Elemente der Geometrie Wintersemester 06/07 ¨Ubungsblatt 3
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Institut für Algebra und Geometrie Dr. Volker Drumm Dr. Lars Michael Hoffmann Universität Karlsruhe (TH) Elemente der Geometrie Wintersemester 06/07 Übungsblatt 3 Jede Aufgabe wird mit maximal 4 Punkten bewertet. Aufgabe 7. Umkehrung des Satzes von Ceva. Es sei 4 ein Dreieck mit Ecken A, B, C, dessen Innenwinkel durch drei Ecktransversalen geteilt werden. Gilt für die so entstehenden Winkel (siehe Skizze) sin α1 · sin β1 · sin γ1 = 1, sin α2 · sin β2 · sin γ2 so schneiden sich die Ecktransversalen in einem Punkt. C γ1 γ2 β1 α2 A α1 β2 B Aufgabe 8. Fermat-Toricelli-Punkt. Sei 4ABC ein spitzwinkliges Dreieck. Für einen Punkt P bezeichne s(P ) die Abstandssumme zu den Dreiecksecken. (a) Wir betrachten zunächst die Punkte im Inneren des Dreiecks. Konstruieren Sie den Punkt F , für den die Abstandssumme minimal wird. Hinweis: Wählen Sie einen beliebigen Punkt P und drehen Sie das Teildreieck 4AP C um 60◦ um A. (b) Zeigen Sie, dass für jeden Punkt P auf dem Rand des Dreiecks s(P ) > s(F ) gilt. (c) Zeigen Sie, dass für jeden Punkt P außerhalb des Dreiecks s(P ) > s(F ) gilt. Aufgabe 9. Satz von Morley, 1899. Zeigen Sie, dass die drei Schnittpunkte P, Q, R der drei anliegenden Winkeldreiteilenden eines Dreiecks 4ABC ein gleichseitiges Dreieck bilden (siehe Skizze). Hinweis: Beginnen Sie mit einem gleichseitigen Dreieck und bauen Sie ein Dreieck darauf auf, das die selben Innenwinkel wie das Dreieck 4ABC hat. C B P Q R A Abgabe der Lösungen bis Freitag, den 17. November 2006 um 13:00 Uhr im Einwurfschlitz neben dem Seminarraum 32 im Mathematikgebäude. Heften Sie die zur Abgabe bestimmten Blätter zusammen, und versehen Sie diese mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer
