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BA KOMPAKT
Reihenherausgeber:
Martin Kornmeier, Berufsakademie Mannheim
Willy Schneider, Berufsakademie Mannheim
BA KOMPAKT
Bisher erschienen:
Martin Kornmeier
Wissenschaftstheorie und wissenschaftliches Arbeiten
2007. ISBN 978-3-7908-1918-2
Willy Schneider
Marketing
2007. ISBN 978-3-7908-1941-0
Thomas Holey · Armin Wiedemann
Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler
Mit 84 Abbildungen
123
Prof. Dr. Thomas Holey
Prof. Dr. Armin Wiedemann
Studiengang Wirtschaftsinformatik
Berufsakademie Mannheim
Coblitzweg 1-7
68163 Mannheim
[email protected]
[email protected]
ISSN 1864-0354
ISBN 978-3-7908-1973-1 Physica-Verlag Heidelberg New York
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SPIN 12087099
88/3180YL - 5 4 3 2 1 0
Gedruckt auf säurefreiem Papier
Für Jutta, Andrea, Kathrin und Hannes
Vorwort
Quantitative Methoden stellen eine wichtige Grundlage in nahe zu allen
wirtschaftswissenschaftlichen Disziplinen dar. Dementsprechend finden sich
mathematische Einführungsvorlesungen in den Rahmenstudienplänen dieser
Studiengänge wieder.
Das vorliegende Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler in der Reihe
BA-Kompakt orientiert sich sehr stark am Rahmenstudienplan für den Studienbereich Wirtschaft an Berufsakademien in Baden-Württemberg. In der
Stoffauswahl haben wir uns bemüht, die wichtigsten Themen für Studierende der Betriebswirtschaftslehre und der Wirtschaftsinformatik aufzunehmen.
Einen breiten Raum nimmt die Darstellung mathematischer Grundlagen ein,
die häufig auch Gegenstand der gymnasialen Oberstufe sind: Funktionen einer Veränderlichen, Differential- und Integralrechnung. Dem Dozenten ist mit
dem Buch die Möglichkeit gegeben, je nach Kenntnisstand der Studierenden
diese Grundlagen sehr zügig zu wiederholen und sich mehr auf die Anwendungen zu konzentrieren. Falls es sinnvoller und notwendiger erscheint, mehr
Zeit für die Grundlagen zu verwenden, kann man sich bei der Behandlung
von Funktionen mit mehreren Veränderlichen auf den Sonderfall zweier Variabler beschränken. Dann werden auch in der Linearen Algebra die Konzepte
Determinate und Eigenwert einer Matrix nicht benötigt.
Auf diese Weise entsteht eine gewisse Flexibilität, ohne dass Themenbereiche des Rahmenstudienplans vollständig ausgelassen werden. Im ersten Kapitel werden einige Grundlagen aufgeführt, die zum ’Handwerkszeug’ gehören
sollten. Dem Studierenden ist mit einem kurzen Selbsttest die Möglichkeit
gegeben, zu prüfen, inwieweit er diese Techniken beherrscht.
Wir bedanken uns bei Frau Prof. Dr. Irene Rößler und Herrn Prof. Dr. Frank
Hubert für viele hilfreiche Diskussionen und Anregungen. Den Herausgebern,
Herrn Prof. Dr. Martin Kornmeier und Herrn Prof. Dr. Willy Schneider danken wir für die Aufnahme des Buches in die Reihe BA-Kompakt. Unser Dank
gilt beim Springer-Verlag Frau Katharina Wetzel-Vandai sowie Frau Gabriele
Keidel, die uns bei redaktionellen Fragen stets hilfreich unterstützt haben.
VIII
Vorwort
Schließlich wollen wir noch darauf hinweisen, dass ein Foliensatz als Vorlesungsgrundlage und die Lösungen zu den Übungen zum Download beim
Verlag unter der URL
http://www.springer.com/978-3-7908-1973-1
zur Verfügung stehen. Die Lösungen zum Test sind im Anhang zu finden.
Waibstadt, Neustadt/Weinstr.
Juni 2007
Thomas Holey
Armin Wiedemann
Inhaltsverzeichnis
1
Elementare Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Elementares aus der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Arithmetische Grundoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Definition und Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Einige elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Die lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Die quadratische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Ganze rationale Funktionen oder Polynome . . . . . . . . .
2.2.4 Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Die Hyperbelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Die Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.10 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.11 Abschnittsweise definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Einige ökonomische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Die Nachfragefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Angebotsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Erlösfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Produktionsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Der Grenzwertbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Die Cauchy-Definition des Grenzwerts von Funktionen
2.7.3 Grenzwertbetrachtungen einiger elementarer
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
24
24
26
27
28
28
28
29
29
31
33
36
38
42
44
44
45
46
49
49
50
50
51
53
53
57
59
X
Inhaltsverzeichnis
2.7.4 Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.5 Beispiele für Grenzwertbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
61
66
70
3
Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Der Ableitungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Höhere Ableitungen, Extremwerte und Wendepunkte . . . . . . . .
3.6 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Regel von de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Nullstellenbestimmung mit dem Newton-Verfahren . . .
3.6.3 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Grenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Elastizität von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
73
77
81
85
88
92
92
94
101
107
107
109
4
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Stammfunktionen von elementaren Funktionen . . . . . . .
4.1.2 Linearität des unbestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Wert eines Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Fläche zwischen zwei Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Anwendung der Integrationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Bestimmung der ökonomischen Funktion aus der
Grenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Konsumentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Produzentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
111
112
113
114
117
120
122
124
126
127
128
Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Definition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Die Linearkombination von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Definition einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
133
133
136
138
139
139
5
128
128
130
131
6
7
Inhaltsverzeichnis
XI
5.2.2 Addition von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Rechenregeln des Matrizenproduktes . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Grundlegende Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme . . . . . .
5.3.3 Standardisierte Form von linearen Gleichungssystemen
5.3.4 Matrixinvertierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Betriebswirtschaftliche Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6 Eigenwerte einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
144
144
148
150
151
151
154
162
163
168
171
173
Funktionen mit mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Einführung und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren
Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Das totale Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Extremwerte von Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . .
6.3.1 Extremwerte ohne Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Extremwerte mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
177
181
181
184
187
187
195
199
Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Einfache Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Zinseszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Unterjährige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
201
201
204
205
207
210
217
Lösungen zum Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
1 Elementare Grundlagen
Lernziele
Dieses Kapitel vermittelt:
• Grundlagen aus verschiedenen Gebieten der Mathematik
• eine Zusammenfassung der Themengebiete, die für das
Verständnis des Buches vorausgesetzt werden
• eine Selbsteinschätzung durch einen Test
1.1 Elementares aus der Aussagenlogik
Die Aussage ist ein grundlegender Begriff der Mathematik1 . Wesentliche
Aspekte der Aussagenlogik wurden von Aristoteles (384 - 322 v. Chr.) erarbeitet.
Definition
Beschreibung einer Aussage
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, für das sinnvoll gefragt
werden kann, ob es wahr oder falsch ist.
Aussagen sind beispielsweise:
3 ist eine ungerade Zahl.
5 ist kleiner als 3.
Fragen und Aufforderungen sind demnach keine Aussagen. In der mathematischen Logik betrachtet man eine Formalisierung von Aussagen. Dazu
verwendet man Aussagesymbole (z.B. A oder B), mit denen über Junktoren (Verknüpfungen) komplexere Aussageformen gebildet werden. Aussagesymbole nennt man auch Aussagevariable, die die Werte ’wahr’ oder
’falsch’ annehmen können. Die Werte der Variablen, für die eine Aussageform
in eine wahre Aussage übergeht, nennt man die Lösung einer Aussageform.
1
Einführungen in die Aussagenlogik findet man in den Monographien Kelly
(2003), Kreuzer/Kühling (2006) oder Staab (2007).
2
1 Elementare Grundlagen
Aussageformen können unlösbar sein, wenn es keine Lösung gibt und allgemeingültig, wenn jeder Wert aus dem möglichen Wertevorrat die Aussageform erfüllt2 .
Verknüpfungen von Aussagen
Die Negation ist eine einstellige Verknüpfung, sie kehrt den Wahrheitswert
einer Aussage um. Für die Negation einer Aussage A schreiben wir ¬A. Die
Wahrheitswertetafel der Negation sieht folgendermaßen aus:
A
¬A
w
f
f
w
Von den zweistelligen Verknüpfungen betrachten wir die Konjunktion (auch
UND-Verknüpfung) ∧ und die Disjunktion (auch ODER-Verknüpfung) ∨.
Die Wahrheitswertetafel dieser Verknüpfungen sieht folgendermaßen aus:
A
B
A∧B
A∨B
w
w
f
f
w
f
w
f
w
f
f
f
w
w
w
f
Die Konjunktion zweier Aussagen ist also nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind, während die Disjunktion wahr ist, wenn mindestens eine
der Aussagen wahr ist. Man spricht hier auch vom einschließenden ODER
im Gegensatz zum ausschließenden ODER, bei dem genau eine der beiden
Aussagen wahr ist.
