Technische Universität Dresden, Fachrichtung Mathematik Prof. Dr

Technische Universität Dresden, Fachrichtung Mathematik
Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich
Merkblatt zur 1. Übung des Brückenkurses Mathematik 2017
Thema: Logik, Mengenlehre
Logik
• Aussagen. Eine Aussage ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, dem eindeutig ein Wahrheitswert (wahr oder falsch) zugeordnet werden kann. Wir werden Aussagen meist mit p, q, . . .
bezeichnen.
• Aussageformen. Eine Aussageform ist ein sprachliches Gebilde, das eine oder mehrere Variablen enthält, und zur Aussage wird, sobald diese Variablen mit konkreten Werten belegt
werden.
• Aussageverbindungen. Angenommen, p und q sind Aussagen. Dann sind die folgenden Verknüpfungen wiederum Aussagen:
– p: Negation, gesprochen „nicht p“, manchmal auch als ¬p notiert. Die Negation einer
Aussage p besagt, dass p nicht gilt.
– p ∧ q: Konjunktion, gesprochen „p und q“. Die Konjunktion zweier Aussagen p und q
besagt, dass sowohl p als auch q gilt.
– p∨q: Disjunktion, gesprochen „p oder q“. Die Disjunktion zweier Aussagen p und q besagt,
dass p oder q (oder beide) gelten (wichtig: kein ausschließendes „oder“!)
• Quantoren. Angenommen, p(x) ist eine Aussageform, die von einer Variablen x abhängt.
Dann sind die folgenden Gebilde Aussagen:
– ∃x : p(x) (gesprochen: „es existiert (mindestens) ein x, für das die Aussage p(x) gilt“; ∃
wird Existenzquantor genannt),
– ∀x : p(x) (gesprochen: „für jedes x gilt die Aussage p(x)“; ∀ wird Allquantor genannt).
Mengenlehre
• Verknüpfungen zweier Mengen. Angenommen, A und B sind Mengen. Dann sind die
folgenden Verknüpfungen wiederum Mengen:
– A∩B: Durchschnitt, gesprochen „A geschnitten mit B“. A∩B besteht aus allen Elementen,
die sowohl zu A als auch zu B gehören.
A
B
– A ∪ B: Vereinigung, gesprochen „A vereinigt mit B“. A ∪ B besteht aus allen Elementen,
die zu A oder zu B gehören (oder zu beiden – kein ausschließendes „oder“!).
A
B
– A \ B: Mengendifferenz, gesprochen „A ohne B“. A \ B besteht aus allen Elementen, die
zu A gehören, aber nicht zu B.
1
A
B
• Spezielle Mengen.
– Leere Menge. Menge, die kein Element hat; bezeichnet mit ∅ oder { }
– Zahlenbereiche.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}: Menge der natürlichen Zahlen; in mancher Literatur ist 0 nicht
enthalten und somit 1 die kleinste natürliche Zahl
Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . .}: Menge der ganzen Zahlen
Q: Menge der rationalen Zahlen
R: Menge der reellen Zahlen
– Beschränkte Intervalle. Für zwei reelle Zahlen a, b mit a < b werden definiert:
∗
∗
∗
∗
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall)
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} (offenes Intervall, manchmal auch als ]a, b[ notiert)
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} (links-halboffenes Intervall)
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} (rechts-halboffenes Intervall)
∗
∗
∗
∗
(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
[a, ∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}
(a, ∞) = {x ∈ R | x > a}
– Unbeschränkte Intervalle. Für eine reelle Zahl a werden definiert:
• Teilmengenbeziehungen. Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, kurz A ⊆ B, wenn
jedes Element von A auch zur Menge B gehört. B wird dann als Obermenge von A bezeichnet.
• disjunkt. Zwei Mengen A und B sind disjunkt, wenn A ∩ B = ∅ gilt, das heißt, wenn sie kein
Element gemeinsam haben.
• Kartesisches Produkt. Angenommen, A und B sind Mengen. Dann ist das kartesische Produkt dieser beiden Mengen definiert durch
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Die Elemente des kartesischen Produkts sind also geordnete Paare. Speziell für A × A schreibt
man auch A2 .
2
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Merkblatt zur 2. Übung des Brückenkurses Mathematik 2017
Thema: Termumformungen, Gleichungen und Ungleichungen
Binomische Formeln
Für beliebige Zahlen a, b ∈ R gelten die folgenden Gleichheiten.
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
• (a + b) · (a − b) = a2 − b2
Anwendung: Quadratische Ergänzung.
Gegeben sei ein Ausdruck der Gestalt x2 + px + q mit gewissen Zahlen p, q ∈ R, p 6= 0. Manchmal
ist es wünschenswert, einen solchen Ausdruck in die Gestalt (x + a)2 + b zu überführen. Das geht,
indem zum Ausgangsterm ein geeigneter Summand addiert, danach gleich wieder abgezogen und
schließlich eine binomische Formel („rückwärts“) benutzt wird:
p 2 p 2
p 2 p 2
p
−
+q = x+
−
+ q.
x2 + px + q = x2 + 2 · x +
2
2
2
2
2
2
Das entspricht der Gestalt (x + a)2 + b mit a = p2 und b = − p2 + q.
Bemerkung: Wie die obige Anwendung bereits verdeutlicht, werden die binomischen Formeln oft
„rückwärts“ benötigt, etwa um eine Summe als Quadrat umzuschreiben.
Potenzgesetze
Für alle Zahlen x, y ∈ R sowie p, q ∈ R gelten die folgenden Gleichheiten (vorausgesetzt, die Potenzen
sind jeweils definiert).
p
x
xp
xp
p−q
p
p
p
p
q
p+q
=x ,
x · y = (xy)
=
(xp )q = xp·q
x ·x =x ,
q
p
x
y
y
Bemerkung: Ähnlich wie bei den binomischen Formeln werden auch die Potenzgesetze häufig „rückwärts“ benötigt.
Umschreiben von Wurzeln und Quotienten als Potenz:
• Wurzeln lassen sich als Potenzen mit gebrochenem Exponenten umschreiben:
√
1
Speziell: x = x 2 .
• Quotienten lassen sich als Potenzen umschreiben:
√
m
1
x = xm .
1
= x−p .
xp
Gleichungen und Ungleichungen
Die Ausführungen auf diesem Merkblatt beschränken sich auf quadratische Gleichungen und Ungleichungen sowie Gleichungen und Ungleichungen, in denen Beträge vorkommen.
• Quadratische Gleichungen. Gesucht seien alle (reellen) Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0. (Dabei seien p und q vorgegebene reelle Zahlen.)
3
2
– Falls der Wert p2 − q positiv ist, dann hat die Gleichung zwei unterschiedliche reelle
Lösungen, nämlich
r r p 2
p
p 2
p
− q und x2 = − +
−q
x1 = − −
2
2
2
2
q p
p 2
(oft auch kurz wie folgt geschrieben: x1/2 = − 2 ±
− q).
2
2
– Falls der Wert p2 − q gleich Null ist, dann hat die Gleichung nur eine reelle Lösung,
p
nämlich x1/2 = − .
2
p 2
– Falls der Wert 2 − q negativ ist, dann hat die Gleichung gar keine reelle Lösung.
Bemerkung: Ist eine quadratische Gleichung noch nicht in der Form x2 + px + q = 0 gegeben,
dann sollte sie zunächst durch äquivalente Umformungen in diese Gestalt überführt werden.
Vorher lassen sich die Ausführungen von eben nicht anwenden. Das gilt insbesondere dann,
wenn die Gleichung in der Gestalt ax2 + bx + c = 0 mit a 6= 1 vorliegt.
• Quadratische Ungleichungen. Gesucht seien alle (reellen) Lösungen einer quadratischen
Ungleichung x2 + px + q ∼ 0, wobei ∼ für eines der Relationszeichen ≤, <, ≥, > steht. Dann
sind als erstes alle Lösungen der Gleichung x2 + px + q = 0 zu bestimmen. Die Lösungsmenge
L der Ungleichung hängt dann, neben dem Relationszeichen, davon ab, ob die Gleichung
zwei unterschiedliche reelle Lösungen x1 , x2 (mit x1 < x2 ) besitzt (im Folgenden als „Fall 1“
bezeichnet) oder nur eine reelle Lösung x1/2 besitzt (im Folgenden als „Fall 2“ bezeichnet) oder
gar keine reelle Lösung besitzt (im Folgenden als „Fall 3“ bezeichnet).
Fall 1
Fall 2
Fall 3
≤
L = [x1 , x2 ]
L = {x1/2 }
L=∅
<
L = (x1 , x2 )
L=∅
L=∅
≥
L = (−∞, x1 ] ∪ [x2 , ∞)
L=R
L=R
>
L = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , ∞)
L = R \ {x1/2 }
L=R
Bemerkung: Diese Diskussion der Gestalt der Lösungsmenge ist nur dann richtig, wenn die
Ungleichung in der Form x2 +px+q ∼ 0 vorliegt (0 auf der rechten Seite und der quadratische
Ausdruck mit dem Faktor 1 vor x2 auf der linken Seite). Ist das nicht der Fall, sollte sie
zunächst durch äquivalente Umformungen in diese Gestalt überführt werden. Dabei ist zu
beachten, dass sich beim Multiplizieren mit sowie beim Dividieren durch eine negative Zahl
das Relationszeichen umdreht.
• Umgang mit Beträgen. Der (absolute) Betrag einer Zahl a ∈ R ist wie folgt definiert:
a für a ≥ 0,
|a| =
−a für a < 0.
Angenommen, es ist eine Gleichung gegeben, in der die Unbekannte x innerhalb von Betragsstrichen vorkommt. Dann ist zur Lösung der Gleichung eine Fallunterscheidung hinsichtlich des
Vorzeichens des Ausdrucks im Betrag erforderlich. Für jeden Fall entsteht dann eine einfachere
Gleichung (bei uns meist eine lineare oder quadratische Gleichung). Man bestimmt dann alle
Lösungen dieser einfacheren Gleichung. Am Ende muss man allerdings noch überprüfen, ob
alle erhaltenen Lösungen auch die Bedingung des aktuellen Falls erfüllen und somit tatsächlich
Lösungen der Ausgangs-Gleichung sind, oder ob gewisse Lösungen der einfacheren Gleichung
entfallen.
Kommen in der Gleichung mehrere Beträge vor, sind entsprechend mehr Fälle zu diskutieren.
