Techniken zur Entwicklung Korrekter Software 1 Vorlesung vom 03/04.12.07: Aussagenlogik und natürliches Schließen Christoph Lüth & Lutz Schröder WS 07/08 Lüth & Schröder: TEKS 1 1 WS 07/08 Wo sind wir? Woche 1: Einführung Woche 2– 6: CASL Woche 7– 11: Formales Beweisen: Aussagenlogik Prädikatenlogik Logik höherer Stufe Isabelle/HOL Woche 12– 14: Formales Beweisen & Entwicklung mit CASL Lüth & Schröder: TEKS 1 2 WS 07/08 Fahrplan Einführung in die formale Logik Aussagenlogik Beispiel für eine einfache Logik Guter Ausgangspunkt Natürliches Schließen Wird auch von Isabelle verwendet. Buchempfehlung: Dirk van Dalen: Logic and Structure. Springer Verlag, 2004. Lüth & Schröder: TEKS 1 3 WS 07/08 Formale Logik Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie Wenn es regnet, wird die Straße nass. Lüth & Schröder: TEKS 1 4 WS 07/08 Formale Logik Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie Wenn es regnet, wird die Straße nass. Es regnet. Lüth & Schröder: TEKS 1 4 WS 07/08 Formale Logik Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie Nachts ist es dunkel. Wenn es regnet, wird die Straße nass. Es regnet. Also ist die Straße nass. Lüth & Schröder: TEKS 1 4 WS 07/08 Formale Logik Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie Nachts ist es dunkel. Es ist hell. Wenn es regnet, wird die Straße nass. Es regnet. Also ist die Straße nass. Lüth & Schröder: TEKS 1 4 WS 07/08 Formale Logik Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie Nachts ist es dunkel. Es ist hell. Also ist es nicht nachts. Wenn es regnet, wird die Straße nass. Es regnet. Also ist die Straße nass. Eine Logik besteht aus Einer Sprache L von Formeln (Aussagen) Schlußregeln (Folgerungsregeln) auf diesen Formeln. Damit: Gültige (“wahre”) Aussagen berechnen. Lüth & Schröder: TEKS 1 4 WS 07/08 Beispiel für eine Logik Sprache L = {♣, ♠, ♥, ♦} Lüth & Schröder: TEKS 1 5 WS 07/08 Beispiel für eine Logik Sprache L = {♣, ♠, ♥, ♦} Schlußregeln: [♦] .. . ♦ α ♣ ♦ β ♠ ♣ ♠ ♥ γ ♥ ♥ δ Beispielableitung: ♥ Lüth & Schröder: TEKS 1 5 WS 07/08 Aussagenlogik Sprache Prop gegeben durch: Variablen V ⊆ Prop (Menge V gegeben) ⊥ ∈ Prop Wenn φ, ψ ∈ Prop, dann φ ∧ ψ ∈ Prop, φ ∨ ψ ∈ Prop, φ −→ ψ ∈ Prop, φ ←→ ψ ∈ Prop Wenn φ ∈ Prop, dann ¬φ ∈ Prop. Lüth & Schröder: TEKS 1 6 WS 07/08 Wann ist eine Formel gültig? Semantische Gültigkeit |= P : Wahrheitstabellen, Modelle Siehe Casl-Semantik, wird hier nicht weiter verfolgt Syntaktische Gültigkeit ` P: formale Ableitung, Natürliches Schließen Sequenzenkalkül Andere (Hilbert-Kalkül, gleichungsbasierte Kalküle, etc.) Lüth & Schröder: TEKS 1 7 WS 07/08 Natürliches Schließen Vorgehensweise: Erst Kalkül nur für ∧, −→, ⊥, dann Erweiterung auf alle Konnektive. Für jedes Konnektiv: Einführungs- und Eliminitationsregel NB: konstruktiver Inhalt der meisten Regeln Lüth & Schröder: TEKS 1 8 WS 07/08 Natürliches Schließen — Die Regeln φ ψ φ∧ψ φ∧ψ ∧I φ [φ] .. . φ φ −→ ψ ψ ψ φ −→ ψ ∧E1 φ∧ψ ψ ∧E2 −→E −→I [φ −→ ⊥] .. . ⊥ ⊥ φ Lüth & Schröder: TEKS 1 ⊥ φ 9 raa WS 07/08 Konsistenz Def: Γ konsistent gdw. es gibt ein Modell M für Γ Lemma: Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) Γ konsistent (ii) Es gibt kein φ so dass Γ ` φ und Γ ` ¬φ (iii) Γ 6` ⊥ Satz: Aussagenlogik mit natürlichem Schließen ist konsistent. Lüth & Schröder: TEKS 1 10 WS 07/08 Die fehlenden Konnektive Einführung als Abkürzung: def ¬φ = φ −→ ⊥ def φ ∨ ψ = ¬(¬φ ∧ ¬ψ) def φ ←→ ψ = (φ −→ ψ) ∧ (ψ −→ φ) Ableitungsregeln als Theoreme. Lüth & Schröder: TEKS 1 11 WS 07/08 Die fehlenden Schlußregeln φ φ∨ψ ∨I1 ψ φ∨ψ ∨I2 [φ] .. . [ψ] .. . σ σ σ φ∨ψ ∨E [φ] .. . ⊥ ¬φ φ ¬φ ¬I φ −→ ψ ⊥ ψ −→ φ φ ←→ ψ Lüth & Schröder: TEKS 1 ←→I φ ¬E φ ←→ ψ ψ 12 ←→E1 ψ φ ←→ ψ φ ←→E2 WS 07/08 Zusammenfassung Formale Logik formalisiert das (natürlichsprachliche) Schlußfolgern Logik: Aussagen plus Schlußregeln (Kalkül) Aussagenlogik: Aussagen mit ∧, −→, ⊥ ¬, ∨, ←→ als abgeleitete Operatoren Natürliches Schließen: intuitiver Kalkül Aussagenlogik konsistent, vollständig, entscheidbar. Nächstes Mal: Quantoren, HOL. Lüth & Schröder: TEKS 1 13 WS 07/08