Analysis 1: Zusammenfassung

Analysis 1: Zusammenfassung
nach der VO von Ao.Univ.-Prof. Clemens Heuberger
PDF mit Latex von Stefan Lendl
Im folgenden Dokument sind nur die Definitionen, Sätze, Korollare, Lemmata, Propositionen
und Bemerkungen aus der VO enthalten. Die Beweise wurden hier weggelassen.
1
Folgen
1.1
Eigenschaften von Folgen
Definition. Folge Eine (reellwertige) Folge ist eine Abbildung von
N nach R. Schreibe (an )n∈N
Definition. Monotonie Sei (an )a∈N eine Folge. Dann heißt (an )a∈N
1. streng monoton wachsend, wenn an+1 > an f̄ür alle n ∈
2. monoton wachsend, wenn an+1 ≥ an für alle n ∈
N
3. streng monoton fallend, wenn an+1 < an für alle n ∈
4. monoton fallend, wenn an+1 ≥ an für alle n ∈
N
N
N
Definition. Sei (an )n∈N eine Folge.
1. Dann heißt (an )n∈N nach oben beschränkt, wenn es ein C ∈
gibt.
R mit an ≤ C für alle n ∈ N
2. Dann heißt (an )n∈N nach unten beschränkt, wenn es ein C ∈
gibt.
R mit C ≤ an für alle n ∈ N
3. (an )n∈N heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
Bemerkung. (an )n∈N ist genau dann beschränkt, wenn es ein M ∈
n ∈ gibt.
N
Satz 1.1. (Dreiecksungleichung in
R mit |an | ≤ M
für alle
R) Seien x, y ∈ R. Dann gilt
||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
1.2
Konvergenz von Folgen
Definition. Sei (an )n∈N eine Folge und E eine Eigenschaft. Wir sagen, E gelte für fast alle
n ∈ , wenn E für alle bis auf endlich viele n ∈
gilt, d. h. wenn es ein N ∈
gibt, sodass E
für alle n > N gilt.
N
N
Definition.
1. Sei x ∈
R und > 0 reell. Dann heißt das Intervall
(x − , x + )
die -Umgebung von x.
1
N
R
2. Sei x ∈
und U ⊆
ein > 0 enthält.
R. U heißt eine Umgebung von x, wenn U eine -Umgebung von x für
R
Definition. Konvergenz einer Folge Sei (an )n∈N eine reellwertige Folge und a ∈ . Dann heißt
die Folge konvergent gegen a, wenn in jeder Umgebung von a fast alle Folgenglieder enthalten sind,
d.h.
∀ > 0∃N ∈ ∀n > N : |an − a| < .
N
Wir sagen auch, a sei der Grenzwert von an und schreiben
a = lim an .
n→∞
Satz 1.2. Eindeutigkeit von Grenzwerten Sei (an )n∈N eine Folge. Dann besitzt an höchstens einen
Grenzwert.
Satz 1.3. Grenzwertsätze Seien (an ), (bn ) Folgen mit limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b. Dann gilt:
1. limn→∞ (an + bn ) = a + b
2. limn→∞ (an − bn ) = a − b
3. Wenn limn→∞ an = 0 und die Folge (dn )n∈N beschränkt ist, so gilt
lim (an dn ) = 0
n→∞
4. limn→∞ (an bn ) = ab
5. Wenn bn 6= 0 für alle n ∈
N und b 6= 0, so gilt
lim
n→∞
an
a
=
bn
b
6. Konvergente Folgen sind beschränkt.
7. Wenn an ≤ dn ≤ bn und a = b für irgendeine Folge dn , so gilt
lim dn = a = b.
n→∞
Einzwicksatz, Sandwich-Theorem
Definition. Sei an eine Folge. Wenn es kein a ∈
an eine divergente Folge.
R gibt, sodass an gegen a kovnergiert, so heißt
R heißt eine Umgebung von +∞, wenn es ein K ∈ R gibt,
(K, +∞) = x ∈ R|K < x.
