14 - Universität Innsbruck

Proseminar Mathematische Methoden der Physik II
Aufgabenblatt 14, 28. Jänner 2013
Universität Innsbruck
Name:....................................................................Matrikelnr:..................................................
Betreuer ankreuzen: Best, Grübl, Ostermann
Zahl der abgegebenen Blätter...................;
Zweite Klausur
1. (4P) Sei f : C → C mit f (z) = z und sei γ : [0, 1] → C mit γ (t) = (π + iα) · t für ein α ∈ R.
(a) (2P) Berechnen Sie
Z
f (z)dz =?
γ
(b) (2P) Zeigen Sie
i
Z
cos (z) dz = sinh (α) .
γ
¡
¢
2. (4P) Seien c, L ∈ R>0 und sei A : R × [0, L] → R eine C 2 -Funktion mit c−2 ∂t2 − ∂x2 A = 0 und
A (t, 0) = A (t, L) = 0 für alle t ∈ R. Überdies gelte
µ
¶
µ
¶
3πc
2πx
3πx
A (0, x) = sin
und ∂t A (0, x) =
· sin
.
L
L
L
Geben Sie Zahlen An , Bn , ω n ∈ R an, sodass für alle (t, x) ∈ R × [0, L]
A (t, x) =
∞
X
n=1
[An cos (ω n t) + Bn sin (ω n t)] · sin
³ nπx ´
L
.
3. (4P) Seien ~, m ∈ R>0 und sei ψ : R × [0, L] → C eine C 2 -Funktion mit
i~∂t ψ = −
~2 2
∂ ψ
2m x
(1)
und ψ (t, 0) = ψ (t, L) = 0 für alle t ∈ R. Fouriers Lösungsformel besagt in diesem Fall, dass Zahlen
Cn ∈ C existieren, für die mit ω n := . . . folgt, dass
ψ (t, x) =
∞
X
n=1
Cn e−iωn t · sin
³ nπx ´
L
für alle (t, x) ∈ R × [0, L] .
(2)
(a) (2P) Wie ist ω n zu wählen, damit jeder einzelne Summand in (2) Lösung von (1) ist?
h iπx/L −iπx/L i3
−e
= . . .?
(b) (2P) Für welche Wahl der Cn gilt ψ (0, x) = sin3 (πx/L) = e
2i
4. (4P) Eine C 2 -Funktion ψ : R × R2 → C mit ψ (t, x) = e−iωt g (r (x)) h (ϕ (x)) auf dem Def-bereich
der Polarkoodinaten r, ϕ in R2 erfülle
~2
∆ψ.
(3)
2m
vorausgesetzt und, dass ψ 6= 0. Die Funktionen g und h sind C-wertig.
i~∂t ψ = −
Dabei wird ~, m, ω ∈ R>0
(a) (1P) Welchen Def-bereich hat g bzw h? Schließen Sie aus (3), dass
−
~2
∆ [g (r) h (ϕ)] = ~ω [g (r) h (ϕ)] .
2m
(4)
(b) (2P) Schließen Sie mit ∆ = ∂r2 + r−1 ∂r + r−2 ∂ϕ2 aus (4), dass eine Zahl λ ∈ C existiert, für die
h00 + λ · h = 0.
(c) (1P) Welche gewöhnliche DiffGl erfüllt g, wenn h00 + λ · h = 0?
1
Lösung:
1. (a) Es gilt wegen γ̇ (t) = (π + iα) =: v0 und f (γ (t)) = γ (t)
Z
f (z)dz =
γ
Z
1
2
γ (t) · γ̇ (t) dt = |v0 |
0
(b) Wegen cos (z) = sin0 (z) gilt
Z
i cos (z) dz
Z
1
tdt =
0
|v0 |2
π 2 + α2
=
.
2
2
γ(1)
= i sin (z)|γ(0) = i sin (z)|v00 = i sin (v0 )
γ
eiv0 − e−iv0
ei(π+iα) − e−i(π+iα)
=
2
2
e−α − eα
= −
= sinh (α) .
