Mathematische Grundlagen

M.1
M.2
M.3
M.4
M.5
M.6
M.7
M.8
M.9
M.10
M.11
M.12
Signifikante Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569
Direkte und umgekehrte Proportionalität . . . . . . . . 1570
Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1571
Quadratische Gleichungen und Zerlegung
in Linearfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573
Potenzen und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578
Trigonometrie und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579
Die Binomialentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595
In diesem Kapitel fassen wir zum Auffrischen des mathematischen Schulstoffs die wichtigsten Ergebnisse der
Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Analysis zusammen, ohne die man im Physikstudium nicht zurechtkommt. In vielen Fällen bringen wir nur die Aussagen
selbst, ohne sie zu beweisen. In Tabelle M.1 sind die wichtigsten mathematischen Zeichen und Symbole zu finden.
M.1
M
Signifikante Stellen
Viele Zahlen, mit denen wir in Technik und Naturwissenschaft arbeiten, ergeben sich aus Messungen und sind daher
nur mit einer gewissen Unsicherheit bekannt. Diese Unsicherheit sollte sich in der Anzahl der verwendeten Stellen widerspiegeln. Wenn Sie beispielsweise einen Maßstab von 1 m
Länge haben, auf dem Markierungen im Zentimeterabstand
angebracht sind, können Sie damit die Höhe einer Kiste nur
bis etwa einem Fünftel eines Zentimeters genau messen. Mit
einem solchen Maßstab könnten Sie die Höhe der Kiste beispielsweise zu 27,0 cm bestimmen. Mit einem anderen Maßstab, der eine Millimetereinteilung hat, bestimmen Sie dagegen die Höhe der Kiste vielleicht zu 27,03 cm. Allerdings
dürften Sie auch mit einer Millimeterskala die Höhe kaum
genauer als 27,03 cm messen können, denn die Höhe könnte um etwa 0,01 cm variieren, je nachdem, an welcher Stelle
Sie messen. Wenn Sie also aufschreiben, die Höhe betrage
27,03 cm, dann heißt das nichts anderes, als dass Ihre beste
Tabelle M.1 Mathematische Zeichen
=
ist gleich
=
ist nicht gleich
≈
ist ungefähr gleich
∼
ist in der Ordnung von
∝
ist proportional zu
>
ist größer als
≥
ist größer als oder gleich
ist viel größer als
<
ist kleiner als
≤
ist kleiner als oder gleich
ist viel kleiner als
x
Änderung von x
|x|
absoluter Betrag von x
n!
n-Fakultät, d. h. n (n − 1) (n − 2) . . . 1
lim
Grenzwert
t → 0
dx
dt
∂x
∂t
Summe
t geht gegen null
Ableitung von x nach t
partielle Ableitung von x nach t
Integral
Mathe-Grundlagen
Mathematische
Grundlagen
1566
> > > M MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Schätzung der Höhe eben diese 27,03 cm sind; Sie behaupten damit aber nicht, die Höhe betrage 27,030000. . . cm. Die
vier Stellen von 27,03 cm heißen signifikante Stellen oder
gültige Stellen. Auch eine gemessene Länge von 2,703 m hat
vier signifikante Stellen.
Die Anzahl der signifikanten Stellen im Ergebnis einer Rechnung hängt von der Anzahl der signifikanten Stellen in den
Ausgangsdaten ab. Wenn Sie mit Zahlen arbeiten, die mit einer Unsicherheit behaftet sind, müssen Sie stets aufpassen,
nicht mehr Stellen anzugeben, als die Messunsicherheit zulässt. Bei Näherungsrechnungen oder Überschlagsrechnungen zur Größenordnung hat das Ergebnis stets nur eine oder
sogar gar keine signifikante Stelle. Beim Multiplizieren, Teilen, Addieren oder Subtrahieren von Zahlen müssen Sie die
Genauigkeit des Ergebnisses genau untersuchen. Die folgenden Regeln sollen Ihnen helfen, die Anzahl der signifikanten
Stellen in einem Rechenergebnis zu bestimmen.
1. Beim Multiplizieren oder Dividieren von Größen ist die
Anzahl der signifikanten Stellen im Endergebnis nicht
größer als in der Größe mit der geringsten Anzahl an signifikanten Stellen.
