Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2012
Blatt 6
Abgabetermin: 05.06.2012
Hinweis: Bitte geben Sie Ihre Übungen nach Möglichkeit in Gruppen ab. Sie können 2er-Gruppen
und auch 3er-Gruppen bilden.
Aufgabe 20
(2+4=6 Punkte)
Sei (an )n∈N eine Folge reller Zahlen. Man definiert:
lim an = +∞ :⇔
∀C ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : an > C
lim an = −∞ :⇔
∀C ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : an < C
n→∞
n→∞
(a) Zeigen Sie (mit dieser Definition), dass lim n3 − 8n2 = ∞ und lim
n→∞
n→∞
−n3 +1
n+5
= −∞
gilt. Finden Sie zu einem beliebigen C ∈ R ein “passendes“ n0 ∈ N.
(b) Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Implikationen (für beliebige Folgen (an )n∈N ⊂ R):
lim an = ∞ ⇒
n→∞
lim an = ∞ ⇐
n→∞
lim an = ∞ ∧ lim bn = b ∈ R ⇒
n→∞
n→∞
lim an = ∞ ∧ lim bn = ∞ ⇒
n→∞
n→∞
Aufgabe 21
lim 1
n→∞ an
lim 1
n→∞ an
=0
=0
lim (an + bn ) = ∞
n→∞
lim (an − bn ) = 0
n→∞
(1+1+1+2+2=7 Punkte)
Wir betrachten die Folge (xn )n∈N , die wie folgt (rekursiv) definiert ist:
1
x1 := 0 und x(n+1) := (xn )2 + für n ∈ N∗
4
(a) Bestimmen Sie x2 , . . . , x5 .
(b) Zeigen Sie, dass (xn )n∈N monoton wachsend ist.
(c) Zeigen Sie, dass (xn )n∈N beschränkt ist.
Hinweis: Die Beschränktheit nach unten ist kein Problem. Man kann dann mit vollständiger
Induktion zeigen, dass 12 eine obere Schranke für die Folge ist.
(d) Begründen Sie, dass (xn )n∈N konvergent ist und bestimmen Sie x = lim xn . Ben→∞
gründen Sie dann auch, dass x tatsächlich der Grenzwert der Folge ist.
(e) Untersuchen Sie auch die durch
• y1 := 1 und y(n+1) := (yn )2 + 41 für n ∈ N∗
• z1 := 12 und z(n+1) := (zn )2 + 14 für n ∈ N∗
definierten Folgen (yn )n∈N und (zn )n∈N auf Konvergenz.
Aufgabe 22
(5+2=7 Punkte)
(a) Begründen Sie anhand der Definiton jeweils die Existenz/Nichtexistenz des Grenzwerts
lim f (x). Geben Sie den Grenzwert an und bestimmen Sie ein zu ε > 0 “passendes“ δ > 0
x→x0
oder finden Sie ggf. abhängig von einem vermeintlichen Grenzwert x0 ∈ R ein ε > 0 zu dem
kein solches δ > 0 existiert.
(i) f (x) = 3x + 1,
(ii) f (x) = x2 ,
(iii) f (x) =
x0 = 2
x0 =
x2 −4
|x−2| ,
1
(iv) f (x) = sin x ,
√
(v) f (x) = x · sin
1
2
x0 = 2
x0 = 0
1
x0 = 0
x ,
(b) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit den Sätzen über das “Rechnen“ mit
Grenzwerten aus der Vorlesung.
√
x2 − 4
1 − 1 − x2
(i)
lim
(ii) lim
x→−2 x2 + 2x
x→0
x2
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/analysis-sose12