Skript_Analysis1_Weimar

Mitschrift zur Vorlesung
Analysis I
gehalten von
Dr. Markus Weimar
1
Dieses Dokument ist ein Projekt der Fachschaft Mathematik an der Universität Siegen.
Hierbei handelt es sich somit um kein offizielles Skript, sondern eine persönliche Mitschrift, an der noch gearbeitet wird.
Sollten Fehler auffallen, könnt Ihr euch an folgende E-Mail-Adresse (mailto:ella@fsr-math.
de) wenden.
Analysis I
im Wintersemester 2016/2017 an der Universität Siegen
Inhaltsverzeichnis
Griechisches Alphabet
I
Grundlagen und Notation
1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . .
1.2 Naive Mengenlehre . . . . . . . . .
1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
1.5 (Über-) Abzählbarkeit . . . . . . .
1.6 Körper . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Beschränktheit und Vollständigkeit
i
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1
. 1
. 4
. 6
. 7
. 10
. 13
. 16
II Zahlenbereiche
2.1 Natürliche und ganze Zahlen . . . . .
2.2 Rationale und reelle Zahlen . . . . .
2.2.1 Betrag und Abstand auf R . .
2.2.2 Q liegt dicht in R . . . . . . .
2.2.3 Wurzeln . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Intervalle und Umgebungen .
2.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . .
2.3.1 Normaldarstellung . . . . . .
2.3.2 Betrag und Abstand auf C . .
2.3.3 Polardarstellung . . . . . . . .
2.3.4 Wurzeln . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Polynome und ihre Nullstellen
2.4 Topologische Grundbegriffe . . . . .
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Literaturhinweise
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33
34
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i
Griechisches Alphabet
α
β
γ
δ
ε ()
ζ
η
ϑ (θ)
A Alpha
B Beta
Γ Gamma
∆ Delta
E Epsilon
Z Zeta
H Eta
Θ Theta
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π ($)
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
Iota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
ρ (%)
σ (ς)
τ
υ
ϕ (φ)
χ
ψ
ω
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Kapitel I
Grundlagen und Notation
1.1
Aussagenlogik
Definition 1.1.1. Seien A,B Aussagen.
Dann meint
•) ¬A
Nicht A / Das Gegenteil von A
(Negation)
•) A ∧ B
A und B
(Konjugation)
•) A ∨ B
A oder B oder beide
(Disjunktion)
•) A ⇒ B
aus A folgt B (auch B ⇐ A)
(Implikation)
•) A ⇔ B
A gilt genau dann, wenn B gilt /
aus A folgt B und umgekehrt
(Äquivalenz)
Bemerkung 1.1.2.
•) Aussagen sind logische Ausdrücke (entweder wahr oder falsch), z.b Heute ist Mon”
tag“, Alle Katzen sind grau“.
”
•) Ausdrücke in Def. 1.1.1 sind selbst wieder Aussagen
•) formale Definition über Wahrheitstafeln, z.B.
A
B
A∨B
A∧B
A
¬A
w
w
w
w
w
f
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
f
f
f
fw
oder Rückriff auf Bekanntes, z.B.
:⇔
(¬A) ∨ B
↑
wird def. durch“
”
A ⇔ B :⇔ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
A⇒B
•) Sprachreglung für A ⇒ B“: A ist hinreichend für B
”
B ist notwendig für A
1
2
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
Beispiel 1.1.3.
(i) Für A : x natürliche Zahl ∧ x2 − 3x + 2 = 0
B:x=1 ∨ x=2
gilt A ⇔ B
Beweis. B ⇒ A “: Einsetzen!
”
A ⇒ B “: 0 = x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) ⇒ x = 2 ∨ x = 2
”
(ii) Für Aussagen A, B gilt Kontraposition
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
z.B. A: Es regnet“
”
B: Es stehen Wolken am Himmel“
”
(Achtung: aus A ⇒ B folgt i.A. nicht B ⇒ A bzw. ¬A ⇒ ¬B! )
(iii) ¬(¬A) ⇔ A, z.B. A: Logik ist elegant“
”
(iv) aus (A ⇒ B) und B ⇒ C folgt A ⇒ C (Transitivität),
z.B.: A: Es regnet“, B: Wolken am Himmel“, C: Es ist kühl“
”
”
”
(v) Für ∨, ∧ gelten Kommutativ-/Assoziativ-/Distributiv-Gesetz und DeMorgansche
Regeln.
