• Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] → R stetig mit f(a) < 0 < f(b). Dann

Ana I
• Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] → R stetig mit f (a) < 0 < f (b). Dann besitzt f eine Nullstelle in (a, b).
• Mittelwertsatz Sei a < b und f : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein x ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
f 0 (x) =
.
b−a
• Riemannsche Umordnungssatz: Jede Umordung einer absolut konvergenten Reihe konvergiert gegen den selben
Grenzwert
• Konvergenz:
∗ Definition: zu jedem ε > 0 ∃ N ∈ N, so dass gilt: |an − a| < ε ∀ n > N
∗ Cauchy-Folge: sei (an )n eine Folge reeller oder komplexer Zahlen, dann gilt:
∞
m
P
P
(an )n konv. ⇔ ∀ε > 0 ∃ N ∈ N, so dass |
an |< ε ∀k, m ≥ N
n=1
n=k
∗ Jede konvergente Folge ist beschränkt
– Leibnizsche Konvergenzkriterium (alternierende Nullfolge):Sei (an )n eine monoton fallende Nullfolge
∞
P
nichtnegativer Zahlen, dann konvergiert
(−1)n an .
n=1
– Quotientenkriterium: Sei
α ∀ n > N , dann
∞
P
n=1
konvergiert an
∞
P
– Majorantenkriteium: sei
an eine Reihe mit an 6= 0 ∀ n ≥ N ∃ α mit 0 < α < 1, so dass |
absolut.
bn eine konvergente Reihe mit
n=1
bn > 0 und (an )n eine F olge reeller Zahlen mit | an |≤ bn f uer f ast alle n ∈ N.
∞
P
Dann konvergiert
an absolut.
n=1
– Minorantenkriterium: analog ⇒ divergente Folge.
∞
∞
P
P
• Cauchy-Produkt: sind
an und
bn absolut konvergent, so gilt
(
•
∞
P
an ) · (
n=0
∞
P
∞
P
n=0
bn ) =
n=0
∞
P
n=0
∞
P
cn mit cn =
n=0
ak bn−k und
n=0
∞
P
cn konvergiert absolut!
n=0
an konvergiert → lim an = 0 (Umkehrung gilt i.A. nicht!)
n→∞
n=1
• Existieren lim an und lim bn , so gilt :
n→∞
n→∞
∗ lim (an + bn ) = lim an + lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
∗ lim (an · bn ) = lim an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
• einige wichtige konvergente Reihen:
∞
P
π2
1
∗
=
(kann häufig als Majorante benutzt werden)
2
x
6
n=1
∞
∞
P
P
1
1
1
1
∗
=
n·(n+m)
m · ( n − n+m ) (Teleskopsumme)
n=1
n=1
∗ unendliche geometrische Reihe:
∞
P
xn →
n=0
∗
∞
P
∗
n=1
∞
P
n=0
n2
2n
(n+1)2
=
( s1n +
sn+1
n2
2
n
(−1)
3k
∗
) ∗
∞
P
n=1
∞
P
n=1
1
n(n+1)
1
1−x
f alls | x | < 1
=2
n · xn =
x
(1−x)2
• wichtige konvergente Folge:
∗ Heron: sind α > 0 und x0 > 0 reelle Zahlen und ist
√
(xn )n def iniert durch x(n+1) = 12 · (xn + xαn ), dann konvergiert (xn )n gegen α
• Fibonacci-Zahlen (häufig Induktion benutzbar):
√
√
∗ Fn = √15 (w1n − w2n ) mit w1 = 12 (1 + 5) und w2 = 21 (1 − 5)
Fn+1
n→∞ Fn
∗ lim
= w1
(
1 falls x ∈ Q,
• Dirichlet-Funktion: ϑ : [0, 1] → {0, 1}, x 7→ ϑ(x) =
0 sonst.