Zur Lösung von Ungleichungen, in denen Beträge vorkommen, geht man genauso vor.
4
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Merkblatt zur 3. Übung des Brückenkurses Mathematik 2017
Thema: Gleichungen und Ungleichungen mit zwei Variablen, Vektorrechnung
Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC, wobei sich der rechte Winkel am Punkt C befinde,
vgl. folgende Planfigur.
C
·
b
A
a
α
c
β
B
• Die Seite c heißt Hypotenuse, a und b heißen Katheten des Dreiecks.
• Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
• Es gilt sin(α) =
Gegenkathete
a
=
Hypotenuse
c
und cos(α) =
Ankathete
b
= .
Hypotenuse
c
Wertetabelle für Sinus und Kosinus:
α
0◦
30◦
sin(α)
0
cos(α)
1
1
2
√
3
2
45◦
60◦
√
√
2
2
√
2
2
90◦
3
2
1
1
2
0
120◦
135◦
√
√
3
2
− 12
−
2
2
√
2
2
150◦
180◦
1
2
√
− 23
0
−1
Gleichungen und Ungleichungen mit zwei Variablen
• Gleichungen mit zwei Variablen. Durch eine Gleichung mit zwei Variablen x, y wird (von
Sonderfällen abgesehen) eine Kurve in der xy-Ebene beschrieben.
– Geradengleichungen.
∗ allgemeine Form:
ax + by = c
(falls a 6= 0, dann ist Sx ( ac , 0) der Schnittpunkt mit der x-Achse; falls b 6= 0, dann ist
Sy (0, cb ) der Schnittpunkt mit der y-Achse)
∗ Im Falle b 6= 0 lässt sich die Gleichung auch überführen in die Gestalt
y = mx + n.
(m: Anstieg der Geraden; n: y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse)
– Parabelgleichungen.
∗ nach oben oder nach unten geöffnete Parabeln:
y = a(x − x0 )2 + y0
(x0 , y0 : Koordinaten des Scheitelpunkts; nach oben geöffnet im Fall a > 0, nach unten
geöffnet im Fall a < 0)
5
∗ nach rechts oder nach links geöffnete Parabeln:
x = a(y − y0 )2 + x0
(x0 , y0 : Koordinaten des Scheitelpunkts; nach rechts geöffnet im Fall a > 0, nach
links geöffnet im Fall a < 0)
– Kreisgleichungen.
(x − xM )2 + (y − yM )2 = r2
(xM , yM : Koordinaten des Mittelpunkts; r > 0 Radius des Kreises)
– Ellipsengleichungen. (wir betrachten hier nur den Fall, dass die Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen)
(x − xM )2 (y − yM )2
+
=1
a2
b2
(xM , yM : Koordinaten des Symmetriepunkts; a > 0 Länge der zur x-Achse parallelen
Halbachse; b > 0 Länge der zur y-Achse parallelen Halbachse)
• Ungleichungen mit zwei Variablen. Durch eine Ungleichung mit zwei Variablen x, y wird
(von Sonderfällen abgesehen) ein Bereich in der xy-Ebene beschrieben. Zur Bestimmung des
durch eine Ungleichung beschriebenen Bereichs sollte man sich zunächst überlegen, wie die
Begrenzungskurve aussieht (dazu einfach das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
ersetzen). Anhand des Relationszeichens lässt sich dann entscheiden, ob der Bereich oberhalb
oder unterhalb bzw. rechts oder links bzw. innerhalb oder außerhalb der Begrenzungskurve
liegt und ob die Begrenzungskurve selbst auch zum Bereich gehört.
Grundlagen der Vektorrechnung und deren Anwendungen




a1
b1
#»
• Ausgewählte Vektoroperationen. Seien #»
a =  a2  und b =  b2  zwei Vektoren
a3
b3
mit drei Komponenten. Dann sind erklärt:


a 1 + b1
#»
– Summe zweier Vektoren: #»
a + b =  a 2 + b2 
a 3 + b3


t · a1
– Vielfache eines Vektors (Multiplikation mit einer Zahl t ∈ R): t · #»
a =  t · a2 
t · a3
p
– Betrag eines Vektors: | #»
a | = a21 + a22 + a23
#»
– Skalarprodukt zweier Vektoren: #»
a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 (Ergebnis ist eine Zahl!)
– Winkel α zwischen zwei Vektoren: zunächst Berechnung von cos(α) =
#»
#»
a· b
#» ,
#»
| a || b |
dann
Bestimmung von α, zum Beispiel mit Hilfe einer Wertetabelle für den Kosinus, s.o.
Die bisher genannten Vektoroperationen lassen sich entsprechend auch auf Vektoren mit zwei
Komponenten übertragen.
Speziell für Vektoren mit drei Komponenten ist außerdem erklärt:


a 2 b3 − a 3 b2
#»
– Vektorprodukt (oder auch Kreuzprodukt) zweier Vektoren: #»
a × b =  a 3 b1 − a 1 b3 
a 1 b2 − a 2 b1
1 # » # »
• Flächeninhalt eines Dreiecks ABC im Raum. F = AB × AC 2
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Merkblatt zur 4. Übung des Brückenkurses Mathematik 2017
Thema: Lineare Gleichungssysteme, Analytische Geometrie in Ebene und Raum
Analytische Geometrie in der Ebene
• Darstellung von Geraden. Eine Gerade in der Ebene lässt sich durch eine Parameterdarstellung (vektorielle Darstellung), aber auch durch eine parameterfreie Darstellung (kartesische
Darstellung) beschreiben.