(vi) A ∧ ¬A immer wahr (Tautologie), genauso: B ⇒ B
Definition 1.1.4 (Quantoren). Es meint
•) ∀x :
für alle x gilt“
”
•) ∃x : es existiert (mind.) ein x, sodass“
”
•) es existiert genau ein x, sodass“
”
∃!x :
•) @x :
(auch
V
(auch
W
x
x
)
)
es existiert kein x, sodass“
”
Beispiel 1.1.5. Im Kontext natürlicher Zahlen gilt
(i) ∀x : x2 ≥ 0
(ii) ∃x : x2 − 3x + 2 = 0
(iii) ∃!x : (x − 1)2 = 0
(iv) @x : x2 ≤ 0
Bemerkung 1.1.6. Sei A(x) eine von x abhängige Aussage.
Dann:
(i) ¬(∀x : A(x))⇔∃x : ¬A(x), z.B. ∃y :
”
x
y
= 3“
(ii) @x : A(x) ⇔ ¬(∃x : A(x)) ⇔ ∀x : ¬A(x), z.B. x2 < 0“
”
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
3
Beweis-Prinzipien
:::::::::::::::::::::
für A ⇔ B “wobei A: bekannte (wahre) Aussage/Def./voraus.
”
B: neue/nicht-triviale Aussagen
•) direkt: zeige A ⇒ . . . ⇒ B und verwende Bsp.
•) indirekt: zeige ¬B ⇒ . . . ⇒ E (d.h. falsche Aussage)
(dann ist wegen f ⇒ bel.“insb. ¬B ⇒ ¬A wahr und damit nach Kontraposition
”
auch A ⇒ B )
Satz 1.1.8
Außerdem
•) Ringschluss für Äquivalenzen Bild
Bsp.1.1.3
•) Vgl. von Wahrheitstafeln (Logik)
Bsp. 1.1.5
•) für Existenz:
-) explizite Angabe/konstruktiv
Bsp. 1.1.5(ii)
-) probabilistische Methode “(hier nicht!)
”
•) für Eindeutigkeit: Wähle zwei Objekte mit fraglicher Eigenschaft und zeige Gleichheit (später)
•) vollständige Induktion (später)
•) Falsifikation durch Gegenbeispiel, z.B. ist Alle Studenten sind rothaarig“ falsch
”
(Beweis: umschauen)
•) Zerlegung in Teilbeweise
Bsp.1.1.3(i), Satz 1.1.8
Anschließend 2 nicht-triviale Beispiele:
Lemma 1.1.7. Sei n nat. Zahl. Dann gilt: n2 gerade ⇒ n gerade (d.h. n = 2k mit k nat.
Zahl)
Beweis. (Nutze Kontraposition)
n ungerade ⇒ n = 2k − 1 ⇒ n2 = 4k 2 − 4k + 1 ⇒ n2 ungerade
√
Satz 1.1.8. 2 ist irrational.
Beweis. (inderekt)
Annahme:
∃ ganze Zahlenp, q :
√⇒
2>0,
,
kürzen
quadrieren
√
2=
p
q
∃ teilerfremde natürliche Zahlena, b : 2 =
⇒ a2 = 2b2 , d.h.a2 gerade
⇒
Lemma 1.1.7
2
2
a2
b2
a gerade, d.h.
a = 2k ⇒ 2b2 = (2k)2 = 4k ⇒ b = 2k 2 , d.h
|:2
b gerade
2
⇒
Lemma 1.1.7
b gerade
E (a, b gerade aber teilerfremd) ⇒ Annahme falsch
Bemerkung. Problem: brauchten Konzepte wie nat., ganze, (un-)gerade Zahlen (gibt es
die Überhaupt? Lassen sich bekannte Rechenregeln formal beweisen?)
Später!
4
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.2
Naive Mengenlehre
Definition 1.2.1 (Gregor Cantor). M heißt Menge :⇔ M ist Zusammenfassung von
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten x unserer Anschauung oder unseres Denkens.
Ggf. heißt x Element von M (schreibe x ∈ M ).
