Arithmetik und Algebra. Leistungsstufe A 2015

SAE
Sekundarschulabschluss für Erwachsene
Arithmetik und Algebra A
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Name: _______________________________
Nummer: ___________________
2015
Totalzeit: 90 Minuten
Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug
Maximal erreichbare Punktzahl: 90
Für die Maximalnote 6 erforderliche Punktzahl: 72
Für die Note 4 erforderliche Punktzahl: 42
1. Schreiben Sie ohne Klammern und vereinfachen Sie so weit wie möglich.
a) 3a(2ab + 5a) =
(1 P)
b) (x+4)(2x–5) =
(1 P)
c) 3(2b +2)2 =
(2 P)
2. Schreiben Sie die Terme als Produkt mit möglichst vielen Faktoren
oder als Potenz von Binomen.
a) x2 – 10x + 25 =
(1 P)
b) p2 – 144 =
(1 P)
c) 3x2 – 108 =
(2 P)
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Nummer: .........
3. a) Machen Sie die Terme gleichnamig (mit dem kleinstmöglichen Nenner).
3y 5 + y
,
39a 2 26a
(1 P)
Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich.
b)
2m 3m 30m
+
−
=
2x 17x 34x
(2 P)
c)
5b b − 5
−
=
38 57
(2 P)
4. Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich.
a)
a 2 − 2ab + b 2 3x − 9
⋅
=
sx − 3s
ab − b 2
b)
18x 2 y
54xy 2
:
=
7x 2 y − xy 14x 2 y − 2xy
(2 P)
(2 P)
Seite 2
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Nummer: .........
5. Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich.
a)
3
3
−
=
p+3 p−2
(2 P)
b)
3
8
+ 2
=
4x +12 x − 9
(3 P)
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung
bezüglich der Zahlenmenge Q (rationale Zahlen).
a) 3 (x – 5) – 6 = 2 (7 – x)
b)
6x − 6 5x
=
+1
9
6
(2 P)
(3 P)
Seite 3
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Nummer: .........
7. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen
bezüglich der Zahlenmenge Q (rationale Zahlen).
a)
5(3a - 7) + a < 3(2a -8) – a
(2 P)
b)
2x − 3
x−2
+ x > (−2 ) −
4
3
(3 P)
8. Mit welchem Term müssen Sie
5bc
15bc
multiplizieren, um
3x − 3y
x−y
zu erhalten?
(4 P)
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung
bezüglich der Zahlenmenge Q (rationale Zahlen).
a)
b)
x (x - 6) = 0
11(x - 5)(x + 4) = 0
(2 P)
(2 P)
Seite 4
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10. Bestimmen Sie die Lösung der Wurzelgleichung
bezüglich der Zahlenmenge Q (rationale Zahlen).
(3 P)
3x − 2 −1 = x − 3
11. a) Vereinfachen Sie so weit wie möglich und
geben Sie das Resultat als gekürzten Bruch an.
(2 P)
2
18 =
6 45
⋅
36 15
15 ⋅
b) Schreiben Sie 8.1234567 • 1011 als ganze Zahl.
(1 P)
c) Nennen Sie zur Zahl 101'101'101'101’101
(2 P)
die um 2 kleinere Zahl
...........................................................
die um 1100 grössere Zahl
...........................................................
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12. a) Bestimmen Sie den ggT (grösster, gemeinsamer Teiler) von 630 und 252.
(2 P)
b)
Bestimmen Sie die kleinste Zahl, die beim Teilen durch 63 und
durch 45 den Rest 2 ergibt.
(2 P)
c) Drei Lämpchen blinken in einen unterschiedlichen Rhythmus.
Das rote alle 1.2 s, das blaue alle 1.8 s und das gelbe alle 3.0 s.
Sie starten gleichzeitig. Wann leuchten sie wieder zusammen auf?
(2 P)
13. Vervollständigen Sie die untenstehende Tabelle.
Weglänge
a)
Zeitdauer
266m
750 km
Geschwindigkeit
Geschwindigkeit
m
s
km
h
38
€
b)
(4 P)
€
12 h 30 min
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SAE 2015
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14. Die Grundmenge G sei { 80, 81, 82, 83, ......, 94 } und
Menge A
Menge aller ganzen Zahlen aus der Grundmenge G,
die beim Teilen durch 4 den Rest 2 ergeben.