– Parameterdarstellung: #»
x =
#»
∗ a : Stützvektor/Aufpunkt,
#»
a + t · #»
v, t ∈ R
#»
v : Richtungsvektor, t: Parameter
∗ Ein Punkt P liegt genau dann auf der Geraden, wenn es einen Wert für t gibt, sodass
# »
gilt: OP = #»
a + t · #»
v.
– parameterfreie Darstellung: ax + by = c (Voraussetzung: a, b nicht beide Null)
a
ist ein Normalenvektor der Geraden, das heißt, er schließt mit
∗ Der Vektor
b
dem Richtungsvektor der Geraden einen rechten Winkel ein.
∗ Im Falle b 6= 0 lässt sich die Geradengleichung auch in die Form y = mx + n überführen. Die Zahl m heißt dann Anstieg der Geraden, n gibt den y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse an.
• Gerade durch zwei Punkte. Gegeben seien zwei verschiedene Punkte P (xP , yP ) und Q(xQ , yQ ).
Gesucht sei eine Gleichung der Geraden durch diese beiden Punkte.
# » # »
# »
# » # »
– Möglichkeit 1: Parameterdarstellung. #»
x = OP + t · P Q = OP + t · OQ − OP , t ∈ R
– Möglichkeit 2: Parameterfreie Darstellung in der Form y = mx + n (nur möglich, falls
yQ − yP
xP 6= xQ ). y = yP +
(x − xP )
xQ − xP
• Abstand Punkt – Gerade. Gegeben seien ein Punkt P (xP , yP ) und eine Gerade g. Gesucht
sei der Abstand des Punktes von der Geraden.
Die Geradengleichung sollte zunächst in die Gestalt ax + by = c überführt werden (falls sie
nicht schon in dieser Form vorliegt). Dann lässt sich der gesuchte Abstand wie folgt berechnen:
axP + byP − c .
dist(P, g) = √
a 2 + b2 Analytische Geometrie im Raum
• Darstellung von Geraden. Im dreidimensionalen Raum lässt sich eine Gerade nach wie
vor durch eine Parameterdarstellung beschreiben. Hingegen ist die Darstellung durch eine
parameterfreie Gleichung nicht mehr möglich.
Parameterdarstellung: #»
x = #»
a + t · #»
v, t ∈ R
– #»
a : Stützvektor/Aufpunkt, #»
v : Richtungsvektor, t: Parameter
– Ein Punkt P liegt genau dann auf der Geraden, wenn es einen Wert für t gibt, sodass
# »
gilt: OP = #»
a + t · #»
v.
7
• Gerade durch zwei Punkte. Gegeben seien zwei verschiedene Punkte P und Q im Raum.
Dann lautet eine Parameterdarstellung der Geraden durch diese beiden Punkte:
# » # »
# »
# » # »
#»
x = OP + t · P Q = OP + t · OQ − OP , t ∈ R.
• Abstand Punkt – Gerade. Gegeben seien ein Punkt P (xP , yP , zP ) und eine Gerade g mit
der Parameterdarstellung #»
x = #»
a + t · #»
v , t ∈ R.
Dann lässt sich der Abstand des Punktes zur Geraden wie folgt berechnen:
# »
#»
a v × OP − #»
dist(P, g) =
.
| #»
v|
Vorsicht: Bei den Beträgen handelt es sich um Beträge von Vektoren – sie müssen dementsprechend berechnet werden.
• Darstellung von Ebenen. Eine Ebene im Raum kann sowohl durch eine Parameterdarstellung (vektorielle Darstellung) als auch durch eine parameterfreie Darstellung (kartesische
Darstellung) beschrieben werden.
– Parameterdarstellung: #»
x = #»
a + s · #»
u + t · #»
v , s, t ∈ R
#»
#»
#»
∗ a : Stützvektor/Aufpunkt, u , v : Richtungsvektoren, s, t: Parameter
∗ Ein Punkt P liegt genau dann auf der Ebene, wenn es Werte für s und t gibt, sodass
# »
gilt: OP = #»
a + s · #»
u + t · #»
v.
– parameterfreie Darstellung: ax + by + cz = d (Voraussetzung: a, b, c nicht alle Null)
 
a

b  ist ein Normalenvektor der Ebene, das heißt, er schließt mit allen
Der Vektor
c
Richtungsvektoren der Ebene einen rechten Winkel ein.
• Ebene durch drei Punkte. Gegeben seien drei paarweise verschiedene Punkte P , Q und R
im Raum. Gesucht sei eine Gleichung der Ebene, auf der diese drei Punkte liegen.
– Möglichkeit 1: Parameterdarstellung.
# » # »
# » # »
# »
# »
# » # »
#»
x = OP + s · P Q + t · P R = OP + s · OQ − OP + t · OR − OP ,
s, t ∈ R
– Möglichkeit 2: Parameterfreie Darstellung in der Form ax+by +cz = d. Dazu ist zunächst
ein Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren zu berechnen.
