Elemente der Geometrie Wintersemester 06/07 ¨Ubungsblatt 3

Institut für Algebra und Geometrie
Dr. Volker Drumm
Dr. Lars Michael Hoffmann
Universität Karlsruhe (TH)
Elemente der Geometrie
Wintersemester 06/07
Übungsblatt 3
Jede Aufgabe wird mit maximal 4 Punkten bewertet.
Aufgabe 7. Umkehrung des Satzes von Ceva.
Es sei 4 ein Dreieck mit Ecken A, B, C, dessen Innenwinkel durch drei Ecktransversalen geteilt werden. Gilt
für die so entstehenden Winkel (siehe Skizze)
sin α1 · sin β1 · sin γ1
= 1,
sin α2 · sin β2 · sin γ2
so schneiden sich die Ecktransversalen in einem Punkt.
C
γ1
γ2
β1
α2
A
α1
β2
B
Aufgabe 8. Fermat-Toricelli-Punkt.
Sei 4ABC ein spitzwinkliges Dreieck. Für einen Punkt P bezeichne s(P ) die Abstandssumme zu den Dreiecksecken.
(a) Wir betrachten zunächst die Punkte im Inneren des Dreiecks. Konstruieren Sie den Punkt F , für den
die Abstandssumme minimal wird.
Hinweis: Wählen Sie einen beliebigen Punkt P und drehen Sie das Teildreieck 4AP C um 60◦ um A.
(b) Zeigen Sie, dass für jeden Punkt P auf dem Rand des Dreiecks
s(P ) > s(F )
gilt.
(c) Zeigen Sie, dass für jeden Punkt P außerhalb des Dreiecks
s(P ) > s(F )
gilt.
Aufgabe 9. Satz von Morley, 1899.
Zeigen Sie, dass die drei Schnittpunkte P, Q, R der drei anliegenden Winkeldreiteilenden eines Dreiecks 4ABC
ein gleichseitiges Dreieck bilden (siehe Skizze).
Hinweis: Beginnen Sie mit einem gleichseitigen Dreieck und bauen Sie ein Dreieck darauf auf, das die selben
Innenwinkel wie das Dreieck 4ABC hat.
C
B
P
Q
R
A
Abgabe der Lösungen bis Freitag, den 17. November 2006 um 13:00 Uhr im Einwurfschlitz neben dem Seminarraum 32 im Mathematikgebäude. Heften Sie die zur Abgabe bestimmten Blätter zusammen, und versehen
Sie diese mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer