der Ausgangsmenge bei der Umordnung.
Rechenbeispiel
Parameter und Variable
Anzahl der Elemente
n := 3
Anzahl der Elemente je Gruppe
p := 2
Auswertung
Anzahl der Variationen
p
Pvar_b := n
Ausgangsmenge der Elemente
123
Mögliche Anordnungen der Elemente
11
12
Pvar_b = 9
13
22
23
33
21
31
32
Bei der experimentellen Nachprüfung des Ergebnisses muss die Ausgangsmenge der Elemente wegen der
Wiederholungen p-mal vorhanden sein.
Verteilungen
Verteilung von gleichartigen Kugeln auf Kästen
N gleiche Kugeln werden auf n unterscheidbare Kästen so verteilt, dass alle möglichen Verteilungen vorkommen.
Jeder Kasten ist so groß, dass er unter Umständen alle verfügbaren Kugeln fassen kann. Die Anzahl der
Möglichkeiten, die Kugeln auf die Kästen zu verteilen, beträgt
 N + n − 1  N + n − 1
P vert _ a = 
=

 N   n −1 
P vert _ a = combinN
( + n − 1,N ) = combin(N + n − 1, n − 1)
MathCad-Syntax
19.5.2004
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
Verteilung von N = 3 gleichartigen Kugeln auf
n = 3 Kästen mit k = 10 Möglichkeiten der Umstellung
Vorratsbehälter für N Kugeln
n2
n3
k
n1
1
3
0
0
2
0
3
0
3
0
0
3
4
2
1
0
5
1
2
0
6
2
0
1
7
1
0
2
8
0
2
1
9
0
1
2
10
1
1
1
5
Rechenbeispiel
Variable und Parameter
Auswertung
N := 3
n := 3
MathCad-Syntax
Pvert_a := combin ( N + n − 1 , N)
Pvert_a = 10
Die Verteilung Pvert_a entspricht formelmäßig der
Kombination Pkom_b.
Verteilung von gekennzeichneten Kugeln auf Kästen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Verteilung von N = 3 gekennzeichneten Kugeln
auf n = 3 Kästen mit P vert_b = 27 Möglichkeiten
1
1
2
1
2 3
3
Vorratsbehälter für N Kugeln
1
2
2
3
1
3
2
4
1
2
3
5
1
3
2
6
2
3
1
7
2
1
8
3
1
3
2
9
3
2
3
10
1
2
3
11
1
13
1
3
2
14
1
2
19.5.2004
2
Auswertung
Pvert_b = 27
3
2
2
3
2
1
3
1
2
1
Anzahl der Kästen
3
3
26
27
2
2
2
n := 3
N
3
1
24
Anzahl der nummerierten Kugeln
Pvert_b := n
1
23
N := 3
3
1
1
3
3
3
21
25
1
2
20
22
3
1
1
2
1
18
19
1
2
17
Variable und Parameter
2
1
3
2
Rechenbeispiel
2
15
16
Pv e r t _ b = n N
1
3
12
3
N gekennzeichnete (nummerierte) Kugeln werden
auf n unterscheidbare Kästen so verteilt, dass alle
Verteilungsmöglichkeiten ausgeschöpft werden. Die
Reihenfolge der Kugeln innerhalb eines Kastens
spielt keine Rolle. Jeder Kasten ist so groß, dass er
unter Umständen alle Kugeln fassen kann. Die
Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln zu verteilen,
beträgt
3
1
2
3
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
6
Verteilung von gleichartigen Kugeln auf gruppenweise aufgeteilte Kästen mit höchstens einer Kugel je
Kasten
N gleichartige Kugeln werden auf gruppenweise angeordnete Kästen so verteilt, dass auf jeden Kasten nur eine
Kugel entfällt. Es existieren zwei Gruppen mit einer Anzahl von r bzw. w Kästen. Die Wahrscheinlichkeit, dass
auf die Kästen in der r-Gruppe k Kugeln entfallen beträgt Qvert_c. Der Zusammenhang mit der relativen Häufigkeit
ist erkennbar.
Rechenbeispiel
Variable und Parameter
N := 2
Anzahl der Kugeln
r := 3
Anzahl der roten Kästen
w := 2
Anzahl der weißen Kästen
k := 0 .. N
Zufallsvariable
Auswertung
Kombinatorische Anzahl
Pvert_c := combin ( r + w , N)
Pvert_c = 10
MathCad-Syntax
Wahrscheinlichkeit
Qvert_c ( k ) :=
combin ( r , k ) ⋅ combin ( w , N − k )
combin ( r + w , N)
k =
N≤r
N≤w
combin ( r + w , N) = 10
N≤r+ w
combin ( r , k ) =
combin ( w , N − k ) =
Qvert_c ( k ) =
0
1
1
0.1
1
3
2
0.6
2
3
1
0.3
N
∑
N
∑
Qvert_c ( k ) = 1
k = 0
combin ( r , k ) ⋅ combin ( w , N − k ) = 10
k = 0
Es gibt also 10 Möglichkeiten die beiden Kastengruppen in der angegebenen Weise mit Kugeln zu füllen.
In der folgenden Darstellung sind die 10 Möglichkeiten aufgeführt.
Die Wahrscheinlchkeit dafür, dass auf die w-Gruppe k Kugeln entfallen, beträgt Qvert_g.
Qvert_g ( k ) :=
combin ( w , k ) ⋅ combin ( r , N − k )
combin ( r + w , N)
1
N
∑
combin ( w , k ) =
Qvert_g ( k ) = 1
k = 0
Qvert_g ( k ) =
0.3
2
1
0.6
0.1
19.5.2004
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
7
Verteilung von N = 2 gleichartigen Kugeln auf gruppenweise
aufgeteilte Kästen mit einer Anzahl von r = 3 roten und w = 2
weißen Kästen mit höchstens einer Kugel je Kasten
3 rote Kästen
4 weiße Kästen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vorratsbehälter
für N Kugeln
x
x
Z.B. liegt in den roten
Kästen 6 mal eine
Kugel.
x
x
x
x
Verteilung von gleichartigen Kugeln auf gruppenweise aufgeteilte Kästen mit beliebiger Anzahl von
Kugeln je Kasten
N gleichartige Kugeln werden auf gruppenweise angeordnete Kästen so verteilt, dass alle Verteilungsmöglichkeiten
ausgeschöpft werden. Es existieren zwei Gruppen von Kästen mit einer Anzahl von r bzw.w Kästen. Jeder
Kasten ist so groß, dass er unter Umständen alle Kugeln erfassen kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass auf die
r-Gruppe (rote Kästen) k Kugeln entfallen und auf die w -Gruppe (weiße Kästen) N-k Kugeln, beträgt Qvert_d. Die
Beziehung hat Ähnlichkeit mit der Binominalverteilung.
Rechenbeispiel
Variable und Parameter
N := 3
Anzahl der Kugeln
k := 0 .. N
Zufallsvariable
r := 3
Anzahl der roten Kästen
w := 2
Anzahl der weißen Kästen
Auswertung
Kombinatorische Anzahl
k
N−k
Pvert_d ( k ) := combin ( N , k ) ⋅ r ⋅ w
k =
MathCad-Syntax
Pvert_d ( k ) =
0
8
1
36
2
54
3
27
N
∑
Pvert_d ( k ) = 125
( r + w)
k = 0
N
= 125
Wahrscheinlichkeit
k
 r  ⋅ 1 − r 
 

