Aussagenlogik und natürliches Schließen - informatik.uni

Techniken zur Entwicklung Korrekter Software 1
Vorlesung vom 03/04.12.07:
Aussagenlogik und natürliches Schließen
Christoph Lüth & Lutz Schröder
WS 07/08
Lüth & Schröder: TEKS 1
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WS 07/08
Wo sind wir?
Woche 1: Einführung
Woche 2– 6: CASL
Woche 7– 11: Formales Beweisen:
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik höherer Stufe
Isabelle/HOL
Woche 12– 14: Formales Beweisen & Entwicklung mit CASL
Lüth & Schröder: TEKS 1
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WS 07/08
Fahrplan
Einführung in die formale Logik
Aussagenlogik
Beispiel für eine einfache Logik
Guter Ausgangspunkt
Natürliches Schließen
Wird auch von Isabelle verwendet.
Buchempfehlung:
Dirk van Dalen: Logic and Structure. Springer Verlag, 2004.
Lüth & Schröder: TEKS 1
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Formale Logik
Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie
Wenn es regnet, wird die Straße nass.
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WS 07/08
Formale Logik
Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie
Wenn es regnet, wird die Straße nass.
Es regnet.
Lüth & Schröder: TEKS 1
4
WS 07/08
Formale Logik
Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie
Nachts ist es dunkel.
Wenn es regnet, wird die Straße nass.
Es regnet.
Also ist die Straße nass.
Lüth & Schröder: TEKS 1
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WS 07/08
Formale Logik
Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie
Nachts ist es dunkel.
Es ist hell.
Wenn es regnet, wird die Straße nass.
Es regnet.
Also ist die Straße nass.
Lüth & Schröder: TEKS 1
4
WS 07/08
Formale Logik
Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie
Nachts ist es dunkel.
Es ist hell.
Also ist es nicht nachts.
Wenn es regnet, wird die Straße nass.
Es regnet.
Also ist die Straße nass.
Eine Logik besteht aus
Einer Sprache L von Formeln (Aussagen)
Schlußregeln (Folgerungsregeln) auf diesen Formeln.
Damit: Gültige (“wahre”) Aussagen berechnen.
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WS 07/08
Beispiel für eine Logik
Sprache L = {♣, ♠, ♥, ♦}
Lüth & Schröder: TEKS 1
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WS 07/08
Beispiel für eine Logik
Sprache L = {♣, ♠, ♥, ♦}
Schlußregeln:
[♦]
..
.
♦
α
♣
♦
β
♠
♣
♠
♥
γ
♥
♥
δ
Beispielableitung: ♥
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Aussagenlogik
Sprache Prop gegeben durch:
Variablen V ⊆ Prop (Menge V gegeben)
⊥ ∈ Prop
Wenn φ, ψ ∈ Prop, dann φ ∧ ψ ∈ Prop, φ ∨ ψ ∈ Prop,
φ −→ ψ ∈ Prop, φ ←→ ψ ∈ Prop
Wenn φ ∈ Prop, dann ¬φ ∈ Prop.
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WS 07/08
Wann ist eine Formel gültig?
Semantische Gültigkeit |= P : Wahrheitstabellen, Modelle
Siehe Casl-Semantik, wird hier nicht weiter verfolgt
Syntaktische Gültigkeit ` P: formale Ableitung,
Natürliches Schließen
Sequenzenkalkül
Andere (Hilbert-Kalkül, gleichungsbasierte Kalküle, etc.)
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WS 07/08
Natürliches Schließen
Vorgehensweise:
Erst Kalkül nur für ∧, −→, ⊥,
dann Erweiterung auf alle Konnektive.
Für jedes Konnektiv: Einführungs- und Eliminitationsregel
NB: konstruktiver Inhalt der meisten Regeln
Lüth & Schröder: TEKS 1
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WS 07/08
Natürliches Schließen — Die Regeln
φ
ψ
φ∧ψ
φ∧ψ
∧I
φ
[φ]
..
.
φ
φ −→ ψ
ψ
ψ
φ −→ ψ
∧E1
φ∧ψ
ψ
∧E2
−→E
−→I
[φ −→ ⊥]
..
.
⊥
⊥
φ
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⊥
φ
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raa
WS 07/08
Konsistenz
Def: Γ konsistent gdw. es gibt ein Modell M für Γ
Lemma: Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) Γ konsistent
(ii) Es gibt kein φ so dass Γ ` φ und Γ ` ¬φ
(iii) Γ 6` ⊥
Satz: Aussagenlogik mit natürlichem Schließen ist konsistent.
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Die fehlenden Konnektive
Einführung als Abkürzung:
def
¬φ = φ −→ ⊥
def
φ ∨ ψ = ¬(¬φ ∧ ¬ψ)
def
φ ←→ ψ = (φ −→ ψ) ∧ (ψ −→ φ)
Ableitungsregeln als Theoreme.
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Die fehlenden Schlußregeln
φ
φ∨ψ
∨I1
ψ
φ∨ψ
∨I2
[φ]
..
.
[ψ]
..
.
σ
σ
σ
φ∨ψ
∨E
[φ]
..
.
⊥
¬φ
φ ¬φ
¬I
φ −→ ψ
⊥
ψ −→ φ
φ ←→ ψ
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←→I
φ
¬E
φ ←→ ψ
ψ
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←→E1
ψ
φ ←→ ψ
φ
←→E2
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Zusammenfassung
Formale Logik formalisiert das (natürlichsprachliche) Schlußfolgern
Logik: Aussagen plus Schlußregeln (Kalkül)
Aussagenlogik: Aussagen mit ∧, −→, ⊥
¬, ∨, ←→ als abgeleitete Operatoren
Natürliches Schließen: intuitiver Kalkül
Aussagenlogik konsistent, vollständig, entscheidbar.
Nächstes Mal: Quantoren, HOL.
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