1 Gewinnmaximierung 1.1 Ein einfaches Modell der Firma

Werbung
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1
1-1
Dr. G. Gebhardt
Gewinnmaximierung
Grundannahme ökonomischer Modelle: Unternehmen
produzieren stets so, dass ihr Gewinn maximal ist.
Rechtfertigung?
• Positiv – maximieren Firmen ihren Gewinn?
• Normativ – sollten Firmen ihren Gewinn maximieren?
Was nützen uns Modelle, die auf dieser Annahme aufbauen?
1.1 Ein einfaches Modell der Firma
Das Unternehmen ist beschrieben durch eine Kostenfunktion, die zu jeder Produktionsmenge q die notwendigen Produktionskosten c(q) angibt. Diese Kostenfunktion ist durch
die Technologie der Firma festgelegt.
Der Markt, auf dem das Unternehmen operiert, ist beschrieben durch eine fallende Nachfragekurve, die das erwartete Verhalten aller anderen Marktteilnehmer repräsentiert,
sowohl das der Konsumenten (von ihren Präferenzen bestimmt) als auch das etwaiger Konkurrenten.
c Sven Rady und Monika Schnitzer 2008, 2009
!
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-2
Dr. G. Gebhardt
Zur Beschreibung der Nachfragekurve verwenden wir wahlweise die Nachfragefunktion q = D(p) oder die inverse
Nachfragefunktion p = PD (q).
Das Unternehmen kann einen Punkt auf der Nachfragekurve
frei wählen:
• wenn es eine bestimmte Menge wählt, ist über die inverse Nachfragefunktion der Preis, zu dem diese Menge
abgesetzt werden kann, bestimmt;
• wenn es einen bestimmten Preis wählt, ist über die Nachfragefunktion die Absatzmenge bestimmt.
Wir können also wahlweise q oder p als die Entscheidungsvariable betrachten.
Das Unternehmen wählt denjenigen Punkt auf der Nachfragekurve, der zum höchsten Gewinn führt.
1.2 Gewinnmaximierung
Gewinn = Erlös − Kosten:
π(q) = p(q) q − c(q)
Bedingung erster Ordnung für Gewinnmaximum:
dπ
dp
dc
= p+ q−
= 0
dq
dq
dq
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
bzw.
p+
1-3
Dr. G. Gebhardt
dp
dc
q =
dq
dq
Grenzerlös (MR) = Grenzkosten (MC)
Interpretation des Grenzerlöses:
• Für die letzte verkaufte Einheit erhält die Firma zunächst
den Preis p.
• Gleichzeitig verringert jedoch die Erhöhung der Menge
um eine Einheit den Marktpreis um dp
dq < 0.
• Dies senkt den Erlös um
p
dp
dq q.
!!!!
!!!!!!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!!!!!!
!! !!!!!
!! !!!!
!! !!!!
!! !!!!!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!!!
!!!
!!!!
!!
!!!!!
!!!!!
!!
!!!!!
!!
!!!!!
!!!
!!!!!
!!
!!!!!
!!!!!
!!
!!!!!!
!!
!!!!!!
!!
!!!!!!
!!
!!!!!!
!!
!!!!!!!
!!!!
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
q
Figur 1.1: Grenzerlös
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-4
Dr. G. Gebhardt
Beispiel: Lineare Nachfragekurve
p = a − bq
R = pq = aq − bq 2
M R = p + p#q = a − 2bq
Beachten Sie: Die Grenzerlöskurve geht durch den selben
Ordinatenabschnitt (a) und ist doppelt so steil wie die Nachfragekurve.
p
!!!!
!!!!!!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!
!!!!!!!
!! !!!!!!
!! !!!!!!!!!!
!! !!! !!!!
!! !!! !!!!!
!! !! !!!!
!!! !!!!
!!
!!!!
!!
!!!
!!!!
!!!
!!!!
!!!
!!!
!!!!
!!
!!!!
!
!!!
!!
!!!!
!!
!
!!!!
!!!
!!!!
!!!
!!!
!!!!
!!
!
!!!!
!!!
!!
!!!!
!!!
!!
!!!!
!!!
!!!!
!!!
!!!!
!!!
!!
!!!!
!!!
!!
!!!!
!!
!!!
!!!!
!!!
!!!!
!!!
!!!!
!!
!!!
!!!!
!!!
!!
!!!!
!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
!!!
a
a !!!
!!!