Mengennotation:
1.) aufzählend, z.B. M1 := {1, 2} (hier z.B. 2 ∈ M )
2.) via Eigenschaft/logischer Ausdruck E(x)
z.B. M2 = {x| |x nat. Zahl{zmit x2 < 7}}
⇔E(x)
Bemerkung 1.2.2.
(i) Mengen gleich :⇔ alle Elemente gleich, z.B. M1 = M2
(insbesondere ungeordnet, wiederholungsfrei)
(ii) Mengen als Elemente sinnvoll, z.B. {{M o, . . . , F r}, {Sa, So}} =: Z
|
{z
=:A
} |
{z
=:W
}
als Menge von Zeiträumen mit A ∈ Z (nicht M o ∈ Z)!
(iii)
naiv “, da Def.1.2.1 problematisch, z.B. Russellsche Antinomie ( Barbier-Paradoxon“):
”
”
Für R := {x| x 6∈ x} gilt R ∈ R ⇔ R 6∈ R E d.h. R darf keine Menge sein! (für
gutartige“Mengen geht alles gut!)
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
”
(iv) Man schreibt (selbsterklärend)
M = {x ∈ X| . . .}, ∀x ∈ X : . . . , usw.
Definition 1.2.3. Seien A,B Mengen. Dann heißt die Menge
•) A ∪ B := {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Vereinigung von A und B
•) A ∩ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Schnitt von A und B
•) A \ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
Differenz, A ohne B
•) A × B := {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}
kartesisches Produkt von A und B
Weiter heißt A Teilmenge von B (bzw. B Obermenge von A, schreibe A ⊆ B oder B ⊇ A)
:⇔ ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Falls A ⊆ B heißt AC := B \ A Komplement von A und B
Schließlich nennt man
•) ∅ := { }
•) P := {X|X ⊆ A}
•) A ∩ B = ∅
Leere Menge
Potenzmenge von A
⇔: A und B disjunkt
Bemerkung 1.2.4.
•) Für A = ∅ und bel. Menge B ist A ⊆ B,
∀x ∈ A : . . . immer wahr,
∃x ∈ A : . . . immer falsch
•) Venn-Diagramm:
5
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
•) allgemeiner: I 6= ∅ (Index-)Menge, Ai Menge ∀i ∈ I
[
Ai := {x| ∃i ∈ I : x ∈ Ai }, z.B. A1 ∪ A2 für I = {1, 2}
i∈I
\
Ai := {x| ∀i ∈ I : x ∈ Ai }, z.B. A1 ∩ A2 ∩ A3 für I = {1, 2, 3}
i∈I
•) (a, b) geordnetes Paar mit (a, b) = (c, d) :⇔ a = c ∧ b = d
(i.A also (a, b) 6= (b, c) und damit A × B 6= B × A )
•) A ⊂ B (echte Teilmenge) :⇔ A ⊆ B ∧ A 6= B
Proposition 1.2.5. Für Mengen A, B gilt
(i) A = B ⇔ A ⊆ ∧ B ⊆ A
(ii) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A
Weiter gelten Kommutativ-/Assoziativ-/Distributivitätgesetze für ∪ und ∩
Beweis.
(i) A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Def. ⊆“
⇔”
∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
∧ ∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A)
⇔ ∀x : [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇐ x ∈ B)]
⇔
∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
⇔
A=B
Def. ⇔“
”
Def. =“
”
(ii) Nutze Def. 1.2.3
Rest: Nutze Bsp 1.1.3
Beispiel 1.2.6.
(i) Für (Achtung informell!):
N
:= {1, 2, 3, . . .}
N0 := {0} ∪ N = {0, 1, 2, . . .}
Z
:= N0 ∪ {−x|x ∈ N} = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}
Q
:= {x|∃p ∈ Z, q ∈ N : x = pq }
R
:= {±x|∃k ∈ N ∀i ∈ N ∃n ∈ {0, 1, . . . , 9} :
x = n1 n2 . . . , nn+k nk+2 . . .}
natürliche Zahlen
natürliche Zahlen mit 0
ganze Zahlen
rationale Zahlen
reelle Zahlen
(Darstellung als unendlicher Dezimalbruch)
R
:= R ∪ {−∞, ∞}
erweiterte reelle Zahlen
gilt
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ R (teste damit Prop. 1.2.5 (i)(ii)!)
(ii) M := {a, b, c} ⇒ P = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
und {a, b} ∩ {b, c} = {b}, {b} ∪ {a} = {a, b}, M \{a} = {b, c}
(iii) N2 := N × N = {(n, m)|n, m ∈ N} = {(1, 1), (1, 2), . . . , (2, 1), (2, 2) . . .}
6
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.3
Relationen
Definition 1.3.1.
(i) Seien A, B Mengen, a ∈ A, b ∈ B.
•) R heißt Relation auf A × B mit Graph GR
:⇔ GR ⊆ A × B
•) a steht in Relation R zu b (schreibe aRb)
:⇔ (a, b) ∈ GR
(ii) Für A = B heißt die Relation R
(1.) reflexiv
:⇔ xRx
∀x ∈ A
(2.) transitiv
:⇔ xRy ∧ yRz ⇒ xRz
∀x, y, z ∈ A
(3.) symmetrisch
:⇔ xRy ⇒ yRx
∀x, y ∈ A
(4.) antisymmetrisch
:⇔ xRy ∧ yRx ⇒ x = y
∀x, y ∈ A
(5.) total
:⇔ xRy ∨ yRx
∀x, y ∈ A
•) Quasi-Ordnung
:⇔ (1.) ∧ (2.) gilt
•) Halbordnung
:⇔ (1.) ∧ (2.) ∧ (4.) gilt
•) totale Ordnung
:⇔ (1.) ∧ (2.) ∧ (4.) ∧(5.) gilt
•) Äquivalenzrelation
:⇔ (1.) ∧ (2.) ∧ (3.) gilt
Beispiel 1.3.2.
(i) Max studiert Mathe
a ∈ A (R) b ∈ B
→ Relation studiert“auf A × B
”
(ii) Äquivalenzrelation =“ auf M × M mit M = {a, b, c}
”
totale Ordnung ≤“ auf Z × Z, z.B. (1, 2) ∈ G≤ , (7, −3) 6∈ G≤
”
Halbordnung ⊆“ auf P, z.B.({b}, {b, c}) ∈ B⊆
”
Quasi-Ordnung teilt“ auf Z × Z
”
Relation < “ auf N × N nicht reflexiv
”
Bemerkung 1.3.3. ∃ weitere Eigenschaften (z.B. Linkstotal“: ∀a∃b : aRb) und Zusam”
menhänge (z.B. total ⇒ reflexiv, Bew: y := x)
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.4
7
Abbildungen
Hauptstudienobjekt der Analysis
Definition 1.4.1. Seien X, Y Mengen
(i) ϕ heißt Abbildung zwischen X und Y / Funktion von X nach Y
(schreibe ϕ : X → Y, x 7→ y := ϕ(x))
(ii) Für x ∈ X, y ∈ Y mit y := ϕ(x) heißt
•) y Bild von x unter ϕ/ Wert von ϕ in x
•) x Urbild von y unter ϕ
(iii) Für A ⊆ X heißt ϕ(A) := {y ∈ Y |∃x ∈ A : y = ϕ(x)}
Bild von A unter ϕ
(iv) Wϕ := ϕ(X) ⊆ Y heißt Wertebereich von ϕ
(v) Für B ⊆ Y heißt ϕ−1 (B) := {x ∈ X|∃y ∈ B : y = ϕ(x)}
Urbild von B unter ϕ
(vi) Dϕ := ϕ−1 = Y heißt Definitionsbereich von ϕ
(vii) Gϕ := {(x, ϕ(x))| x ∈ X} ⊆ X × Y heißt Graph von ϕ
(viii) Für A ⊂ X heißt die Abbildung ϕ|A : A → Y mit ϕ|A (x) := ϕ(x ∀x ∈ A
Einschränkung von ϕ auf A
Definition 1.4.2. Seien ϕ : X → Y , ψ : A → B Abbildungen
(i) ϕ = ψ :⇔ X = A ∧ Y = B ∧ ∀x ∈ X : ϕ(x) = ψ(x)
(ii) Für Wψ ⊆ X ist die Verknüpfung ϕ◦ψ : A → Y definiert durch (ϕ◦ψ)(x) := ϕ(ψ(x))
Beispiel 1.4.3.