2. Beim Addieren oder Subtrahieren von Größen sollte die
Anzahl der angegebenen Stellen nach dem Komma die
gleiche sein wie bei der Größe mit der geringsten Anzahl
an signifikanten Stellen.
3. Exakte Werte haben eine unbegrenzte Anzahl von signifikanten Stellen. Beispielsweise hat ein durch Zäh-
len bestimmter Wert (etwa 2 Tische) keine Unsicherheit
und ist ein exakter Wert. Auch der Umrechnungsfaktor
0,0245000. . . von Meter in Zoll ist ein exakter Wert, weil
1,000. . . Zoll genau gleich 0,0254000. . . m ist. (Das Yard
ist nach Definition drei Fuß zu je zwölf Zoll lang. Ein Yard
ist damit exakt 0,9144 m lang, und 0,9144 geteilt durch 36
ist in der Tat genau gleich 0,0254.)
4. Manchmal sind auch Nullen signifikant, manchmal hingegen nicht. Eine Null vor einer führenden Zahl ungleich
null ist nicht signifikant. Beispielsweise hat 0,00890 drei
signifikante Stellen: Die ersten drei Nullen sind nicht signifikant, sie geben nur Auskunft über die Lage des Dezimalkommas; die letzte Null (hinter der Neun) hingegen
ist signifikant.
5. Nullen, die zwischen Zahlen ungleich null stehen, sind signifikant. Beispielsweise hat 5603 vier signifikante Stellen.
6. Die Anzahl von signifikanten Stellen in Zahlenangaben,
die auf eine oder mehrere Nullen enden, ist allgemein nicht
eindeutig zu bestimmen. Beispielsweise könnte 31 000
fünf signifikante Stellen haben, möglicherweise aber auch
nur zwei. Um Zweideutigkeiten zu vermeiden, sollten Sie
Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise (Potenzschreibweise) oder mithilfe eines Dezimalkommas angeben.
Beispiel M.1 zeigt, wie man die Anzahl der signifikanten Stellen für das Endergebnis einer Rechnung bestimmt.
Beispiel M.1: Der Mittelwert von drei Zahlen
Berechnen Sie den (arithmetischen) Mittelwert der drei Werte 19,90, −7,524 und −11,8179.
Problembeschreibung: Für die Rechnung müssen Sie die drei Zahlen addieren und dann durch 3 teilen. Die erste Zahl
hat drei signifikante Stellen, die zweite Zahl vier und die dritte Zahl fünf.
Lösung:
1. Addieren Sie die drei Zahlen:
19,90 + (−7,254) + (−11,8179) = 0,5581
2. Wenn in der Aufgabe nur nach der Summe der drei Zahlen gefragt wäre, könnte man die Antwort auf die geringste Anzahl an Nachkommastellen der einzelnen Summanden runden. Für die Mittelwertbildung müssen wir aber
die Summe noch durch 3 teilen; dazu benötigen wir das
Zwischenergebnis einschließlich der zwei weiteren Nachkommastellen (rot und kursiv):
0,5581
= 0,1860333. . .
3
3. Nur zwei der Stellen im Zwischenergebnis 0,1860333. . .
sind signifikante Stellen. Wir müssen diese Zahl also runden, um das Endergebnis zu erhalten. Die Zahl 3 im Nenner ist eine ganze Zahl und hat eine unbegrenzte Anzahl
an signifikanten Stellen. Daher hat die Endantwort dieselbe
Anzahl an signifikanten Stellen wie das Zwischenergebnis,
also zwei:
Das Endergebnis ist 0,19 .
Plausibilitätsprüfung: Die Summe in Schritt 1 hat zwei signifikante Stellen nach dem Komma, genauso viele wie der
Summand mit der geringsten Anzahl an signifikanten Nachkommastellen.
