¨Ubung 7 : Wellenfunktionen und Operatoren

Universität Potsdam
Vorlesung Theoretische Physik II (LA)
M. Rosenblum
Institut für Physik
SS 2017
Übung 7 : Wellenfunktionen und Operatoren
(Besprechung am 04.07.2017)
Aufgabe 7.1
Ein harmonischer Oszillator befindet sich im Grundzustand. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen außerhalb des klassich erlaubten Bereichs zu finden? Hinweis: Drücken Sie das Integral mit der sogenannten Fehlerfunktion aus.
Aufgabe 7.2
Zeigen Sie, dass wenn Dder Operator
ist, d.h.Dfür alle
E
D Q̂ hermitesch
E
E Funktionen
D
E h
im Hilbert-Raum gilt h|Q̂h = Q̂h|h , dann gilt auch f |Q̂g = Q̂f |g für
beliebige Funktionen f , g im Hilbert-Raum. Hinweis: Wählen Sie zuerst h = f + g,
und danach h = f + ig.
Aufgabe 7.3
Es seien  und B̂ hermitesche Operatoren und α eine komplexe Zahl.
1. Zeigen Sie, dass  + B̂ hermitesch ist.
2. Für welche α ist α hermitesch?
3. Wann ist ÂB̂ hermitesch?
4. Zeigen Sie, dass der Operator V (x̂) für eine beliebige reelle Funktion V (x), der
Impulsoperator p̂ und der Hamilton-Operator Ĥ hermitesch sind.
Aufgabe 7.4
1. Zeigen Sie, dass [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂.
2. Zeigen Sie, dass für alle Funktionen f gilt [f, p̂] = i~
df
.
dx
Zusatzaufgabe 7.5 (+20%)
Zustände mit unterschiedlichen Wellenfunktionen und gleicher Energie heißen entartete Zustände. Beweisen Sie, dass es in einer Dimension bei einem endlichen Potential
keine entarteten gebundenen Zustände gibt.
Hinweise zu 7.5:
1. Nehmen Sie an, es gibt zwei Lösungen ψ1 , ψ2 mit der Energie E.
2. Multiplizieren Sie die Schrödinger Gleichung für ψ1 mit ψ2 und die Gleichung
für ψ2 mit ψ1 . Dann subtrahieren Sie diese zwei Gleichungen.
2
1
− ψ1 dψ
= K = const.
3. Zeigen Sie, dass ψ2 dψ
dx
dx
4. Gebundene Zustände sind normierbar. Diskutieren Sie, dass daraus folgt, dass
K = 0 ist.
5. Zeigen Sie, dass ψ2 = const · ψ1 , woraus folgt, dass ψ1,2 denselben Zustand
beschreiben.
Veranstaltungshinweise der Fachschaft Physik:
Institutsfest Mathematik — 28.06. — 18 Uhr
Institutsfest Physik — 19.07.