Das liefert schonmal die Werte für a, b, c:
 
a
# » # »
 b =P
Q × P R.
c
Schließlich ist noch die rechte Seite d durch Einsetzen von einem der drei Punkte berechnen: d = axP + byP + czP (wobei xP , yP , zP die Koordinaten von P sind).
• Abstand Punkt – Ebene. Gegeben seien ein Punkt P (xP , yP , zP ) und eine Ebene E. Gesucht
sei der Abstand des Punktes von der Ebene.
Es sollte zunächst eine parameterfreie Gleichung der Ebene in der Form ax + by + cz = d
ermittelt werden (falls sie nicht schon in dieser Form vorliegt). Dann lässt sich der gesuchte
Abstand wie folgt berechnen:
axP + byP + czP − d .
√
dist(P, E) = a 2 + b2 + c 2
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Merkblatt zur 5. Übung des Brückenkurses Mathematik 2017
Thema: Reelle Funktionen
• Definition. Eine (reelle) Funktion f : Df → R ist eine Abbildung, die jeder Zahl x aus einer
Menge Df ⊆ R genau eine Zahl y ∈ R zuordnet. Der zugeordnete Wert wird üblicherweise mit
f (x) bezeichnet und heißt Funktionswert von f an der Stelle x.
– Die Menge Df heißt Definitionsbereich von f .
– Die Menge Wf = {y ∈ R | es existiert ein x ∈ Df , sodass y = f (x)} (manchmal auch mit
f (Df ) bezeichnet) heißt Wertebereich von f .
– Die Gleichung y = f (x) nennt man Funktionsgleichung oder Funktionsvorschrift
der Funktion f .
Bemerkung: Df muss nicht unbedingt dem sich aus der Funktionsgleichung ergebenden größtmöglichen Definitionsbereich entsprechen. Zu einer vollständigen Charakterisierung einer Funktion gehört somit neben der Funktionsgleichung auch die Angabe des Definitionsbereichs.
• Verknüpfungen von Funktionen.
– Es seien g : Dg → R und h : Dh → R zwei reelle Funktionen. Dann sind auch die
folgenden Verknüpfungen wieder reelle Funktionen:
∗ Summe: f mit f (x) = g(x) + h(x),
∗ Differenz: f mit f (x) = g(x) − h(x),
∗ Produkt: f mit f (x) = g(x) · h(x),
∗ Quotient: f mit f (x) =
g(x)
h(x)
(Voraussetzung: h(x) 6= 0 für alle x ∈ Dh ).
Der Definitionsbereich von f ist jeweils Df = Dg ∩ Dh .
– Verkettung: Es seien g : Dg → R und h : Dh → R zwei reelle Funktionen. Dabei gelte
Wh ⊆ Dg . Dann ist auch die Verkettung f = g ◦ h, definiert durch f (x) = g(h(x)),
eine reelle Funktion. Man nennt g die äußere Funktion und h die innere Funktion der
Verkettung.
Der Definitionsbereich der Verkettung f = g ◦ h ist Df = Dh .
• Monotonie.
– Eine Funktion f : Df → R heißt monoton wachsend, falls für alle x1 , x2 ∈ Df mit
x1 < x2 gilt: f (x1 ) ≤ f (x2 ). Gilt sogar f (x1 ) < f (x2 ) für alle x1 , x2 ∈ Df mit x1 < x2 ,
dann heißt die Funktion streng monoton wachsend.
– Eine Funktion f : Df → R heißt monoton fallend, falls für alle x1 , x2 ∈ Df mit x1 < x2
gilt: f (x1 ) ≥ f (x2 ). Gilt sogar f (x1 ) > f (x2 ) für alle x1 , x2 ∈ Df mit x1 < x2 , dann heißt
die Funktion streng monoton fallend.
• Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion.
– Eine reelle Funktion f mit dem Definitionsbereich Df und dem Wertebereich Wf heißt
eineindeutig oder umkehrbar, wenn aus x1 , x2 ∈ Df mit x1 6= x2 stets auch f (x1 ) 6=
f (x2 ) folgt (wenn also kein Element aus Wf Funktionswert zweier unterschiedlicher Elemente aus Df ist).
9
– Ist eine Funktion f eineindeutig, besitzt sie eine Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion
von f wird üblicherweise mit f −1 bezeichnet. Aber Achtung: Es handelt sich nur um eine
Bezeichnung, f −1 ist nicht etwa als Potenz zu verstehen!
– Falls f eine Umkehrfunktion f −1 besitzt, dann gilt für deren Definitions- und Wertebereich: Df −1 = Wf und Wf −1 = Df .
– Zur Bestimmung der Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion sollte man von x = f (y)
(x ∈ Wf , y ∈ Df ) ausgehen und die Gleichung nach y umstellen.
• Grenzwert an einer Stelle x0 , Stetigkeit. Gegeben seien eine Funktion f : Df → R und
eine Stelle x0 ∈ Df .
– Eine Zahl a ∈ R heißt Grenzwert von f an der Stelle x0 , wenn es zu jeder Zahl ε > 0
eine Zahl δ > 0 gibt, sodass für alle x ∈ Df \ {x0 } mit |x − x0 | ≤ δ gilt: |f (x) − a| ≤ ε.