Beispiel:
A:
3 ist eine ungerade Zahl.
B:
3 ≥ 6.
Dann ist:
A∧B = f
A∨B = w
2
(da B falsch ist)
(da A wahr ist).
Allgemeingültige Aussageformen nennt man auch Tautologien.
1.1 Elementares aus der Aussagenlogik
Definition
3
Logische Folgerung (Implikation)
Eine Aussage B heißt logische Folgerung einer Aussage A, wenn gilt:
Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr: A =⇒ B (Lies: Wenn A,
dann B oder A impliziert B.).
Die Implikation wird häufig auch folgendermaßen ausgedrückt:
A ist hinreichende Bedingung für B
oder:
B ist notwendige Bedingung für A.
Die Implikation lässt zu, dass B wahr sein kann, auch wenn A falsch ist. Für
Aussageformen A(x) und B(x) heißt das: A(x) =⇒ B(x), wenn alle Lösungen
von A(x) auch Lösungen von B(x) sind. B(x) kann aber Lösungen haben,
die für die Aussageform A(x) keine Lösungen sind.
Beispiel:
Betrachte die beiden Aussagen:
A(x) :
B(x) :
Definition
x=3
x2 = 9
Lösung : x = 3
Lösungen: x = 3 und x = −3
x = 3 =⇒ x2 = 9.
Äquivalenz
Die beiden Aussagen A und B heißen äquivalent, wenn gilt: Wenn A
wahr ist, dann ist auch B wahr, und wenn B wahr ist, dann ist auch
A wahr. A ⇐⇒ B (Lies: B genau dann, wenn A oder A äquivalent
B).
Für zwei Aussageformen A(x) und B(x) heißt die Äquivalenz: A(x) ⇐⇒
B(x), wenn alle Lösungen von A(x) auch Lösungen von B(x) sind und umgekehrt, alle Lösungen von B(x) sind auch Lösungen von A(x).
Beispiel:
2x = 5
⇐⇒
x=
5
.
2
4
1 Elementare Grundlagen
1.2 Mengenlehre
Mengen sind für die Beschreibung mathematischer Zusammenhänge elementar3 . Die Grundlage des Mengenbegriffs ist die folgende auf Georg Cantor
(1845 – 1918) zurückgehende Definition:
Definition
Menge
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte der Anschauung oder des Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen.
Für die Zugehörigkeit eines Objektes zu einer Menge M wird meist das Symbol ∈ verwendet: x ∈ M , x ist Element der Menge M . Analog heißt x ∈ M ,
dass x nicht Element der Menge M ist. Enthält eine Menge keine Elemente,
dann nennt man dies die leere Menge ∅ = { }.
Für die Darstellung von Mengen gibt es verschiedene Möglichkeiten:
•
Die aufzählende Form: M = {2, 3, 5, 7}.
•
Die beschreibende Form: M = {x | x ist Primzahl ≤ 7}.
•
Die Darstellung in Form eines Venn-Diagramms wie in der Abbildung
1.14 .
In diesem Buch spielen Mengen von Zahlen eine wichtige Rolle, wir betrachten:
•
Die Menge der natürlichen Zahlen
N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
•
Die Menge der ganze Zahlen
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
•
Die Menge der rationalen Zahlen
Q={
3
4
p
| p, q ∈ Z, q = 0}.
q
Einführungen in die Mengenlehre findet man in Dean (2003), Deiser (2004),
Garnier/Taylor (2002), Gregg (1998) oder Koshy (2004).
Diese Diagramme wurden von dem englischen Logiker und Philosophen John
Venn (1834 - 1923) zur anschaulichen Beschreibung von Mengen eingeführt.
1.2 Mengenlehre
5
3
7
2
5
M
Abbildung 1.1. Eine einfache Mengendarstellung als Venn-Diagramm
• Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit R. Die Menge der rationalen Zahlen Q wird erweitert,
√ weil sich bestimmte Größen wie beispielsweise der Wert von π oder 2 nicht durch Quotienten zweier ganzer
Zahlen ausdrücken lassen. Die Menge der positiven reellen Zahlen wird
mit R+ bezeichnet.
Teilmengen
Unter einer Teilmenge T ⊆ M (lies: T ist Teilmenge von M ) versteht man
die Menge, die die Bedingung erfüllt: x ∈ T =⇒ x ∈ M , also jedes Element
von T ist auch Element der Menge M .