(i) f : R → R, f (x) = x2 ⇒ Wf = {x ∈ R|x ≥ 0}, f ({1, 2, 3}) = {1, 4, 9}
Für ϕ : N0 →, ϕ(x) := x2 ist ϕ 6= f aber ϕ = f |N0
(ii) idX : X → X, x 7→ idX (x) := x heißt Identität auf X
(iii) Bsp. 1.3.2 (i) definiert keine Funktion (2 Gründe!)
(iv) X: Zeitpunkt, Y : Messwerte, ϕ(x): Temperatur T zur Zeit x
(v) Bild
z.B. ψ : N → N0 = Wψ , ψ(x) = x − 1 und ϕ aus (i)
⇒ ϕ ◦ ψ : N → R, (ϕ ◦ ψ)(x) = (x − 1)2
Satz 1.4.4. Für Abbildungen f : W → X, g : X → Y, h : Y → Z ist deren Komposition
wohldefiniert und assoziativ, d.h.
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) als Abb. W → Z
Beweis. klar nach Def. 1.4.2(ii)
Definition 1.4.5. Eine Abbildung ϕ : X → Y heißt
8
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
(i) injektiv
:⇔ ∀x1 , x2 ∈ X : (ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ) ⇒ x1 = x2 )
(ii) surjektiv
:⇔ Wϕ = Y
(iii) bijektiv
:⇔ (i) ∧ (ii) gilt
Beispiel 1.4.6.
(i) f aus Bsp. 1.4.3 ist weder injektiv noch surjektiv
(ii) ϕ aus Bsp. 1.4.3 ist injektiv, nicht surjektiv
(iii) idX und ψ aus Bsp. 1.4.3 sind bijektiv
(iv) + : N0 × N0 →, (a, b) 7→ a + b ist surjektiv, nicht injektiv
Satz 1.4.7. Eine Abbildung ϕ : X → Y ist
(i) injektiv ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X : (x1 6= x2 ⇒ ϕ(x1 ) 6= ϕ(x2 ))
(ii) bijektiv ⇔ ∃ψ : Y → X : ψ ◦ ϕ = idX ∧ ϕ ◦ ψ = idX
Ggf. ist ψ eindeutig bestimmt
Beweis.
(i) klar nach Def. 1.4.4 nach Bsp 1.1.3(ii) (Kontraposition)
(ii) ::
⇒“: ϕ bijektiv ⇒ ϕ surj. ∧ inj.
”
⇒ ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : y = ϕ(x) ∧ x eindeutig, d.h x = xy
⇒ ψ : Y → X, y 7→ ψ(y) := xy erfüllt gewünschtes.
⇐“: zeigen: ϕ surjektiv ∧ injektiv
”::
• Ann: ϕ nicht surjektiv ⇒ Wϕ ⊂ Y
⇒ ∃ ỹ ∈ Y : ∀ x ∈ X : ϕ(x) 6= ỹ aber ỹ = idy (ỹ)
=
↑
ϕ◦ψ=idY
ϕ(ψ(ỹ)) E ⇒ ϕ surj.
| {z }
∈X
• Seien x1 , x2 ∈ X mit ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ) (∗)
⇒ x1 =
ψ(ϕ(x1 )) = ψ(ϕ(x2 )) = x2 ⇒ ϕ inj.
↑
ϕ◦ψ=idX
(∗)
Eindeutigkeit:
Sei auch τ : Y → X mit τ ◦ ϕ = idX ∧ ϕ ◦ τ = idY
::::::::::::::
⇒ ψ = ψ ◦ idY = ψ ◦ (ϕ ◦ τ ) = (ψ ◦ ϕ) = idX ◦ τ = τ
Satz 1.4.4
Definition 1.4.8. Ist ϕ bijektiv, so heißt ϕ−1 := ψ aus Satz 1.4.7 Inverse/Umkehrfunktion
von ϕ
Proposition 1.4.9. Für bijektive Abbildungen in ϕ : X → Y, ψ : Y → Z ist
(i) ϕ−1 : Y → X bijektiv mit (ϕ−1 )−1 = ϕ
(ii) ψ ◦ ϕ : X → Z bijektiv mit (ψ ◦ ϕ)−1 = ϕ−1 ◦ ψ −1 : Z → X
Beweis. Übung (Satz 1.4.7(ii) nutzen!)
Bemerkung 1.4.10.