Falls a Grenzwert von f an der Stelle x0 ist, schreibt man lim f (x) = a.
x→x0
– Die Funktion f heißt stetig an der Stelle x0 , wenn der Grenzwert lim f (x) existiert
und mit dem Funktionswert f (x0 ) übereinstimmt.
x→x0
Eine Funktion f : Df → R heißt stetig (auf ihrem gesamten Definitionsbereich), wenn sie
stetig an jeder Stelle x ∈ Df ist.
• Beispiele stetiger Funktionen. Die folgenden Funktionen sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig.
–
–
–
–
–
–
–
konstante Funktionen f (x) = c (c ∈ R konstant)
Potenzfunktionen f (x) = xp (p ∈ R \ {0} feste Zahl)
Betragsfunktion f (x) = |x|
Exponentialfunktionen f (x) = ax (a > 0 feste Zahl)
Logarithmusfunktionen f (x) = loga (x) (a > 0 feste Zahl)
Winkelfunktionen f (x) = sin(x), f (x) = cos(x), f (x) = tan(x)
Arcusfunktionen f (x) = arcsin(x), f (x) = arccos(x), f (x) = arctan(x)
Außerdem gelten die folgenden Aussagen.
– Sind zwei Funktionen g und h stetig an einer Stelle x0 , dann sind auch die Summe g + h,
die Differenz g − h, das Produkt g · h und der Quotient hg an der Stelle x0 stetig (der
Quotient natürlich nur im Falle h(x0 ) 6= 0).
– Angenommen, eine Funktion h ist stetig an der Stelle x0 und eine Funktion g ist stetig
an der Stelle h(x0 ). Dann ist die Verkettung f = g ◦ h, definiert durch f (x) = g(h(x)),
stetig an der Stelle x0 .
• Polynome. Eine Funktion p : R → R mit der Vorschrift
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
(n ∈ N, a0 , . . . , an ∈ R, an 6= 0) heißt Polynom vom Grad n oder ganzrationale Funktion
vom Grad n.
Aussagen zu Nullstellen von Polynomen:
– Ein Polynom vom Grad n besitzt höchstens n unterschiedliche (reelle) Nullstellen.
– Angenommen, x0 ist eine Nullstelle eines Polynoms pn vom Grad n. Dann gibt es ein
Polynom vom Grad n − 1, sodass für alle x ∈ R gilt: pn (x) = (x − x0 ) · pn−1 (x). Man sagt,
dass sich dann der Linearfaktor x−x0 vom Polynom pn abspalten lässt. Das Restpolynom
pn−1 lässt sich mittels Polynomdivision bestimmen.
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Merkblatt zur 6. Übung des Brückenkurses Mathematik 2017
Thema: Einführung in die Differential- und Integralrechnung
Differentialrechnung und Anwendungen
• Definitionen. Eine Funktion f : Df ⊆ R → R heißt differenzierbar an einer Stelle x ∈ Df ,
wenn der Grenzwert
f (x + t) − f (x)
lim
t→0
t
existiert. Dieser Grenzwert heißt dann Ableitung der Funktion f an der Stelle x und wird mit
f ′ (x) bezeichnet.
Die Funktion f heißt differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle x ∈ Df differenzierbar ist.
• Ableitungen ausgewählter Funktionen.
f (x)
f ′ (x)
f (x)
f ′ (x)
1
xp (p 6= 0)
ex
ax (a > 0, a 6= 1)
0
p · xp−1
ex
ax · ln(a)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tan(x)
1
x
cos(x)
− sin(x)
1
cos2 (x)
• Ableitungsregeln.
– Konstante Faktoren: Angenommen, die Funktion f ist ein Vielfaches einer anderen
Funktion g, also f (x) = c · g(x) mit einer gewissen Zahl c ∈ R. Dann gilt f ′ (x) = c · g ′ (x).
– Summenregel: Angenommen, die Funktion f ist die Summe zweier Funktionen g und
h, also f (x) = g(x) + h(x). Dann gilt f ′ (x) = g ′ (x) + h′ (x).
– Produktregel: Angenommen, die Funktion f ist das Produkt zweier Funktionen g und
h, also f (x) = g(x) · h(x). Dann gilt f ′ (x) = g ′ (x)h(x) + g(x)h′ (x).
– Quotientenregel: Angenommen, die Funktion f ist der Quotient zweier Funktionen g
g ′ (x)h(x) − g(x)h′ (x)
g(x)
und h, also f (x) = h(x)
.
. Dann gilt f ′ (x) =
h(x)2
– Kettenregel: Angenommen, die Funktion f ist eine Verkettung mit der äußeren Funktion
g und der inneren Funktion h, also f (x) = g(h(x)). Dann gilt f ′ (x) = g ′ (h(x)) · h′ (x).
• Gleichung einer Tangente. Gegeben seien eine Funktion f und eine Stelle x0 . Dann lautet
eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x0 :
y = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ).
• Lokale Extrema. Angenommen, eine Funktion f besitzt an einer Stelle xE einen lokalen
Extrempunkt (Minimum oder Maximum). Dann gilt f ′ (xE ) = 0 (notwendige Bedingung für
das Vorliegen eines Extrempunktes bei xE ). Indem man alle Nullstellen von f ′ berechnet,
bestimmt man also zumindest alle Kandidaten für lokale Extremstellen.