r + w
 r + w 
Qvert_d ( k ) := combin ( N , k ) ⋅ 
19.5.2004
N−k
N
MathCad-Syntax
∑
Qvert_d ( k ) = 1
k = 0
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
k =
8
Qvert_d ( k ) =
0
0.064
1
0.288
2
0.432
3
0.216
0.6
0.4
Qvert_d( k )
0.2
0
2
4
k
Verteilung von N = 3 gleichartigen Kugeln auf gruppenweise
aufgeteilte Kästen mit einer Anzahl von r = 3 roten und w = 2
weißen Kästen und beliebiger Anzahl von Kugeln je Kasten
3 rote Kästen
2 weiße Kästen
1
2
:
125
Vorratsbehälter
für N Kugeln
und so weiter
Der Zusammenhang der Wahrscheinlichkeit mit der relativen Häufigkeit zeigt folgende Beziehung.
Qvert _ d =
N k
N −k
 ⋅r ⋅w
k 
(r + w )
N
Verteilung von gekennzeichneten Kugeln in unterteilten Kästen
N gekennzeichnete (nummerierte) Kugeln werden auf n unterscheidbare Kästen mit unterschiedlicher Anzahl von
z 1 , z 2 , . . . Fächern so verteilt, dass auf den ersten Kasten N1 , auf den 2. Kasten N2 usw. Kugeln entfallen. Die
Vielzahl der Verteilungsmöglichkeiten wird durch kombinatorische Anzahl Pvert_e angegeben.
n
Pvert _ e = N !∏
i =1
N
zi i
Ni !
n
N = ∑ Ni
i =1
n
z = ∑ zi
i =1
Rechnungsgang
Variable und Parameter
N1 := 1
Anzahl der Kugeln für den Kasten 1
N2 := 2
Anzahl der Kugeln für den Kasten 2
z 1 := 2
Anzahl der Fächer im Kasten 1
z 2 := 3
Anzahl der Fächer im Kasten 2
n := 2
Anzahl der Kästen
Auswertung
Die kombinatorische Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln in der vorgegebenen Weise in die Kästen einzufüllen,
beträgt
 n
Pvert_e := 