Eine Teilmenge N ⊆ R heißt eine Umgebung von −∞, wenn es ein L ∈ R gibt, sodass das offene
Intervall
(−∞, L) = x ∈ R|x < L.
Definition. Eine Teilmenge M ⊆
sodass das offene Intervall
Definition. Eine Folge an heißt bestimmt divergent gegen +∞ wir schreiben
lim an = +∞
n→∞
, wenn in jeder Umgebung von +∞ fast alle Folgenglieder liegen, also
∀K ∈
R∃N ∀n > N : an > K.
(−∞ analog)
2
Proposition. Sei an eine Folge positiver reeller Zahlen. Dann gilt limn→∞ an = +∞ genau dann,
wenn limn→∞ a1n = 0.
Satz 1.4. Bernoullische Ungleichung
Sei x ∈ , x > −1 und n ∈ . Dann gilt
R
N
(1 + x)n ≥ 1 + nx
Gleichheit gilt genau für x = 0 oder n = 1, n = 0.
Satz 1.5. Geometrische Folge Sei q ∈
R. Dann ist (qn )n∈N
1. konvergent gegen 0, wenn |q| < 1
2. konstant, wenn q = 1
3. bestimmt divergent gegen +∞, wenn q > 1
4. divergent sonst (q ≤ −1).
Satz 1.6. Sei an eine monoton wachsende nach oben beschränkte Folge. Dann ist an konvergent.
Sei an eine monoton fallende nach unten beschränkte Folge. Dann ist an konvergent.
1.3
Häufungspunkte
R
Definition. Sei (an )n∈N eine Folge und a ∈ . Dann heißt a ein Häufungspunkt der Folge, wenn
in jeder Umgebung von a unendliche viele an liegen.
Definition. Sei an eine Folge und nk eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen.
Dann heißt (ank )n∈N eine Teilfolge von (an )n∈N .
R
Satz 1.7. Sei (an )n∈N eine folge und a ∈ .
Dann ist a genau dann ein Häufungspunkt von (an )n∈N , wenn es eine gegen a konvergente
Teilfolge von an gibt.
Satz 1.8. Bolzano-Weierstraß Sei an eine beschränkte Folge. Dann besitzt an einen Häufungspunkt.
Sei an eine beschränkte Folge. Betrachte die Menge H der Häufungspunkte von an .
Lemma. H besitzt ein kleinstes und ein größtes Element, d.h.
inf H ∈ H, sup H ∈ H.
Definition. Sei an eine nach oben bzw. nach unten beschränkte Folge. Dann definiere
lim sup an “limes superior00
n→∞
als den größten Häufungspunkt von an
lim inf an “limes inf erior00
n→∞
als den kleinsten Häufungspunkt von an .
Bemerkung. Wenn an beschränkt ist, so folgt aus Definition sofort lim inf n→∞ an ≤ lim supn→∞ an .
R
Lemma. Sei an eine nach oben beschränkte Folge und a ∈ . Dann gilt a = lim supn→∞ an genau
dann, wenn in jeder -Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder liegen und für jedes > 0 es
nur endlich viele Folgenglieder an > a + gibt.
3
Satz 1.9. Sei an eine nach oben bzw. unten beschränkte Folge. Dann gilt
lim sup an = inf sup ak .
n k>n
n→∞
bzw.
lim inf an = sup inf ak .
n→∞
n k>n
Satz 1.10. Sei an eine Folge. Dann sind folgende Aussagen äquvivalent:
1. an ist konvergent
2. lim inf n→∞ an = lim supn→∞ an und an ist beschränkt.
In diesem Fall gilt lim inf n→∞ an = lim supn→∞ = limn→∞ an .
Bemerkung. an konvergent ⇐⇒ lim inf n→∞ an = lim supn→∞ an und an beschränkt ⇐⇒ an
besitzt genau einen Häufungspunkt und ist beschrankt.
Daraus folgt:
an divergent ⇐⇒ an unbeschränkt oder mind. 2 Häufungspunkte.
1.4
Cauchy-Folgen
Definition. Eine Folge (an )n∈N heißt Cauchy-Folge, wenn
∀ > 0 ∃N ∈
N ∀m, n > N :
|am − an | < .
R
Satz 1.11.
ist vollständig
Sei (an )n∈N eine Folge. Dann sind folgende Aussagen äquvivalent:
1. an ist konvergent
2. an ist Cauchy-Folge.
Bemerkung.
1. In Def. von Cauchy-Folge kommt Grenzwert nicht vor. Das ist manchmal praktisch (vgl.
Kap. 2).
2. Konvergente Folge ist Cauchy-Folge gilt überall, z.B. auch in
Q.
Cauchy-Folge =⇒ Konvergenz gilt nur in sog. vollstandigen Räumen. (Wir haben ein sup
verwendet, aber sup existiert z.B. in
nicht notwendigerweise.
Q
R
3. Man kann
statt über Dedekindsche-Schnitte auch über Cauchy-Folgen definieren, wobei
man zwei Cahcy-Folgen identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist.
1.5
Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz
R und für n ∈ N sei fn : I → R. Dann heißt (fn )n∈N eine Funktionenfolge.
Sei fn eine Funktionenfolge auf I ⊆ R und f : I → R. Dann heißt fn gleichmäßig
Definition. Sei I ⊆
Definition.
konvergent gegen f (auf I), wenn
∀ > 0 ∃N ∈
N ∀x ∈ I ∀n > N :
|fn (x) − f (x)| < .
Bemerkung. punktweise Konvergenz wäre
∀ > 0 ∀x ∈ I ∃N ∈
N ∀n > N :
4
|fn (x) − f (x)| < .
2
Reihen
2.1
Bedingte und absolute Konvergenz von Reihen
Definition. Sei (an )k∈N eine Folge. Dann heißt die Folge
Sn =
n
X
ak
k=1
eine Reihe.
Wenn limn→∞ Sn existiert, so heißt die Reihe konvergent. Wir schreiben
lim Sn =
n→∞
∞
X
ak .
k=1
Sn heißt n-te Partialsumme der Reihe.
P∞
P∞
Definition. Eine Reihe k=1 ak heißt absolut konvergent, wenn die Reiche k=1 |ak | konvergent
ist.
P∞
Eine Reihe k=1 ak heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergent, aber nicht absolut konvergent ist.
P∞
Lemma. Die Reihe k=1 ak konvergiert genau dann, wenn es für jedes > 0 ein N >
gibt,
sodass
m
X
∀m ≥ n > N : ak < .
N
k=n+1
Satz 2.1. Notwendiges Konvergenzkriterium Sei
P∞
k=1
ak konvergent. Dann ist
lim ak = 0.
n→∞
P
Bemerkung. Die Umkehrung gilt nicht. Wenn limn→∞ ak = 0, folgt noch lange nicht, dass
ak
konvergent ist. (z.B. Harmonische Reihe).
P∞
P∞
Satz 2.2. Sei k=1 ak eine absolut konvergente Reihe. Dann ist k=1 ak auch konvergent.
Satz 2.3. Geometrische Reihe
P∞
1. Sei |q| < 1. Dann ist k=0 q k konvergent und es gilt
∞
X
= qk =
k=0
2. Sei |q| ≥ 1. Dann divergiert
2.2
P∞
k=0
1
.
1−q
qk .
Konvergenzkriterien (für absolute Konvergenz)
In diesem ABschnitt behandeln wir eigentlich nur Reihen mit postiiven Summanden, über Satz
2.2 ergeben sich auch Resultate für Reihen
Pn mit beliebigen Summanden.