Um herauszufinden, ob es sich bei einer Nullstelle von f ′ tatsächlich um eine lokale Extremstelle
von f handelt, kann die zweite Ableitung helfen. Angenommen, an einer Stelle xE ist f ′ (xE ) =
0. Falls dann f ′′ (xE ) > 0 gilt, hat f an der Stelle xE ein lokales Minimum. Falls f ′′ (xE ) < 0
ist, hat f an der Stelle xE ein lokales Maximum.
11
Integralrechnung und Anwendungen
• Stammfunktion. Gegeben sei eine Funktion f : Df → R. Eine Funktion F : Df → R heißt
Stammfunktion von f , wenn für alle x ∈ Df gilt: F ′ (x) = f (x).
Ist F eine Stammfunktion von f , dann ist auch jede Funktion Fc mit Fc (x) = F (x) + c
(c ∈ R) eine Stammfunktion von f . Umgekehrt hat dann jede Stammfunktion von f die
Gestalt Fc (x) = F (x) + c (c ∈ R).
• Stammfunktionen zu ausgewählten Funktionen.
f (x)
F (x)
f (x)
F (x)
1
x
1
x
x−1 =
xp (p 6= −1)
1
p+1
p+1 x
sin(x)
ex
− cos(x)
cos(x)
sin(x)
tan(x)
− ln | cos(x)|
ex
ax (a > 0, a 6= 1)
ax ·
1
ln(a)
ln |x|
• Regeln zur Bestimmung einer Stammfunktion. In den folgenden Aussagen sei G jeweils
eine Stammfunktion von g und H eine Stammfunktion von h.
– Konstante Faktoren: Angenommen, f ist ein Vielfaches einer anderen Funktion g, also
f (x) = c · g(x) mit einer gewissen Zahl c ∈ R. Dann ist F mit F (x) = c · G(x) eine
Stammfunktion von f .
– Summenregel: Angenommen, f ist die Summe zweier Funktionen g und h, also f (x) =
g(x) + h(x). Dann ist F mit F (x) = G(x) + H(x) eine Stammfunktion von f .
– Substitutionsregel: Angenommen, f hat die Gestalt f (x) = g(h(x)) · h′ (x), das heißt, f
ist das Produkt der Verkettung zweier Funktionen g und h mit der Ableitung der inneren
Funktion h. Dann ist F mit F (x) = G(h(x)) eine Stammfunktion von f .
Spezialfall: Angenommen, f hat die Gestalt f (x) = g(ax + b) mit gewissen Zahlen a 6= 0
und b ∈ R, das heißt, f ist eine Verkettung mit einer linearen (!) inneren Funktion und
der äußeren Funktion g. Dann ist F mit F (x) = a1 G(ax + b) eine Stammfunktion von f .
ˆ b
f (x) dx = F (b)−F (a).
• Bestimmtes Integral. Ist F eine Stammfunktion von f , dann gilt
a
• Berechnung von Flächeninhalten. Angenommen, es ist der Inhalt A der Fläche zu berechnen, die der Graph einer Funktion f im Bereich a ≤ x ≤ b mit der x-Achse einschließt.
– Falls der Graph von f innerhalb des gesamten Bereichs a ≤ x ≤ b oberhalb der x-Achse
ˆ b
f (x) dx.
liegt, dann gilt A =
a
– Falls der Graph von f innerhalb des gesamten Bereichs a ≤ x ≤ b unterhalb der x-Achse
ˆ b
f (x) dx.
liegt, dann gilt A = −
a
– Falls der Graph von f innerhalb des Bereichs a ≤ x ≤ b die x-Achse schneidet, dann
sind zunächst die Nullstellen von f in diesem Bereich zu bestimmen und anschließend die
Flächeninhalte zwischen je zwei Nullstellen einzeln zu berechnen und zu addieren.
12
Technische Universität Dresden, Fachrichtung Mathematik
Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich
Merkblatt zur 7. Übung des Brückenkurses Mathematik 2017
Thema: Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen
Hilfsmittel aus der Kombinatorik
• Fakultät. Für eine natürliche Zahl n wird definiert:
n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1
(gesprochen: n Fakultät). Für n = 0 wird festgelegt: 0! = 1.
Anwendung: Gegeben seien n Objekte. Wie viele Möglichkeiten der Anordnung gibt es?
– Fall 1: Alle Objekte sind voneinander verschieden. Dann gibt es n! Möglichkeiten.
– Fall 2: Von den Objekten sind einige untereinander gleich. Genauer: Unter den Objekten
gibt es k Sorten, wobei n1 Objekte zur 1. Sorte gehören, n2 Objekte zur 2. Sorte usw.
Dann gibt es n1 !·n2n!!·...·nk ! Möglichkeiten, die Objekte anzuordnen.
• Binomialkoeffizient. Für natürliche Zahlen n und k mit 0 ≤ k ≤ n wird definiert:
n
n!
=
k! · (n − k)!
k
(gesprochen: n über k).
Anwendung: Gegeben seien n unterschiedliche Objekte. Dann gibt es nk Möglichkeiten, diesen
Objekten genau k Objekte ohne Zurücklegen zu entnehmen (vorausgesetzt, die Reihenfolge,
in der die Objekte entnommen werden, ist unerheblich).
Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Gegeben sei eine Aussageform A(n), die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Angenommen, es soll
bewiesen werden, dass A(n) für alle natürlichen Zahlen n ab einer gewissen Zahl n0 wahr ist. Dann
kann dafür das Beweisverfahren der vollständigen Induktion hilfreich sein.
• Schritt 1: Man weist die Gültigkeit der Aussage für die Zahl n0 nach (Induktionsanfang).
• Schritt 2: Man nimmt an, die Gültigkeit der Aussage wurde bereits für alle natürlichen Zahlen
n = n0 , n0 + 1, . . . , N nachgewiesen (Induktionsvoraussetzung) und zeigt mit Hilfe dieser
Voraussetzung, dass die Aussage auch für n = N + 1 wahr ist (Induktionsschritt).
Summenzeichen Σ
Es seien a0 , a1 , . . . , an reelle Zahlen. Dann bedeutet
n
X
ak nichts weiter als die Summe a0 + a1 +
k=0
. . . + an . Statt k kann auch eine andere Bezeichnung für den Summationsindex verwendet werden.
Dieser muss außerdem nicht bei 0, er kann auch bei einer anderen natürlichen Zahl beginnen.
Beispiele:
4
X
k=0
k 2 = 02 + 12 + 22 + 32 + 42 = 30,
3
X
i=1
(3i − 4) = (3 · 1 − 4) + (3 · 2 − 4) + (3 · 3 − 4) = 6
13
Reelle Zahlenfolgen
• Definition. Eine reelle Zahlenfolge (an ) ist eine Zuordnung, die jeder natürlichen Zahl n ∈ N
genau eine reelle Zahl an ∈ R zuordnet. Die Zahlen a0 , a1 , a2 , . . . heißen Glieder der Folge; an
wird als das n-te Folgenglied bezeichnet.
• Bemerkungen.
– Anstelle von „reelle Zahlenfolge“ werden wir oft auch einfach nur „Folge“ sagen.
– Die Nummerierung der Folgenglieder muss nicht bei n = 0, sie kann auch bei jeder anderen
natürlichen Zahl beginnen.
• Monotonie.
– Eine Folge (an ) heißt monoton wachsend, falls für alle n ∈ N gilt: an+1 ≥ an . Gilt
sogar an+1 > an für alle n ∈ N, dann heißt die Folge streng monoton wachsend.
– Eine Folge (an ) heißt monoton fallend, falls für alle n ∈ N gilt: an+1 ≤ an . Gilt sogar
an+1 < an für alle n ∈ N, dann heißt die Folge streng monoton fallend.
Zur Untersuchung der Monotonie einer Folge ist es empfehlenswert, die Differenz an+1 − an
hinsichtlich ihres Vorzeichens zu untersuchen.
• Beschränktheit. Eine Folge (an ) heißt beschränkt, wenn Zahlen Su ∈ R und So ∈ R
existieren, sodass für alle n ∈ N gilt: Su ≤ an ≤ So .
Äquivalent dazu: Eine Folge (an ) ist genau dann beschränkt, wenn eine Zahl S ∈ R existiert,
sodass für alle n ∈ N gilt: |an | ≤ S.
• Konvergenz. Eine Folge (an ) heißt konvergent gegen eine Zahl a ∈ R, wenn es zu jeder
Zahl ε > 0 eine natürliche Zahl N ∈ N gibt, sodass für alle natürlichen Zahlen n ≥ N gilt:
|an − a| ≤ ε. Mit anderen Worten: (an ) konvergiert gegen eine Zahl a, wenn für jedes ε > 0
höchstens endlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls [a − ε, a + ε] liegen.
Im Falle der Konvergenz gegen a heißt a Grenzwert der Folge. Man schreibt dann auch
lim an = a.
n→∞
Falls die Folge (an ) nicht konvergent ist, nennt man sie divergent.
• Einige Grenzwertsätze. Es seien (an ) eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a und (bn )
eine konvergente Folge mit dem Grenzwert b. Dann gelten die folgenden Aussagen.
– Konstante Faktoren. Für jede Zahl c ∈ R gilt lim c · an = c · lim an = c · a.
n→∞
n→∞
– Summe. Es gilt lim (an + bn ) = lim an + lim bn = a + b.
n→∞
n→∞
n→∞
– Differenz. Es gilt lim (an − bn ) = lim an − lim bn = a − b.
n→∞
n→∞ n→∞
– Produkt. Es gilt lim (an · bn ) = lim an · lim bn = a · b.
n→∞
n→∞
n→∞
an
limn→∞ an
a
– Quotient. Es gilt lim
=
=
(Vorauss.: b 6= 0 und bn 6= 0 für alle
n→∞ bn
limn→∞ bn
b
n ∈ N).
p
– Potenzen. Für jede Zahl p ∈ R gilt lim apn = lim an = ap (Vorauss.: ap ist definiert
n→∞
und apn ist für alle n ∈ N definiert).
– Betrag. Es gilt lim |an | = lim an = |a|.
n→∞
n→∞
n→∞
• Einschließungskriterium. Gegeben seien zwei konvergente Folgen (an ) und (bn ) mit an ≤ bn
für alle n ∈ N, die beide denselben Grenzwert a ∈ R haben. Angenommen, für eine weitere
Folge (cn ) gilt an ≤ cn ≤ bn für alle n ∈ N. Dann gilt auch lim cn = a.
n→∞
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