i =
∑
19.5.2004
1
 n
Ni  ! ⋅

 i=
∏
1
( z i)
Ni
Ni!
n
Pvert_e = 54
∑ .Ni = 3
i = 1
 n


i =
∑
1

Ni  ! = 6


n
∏
i = 1
( z i)
Ni
Ni!
=9
.
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
9
Verteilungen von gekennzeichneten Kugeln in unterteilten Kästen
Kasten 1
mit z 1 = 2 Fächern
und N 1 = 1 Kugeln
Fach 1
Fach 2
Kasten 2
mit z 2 = 3 Fächern
und N 2 = 2 Kugeln
Fach 3
Fach 4
Fach 5
123
Vorratsbehälter
für N=N 1+N 2
Kugeln
23
13
12
1
2
3
3 Umstellg.
im Kasten
1 und 2
1
2 Umstellg.
im Kasten 1
1
23
2
2
3
3
23
2
2
3
3
23
2
2
3
3
9 Umstellg.
im
Kasten 2
2 x 9 = 18
Umstellg.
in den
Kästen
1 und 2
3 x 18 = 54
Umstellg.
insgesamt
Die Umstellungen der Kugeln in den Kästen 1 und 2 sind von übergeordneter Art und die Umstellungen in
den Fächern 1 bis 5 von untergeordneter Art.
Diese Verteilung spielt in der Thermodynamik eine Rolle.
Verteilung von gleichartigen Kugeln in unterteilten Kästen
N gleichartige Kugeln werden auf n unterscheidbare Kästen mit unterschiedlicher Anzahl von z 1 , z 2 , . . . Fächern
so verteilt, dass auf den ersten Kasten N1 , auf den 2. Kasten N2 usw. Kugeln entfallen. Die Vielzahl der
Verteilungsmöglichkeiten wird durch kombinatorische Anzahl Pvert_f angegeben.
n
 N i + z i − 1
Pvert _ f = ∏ 

Ni
i =1 

n
N = ∑ Ni
i =1
n
z = ∑ zi
i =1
Rechnungsgang
Variable und Parameter
N1 := 1
Anzahl der Kugeln für den Kasten 1
N2 := 2
Anzahl der Kugeln für den Kasten 2
z 1 := 2
Anzahl der Fächer im Kasten 1
z 2 := 3
Anzahl der Fächer im Kasten 2
n := 2
Anzahl der Kästen
Auswertung
Die kombinatorische Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln in der vorgegebenen Weise in die Kästen einzufüllen,
beträgt
19.5.2004
Kombinatorik.mcd
Kombinatorik
n
Pvert_f :=
∏
(
combin Ni + z i − 1 , Ni
)
Pvert_f = 12 .
10
MathCad-Syntax
.
i = 1
(
)
combin N1 + z 1 − 1 , N1 = 2
(
)
combin N2 + z 2 − 1 , N2 = 6
Verteilungen von gleichartigen Kugeln in unterteilten Kästen
Kasten 1
mit z 1 = 2 Fächern
und N 1 = 1 Kugeln
Kasten 2
mit z 2 = 3 Fächern
und N 2 = 2 Kugeln
Vorratsbehälter
für N =N 1 +N 2
Kugeln
Fach 1
Fach 2
Fach 3
Fach 4
Fach 5
keine Umstellg.
2 Umstellg.
im Kasten 1
6 Umstellg.
im Kasten 2
2 x 6 = 12
Umstellg.
in den
Kästen
1 und 2
Diese Verteilung spielt in der Thermodynamik eine Rolle.
19.5.2004
Kombinatorik.mcd