Menge B
{ 82, 84, 86, 88, 90, 92 }
a) Notieren Sie die Menge A in aufzählender Form:
Menge A = {
(1 P)
}
b) Notieren Sie in aufzählender Form:
Menge A ∩ Menge B = {
(1 P)
}
c) Tragen Sie die Zahlen in das Venn- oder das Carolldiagramm ein.
(eines der beiden genügt)
A
A
B
(2 P)
B
15. a) Verwandeln Sie 65’000 Bogensekunden in Grad, Bogenminuten und Bogensekunden.
(1 P)
b) Schreiben Sie 12 Stunden, 36 Minuten und 30 Sekunden als Dezimalzahl
von Stunden (auf 4 Dezimalen).
(2 P)
c) Rechnen Sie aus.
27h 16 min 42 s + 10 h 55 min 38 s =
(2 P)
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16. Schreiben Sie eine entsprechende Gleichung auf und berechnen Sie die
unbekannten Zahlen.
a) Drei aufeinanderfolgende, natürliche Zahlen haben die Summe 477.
(3 P)
b) 75 % einer um 5 vergrösserten Zahl ist gleich der um 5 verkleinerten Zahl.
Wie heisst die Zahl?
(3 P)
17. Berechnen Sie diesen Term mit Hilfe des Taschenrechners (4 Dezimalen).
Notieren Sie Zwischenergebnisse.
(−12.5) ⋅
8.88 −12.72
2
(−8.4) +172.16
(3 P)
=
18. a) Ein Geldbetrag von Fr. 66'000.00 lag während 220 Tagen auf der Bank.
Wie gross ist der Marchzins bei einem Zinsfuss von 1.5%?
b) Ein Bankkunde erhält Fr. 24’240.00 Marchzins.
Das Geld war 10 Monate bei einem Zinsfuss von 1.25% auf der Bank.
Wie viel Geld lag auf der Bank?
(2 P)
(2 P)
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19. Vervollständigen Sie die untenstehende Tabelle.
Höhenunterschied
Horizontale
Länge
280 m
8000 m
400 m
(4 P)
Länge der
Schrägstrecke
Steigung
in Prozenten
auf 2 Dezimalen
2.4 km
2
: 1.2 so, dass die Glieder nachher
5
möglichst kleine natürliche Zahlen sind.
20. a) Vereinfachen Sie das Verhältnis
(2 P)
b) Eine Geldsumme von Fr. 5320.00 wird im Verhältnis von 4 : 6 : 9 aufgeteilt.
Wie gross sind die Teilbeträge?
(2 P)
c) Zwei Zahlen x und y verhalten sich wie 5 : 3. Ihre Differenz beträgt 1000.
Berechnen Sie die beiden Zahlen.
(2 P)
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2015
Totalzeit: 90 Minuten
Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug
Maximal erreichbare Punktzahl: 90
Für die Maximalnote 6 erforderliche Punktzahl: 72
Für die Note 4 erforderliche Punktzahl: 42
Lösungen
1. Schreiben Sie ohne Klammern und vereinfachen Sie so weit wie möglich.
a)
3a(2ab + 5a) = 6 𝑎2 𝑏 + 15𝑎2 b)
(x+4)(2x–5) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟎
(1 P)
c)
3(2b +2)2 = 12𝑏2 + 24b + 12
(2 P)
(1 P) 2. Schreiben Sie die Terme als Produkt mit möglichst vielen Faktoren
oder als Potenz von Binomen.
a)
b)
c)
x2 – 10x + 25 = (x – 5) (x – 5 ) = (𝑥 − 5)!
p2 – 144 = (p – 12) (p + 12)
3x2 – 108 = 3 (𝑥 ! − 13)
=
(1 P)
(1 P)
3 (x – 6 ) ( x + 6 )
(2 P)
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3. a) Machen Sie die Terme gleichnamig (mit dem kleinstmöglichen Nenner).
3y 5 + y
,
39a 2 26a
!!
!"! !
,
!"!!!!"
(1 P)
!"! !
Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich.
b)
c)
!!
2m 3m 30m !"!
,
+
−
=
!"!
!"!
2x 17x 34x
5b b − 5 !"!!( !!!!" )
=
−
=
!!"
38 57
(2 P)
!"!! !!!!" !!"
=
!"!!!"
!!"
(2 P)
4. Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich.
a)
a 2 − 2ab + b 2 3x − 9
⋅
=
sx − 3s
ab − b 2
𝟑 ( 𝒂!𝒃)
b)
18x 2 y
54xy 2
:
=
7x 2 y − xy 14x 2 y − 2xy
𝟐𝒙
𝒃𝒔
𝟑𝒚
(2 P)
(2 P)
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Nummer: .........
5. Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich.
a)
3
3
−
=
p+3 p−2
b)
3
8
+ 2
=
4x +12 x − 9
!𝟏𝟓
(2 P)
𝒑!𝟑 ( 𝒑!𝟐)
𝟑𝒙!𝟐𝟑
(3 P)
𝟒 𝒙!𝟑 ( 𝒙!𝟑)
alle Nenner gültig: 4(𝒙𝟐 – 9) = 4x2 - 36
6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung
bezüglich der Zahlenmenge Q (rationale Zahlen).
a) 3 (x – 5) – 6 = 2 (7 – x)
b)
6x − 6 5x
=
+1
9
6
3x – 15 – 6 = 14 – 2x ,
x=7
12x – 12 = 15x + 18 , - 30 = 3x , x = -10
(2 P)
(3 P)
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Nummer: .........
7. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen
bezüglich der Zahlenmenge Q (rationale Zahlen).
a)
5(3a - 7) + a < 3(2a -8) – a
15a – 35 +a < 6a - 24 – a
11a < 11
a<1
b)
2x − 3
x−2
+ x > (−2 ) −
4
3
(2 P)
(3 P)
6x – 9 + 12x > -24 – 4x + 8
22x > -7
x > -0.314
8. Mit welchem Term müssen Sie
5bc
15bc
multiplizieren, um
3x − 3y
x−y
zu erhalten?
(4 P)
mit 9
9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung
bezüglich der Zahlenmenge Q (rationale Zahlen).
a)
x (x - 6) = 0
(2 P)
𝕃 = 𝟎 𝟔
b)
11(x - 5)(x + 4) = 0
(2 P)
𝕃 = 𝟓 −𝟒
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10. Bestimmen Sie die Lösung der Wurzelgleichung
bezüglich der Zahlenmenge Q (rationale Zahlen).
(3 P)
3x − 2 −1 = x − 3
...
3x – 2
=x–2
= x 2 - 4x +4
0 = x 2 - 7x + 6
0 = (x – 1) ( x – 6)
𝕃 = 𝟏 𝟔
Kontrolle: nur Lösung x = 6 richtig
11. a) Vereinfachen Sie so weit wie möglich und
geben Sie das Resultat als gekürzten Bruch an.
2
18 =
6 45
⋅
36 15
15 ⋅
(2 P)
𝟏𝟎
𝟑
b) Schreiben Sie 8.1234567 • 1011 als ganze Zahl.
(1 P)
812'345'670’000
c) Nennen Sie zur Zahl 101'101'101'101’101
die um 2 kleinere Zahl
101’101’101’101’099
die um 1100 grössere Zahl
101’101’101’102’201
(2 P)
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Nummer: .........
12. a) Bestimmen Sie den ggT (grösster, gemeinsamer Teiler) von 630 und 252.
(2 P)
ggT = 126
b)
Bestimmen Sie die kleinste Zahl, die beim Teilen durch 63 und
durch 45 den Rest 2 ergibt.
(2 P)
Zahl: 317
c) Drei Lämpchen blinken in einem unterschiedlichen Rhythmus.
Das rote alle 1.2 s, das blaue alle 1.8 s und das gelbe alle 3.0 s.
Sie starten gleichzeitig. Wann leuchten sie wieder zusammen auf?