Wenn ak ≥ 0 für alle k und Sn = k=1 ak , dann ist die Folge der Partialsummen klarerweise monoton wachsend, also Sn konvergent oder bestimmt divergent gegen +∞. Keine delikaten
Situationen zu erwarten.
P∞
Satz 2.4. Vergleichskriterium Sei k=1 ak eine Reihe.
P∞
P
1. Wenn
bk konvergent ist, so
P es eine Reihe k=1 bk mit |ak | ≤ bk für fast alle k gibt, und
ist
ak konvergent (absolut konvergent).
5
P∞
P
2. Wenn es eine
ck divergent ist,
P Reihe k=1 ck mit 0 ≤ |ck | ≤ ak für fast alle k gibt, und
so ist auch
ak divergent.
P
P
Bemerkung. Eine Reihe
bk wie unter 1) heißt konvergente Majorante. Eine Reihe
ck wie
unter 2) heißt divergente Minorante.
P
Satz 2.5. Wurzelkriterium Sei
ak eine Reihe.
p
P
1. Wenn lim supk→∞ k |ak | < 1, so ist
ak konvergent.
p
P
2. Wenn lim supk→∞ k |ak | > 1, so ist
ak divergent.
P∞
Satz 2.6. Quotientenkriterium Sei k=1 ak eine Reihe.
P
ak absolut konvergent.
1. Wenn lim supk→∞ aak+1
< 1, so ist
k
P
2. Wenn lim inf k→∞ aak+1
ak divergent.
> 1, so ist
k
Bemerkung. Ü 33 sagt i. W., dass Wurzelkriterium nie schlechter als Quotientenkriterium ist,
aber Quotientenkriterium kann bequemer sein (keine n-te Wurzel).
P∞
Satz 2.7. Verdichtungssatz Sei k=0 ak eine Reihe mit ak ≥ 0 und ak monoton fallend. Setze
bk = 2k a2k .
P∞
P∞
Dann konvergiert k=0 ak genau dann, wenn die Reihe k=0 bk konvergiert.
P∞
Korollar. Sei α ∈ . Dann ist k=1 k1α genau dann konvergent, wenn α > 1.
Q
Bemerkung. Der Korollar gilt auch für α ∈
2.3
R.
Alternierende Reihen - (Leibniz-Kriterium)
Satz
P∞ 2.8. kLeibniz-Kriterium Sei ak ≥ 0, monoton fallend mit limk→∞ ak = 0. Dann konvergiert
k=0 (−1) ak .
Weiters gilt für alle n ≥ 0:
2n+1
X
(−1)k ak ≤
k=0
2.4
∞
X
(−1)k ak ≤
k=0
2n
X
(−1)k ak
k=0
Umordnung von Reihen
N
N
P∞
P∞
→
bijektiv und bk = aπ(k) . Dann heißt k=1 bk
Definition. Sei k=1
Pa∞k eine Reihe, π :
eine Umordnung von k=1 ak .
P∞
Satz 2.9. Umordnungssatz Sei k=1 ak eine absolut konvergente Reihe. Dann ist jede ihrer Umordnungen konvergent gegen den gleichen Granzwert.
Bemerkung. Für jede bedingt konvergente Reihe lassen sich Umordnungen angeben, sodass belibiger Grenzwert oder Divergenz erziehlt wird.
2.5
Produkt von Reihen
P∞
P∞
Bemerkung.
k=1 bk konvergente Reihen. Setze ck = ak + bk . Dann konP∞ Seien k=1
P∞ak und P
∞
vergiert k=1 ck gegen ( k=1 ak ) + ( k=1 bk ) lt. Grenzwertsatz für Additon.
6
P∞
P∞
Definition. Cauchy-Produkt von Reihen Seien k=0 ak und k=0 bk Reihen.
Wir setzen
k
X
ck =
al bk−l .
l=0
Dann heißt
∞
X
ck
k=0
P∞
P∞
das Cauchy-Produkt von k=0 ak und k=0 bk .