Beispiel:
Die Menge T = {2, 3} ist Teilmenge von M = {2, 3, 5, 7}.
Teilmengen der reellen Zahlen werden als offene oder geschlossene Intervalle
bezeichnet: Für M = R ist Tg = [a, b] geschlossenes Intervall und ist folgendermaßen definiert:
Tg = {x | x ∈ R ∧ a ≤ x ≤ b}.
Das offene Intervall To =]a, b[ ist gegeben durch:
To = {x | x ∈ R ∧ a < x < b}.
Kartesisches Produkt von Mengen
Das kartesische Produkt aus den Mengen M1 , M2 , . . . , Mn ist die Menge
aller geordneten n-Tupel, die sich aus den Mengen bilden lassen:
M1 × M2 × . . . × Mn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 , . . . , xn ∈ Mn }.
6
1 Elementare Grundlagen
Beispiel:
Sei M1 = {2, 3, 4} und M2 = {a, b}, dann ist
M1 × M2 = (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b) .
Von besonderem Interesse sind die kartesischen Produkte aus Zahlenmengen.
Wir betrachten die beiden Intervalle:
M1 = {x | x ∈ R und 0 ≤ x ≤ 2}
und
M2 = {y | y ∈ R und 0 ≤ y ≤ 1}.
Dann ist das kartesische Produkt:
M1 × M2 = {(x, y) | x, y ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}.
Dieses kartesische Produkt lässt sich graphisch als Rechteck in der Ebene
darstellen (siehe Abbildung 1.2).
y
1
M2
M1 × M2
2
M1
x
Abbildung 1.2. Darstellung des kartesischen Produktes zweier Intervalle
Das kartesische Produkt
R × R × . . . × R = Rn
(lies : Rn)
n mal
beschreibt den n-dimensionalen Raum, insbesondere liefert R3 die Punkte im
dreidimensionalen Raum (vgl. Abbildung 1.3).
1.2 Mengenlehre
7
z
P = (x1 , y1 , z1 )
x
y
Abbildung 1.3. Die Punkte des dreidimensionalen Raumes sind geordnete Tripel
P = (x1 , y1 , z1 )
Verknüpfungen von Mengen
Die Durchschnittsmenge
A∩B
(A geschnitten B)
besteht aus denjenigen Elementen, die in A und in B enthalten sind:
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
A
A∩B
B
Abbildung 1.4. Die Schnittmenge zweier Mengen A ∩ B als Venn-Diagramm
8
1 Elementare Grundlagen
Ist die Durchschnittsmenge A ∩ B leer, dann nennt man die beiden Mengen
A und B disjunkt.
Die Vereinigung A ∪ B zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die zu
A oder zu B gehören, d.h.:
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
A∪B
A
B
Abbildung 1.5. Venn-Diagramm der Vereinigung zweier Mengen A und B
Die Differenz A \ B zweier Mengen ist die Menge aller Elemente von A die
nicht zu B gehören, d.h.:
A \ B = { x | x ∈ A und x ∈ B}.
A\B
A∩B
B
Abbildung 1.6. Die Differenzmenge
1.3 Arithmetische Grundoperationen
9
Gilt A ⊆ B, so lässt sich eine Komplementmenge von A folgendermaßen
definieren:
A = {x | x ∈ B ∧ x ∈ A}.
A
B
A
Abbildung 1.7. Venn-Diagramm für die Komplementmenge
1.3 Arithmetische Grundoperationen
Die Menge der rationalen und die Menge der reellen Zahlen bilden mit
den Verknüpfungen Addition ’+’ und Multiplikation ’·’ eine algebraische
Struktur, die Körper genannt wird5 . Für Körper gelten, wie man sich exemplarisch leicht überzeugen kann, folgende Axiome6 , wir formulieren die
Axiome der reellen Zahlen:
1. Die Summe zweier Zahlen a, b ∈ R existiert für alle a, b und ist eindeutig:
s=a+b
(s ∈ R).
2. Das Produkt zweier Zahlen a, b ∈ R existiert für alle a, b und ist eindeutig:
p=a·b
(p ∈ R).
Man sagt, R ist abgeschlossen unter den beiden Operationen Addition
und Multiplikation.
5
6
Eine sehr lesbare Einführung in die Thematik der algebraischen Strukturen findet
man in Basieux (2000).
Axiome sind nicht beweisbare Grundannahmen, die in sich widerspruchsfrei sein
müssen.