• wichtige Grenzwerte / Umformungen:
an+1
an
|<
∗ lim
n→∞
log(n)
n
n√
n
n→∞
∗ lim
=0
∗ Endl. geom. Reihe:
m
P
n
P
j=
j=1
x→0
1−xm+1
1−x
n
x =
n=0
∗
1
∗ lim 2sin(x)cos(x)
−2sin(2x) = − 2
=1
n·(n+1)
2
∗
n
P
j2 =
j=1
∗ lim (1 + nx )n = exp(x)
(n+1)(2·n+1)n
6
∗ log(x) = o(x)
n→∞
• Exponentialfunktionen / trigonmetrische Funktionen:
∞
P
xn
x
∗ Exponentialreihe:
n! = e [ist abs. konvergent] [e ist irrational]
n=0
∗ Eulersche Formel: exp(ix) = cos(x) + i · sin(x)
∗ exp wächst schneller als jede Potenz von x
∗ xn = exp(n · log(x))
∞
P
x2n
– ∗ cos(x) =
(−1)n · (2n)!
sin(x)
x
= 1 + o(x2 )
∞
P
• sin(x) =
(−1)n ·
•
n=0
n=0
x2n+1
(2n+1)!
∗ exp(x + y) = exp(x) · exp(y) • log(x · y) = log(x) + log(y)
∗ Additionstheoreme:
∗ cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)
∗ sin(x + y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)
x−y
∗ sin(x) − sin(y) = 2 · cos( x+y
2 )sin( 2 )
∗ sin(2x) = 2sin(x) · cos(x)
∗ Ableitungen: (cos(x))0 = −sin(x), (sin(x))0 = cos(x), (tan(x))0 =
1
(cos(x))2
∗ cos(x) = 12 (exp(ix) + exp(−ix)),
1
sin(x) = 2i
(exp(ix) − exp(−ix))
∗ cos(−x) = cos(x), sin(−x) = − sin(x) (cos gerade, sin ungerade)
∗ cos(x) = sin( π2 − x), sin(x) = cos( π2 − x)
• Landau-Symbole
∗ f (x) = o(g(x)) ⇔ lim
f (x)
x→∞ g(x)
(x)|
∗ f (x) = O(g(x)) ⇔ lim sup |fg(x)
<∞
=0
x→∞
• Substitutionsregel: Sei f : I → R stetig und φ : [a, b] → R stetig differenzierbar mit φ([a, b]) ⊂ I. Dann gilt
Z
b
f (φ(t))φ0 (t)dt =
Z
a
φ(b)
f (x)dx
φ(a)
• Partielle Integration: Es seien f, g : [a, b] → R stetig differenzierbar. Dann gilt
b
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
|bx=a
a
∗ log(1) = 0 ∗ log(e) = 1
π
0
−1
−1
| 3π
4
| −1
| 0
| −i
• cos(x) = 0 x = kπ +
• Binomialkoeffizient
n
– ( n−k
) = ( nk ) =
–
n
( k−1
)
+
( nk )
=
n!
n!(n−k)!
( n+1
k )
=(
−
a
• Einige ’Zahlen’
∗ e0 = 1 ∗ e1 = 2, 71828
| 0 | π2 |
sin(x)
| 0 | 1 |
cos(x)
| 1 | 0 |
exp(ix) | 1 | i |
• sin(x) = 0 x = kπ
Z
n−1
k−1
)+(
n−1
k
)
π
2
b
f 0 (x)g(x)dx
Ana II
•
Metrik:
– d(x, y) = 0 ⇔ x = y
d(y, x) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R
– d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y (Symmetrie)
– d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀ x, y, z (4-Ungleichung)
n
– triviale Metrik: d(x, y) = 0,x=y
1,x6=y
•
–
–
–
–
Norm: (Abb. V → R)
kxk = 0 ⇔ x = 0
kλxk = |λ| · kxk ∀ x ∈ V, λ ∈ K
kx + yk ≤ kxk + kyk ∀ x, y ∈ V
qP
p
n
2
Euklidische Norm: kxk = hx, xi =
j=1 xj
√
– Maximums-Norm: k.k∞ := max {|x1 | , ..., |xn |} k.k∞ ≤ k.k ≤ n k.k∞
– Supremums-Norm: kf kx := sup {|f (x)| | x ∈ X}
– im Rn sind 2 Nomen äquivalent
2
P
n
n
P
n
2 P
2
aj bj ≤
|aj | ·
|bj |
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung: an , bn ∈ C : j=1
j=1
j=1
Topologische Grundbegriffe: (X, d) metrischer Raum, E ⊂ X
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Innerer Punkt: ∃ Umgebung U von a mit U ⊂ E
Häufungspunkt: Jede ε−Umgebung von a ∈ X enthält ein (a 6=)b ∈ E
Isolierter Punkt: a ∈ E und kein Häufungspunkt von E
offen: jeder Punkt ist ein innerer Punkt von E (Bsp. für nicht offen: Folge mit Konvergenz auf Rand)
abgeschlossen: jeder Häufungspunkt von E liegt in E
E abgeschlossen ⇔ Jede Folge xn konvergiert in E mit GW a = lim xn ∈ E
E dicht in X: jedes a ∈ X Häufungspunkt oder Punkt von E (Bsp. Q in Rn )
Randpunkt: in jeder Umgebung liegt ein Punkt von E als auch von X\E
beschränkt: endlicher Diameter
Diam (U) = sup kx − yk = sup {d(x, y) | x, y ∈ A}
x,y∈U
– kompakt: in K ⊂ Rn :
⇔ abgeschlossen und beschränkt (Heine-Borel)
⇔ jede unendl. Teilmenge von K hat Häufungspkt. in K
– kompakt: allgemein
⇔ jede offene Überdeckung hat endl. Teilüberdeckung (widerlegen mit Gegenbsp.)
⇔ jede Folge aus X konvergiert in X
⇒ beschränkt und abgeschlossen
– Kompaktheit überträgt sich auf abgeschl. Teilmengen
– Vollständigkeit: Jede Cauchy-Folge konvergiert (Gegenbsp. Q; Bsp. R)
– Sei X ein metrischer Raum. Dann gelten:
(i) E ⊂ X ist offen \ abgeschlossen ⇐⇒ E c ist abgeschlossen \ offen.
(ii) E ⊂ X offen ⇒ nicht abgeschlossen
(iii) ∅ und X sind sowohl offen als auch abgeschlossen. S
(iiv) Für jede Familie E = {Ej } von offenen Mengen ist Ej offen;
j
ist E endlich, so ist
n
T
Ej offen.
j=1
(v) Für jede Familie F = {Fk } von abgeschlossenen Mengen ist
ist F endlich, so ist
n
S
T
k
Fk abgeschlossen.
k=1
– Sei X ein metrischer Raum und E ⊂ X. Dann gilt
1. E\∂E ist offen (Rand: ∂E; abgeschl. Hülle: E)
2. E = E ∪ ∂E ist abgeschlossen
3. ∂E ist abgeschlossen
◦
4. E := E\∂E Innere von E
5. E = E ⇔ E ist abgeschlossen
Fk abgeschl;
6. Für jede abgeschlossene Menge F ⊂ X mit E ⊂ F gilt E ⊂ F
– Insbesondere ist E die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X, die E enthält.
– Einheitsspähre: $n−1 := ∂B = {x ∈ Rn | kxk = 1}
Konvergente Folgen
– (xn ) konvergiert gegen a ∈ X [ lim xn = a], falls zu jedem e > 0∃N ∈ N mit d(xn , a) < ε ∀ n ≥ N
n→∞
– im vollständigen Raum konvergiert jede Cauchy-Folge
– Satz 2.4 (Intervall-Schachtelungsprinzip) (X, d) vollständiger metrischer Raum und A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ ... eine
absteigende Folge abgeschlossener Mengen An ⊂ X 6= ∅ mit lim diam(An ) = 0, dann ∃ a ∈ A0 , ..., An
n→∞
– E ist vollkommen, wenn abgeschlossen und jeder Pkt. von E gleich Häufungspunkt von E [E 0 = E]
T
– Cantormenge: C := In ist abgeschl., beschränkt (⇒ kompakt), ausserdem nicht leer; C enthält keinen IsoPkt.; jedes a ∈ C ist Häufungspunkt ⇒ C ist vollkommen; C ist überabzählbar
Stetige Abbildungen
– f stetig im Pkt. c ∈ X, falls limx→a f (x) = f (a)
– f stetig auf X, falls f stetig in jedem a ∈ X
– δ − ε−Kriterium: f : X → Y ist genau dann stetig in a ∈ X, wenn gilt:
Zu jedem ε > 0 ∃ δ > 0, so dass dY (f (x), f (a)) < ε ∀ x ∈ X mit dX (x, a) < δ
– stetige Fkt. übertragen Offenheit/Abgeschlossenheit von Bild auf Urbild
– f : X → Y ist glm stetig ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 mit dY (f (x), f (y)) < ε ∀ x, y ∈ X mit dX (x, y) < δ
– A : X → Y linear, A stetig ⇔ kA(x)kY ≤ c kxkX ∀ x ∈ X ⇔ A beschränkt
≥0
−1
– f : x → Y stetig auf ganz X ⇔ f (V ) jeder offenen \ abgeschl. Menge V ⊂ Y offen \ abgeschl. in X
– f stetig in a ∈ X ⇔ Zu jeder Umgebung V von f (a)∃ Umgebung U von a mit f (V ) ⊂ V
– f : x → Y stetig, K ⊂ X kompakt ⇒ f (K) ⊂ Y kompakt
Polynome und Fixpkt.