2b !
b
q
Figur 1.2: Grenzerlöskurve bei linearer Nachfrage
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-5
Dr. G. Gebhardt
1.3 Die Preiselastizität der Nachfrage
Es ist fraglich, ob eine Firma wirklich ihre gesamte Nachfragekurve kennt. Viel wahrscheinlicher ist, dass das Unternehmen “lokal” experimentiert hat und daher z.B. weiß, wie
empfindlich die Nachfrage auf eine kleine Veränderung des
Preises reagiert.
Eine Maßzahl dafür ist die Preiselastizität der Nachfrage, definiert als das Verhältnis der prozentualen Nachfrageänderung zur prozentualen Preisänderung:
" =
∆q
q
∆p
p
Beispiel: " = −1, 5 bedeutet, dass eine einprozentige Preiserhöhung zu einem Nachfragerückgang um 1,5% führt.
Bemerkungen:
1) Die Preiselastizität setzt prozentuale Veränderungen in Beziehung zueinander. Darum ist sie unabhängig
von den Einheiten, in denen die Nachfrage bzw. der Preis
gemessen wird.
2) Die Preiselastizität ist typischerweise negativ.
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-6
Dr. G. Gebhardt
3) Andere Schreibweisen für die Elastizität sind
p ∆q
" =
q ∆p
bzw.
p dq
" =
.
q dp
4) Beachten Sie, dass die Steigung der Nachfragekurve ein
lokales Maß ist. Darum sollte die Elastizität nur für kleine prozentuale Preisänderungen verwendet werden.
5) Man nennt die Nachfrage
– elastisch, wenn |"| > 1;
– unelastisch, wenn |"| < 1.
1.4 Grenzerlös und Preiselastizität
Der Grenzerlös an einem gegebenen Punkt auf der Nachfragekurve hängt unmittelbar von der Preiselastizität ab:




dp
dp
1
q






M R = p + q = p · 1 +
 = p · 1 +
dq
dq p
"
Typischerweise ist die Elastizität negativ. Daher:


1


M R = p · 1 − 
|"|
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-7
Dr. G. Gebhardt
Beachte:
• Der Grenzerlös ist positiv genau dann, wenn |"| > 1 ist,
d.h., genau im elastischen Teil der Nachfragekurve.
• Je elastischer die Nachfrage (d.h., je höher |"|), desto
höher ist der Grenzerlös.
Was ist die Intuition für diese Ergebnisse?
Graphisch:
p
!!!
!!!!!!!!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!
!!!!!!!
!! !!!!!!
!! !!!!!
!! !!!!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!
!!!!
!!!!!
!!
!!!!!
!!
!!
!!!!!
!!!!!
!!
!!!!!
!!
!!!!!
!!!!!
!!
!!!!!!
!!
!!!!!!
!!
!!!!!!
!!
!!!!!!
!!
!!!!!!!
!!!
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
q
Figur 1.3: Grenzerlös und Preiselastizität
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-8
Dr. G. Gebhardt
1.5 Der Preisaufschlag über Grenzkosten
Gewinnmaximierung impliziert einen einfachen Zusammenhang zwischen Preis, Grenzkosten, und Preiselastizität der
Nachfrage.
Am Gewinnmaximum haben wir M C = M R. Nach der
Formel für den Grenzerlös gilt daher:


1


M C = p · 1 − 
|"|
Die Differenz zwischen Preis und Grenzkosten ist dann:
1
p − MC = p ·
|"|
Dividieren und Vereinfachen ergibt nun:
p − MC
1
=
MC
|"| − 1
D.h., der prozentuale Preisaufschlag über den Grenzkosten (die Gewinnmarge) ist umgekehrt proportional zum
um 1 verminderten Absolutwert der Preiselastizität.
Beispiele:
• Diskontmärkte (Lebensmittel): Sehr niedrige Aufschläge
(2-3%)
• High Tech: Sehr hohe Aufschläge möglich
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-9
Dr. G. Gebhardt
1.6 GM und die Truck Coupons
Diese Fallstudie soll zweierlei verdeutlichen:
• die Anwendung der obigen Konzepte;
• Gebrauch und Nutzen einfacher ökonomischer Modelle.
1.6.1 Die Ereignisse
Von 1973 bis 1987 verkauft General Motors (GM) 4,7 Millionen Pickup Trucks (Kleinlastwagen) mit an der Seite aufmontiertem Tank.