2. Bestimmen Sie den Wert der Proportionalitätskonstante aus den gegebenen Werten V1 = 15,4 ml und A1 =
426 cm2 :
k=
3. Bestimmen Sie das benötigte Volumen an Farbe zum
Streichen einer Würfelseite mit einem Flächeninhalt von
503 cm2 . Benutzen Sie dazu die in Schritt 1 berechnete
Proportionalitätskonstante:
V2 = k A2 = (0,0361 ml/cm2 ) (503 cm2 )
V1
15,4 ml
=
= 0,0361 ml/cm2
A1
426 cm2
= 18,2 ml
Plausibilitätsprüfung: Der berechnete Wert für V2 ist größer als der Wert für V1 , wie zu erwarten war: Für das Streichen
einer Fläche von 503 cm2 sollte man eine größere Menge an Farbe verbrauchen als für das Streichen von 428 cm2 , da
503 cm2 eine größere Fläche ist als 428 cm2 .
Übung M.5: Ein zylindrischer Behälter fasst 0,384 l Wasser. Wie viel Wasser würde in den Behälter passen, wenn man
dessen Radius verdoppelt und seine Höhe unverändert lässt?
Hinweis: Das Volumen eines senkrechten Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h beträgt V = π r 2 h. Das
Volumen V ist bei gleich bleibender Höhe also direkt proportional zu r 2 .
Übung M.6: Betrachten Sie nochmals den Behälter aus Übung M.5. Wie viel Wasser würde er fassen, wenn man sowohl
seine Höhe als auch seinen Radius verdoppelt? Wie viel Wasser würde in den Behälter passen, wenn man dessen Höhe
verdoppelt und den Radius unverändert lässt?
Hinweis: Das Volumen eines senkrechten Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h beträgt V = π r 2 h.
M.4
Lineare Gleichungen
y
y ⫽ mx ⫹ b
Eine lineare Gleichung ist ganz allgemein eine Gleichung,
bei der jeder Term die Variablen in nullter oder erster Potenz
enthält; d. h. jeder Term ist entweder eine Konstante oder ergibt sich als ein Produkt aus einer Konstanten und einer Variablen in der Potenz 1. Eine typische Form ist beispielsweise
x + 2y − 4z = 3 (mit Variablen x, y und z). Solche Gleichungen heißen linear, weil ihre Graphen (Funktionskurven) Geraden (für zwei Variablen) bzw. Ebenen (für drei Variablen)
sind. Die Gleichungen, mit denen man eine direkte Proportionalität zwischen zwei Variablen beschreibt, sind lineare Gleichungen.
y2
m⫽
y1
⌬y
⌬x
⌬y
⌬x
b
x1
x2
x
M.1 Graph der linearen Gleichung y = m x + b; darin ist b der
y-Achsenabschnitt (zwischen dem Koordinatenursprung und dem
Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse) und m = y/x die
Steigung der Geraden.
Graph einer linearen Gleichung
Eine lineare Gleichung für den Zusammenhang zwischen den
Variablen y und x kann auf die Normalform
y =mx +b
(M.1)
gebracht werden, die auch als Geradengleichung bezeichnet
wird; m und b sind darin Konstanten, die positiv oder negativ
sein können. Abbildung M.1 zeigt den Graphen der Werte von
x und y, die der Gleichung M.1 genügen. Die Konstante b, die
auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet wird, ist der Wert von
y bei x = 0. Die Konstante m ist die Steigung der Linie und
gibt das Verhältnis der Änderung von y zur entsprechenden
Änderung von x an. In der Abbildung sind zwei Punkte der
Linie, nämlich (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ), hervorgehoben, ferner
sind die Änderungen x = x2 − x1 und y = y2 − y1
eingezeichnet. Die Steigung m ergibt sich dann gemäß
m=
1569
Mathe-Grundlagen
M.4 LINEARE GLEICHUNGEN < < <
y
y2 − y1
=
.
x2 − x1
x
Wenn in der Gleichung y = m x + b die Variablen x und
y beide unbekannt sind, gibt es keine eindeutigen Lösungspaare (x, y) als Lösung der Gleichung. Jedes Paar (x1 , y1 ) auf
der Geraden in Abbildung M.1 erfüllt die Gleichung. Um den
Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen, müssen wir den
Funktionswert zu x = 0 berechnen.
Wir können die Gleichungen x = 0 und y = m x +b als zwei
lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten auffassen. Allgemein gilt: Erst wenn wir zwei unabhängige Gleichungen ha-
1574
> > > M MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Logarithmen
3. Aus Regel 2 folgt für negative Exponenten (−n):
x n x −n = x 0 = 1
1
x −n = n .
x
(M.8)
4. Wenn zwei Potenzen durcheinander geteilt werden, subtrahiert man die Exponenten:
xn
= x n x −m = x n−m .
xm
(M.9)
5. Wenn man eine Potenz zu einer anderen Potenz erhebt,
multiplizieren sich die Exponenten:
(x n )m = x n m .
x 1/2 · x 1/2 = x
x 1/2 =
√
x = log a y .