P∞
P∞
P∞
Satz 2.10. Sei A = k=0P
ak absolut konvergent und B = k=0 bk konvergent und k=0 ck ihr
∞
Cauchy-Produkt. Dann ist k=0 ck konvergent gegen AB.
2.6
Gleichmäßige Konvergenz von Reihen
Seien fk (x) : I →
R Funktionen auf einer Menge I ⊆ R. Wir betrachten Funktionenreiche
∞
X
fk (x).
k=1
Lt. Def. aus Abschnitt 1.5 ist Funktionenreihe gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion
f : I → , wenn
n
X
fk (x) − f (x) < ∀ > 0 ∃N ∈ ∀x ∈ I ∀n > N : R
N
k=1
Satz 2.11. Weierstraß-Kriterium Seien fk (x) Funktionen auf I ⊆
R und ck so, dass
∀x ∈ I : |fk (x)| ≤ ck
Falls
2.7
P∞
k=0 ck
eine konvergente Reihe ist, so konvergiert die Funktionenreihe gleichmäßig.
Potenzreihen
Definition. Eine Funktionenreihe
f (x) =
∞
X
ak (x − x0 )k
k=0
(für feste x0 Entwicklungspunkt, a0 , . . .)
heißt Potenzreihe.
P∞
Satz 2.12. Sei k=0 ak (x − x0 )k eine Potenzreihe und sei
R=
1
lim supk→∞
p
k
|ak |
.
Dann konvergiert die Potenzreihe für alle x mit |x−x0 | < R und divergiert für alle x mit |x−x0 | >
R.
Für alle 0 < r < R ist die Potzenzreihe gleichmäßig konvergent auf {x ∈ | |x − x0 | ≤ r}.
R
Bemerkung. R heißt Konvergenzradius.
Es kann vorkommen, dass R = 0 oder R = ∞.
7
2.8
Exponentialfunktion
Definition.
exp(x) =
∞
X
xk
k=0
k!
Satz 2.13.
1. exp(x) ist für alle x ∈
[−M, M ] für M > 0.
2. ∀x, y ∈
3. ∀x ∈
R:
R definiert, exp(x) ist gleichmäßig konvergent auf jedem Intervall
exp(x + y) = exp(x) exp(y)
R ∀r ∈ Q :
exp(rx) = exp(x)r
4. exp(x) > 0 für alle x ∈
R
5. exp(x) > 1 für alle x > 0
6. ∀x, y ∈
R:
x < y =⇒ exp(x) < exp(y)
Bemerkung. Für rationale x und y gilt
ex+y = exp(x + y) =2. exp(x) exp(y) = ex ey
exy = exp(xy) =3. exp(x)y = (ex )y
Satz 2.14.
e∈
/
Q
Eine weitere Darstellung der Exponentialfunktion.
Satz 2.15. Sei x ∈
R. Dann gilt
lim
n→∞
1+
Korollar.
lim
n→∞
2.9
Grenzwerte in
Satz 2.16. Eine Folge in
konvergieren.
2.10
x n
= exp(x).
n
1
1+
n
n
=e
C und komplexe Reihen
C konvergiert genau dann, wenn ihr REalteil und ihr Imaginärteil
Komplexe Exponentialfunktion
Definition. wie bisher Für z ∈
Z setze
exp(z) =
∞
X
zk
k=0
Proposition.
1. exp(z) konvergiert für alle z ∈
2. ∀z, w ∈
C:
C
exp(z + w) = exp(z) exp(w)
8
k!
Definition. Für z ∈
C definiere
cos z =
∞
X
(−1)k
k=0
sin z =
∞
X
(−1)k
k=0
z 2k
(2k)!
z 2k+1
(2k + 1)!
Cosinus und Sinus.
Wir haben also gesehen, dass
exp(x + iy) = exp(x)(cos y + i sin y).