Wegen Sicherheitsbedenken erwägt die Regierung, einen Rückruf der Fahrzeuge anzuordnen, wogegen GM sich vehement
wehrt.
Gleichzeitig geht bei GM eine Sammelklage ein, in der Fahrzeugeigentümer Kompensation für Wertverlust und teure
Nachrüstung verlangen.
GM und die Anwälte einigen sich im Juli 1993 auf ein Kompensationsschema. Danach soll jeder registrierte Fahrzeugbesitzer einen Gutschein erhalten, der beim Kauf eines neuen GM-Kleinlastwagens eingelöst werden kann.
Dieser Vorschlag liegt nun dem vorsitzenden Richter zur
Begutachtung vor.
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-10
Dr. G. Gebhardt
1.6.2 Die Gutscheine
Der vorgeschlagene Gutschein sah so aus:
(a) Der Gutschein gewährt dem registrierten Eigentümer eines GM-Kleinlastwagens mit an der Seite
montiertem Tank oder einem Mitglied seiner unmittelbaren Familie einen Preisnachlass von
$E
beim Kauf eines neuen Kleinlastwagens von GM.
(b) Der Gutschein ist einmal übertragbar. Von einer
Person außerhalb der unter (a) genannten Gruppe
vorgelegt, gewährt der Gutschein einen Preisnachlass
von
$N
beim Kauf eines neuen Kleinlastwagens von GM.
(c) Der Gutschein gilt 15 Monate nach Ausgabe.
Die tatsächlichen Summen waren E = 1000 und N = 500.
Dies ergibt mögliche Kosten von 4,7 Milliarden US$!
Wir (in der Rolle des Richters) wollen fragen:
• Wie gut ist dieses Angebot?
• Was sind die tatsächlichen Kosten?
• Wie hängt dies von der Ausgestaltung der Gutscheine ab?
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-11
Dr. G. Gebhardt
Plausible Hypothesen:
(1) Steigen beide Nennwerte des Gutscheins um
denselben Betrag, erhöhen sich die Kosten für GM.
Wären z.B. E = 2000 und N = 1500, sollten sich die
Kosten also mehr als verdoppeln.
(2) Bei gegebenem Nennwert für registrierte Eigentümer sind die Kosten für GM und die Vorteile
für die Eigentümer umso höher, je höher der Nennwert nach Übertragung des Gutscheins ist. Gäbe
es bei E = 1000 z.B. die Wahl zwischen N = 200 und
N = 500, würde GM also ersteres, und ein Eigentümer
letzteres vorziehen.
(3) GM möchte die Übertragung von Gutscheinen
so schwer wie möglich machen, da jeder übertragene und eingelöste Gutschein das Unternehmen
Geld kostet.
Wir wollen das einfache Modell der gewinnmaximierenden
Firma mit fallender Nachfragekurve benutzen, um die Gültigkeit dieser Hypothesen zu prüfen.
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-12
Dr. G. Gebhardt
1.6.3 Modellannahmen
• GM stellt nur einen Typ von Kleinlastwagen her.
• GM verkaufte dieses Fahrzeug bisher für $20.000.
• Die Herstellung eines Fahrzeugs kostet $15.000.
• Während der Laufzeit der Gutscheine würde GM zum
bisherigen Preis 2 Millionen Fahrzeuge verkaufen.
• GM kann den Preis seiner Fahrzeuge frei bestimmen,
und wählt den gewinnmaximierenden Preis.
Wie realistisch sind diese Annahmen?
Was bedeuten diese Annahmen für die Elastizität der Nachfrage, der sich GM bei einem Preis von $20.000 und einer
Menge von 2 Millionen (über 15 Monate) gegenübersieht?
Antwort: " = −4 (Frage: Warum?)
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-13
Dr. G. Gebhardt
1.6.4 Ein hypothetischer Fall
Angenommen, GM gäbe 4,7 Millionen Gutscheine mit Nennwerten
E = N = 1000 (!)
aus, und die Übertragung eines Gutscheines verursachte keinerlei Kosten, was wäre dann die Vorhersage unseres Modells?
• Preis?
• Menge?
• Kosten für GM?
• Vorteil für Eigentümer?
Was heißt das für unsere Hypothesen?
Wie könnte das vom Modell vorhergesagte Verhalten in der
Realität aussehen?
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-14
Dr. G. Gebhardt
1.6.5 Zurück zum tatsächlichen Fall
Es gibt im Prinzip drei Gruppen von Verbrauchern, die von
den Gutscheinen betroffen sind:
Eigentümer
Ja
Nein
Ja
Kauft Fahrzeug
Nein
Figur 1.4: Betroffene Verbrauchergruppen
Der Richter hat nur den Nutzen der Gutscheine für registrierte Eigentümer im Auge. Dabei muss er unterscheiden
zwischen
• denjenigen, die in den nächsten 15 Monaten eine neues
Fahrzeug kaufen wollen;
• denjenigen, die das nicht wollen.
Betrachten wir zunächst diese zweite Gruppe.
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-15
Dr. G. Gebhardt
Was ist der Marktwert, zu dem registrierte Eigentümer einen
nicht benötigten Coupon verkaufen können?
Antwort: Null! (Warum?)
Das bedeutet:
• Eigentümer, die nicht zu kaufen beabsichtigen, haben
keinerlei Nutzen von ihrem Gutschein.
• Jeder Käufer eines neuen GM-Kleinlastwagens wird einen
Gutschein vorlegen.
Bleibt die Frage: Welchen Vorteil bringt der Gutschein einem Eigentümer, der tatsächlich ein neues Fahrzeug kauft?
Dies hängt natürlich vom Preis ab, den GM setzt. Dabei
wird das Unternehmen zwei Gruppen von Käufern unterscheiden:
• bisherige Eigentümer;
• neue Kunden (alle mit Gutschein).
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-16
Dr. G. Gebhardt
Um hier mit unserer Analyse weiterzukommen, machen wir
folgende zusätzliche Annahmen:
• Bei einem Preis von $20.000 ist die Elastizität der Nachfrage in beiden Käufergruppen gleich −4.
• Bei einem Preis von $20.000 würde GM
600.000 Fahrzeuge (30%) an bisherige Eigentümer,
1,4 Millionen Fahrzeuge (70%) an neue Kunden
verkaufen.
• Beide Gruppen haben eine lineare Nachfragekurve.
Wie realistisch sind diese Annahmen?
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-17
Dr. G. Gebhardt
Da wir nun jeweils einen Punkt auf der Nachfragekurve
und (über die Elastizität) auch die dortige Steigung kennen,
können wir die Nachfragefunktionen der beiden Gruppen
berechnen.
Bisherige Eigentümer:
qE = αE − βE · p
"E =
p dqE
p
= − βE
qE dp
qE
Bei p = 20.000 ist qE = 600.000 und "E = −4. Daher:
20.000
4=
βE ⇒ βE = 120
600.000
600.000 = αE − 120 · 20.000 ⇒ αE = 3.000.000
Ergebnis:
qE = 3.000.000 − 120 · p
Genauso für die neuen Käufer:
qN = 7.000.000 − 280 · p
Beachte: In diesen Nachfragefunktionen steht p für den
tatsächlich bezahlten Preis. Er wird für jede Gruppe aus
dem von GM gesetzten Preis P und den mit dem Gutschein
verbundenen Rabatten und Kosten berechnet.
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-18
Dr. G. Gebhardt
1.6.6 Gewinnmaximierung
Wenn GM den Preis P setzt, dann ist der tatsächlich zu
bezahlende Preis p gleich
P − 1000 für bisherige Eigentümer,
P − 500 für neue Käufer.
Dementsprechend verkauft GM
qE = 3.120.000 − 120P Fahrzeuge an bisherige Eigentümer,
qN = 7.140.000 − 280P Fahrzeuge an neue Kunden.
Pro verkauftem Fahrzeug verdient GM
P − 1000 − 15.000 an bisherigen Eigentümern,
P − 500 − 15.000 an neuen Kunden.
Die Gewinnfunktion ist also:
π = (P − 16.000)(3.120.000 − 120P )
+(P − 15.500)(7.140.000 − 280P )
Die Bedingung erster Ordnung für das Maximum ist:
0 = 3.120.000 − 120P − 120P + 1.920.000
+7.140.000 − 280P − 280P + 4.340.000
= 16.520.000 − 800P
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-19
Dr. G. Gebhardt
Der optimale Preis ist daher:
P ∗ = 20.650
Dieser Preis führt zu einem Gewinn von:
π ∗ = 9, 979 Milliarden
1.6.7 Die Kosten des Programms
Ohne die Gutscheine hätte GM 2 Millionen Fahrzeuge mit
einem Gewinn von $5000 pro Einheit verkauft, also einen
Gesamtgewinn von
π 0 = 10 Milliarden
erzielt. Die Kosten des Gutscheinprogramms für GM
sind daher:
π 0 − π ∗ = 21 Millionen
Dies ist viel weniger als die befürchteten 4,7 Milliarden US$!