– f : X → X, d(f (x), f (y)) ≤ cd(x, y) ∀ x, y ∈ X mit c < 1
⇒ f ist Kontraktion
⇒ f hat genau einen Fixpunkt f (x∗ ) = x∗
Kurven im Rn :
– γ : I = [a, b] → Rn injektiv, so heisst γ Bogen; gilt γ(a) = γ(b) so ist die Kurve geschlossen
Pn
– Länge des Polygonzugs mit Ecken {γ(xj )}j Λ(γ, Z) = 1 kγ(tj ) − γ(tj−1 )k; Z : t0 = a < t1 < ... < tn = b
– Länge von γ : Λ(γ) = supZ Λ(γ, Z) (wenn Λ(γ) < ∞ ⇒ γ rektifizierbar)
Rb
– Ist γ : [a, b] → Rn stetig diffbar, so gilt γ rektifizierbar und Λ(γ) = a kγ 0 (t)k dt
– regulär / nicht-singulär: γ(t) stetig diffbar und γ 0 (t) 6= 0
– singulär: Wert t mit γ 0 (t) = 0
Jacobi-Matrix - Funktional-Matrix - Differential: regulär ⇔ det(Df (x)) 6= 0
Gradient und höhere Ableitung
∂f
∂f
∇f (x) = gradf (x) := ( ∂x
(x), ..., ∂x
(x))
1
n
(x)
d
Richtungsableitung Dv f (x) := dt
f (x + tv) = limt→0 f (x+tv)−f
t
grad f (x) 6= 0 ⇒ Winkel Θ zw. Vektoren v und grad f (x) definiert durch hv, grad f (x)i = kgrad f (x)k cos Θ
Niveaumenge: Nf (c) := {x ∈ U | f (x) = c} ⊂ U ⊂ Rn ; Menge aller x für die f (x) − c = 0
∂f
• Kritische Punkte: a ist KP ⇔ grad f (a) = 0 (grad f :
) [notw. Bed für Extremum]
∂xi
glm Konvergenz und Funktionfolgen
– pkt.weise Konvergent: Folge (fn (x))n konvergiert für jedes x gegen f (x) für festes x(∈ K) und alle ε > 0 ∃ N =
N (x, ε) mit |fn (x) − f (x)| < ε ∀ n ≥ N
– glm Konvergent: ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) mit |fn (x) − f (x)| < ε ∀ n ≥ N ∀ x
∞
P
Konvergenzradius von Potzenreihen:
an xn
n=0
P∞
n
– % := sup {|z − a| |
0 an (z − a) konvergent}
∗ % = 0 ⇔ Konvergenz ganau für z = a
∗ % = ∞ uneingeschränkte
P∞ Konvergenz
∗ 0 < % < ∞ f (z) = 0 an (z − a)n konvergiert glm auf jeder kompakten Teilmenge von B% (a)
– % = lim
|an |
n→∞ |an+1 |
wenn existent und an 6= 0 ∀ n > N
– % = ( lim sup
n→∞
p
n
|an |)−1 Konvergenzradius der Potenzreihe mit a ∈ C
– Ableitungen f (k) (z) haben gleichen Konvergenzradius % wie Funktion f (z)
∞
∞
P
P
– Identitätssatz: f (z) =
an z n ; g(z) =
bn z n ; f (z) = g(z) ⇒ an = bn
n=1
n=1
Taylor-App
– f (x) = Tk (x) + Rk (x)
P∞ (n)
P∞
– T∞ (x) := 0 f n!(a) (x − a)n mit a ∈ R und f (x) = 0 an (x − a)n Potenzreihen mit % ∈ (0, ∞), dann ist
T∞ identisch mit f (a − %, a + %) → R
P∞
P∞
x2k+1
x2k
– Trigonometrie: sin(x) = 0 (−1)k (2k+1)!
; cos(x) = 0 (−1)k (2k)!
konvergent ∀ x ∈ R
k
P∞
P∞
n
– Logarithmus: −1 < x ≤ 1 ist log(x + 1) = 1 (−1)n−1 xn ; log(1 − x) = 1 (−1)k−1 (−x)
k
α Q
P∞ α n α−k+1
– α = −1 , |x| < 1 , (1 + α)α = 0 n xn , n
1
k
1
– α = −1 : geometrische Reihe; α = − 12 : (1 + x)− 2 = 1 − 21 x + 38 x2 + höhere Terme
P Dα f (x) α
k
– mehrdim: f (x + h) =
h + o(khk ) (fuer h → 0)
α!
|α|6k
Extrema von Fkt. mehrerer Veränderlichen
2
– Taylor: T2 (h) = f (x) + hgrad f (x), hi + 12 hh, (Hess f )(x) hi + o(khk )
– Hesse: f : U → R zweimal stetig diffbar; (Hess f )(x) := (Di Dj f (x)) 1≤i≤n
1≤j≤n
– Hesseform: Q(h) := ht ((Hess f )(x))h
∗ q(x) > 0 positiv definit → lokales Min
∗ q(x) < 0 negativ definit → lokales Max
∗ q(x) < 0 < q(y) indefint x, y ∈ Rn → kein Extremum
Pn
– Hurwitz q(x) = i,j=1 aij xi xj ; det(A) > 0 ⇒ q(x) positiv definit
2
2
a b
∂2f
– (Hess f )(x, y) =
mit a := ∂∂xf2 , b := ∂x∂y
, c := ∂∂yf2
b c
– a > 0, ac − b2 > 0 : (x, y) → Min
– a < 0, ac − b2 > 0 : (x, y) → Max
– ac − b2 < 0 : (x, y) → Sattelpkt. (Kein Extremum)
Lokale Umkehrbarkeit
–
–
–
–
f 0 (a) 6= 0, f 0 (a) = Df (a), det(f 0 (a)) 6= 0 ⇒ Jacobi-Det regulär
U, V ⊂ Rn offen f : U → V bijektiv
f −1 ◦ f = id, (Df −1 )(f (a))Df (a) = In
Satz von der lokalen Umkehrbarkeit: f : U → Rn stetig diffbar, a ∈ U f 0 (a) umkehrbar ⇒ detf 0 (a) 6= 0
∗ f injektiv auf V und f (V ) offen
∗ f −1 von f : V → f (V ) ist stetig diffbar
Extremwerte unter Nebenbedingungen
– Sei rgDf = k ∀ x ∈ V . Ist a ein lokales Extremum von F unter Nebenbedingungen, dann gilt
grad F (a) = λ1 grad (f1 )(a) + λ2 grad (f2 )(a) + · · · + λk grad (fk )(a) fuer gewisse λ1 , λ2 , · · · , λk ∈ R. fi (x) ist
die i-te Nebenbedingung als =0 umgeformt und als Funktion aufgefasst.
– Vorgehensschema: die k Nebenbedingungen ergeben zusammen mit der Gradientenbedingung n + k Gleichungen; es gibt k unbekannte λi und der unbekannte Punkt a setzt sich aus n unbekanten Komponenten zusammen
–> es ergibt sich ein (n + k) × (n + k) Gleichungssystem, dessen Lösung alle ’potentiellen Kandidaten’ fuer
Extrema sind. Man muss anschliessend noch pruefen, ob die ’kritischen Punkte’ auch Extrema sind und die
Art des Extremums bestimmen.
Ergänzungen
– surjektiv: limes links und rechts; Fkt. stetig; Zwischenwertsatz: jeder wert wird min einma angenommen
∞
P
–
an mit an ≥ 0 konvergiert genau dann, wenn Folge der Partialsummen (d.h. die Reihe) beschränkt ist.
n=1
ein paar Ableitungen:
ln(x))0 = x1
1
(arcsin(x))0 = √1−x
2
1
0
(arccos(x)) = − √1−x
2
1
(arctan(x))0 = 1+x
2
Sinus-/Cosinus Hyperbolicus:
x
−x
sinh(x) = e −e
2
x
−x
cosh(x) = e +e
2