Satz 2.17. Eigenschaften der kompl. Exponentialfunktion bzw. Cos und Sin I Für z, w ∈
gilt:
R
C, x, y ∈
1. cos(−z) = cos z “cos ist eine gerade Funktion”
sin(−z) = − sin z “sin ist iene ungerade Funkton”
2. cos z =
sin z =
exp(iz)+exp(−iz)
2
exp(iz)−exp −iz
2i
3. exp(z) = exp(z)
4. cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y
5. cos x − cos y = −2 sin x+y
sin x−y
2
2
sin x − sin y = 2 cos x+y
sin x−y
2
2
cos x + cos y = 2 cos x+y
cos x−y
2
2
cos x−y
sin x + sin y = 2 sin x+y
2
2
3
3.1
Stetigkeit und elementare Funktionen
Grenzwerte von Funktionen
Anhang
Wichtige Beweise/Ergebnisse aus Übungsbeispielen
Ü1
Definition. Mittelwerte Für positive Zahlen a, b definiert man das arithmetische, geometrische,
harmonische Mittel durch:
√
a+b
1
2ab
=
A(a, b) :=
, G(a, b) := ab, H(a, b) :=
2
a+b
A a1 , 1b
Satz 3.1. Mittelwertungleichung Es gilt
H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b)
Gleichheit gilt nur bei a = b.
9
Ü7
Definition. Fibonacci Zahlen Die Folge welche durch folgende rekursive Vorschrift definiert ist
nennt man Fibonacci-Zahlen:
fn = fn−1 + fn−2 , f0 = 0, f1 = 1
Satz 3.2. Binetische Formel Folgende Formel ist eine explizite Formel für die Fibonacci-Zahlen:
√ !n
√ !n !
1
1+ 5
1− 5
−
fn = √
2
2
5
Ü8
Satz 3.3. Gleichungen für Fibonacci-Zahlen
fn+m = fn−1 fm + fn fm+1 , m ≥ 0, n ≥ 1
2
2
f2n = fn (fn−1 + fn+1 ) = fn+1
− fn−1
, n≥1
fn2 = fn−1 fn+1 + (−1)n+1 , n ≥ 1
Ü9
Definition. Bernoullische Zahlen Die Bernoullischen Zahlen B0 , B1 , . . . sind durch
n X
n+1
Bl = 0
B0 := 1,
l
f uer l ∈
N
t=0
rekursiv definiert.
Ü10
Satz 3.4. Pascalsche Identität i Für die Potenzsummen
SnP := 1P + 2P + 3P + · · · + nP
gilt die folgende Identität:
p+1
p+1
(p + 1)SnP +
SnP −1 +
Snp−2 + · · · + Sn0 = (n + 1)p+1 − 1.
2
3
Ü17
Satz 3.5. Ungleichung des gewichteten arithmetischen Mittels
min(a1 , a2 , . . . , an ) ≤
p1 a1 + p2 a2 + · · · + pn an
≤ max(a1 , a2 , . . . , a)
p1 + p2 + · · · + pn
Ü18
Satz 3.6. Lagrangesche Identität
n
X
k=1
!2
ak bk
=
n
X
k=1
!
a2k
n
X
k=1
10
!
b2k
−
n
X
i,k=1k<i
(ak bi − ai bk )2
Ü19
Satz 3.7. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
v
v
n
u n
u n
n
X
X
X
u
uX
ak bk ≤
|ak bk | ≤ t
a2k t
b2k
k=1
k=1
k=1
k=1
Satz 3.8. Minkowskische Ungleichung
v
v
v
u n
u n
u n
uX
uX
uX
2
t (ak + bk )2 ≤ t
ak + t
b2k
k=1
k=1
k=1
Ü20
Satz 3.9. Identitäten
a−b=
a3 − b3
a2 + ab + b2
a−b=
a−b=
a3
a2 − b2
a+b
a4 − b4
+ a2 b + ab2 + b3
Satz 3.10. Summen und Permutationen Seien x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn und y1 ≤ y2 ≤ · · · ≤ yn reelle
Zahlen.