(2 P)
kgV = 180
nach 18 s
13. Vervollständigen Sie die untenstehende Tabelle.
Weglänge
Zeitdauer
(4 P)
Geschwindigkeit
Geschwindigkeit
m
s
km
h
136.8
a)
266m
7s
38
€
b)
750 km
12 h 30 min
€
16.67 = 16 2/3
60
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14. Die Grundmenge G sei { 80, 81, 82, 83, ......, 94 } und
Menge A
Menge aller ganzen Zahlen aus der Grundmenge G,
die beim Teilen durch 4 den Rest 2 ergeben.
Menge B
{ 82, 84, 86, 88, 90, 92 }
a) Notieren Sie die Menge A in aufzählender Form:
Menge A = {
82 , 86 , 90 , 94
}
b) Notieren Sie in aufzählender Form:
(1 P)
Menge A ∩ Menge B = { 82 , 86 , 90
c) Tragen Sie die Zahlen in das Venn- oder das Carolldiagramm ein.
(eines der beiden genügt)
A
A
B
(1 P)
}
(2 P)
B
15. a) Verwandeln Sie 65’000 Bogensekunden in Grad, Bogenminuten und Bogensekunden.
(1 P)
18° 3’ 20’’
b) Schreiben Sie 12 Stunden, 36 Minuten und 30 Sekunden als Dezimalzahl
von Stunden (auf 4 Dezimalen).
(2 P)
12, 6083 h
c) Rechnen Sie aus.
27h 16 min 42 s + 10 h 55 min 38 s = 38h 12min 20s
(2 P)
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Nummer: .........
16. Schreiben Sie eine entsprechende Gleichung auf und berechnen Sie die
unbekannten Zahlen.
a) Drei aufeinanderfolgende, natürliche Zahlen haben die Summe 477.
(3 P)
x + x + 1 + x + 2 = 477
3x
= 474
x = 158 ! 158 , 159 , 160
b) 75 % einer um 5 vergrösserten Zahl ist gleich der um 5 verkleinerten Zahl.
Wie heisst die Zahl?
(3 P)
!
=x–5
3x + 15 = 4x – 20 ---! 35 = x
(x+5)
!
Zahl: 35
17. Berechnen Sie diesen Term mit Hilfe des Taschenrechners (4 Dezimalen).
Notieren Sie Zwischenergebnisse.
(−12.5) ⋅
8.88 −12.72
(−8.4)
2
+172.16
(3 P)
= Zähler: -272.29 , 1905.125 Nenner: 242.72
= 7.8491
18. a) Ein Geldbetrag von Fr. 66'000.00 lag während 220 Tagen auf der Bank.
Wie gross ist der Marchzins bei einem Zinsfuss von 1.5%?
(2 P)
Fr. 605.b) Ein Bankkunde erhält Fr. 24’240.00 Marchzins.
Das Geld war 10 Monate bei einem Zinsfuss von 1.25% auf der Bank.
Wie viel Geld lag auf der Bank?
Jahreszins: Fr. 29088.- K = Fr. 2'327'040.-
(2 P)
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Nummer: .........
19. Vervollständigen Sie die untenstehende Tabelle.
Höhenunterschied
Horizontale
Länge
280 m
8000 m
400 m
2.37 km
(4 P)
Länge der
Schrägstrecke
Steigung
in Prozenten
auf 2 Dezimalen
3.5%
2.4 km
16.88%
Nicht 16.67 !
2
: 1.2 so, dass die Glieder nachher
5
möglichst kleine natürliche Zahlen sind.
20. a) Vereinfachen Sie das Verhältnis
(2 P)
1:3
b) Eine Geldsumme von Fr. 5320.00 wird im Verhältnis von 4 : 6 : 9 aufgeteilt.
Wie gross sind die Teilbeträge?
(2 P)
5320 : 19 = 280
---!
Fr. 1120 / 1680 / 2520
c) Zwei Zahlen x und y verhalten sich wie 5 : 3. Ihre Differenz beträgt 1000.
Berechnen Sie die beiden Zahlen.
(2 P)
2T = 1000
1T = 500
--! x = 2500
y = 1500
Seite 9