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-20
Dr. G. Gebhardt
1.6.8 Bemerkungen
(A) GM entstehen also Kosten in Höhe von 21 Millionen
US$.
Frage: Was verursacht diese Kosten?
Antwort: Der Zwang zum Kompromiss!
Wenn GM von bisherigen Eigentümern $21.000 pro Fahrzeug verlangen könnte, von neuen Kunden dagegen $20.500,
dann würde dies das Gutscheinprogramm völlig neutralisieren – jeder Kunde würde effektiv wieder $20.000 bezahlen!
Da diese Form der Preisdiskriminierung politisch und
rechtlich aber nicht opportun ist, sieht sich GM gezwungen,
einen “Kompromisspreis” zwischen $20.500 und $21.000 zu
wählen. Dies schmälert den Gewinn.
Im Spezialfall linearer Nachfragekurven und konstanter Grenzkosten ist der beste Preis das gewichtete Mittel der beiden
“Idealpreise”:
20.650 = 0, 3 · 21.000 + 0, 7 · 20.500
(B) Hypothese (2) ist falsch, weil eine größere Differenz
zwischen den Rabatten E und N einen weiteren “Spagat” zwischen den beiden Käufergruppen erfordert – der
“Kompromisspreis” entfernt sich immer mehr von den bei-
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-21
Dr. G. Gebhardt
den “Idealpreisen”, und der Gewinn sinkt. Bei E = 1000
und variablem N hat man z.B.:
N Kosten für GM
1000
0
500 21 Millionen
200 54 Millionen
0
84 Millionen
(C) Hypothese (1) ist falsch, da jede gemeinsame Erhöhung
der Rabatte E und N um einen bestimmten Betrag durch
eine Erhöhung des Preises um denselben Betrag neutralisiert
werden kann.
(D) Man kann zeigen, dass GM allen Anreiz hat, den Transfer von Gutscheinen so einfach wie möglich zu machen! Das
Gegenteil von Hypothese (3) ist also wahr.
Angenommen, den neuen Kunden entstehen bei der Beschaffung eines Coupons Kosten in Höhe von $T . Dann
belaufen sich die Kosten des Gutscheinprogramms für GM
auf beispielsweise:
T Kosten für GM
0 21 Millionen
20 50 Millionen
50 93 Millionen
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-22
Dr. G. Gebhardt
Intuition: Die Transaktionskosten T wirken wie eine Steuer
auf Verkäufe an neue Kunden. Einen Teil davon muss auch
der Anbieter tragen, und zwar in Form eines niedrigeren
Preises und geringeren Gewinns.
1.6.9 Gewinner und Verlierer
Unser Modell besagt, dass GM seine Pickup Trucks zum
Preis von $20.650 verkaufen wird.
Wir haben schon gesehen, dass registrierte Eigentümer, die
kein neues Fahrzeug kaufen, keinerlei Vorteil von ihren Gutscheinen haben.
Diejenigen Eigentümer, die ein neues Fahrzeug kaufen, zahlen nun einen effektiven Preis von
20.650 − 1000 = 19.650.
Gegenüber dem ursprünglichen Preis von $20.000 bringt ihnen der Gutschein also einen Nettorabat von $350.
Bei einem effektiven Preis von $19.650 ist die Nachfrage der
registrierten Eigentümer gleich
qE = 3.000.000 − 120 · 19.650 = 642.000.
Insgesamt gewährt GM dieser Gruppe also einen Nettorabatt von
642.000 · 350 = 224, 7 Millionen.
AVWL I Mikro (Winter 2008/09)
1-23
Dr. G. Gebhardt
Dennoch entstehen GM nur Kosten in Höhe von 21 Millionen.
Frage: Wer bezahlt den Rest des Rabattes?
Antwort: Die neuen Kunden.
Für diese Gruppe ist der effektive Preis nun
20.650 − 500 = 20.150,
also um $150 höher als bisher. Neue Kunden kaufen
qN = 7.000.000 − 280 · 20.150 = 1.358.000
Fahrzeuge, was GM Mehreinnahmen von
1.358.000 · 150 = 203, 7 Millionen
einbringt – genau 21 Millionen weniger als der Nettorabatt
an bisherige Eigentümer.
1.6.10 Diskussion
Würden Sie als Richter das Gutscheinprogramm absegnen?
Herunterladen