2
=
2. Nach der F-Lösungsformel gilt
sin
µ
2πx
L
¶
= A (0, x) =
∞
X
n=1
An · sin
³ nπx ´
L
.
Koeffizientenvergleich ergibt somit A2 = 1 und An = 0 für alle n ∈ N r 2. Weiter gilt
ω 3 · sin
µ
3πx
L
¶
= ∂t A (0, x) =
∞
X
n=1
Bn ω n · sin
³ nπx ´
L
.
Daraus folgt B3 = 1 und Bn = 0 für alle n ∈ N r 3.
Die Frequenzen erfüllen ω n = cnπ/L.
3. (a) Setze den n-ten Summanden in die SG ein. Dies ergibt für alle (t, x) ∈ R × (0, L)
∙
¸
³ nπx ´
~2 2 −iωn t
0 =
i~∂t +
· sin
∂x e
2m
L
∙
¸
³ nπx ´
~2 ³ nπ ´2 −iωn t
=
~ω n −
· sin
e
·
.
2m
L
L
Daraus folgt, dass
ωn =
(b) F’s Lösungsformel impliziert, dass
sin3
³ πx ´
L
~ ³ nπ ´2
.
·
2m
L
= ψ (0, x) =
∞
X
n=1
Cn · sin
³ nπx ´
L
für alle x ∈ [0, L] . Es gilt für α ∈ R
¢3
¡ iα
e − e−iα
e3iα − e−3iα − 3e2iα e−iα + 3eiα e−2iα
sin (α) =
=
−8i
−4 · 2i
1
= − · [sin (3α) − 3 sin (α)] .
4
3
Somit folgt aus F’s Lösungsformel für alle x ∈ [0, L]
∞
³ nπx ´
³ πx ´ 1
³ πx ´ X
3
Cn · sin
sin
− sin 3
=
.
4
L
4
L
L
n=1
Koeffizientenvergleich ergibt, dass C1 = 3/4 und C3 = −1/4 und Cn = 0 für alle n ∈ Nr{1, 3} .
2
4. (a) Aus der SG folgt für alle (t, x) ∈ R × R2
∙
∙
¸
¸
~2
~2
0 = i~∂t +
∆ e−iωt ψ (0, x) = e−iωt ~ω +
∆ ψ (0, x) .
2m
2m
Daraus folgt mit ψ (0, x) = g (r (x)) h (ϕ (x))
∙
¸
~2
~ω +
∆ g (r) h (ϕ) = 0,
2m
also die Behauptung. Der Def-bereich von g ist R>0 und jener von h ist (0, 2π) .
(b) Mit ∆ = ∂r2 + r−1 ∂r + r−2 ∂ϕ2 folgt aus
∙
¸
2mω
0 =
∆+
g (r) h (ϕ)
~
∙
¸
1 0
1
2mω
00
00
=
g (r) h (ϕ) + g (r) h (ϕ) + 2 g (r) h (ϕ) +
g (r) h (ϕ) .
r
r
~
Multiplikation mit r2 /g (r) h (ϕ) ergibt (cum grano salis)
r2
g 0 (r) h00 (ϕ) 2mω 2
g 00 (r)
+r
+
+
r = 0.
g (r)
g (r)
h (ϕ)
~
Es existiert somit eine Zahl λ ∈ C, sodass
g 00 (r)
g 0 (r) 2mω 2
+r
+
r ,
g (r)
g (r)
~
h00 (ϕ)
λ = −
,
h (ϕ)
λ = r2
oder äquivalent dazu:
h00 (ϕ) + λh (ϕ) = 0,
¸
1 0
2mω
λ
00
g (r) + g (r) +
− 2 g (r) = 0.
r
~
r
∙
(c) Die DG ist in b) schon abzulesen:
∙
¸
1
2mω
λ
g 00 (r) + g 0 (r) +
− 2 g (r) = 0.
r
~
r
3