Folglich sind die Logarithmen Exponenten, und für sie gelten
ganz entsprechende Rechenregeln wie die bereits eingeführten Potenzregeln:
1. Für zwei Zahlen y1 und y2 mit y1 = a n und y2 = a m gilt
(M.10)
6. Wenn Exponenten als Brüche geschrieben werden, deutet
man sie als die Wurzeln aus der Basis. Beispielsweise gilt
und damit
Jede positive Zahl lässt sich als eine Potenz einer anderen positiven Zahl (außer 1) darstellen. Wenn zwischen y und x die
Beziehung y = a x herrscht, dann nennt man die Zahl x den
Logarithmus von y zur Basis a. Man schreibt diese Beziehung von x und y dann in der Form
y1 y2 = a n a m = a n+m .
Entsprechend ergibt sich durch Logarithmieren auf allen
Seiten der Potenzgleichung:
log a y1 y2 = log a a n+m = n + m
= log a a n + log a a m = log a y1 + log a y2 .
(M.11)
(x > 0) .
x
Daraus folgt
log a y n = n log a y .
Die Anwendung einiger dieser Regeln zeigt Beispiel M.6.
(M.12)
Beispiel M.6: Vereinfachung eines Ausdrucks mit Exponenten
Vereinfachen Sie den Ausdruck
x4 x7
.
x8
Problembeschreibung: Nach Regel 1 addieren sich die Exponenten, wenn zwei Potenzen multipliziert werden. Nach
Regel 4 subtrahiert man die Exponenten, wenn man zwei Potenzen durcheinander teilt.
Lösung:
1. Vereinfachen Sie den Zähler mithilfe von Regel 1:
2. Vereinfachen Sie den Bruch
x 11
mithilfe von Regel 4:
x8
x 4 x 7 = x 4+7 = x 11
x 11
= x 11 x −8 = x 11−8 = x 3
x8
Plausibilitätsprüfung: Setzen Sie zum Überprüfen der Rechnung x = 2:
24 27
= 23 = 8
28
24 27
(16)
2048
=
256 =
= 8.
28
(128)
256
Übung M.13: Vereinfachen Sie (x 1/8 )9 .
Übung M.14: Vereinfachen Sie x 6 x 0 .
2. Wegen a 1 = a und a 0 = 1 gilt
log a a = 1
bezeichnen. Wir schreiben also
(M.13)
log e x = ln x und log 10 x = log x .
(M.15)
Aus y = ln x folgt dann sofort
und
log a 1 = 0 .
x = ey .
(M.14)
(M.16)
Logarithmus und Potenz verhalten sich wie Umkehrfunktionen zueinander, denn
Logarithmen lassen sich von einer Basis auf eine andere Basis
umrechnen. Ausgehend von
y = a x = a log a y ,
z = log x
(M.17)
10z = 10log x = x .
(M.18)
kommt man sofort auf
also
a log a y = y .
Meist verwendet man nicht Logarithmen zu einer beliebigen
Basis, sondern wählt bestimmte Zahlen als Basis aus. Ein Logarithmus zur Basis 10 heißt Briggs’scher, dekadischer, gewöhnlicher oder Zehnerlogarithmus, die Logarithmen zur
Basis e (e ist die Euler’sche Zahl mit e = 2,718 . . . ) werden
natürliche Logarithmen genannt. Sie sind die Exponenten
der Exponential- oder e-Funktion.
In diesem Buch werden wir der Konvention folgen, die natürlichen Logarithmen mit dem Symbol ln und die Zehnerlogarithmen mit dem Symbol log (ohne Angabe der Basis) zu
Bildet man nun den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von Gleichung M.18, so führt das zu
z ln 10 = ln x .
Setzt man nun z = log x ein (Gleichung M.17), so ergibt sich
ln x = (ln 10) log x .
(M.19)
In Beispiel M.7 wird der mathematische Zusammenhang zwischen den Konstanten beim Wechsel der Basis von Logarithmen hergeleitet.
Beispiel M.7: Umrechnung zwischen dekadischen und natürlichen Logarithmen
Die zu Gleichung M.19 führenden Schritte zeigen, dass im Allgemeinen log b x = (log b a) log a x gilt; für den Wechsel
von einer Basis des Logarithmus zu einer anderen ist also nur eine Multiplikation mit einer Konstante erforderlich.
Beschreiben Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen der Konstante, die beim Wechsel von dekadischen zu
natürlichen Logarithmen auftritt, und der Konstante für den Wechsel von natürlichen zu dekadischen Logarithmen.
Problembeschreibung: Wir haben eine allgemeine Formel für den Wechsel der Logarithmen von einer Basis zu einer
anderen. Wir bestimmen den mathematischen Zusammenhang, indem wir in dieser Formel a und b austauschen.
Lösung:
1. Wir gehen von der allgemeinen Formel aus, mit der man
Logarithmen von der Basis a auf die Basis b umrechnen
kann:
log b x = (log b a) log a x
2. Um von Basis b auf die Basis a umzurechnen, tauscht
man alle a und b gegeneinander aus:
log a x = (log a b) log b x
3. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung in Schritt 1 durch
log a x:
log b x
= log b a
log a x
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung in Schritt 2 durch
(log a b)/log a x:
1
log b x
=
log a b
log a x
5. Die Ergebnisse zeigen, dass die Umrechnungsfaktoren
log b a und log a b Kehrwerte voneinander sind:
1
= log b a
log a b
Plausibilitätsprüfung: Für log 10 e erhalten Sie mit dem Taschenrechner den Wert 0,43429. Für ln 10 berechnen Sie
mit dem Taschenrechner 2,3026. Multiplizieren Sie diese beiden Werte miteinander, das Produkt ist 1,0000.
Übung M.15: Berechnen Sie log 10 1000.
Übung M.16: Berechnen Sie log 2 5.
1575
Mathe-Grundlagen
M.6 POTENZEN UND LOGARITHMEN < < <
Um die weiteren Verhältnisse innerhalb des 30°-60°-Dreiecks
zu bestimmen, wollen wir der dem 30°-Winkel gegenüberliegenden Seite die Länge 1 zuweisen. Dann gilt
√
1
c=
, b = c2 − a 2 = 22 − 12 = 3 ,
0,5
√
3
b
cos 30° = =
= 0,866 ,
c
2
a
1
tan 30° = = √ = 0,577 ,
b
3
b
sin 60° = = cos 30° = 0,866 ,
c
a
1
cos 60° = = sin 30° = ,
c
2
√
3
b
= 1,732 .
tan 60° = =
a
1
Trigonometrie und Vektoren
Man kann die trigonometrischen Beziehungen direkt für die
Vektorrechnung (Tabelle M.3) heranziehen, indem man die
Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks als Komponenten eines Vektors auffasst, der entlang der Hypotenuse orientiert ist,
und den Satz des Pythagoras anwendet:
a = A x = A cos θ
b = A y = A sin θ
c = A = A2x + A2y = A cos 2 θ + sin 2 θ
Vektoren sind ausführlich in Kapitel 1.7 behandelt.