Für jede Permutation π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} gilt die Ungleichung
n
X
n
X
xj yn−j ≤
j=1
xj yπ(j) ≤
j=1
n
X
xj yj
j=1
gilt.
3.1.1
Ü31
Satz 3.11. Rechenregeln lim sup und lim inf
lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn
n→∞
n→∞
n→∞
lim sup(an + bn ) ≥ lim sup an + lim inf bn
n→∞
n→∞
n→∞
Wenn an ≤ bn für fast alle n gilt, so gilt lim supn→∞ an ≤ lim supn→∞ bn .
3.1.2
Ü33
Satz 3.12. Grenzwerte von n-ten Wurzeln Wenn limn→∞ an = a für ein gewisses a ∈
gilt
√
lim n a1 a2 . . . an = a.
n→∞
Wenn
an+1
an
konverget ist, dann gilt
lim
n→∞
√
n
an = lim
n→∞
lim
n→∞
√
n
an+1
.
an
n = 1.
11
R, dann
3.2
3.2.1
Hilfreiche Tricks (teilweise nicht bewiesene Sätze)
Berechnung des Grenzwertes einer Reihe
Entweder es ist möglich die Reihe auf die geometrische Reihe zurückzuführen, dafür gibt es eine
Formel (siehe Satz 2.3).
Ansonsten ist es oft möglich Partialbruchzerlegung anzuwenden und dann mittels Teleskopsummen zu arbeiten. Weiters erhält man durch das Leibniz-Kriterium eine Abschätzung für den
Grenzwert (siehe Satz 2.8).
3.2.2
Hilfreiche Sätze mit Beweis
Satz 3.13. Cauchyscher Grenzwertsatz Aus limn→∞ an folgt
lim
n→∞
a1 + · · · + an
=a
n
n
Proof. Beweise zuerst nur limn→∞ an = 0 =⇒ limn→∞ a1 +···+a
= 0:
n
Wegen limn→∞ an = 0 gibt es zu jedem > 0 ein m, sodass für k > m gilt
|ak | <
2
Dann gilt auch
(n − m) 2
|am+1 + · · · + an | Dr−U GL |am+1 | + · · · + |an |
≤
<
= ,
n−m
n−m
n−m
2
also erst recht
|am+1 + · · · + an |
<
n
2
für alle n > m.
Da m fest ist (Konstante) gilt limn→∞
a1 +···+am
n
= 0. Deswegen gibt es ein N > m, sodass
|a1 + · · · + am |
<
n
2
für alle n > N ist. Aus diesen Abschätzungen folgt für n > N
a1 + · · · + an Dr−U GL |a1 + · · · + am | |am+1 + · · · + an |
≤
+
≤ + =
n
n
n
2 2
Verallgemeinerung für limn→∞ an = a.
Aus limn→∞ an = a mit a 6= 0 gilt limn→∞ (an − a) = 0 und daher
(a1 − a) + · · · + (an − a)
a1 + · · · + an
− a = lim
=0
lim
n→∞
n→∞
n
n
3.2.3
Nicht bewiesene hilfreiche Sätze
(n)
Satz 3.14. Regel von L’Hospital Wenn man den Grenzwert von fg(n)
bilden will und beim bilden
der Grenzwerte von f und g auf 00 oder ∞
kommt,
kann
man
mittels
folgendem Verfahren den
∞
Grenzwert bestimmen:
f 0 (n)
lim 0
n→∞ g (n)
Man kann das Ableiten auch mehrfach durchführen, jedoch gibt es Beispiele wo dies nie zum
Erfolg führt. Meist funktioniert das jedoch.
Details: http: // de. wikipedia. org/ wiki/ Regel_ von_ L% E2% 80% 99Hospital
12