Tabelle M.3 Eigenschaften von Vektoren
Eigenschaft
Erläuterung
Komponente
A x , A y , A z : Projektion von A
auf die x-, y- bzw. z-Richtung
Abbildung
Komponentendarstellung
y
Ax , A y , Az
A
Ay
θ
Ax
Betrag
| A|
Gleichheit
A = B, falls | A| = |B| und die
Richtungen von A und B
übereinstimmen
Addition
x
| A| =
A2x + A2y + A2z
A x = Bx
A y = By
A z = Bz
A
B
C = A+ B
C
B
C x = A x + Bx
C y = A y + By
C z = A z + Bz
A
Das Negative
eines Vektors
A = −B, falls |B| = | A| und die
Richtungen von A und B
entgegengesetzt sind
Subtraktion
C = A− B
A x = −Bx
A y = −B y
A z = −Bz
A
B
B
A
C
Multiplikation
mit einem Skalar
B = s A hat den Betrag |B| = |s|| A|
und die Richtung von A, falls s positiv ist,
oder die Richtung von − A, falls s negativ ist
B
C x = A x − Bx
C y = A y − By
C z = A z − Bz
–B
A
sA
Bx = s A x
By = s A y
Bz = s A z
1581
Mathe-Grundlagen
M.8 TRIGONOMETRIE UND VEKTOREN < < <
3. Lösen Sie nach t auf:
4. Die Zerfallskonstante λ hängt mit der Halbwertszeit gemäß λ = (ln 2)/t1/2 zusammen (Gleichung M.70). Ersetzen Sie λ durch (ln 2)/t1/2 und berechnen Sie die Zeit:
t=
ln 1,50
0,405
=
λ
λ
t=
ln 1,50
ln 1,50
t1/2 =
· 5,27 a = 3,08 a
ln 2
ln 2
1593
Mathe-Grundlagen
M.12 INTEGRALRECHNUNG < < <
Plausibilitätsprüfung: Es dauert 5,27 a, bis eine bestimmte Menge von 60 Co auf 50 % ihrer Ausgangsmasse zerfallen
ist. Wir können also erwarten, dass es weniger als 5,27 a Jahre dauert, bis 33,3 % einer Ausgangsmasse zerfallen sind.
Unser Ergebnis in Schritt 4 von 3,08 a ist wie erwartet kleiner als 5,27 a.
Übung M.27: Die Entladezeitkonstante τ eines Kondendators in einem RC-Kreis ist die Zeit, in der sich der Kondensator
auf e−1 (entsprechend 0,368) seiner Ausgangsladung bei t = 0 entlädt. Für einen Kondensator ist τ = 1 s. In welcher
Zeit t (in Sekunden) hat sich der Kondensator auf 50,0 % seiner Anfangsladung entladen?
Übung M.28: Die Population an Rehen im Naturschutzgebiet ist um 8,0 % pro Jahrzehnt gestiegen und nimmt auch
weiterhin mit derselben Geschwindigkeit zu. In wie vielen Jahren wird die Population 1,5-mal so groß sein wie heute?
M.12
Integralrechnung
f(t)
Man kann die Integration als die Umkehrung der Differenziation ansehen: Wenn man eine Funktion f (t) integriert,
dann sucht man eine Funktion F(t), deren Ableitung nach t
gerade f (t) ist.
fi
Deutung des Integrals als Fläche
unter einer Kurve, Dimensionsanalyse
Die Bestimmung des Inhalts einer Fläche unter dem Graphen
einer Kurve illustriert das Vorgehen bei der Integration. Wir
betrachten eine beliebige Funktion f (t) (Abbildung M.27).
Der Flächeninhalt des schattierten Elements ist näherungsweise fi ti ; dabei wird f i an einer beliebigen Stelle des Intervalls ti berechnet. Diese Näherung ist sehr genau, wenn
ti hinreichend klein ist. Den Inhalt der Gesamtfläche unter
einem bestimmten Abschnitt der Kurve berechnet man, indem man die Flächeninhalte aller entsprechenden Flächenelemente addiert und den Grenzwert bildet, wenn ti gegen
null geht. Dieser Grenzwert heißt das Integral von f über t.
Man schreibt es in folgender Form:
f dt = Flächei = lim
f i ti .
(M.74)
ti →0
i
Die physikalische Dimension des Integrals einer Funktion
f (t) erhält man durch Multiplikation des Integranden (d. h.
der zu integrierenden Funktion) mit den Dimensionen der Integrationsvariablen t. Wenn beispielsweise der Integrand eine
Geschwindigkeitsfunktion v(t) (Dimension L/T) und die Integrationsvariable die Zeit t ist, dann hat das Integral die Dimension L = (L/T) · T. Mit anderen Worten: Die Dimension
des Integrals ist Geschwindigkeit mal Zeit.
t
f dt .
t1
t
⌬ti
t2
M.27 Graph einer allgemeinen Funktion f (t). Der Flächeninhalt
des schattierten Elements ist näherungsweise f i ti ; dabei wird f i
an einer beliebigen Stelle des Intervalls ti ausgewertet.
Die Funktion y ist der Inhalt der Fläche unter der f (t)-Kurve
von t1 bis zu einem allgemeinen Wert t. Für ein kleines Intervall t ist die Flächenänderung y näherungsweise gleich
f t:
y ≈ f t ,
y
f ≈
.
t
Nach Bildung des Grenzwerts für t → 0 ist zu erkennen,
dass f die Ableitung von y ist:
Wir setzen
y=
⌬t1 ⌬t2 ⌬t3
t1
(M.75)
f =
dy
.
dt
(M.76)
1594
> > > M MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Unbestimmte und bestimmte Integrale
In dem Ausdruck
y=
f dt
(M.77)
sieht man y als das unbestimmte Integral von f über t an.
y wird auch die Stammfunktion von f genannt. Um ein unbestimmtes Integral anzugeben, müssen wir die Funktion y
finden, deren Ableitung die Funktion f ist. Weil die Stammfunktion einen konstanten Term enthalten kann, der zur Ableitung nicht beiträgt, enthält der Ausdruck für die Stammfunktion eine Integrationskonstante C. Wenn wir hingegen
die Funktion über ein bestimmtes Intervall integrieren – beispielsweise von t1 nach t2 (vgl. Abbildung M.27) –, so erhalten wir das bestimmte Integral, in dem die unbekannte Integrationskonstante nicht mehr vorkommt:
t2
f dt = y(t2 ) − y(t1 ) .
(M.78)
t1
In Tabelle M.6 sind einige wichtige unbestimmte Integrale
zusammengestellt. Ausführlichere Listen von Stammfunktionen findet man in Analysislehrbüchern, in Formelsammlungen bzw. Nachschlagewerken (z. B. Bronstein: Taschenbuch
der Mathematik) oder im Internet (beispielsweise über Wikipedia bzw. Wikibooks). Die Integration einer Bewegungsgleichung wird in Beispiel M.14 illustriert.
Tabelle M.6 Unbestimmte Integrale
1.
A dt = A t
1
2.
A t dt = A t 2
2
t n+t
3.
A t n dt = A
, n = 1
n+1
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
A t −1 dt = A ln |t|
1 bt
e
b
1
cos ωt dt = sin ωt
ω
1
sin ωt dt = − cos ωt
ω
∞
1
e−ax dx =
a
0
∞
1 π
2
e−ax dx =
2 a
0 ∞
2
−ax 2
xe
dx =
a
0 ∞
1 π
2
x 2 e−ax dx =
4 a3
0 ∞
4
2
x 3 e−ax dx = 2
a
0
∞
3 π
2
x 4 e−ax dx =
8 a5
0
ebt dt =
In diesen Formeln sind A, b und ω jeweils Konstanten.
In den Formeln 1 bis 7 kann man zur rechten Seite
jeweils eine beliebige Konstante C hinzuzählen.
Die Konstante a ist größer als null.
Beispiel M.14: Die Integration von Bewegungsgleichungen
Ein Teilchen bewegt sich mit konstanter Beschleunigung a. Geben Sie eine Formel für den Ort x des Teilchens zum
Zeitpunkt t an. Gegeben sind die Anfangsposition x0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 zum Zeitpunkt t = 0.
Problembeschreibung: Die Geschwindigkeit v ist die Ableitung von x nach der Zeit t; die Beschleunigung a ist die
Ableitung von v nach t. Wir sollten also die gesuchte Funktion x(t) durch zwei Integrationen erhalten.
Lösung:
1. Um v als Funktion von t anzugeben, integrieren Sie a
bezüglich t. Die Funktion a kann aus dem Integranden ausgeklammert werden, weil die Beschleunigung nach Aufgabenstellung konstant sein soll.
2. Für die Geschwindigkeit gilt: v = v0 für t = 0:
v =
a dt = a
dt
v = a t + C1
Dabei ergibt sich C1 als Produkt aus a und der Integrationskonstante.
v0 = 0 + C1
⇒
C1 = v0
Also gilt v = v0 + a t.
3. Um x als Funktion von t anzugeben, integrieren Sie nun
v bezüglich t:
v dt = (v0 + a t) dt = v0 dt + a t dt
x = v0 dt + a t dt = v0 t + 12 a t 2 + C2
x =
Dabei ist C2 eine
Integrationskonstanten.
Kombination
der
beiden
http://www.springer.com/978-3-8274-1945-3