(i) anschaulich:
Bild
(ii) geeignete
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
•) Wahl von Y erzwingt Surjektivität
•) Einschränkung auf A ⊆ X erzwingt Injektivität
(iii) ϕ : X → X bijektiv heißt Permutation von X
z.B.
X = {1, 2, 3} : ϕ1 = idX
ϕ2 : 1 7→ 1
2 7→ 3
3 7→ 2
9
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.5
10
(Über-) Abzählbarkeit
Definition 1.5.1.
(i) Mengen A, B heißen gleichmächtig (schreibe A ∼ B)
:⇔ ∃ϕ : A → B bijektiv
(ii) Menge M heißt
(1.) endlich :⇔ M = ∅ ∨ ∃n ∈ N : {1, 2, . . . n} ∼ M
(2.) abzählbar unendlich :⇔ N ∼ M
(3.) abzählbar :⇔ (1.) ∨ (2.)
(4.) überabzählbar :⇔ ¬ (3.)
(iii) Für M abzählbar heißt
card(M ) :=













0,
falls M = ∅
n,
falls M ∼ {1, . . . , 3} für n ∈ N
ℵ0 ,
falls M ∼ N
(auch |M | oder #M ) Kardinalität von M
Bemerkung 1.5.2. ∼ ist Äquivalenz-Relation auf Klasse aller Mengen. Insbesondere ist
n aus (1.) eindeutig bestimmt
Lemma 1.5.3. Für M 6= ∅ gilt:
(i) M abzählbar ⇔ ∃AM ⊆ N : AM ∼ M
(ii) M abzählbar ∧ L ⊆ M ⇒ L abzählbar
Beweis.
(i) ⇒“:
trivial, ⇐“:
vllt. später
”::
” ::
(ii) OBdA ∅ =
6 L 6= M
Setze 4 = M \ L ⇒ ∅ =
6 4 ⊂ M, M \ 4 = L.
Mit AM ⊆ N, Bijektion ϕM : AM → M aus (i),
definiere AL := AM \ ϕ−1
M (4) ⊂ DϕM ⊆ N
⇒ ϕL := ϕM |AL : AL → M \ 4L bijektiv, d.h. AL ∼ L
⇒ L abzählbar.
(i)
Proposition 1.5.4. N2 ∼ N
Beweis. Wählen ϕ : N → N × N bijektiv gemäß Cantorischem Diagonalverfahren“:
”
11
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1
N\N
2
3
(1, 1) -(1, 2)
1
4
(1, 3) -(1, 4)
...
...
(2, 1)
2
(2, 2)
(2, 3)
d.h. ϕ(1) := (1, 1)
ϕ(2) := (1, 2)
?
(3, 2)
(3, 1)
3
4
(4, 1)
...
...
?
Satz 1.5.5. I 6= ∅, abzählbar, Mi abzählbar ∀i ∈ I
⇒ V :=
S
i∈I
Mi abzählbar.
Beweis. OBdA V 6= ∅ ⇒ ∃x0 ∈ V
I abz.
∃J ⊆ N, ϕ : J → I bijektiv
⇒
Lemma1.5.3(i)
∀j ∈ J ist Mϕ(j) abz., d.h. ∃Aj ⊆ N, ϕj : Aj → Mϕ(j) bijektiv.
Setze ψ : N2 → V ,
ψ(j, k) :=



ϕj (k),


x0 ,
falls j ∈ J, k ∈ Aj (k-tes Element der j-ten Menge)
sonst
⇒ ψ surjektiv
⇒
Bem1.4.10(ii)
∃L ⊆ N2 : ψ : L → bijektiv, d.h. L ∼ V .
L
Prop. 1.5.4 ⇒ N2 abz.
⇒
Lemma1.5.3(ii)
L abz.
⇒
Bem1.5.2
Satz 1.5.6. N, N0 , Z, Q und alle endlichen karthesischen Produkte aus ihnen sind abzählbar unendliche Mengen und damit insbesondere gleichmächtig.
Beweis.
•) Sei M ∈ {N, N0 , Z, Q}
⇒ 1.) M abz.
(M = N : wegen ϕ = idN in Def 1.5.1)
Rest: als abz. Vereinigung nach Def. 1.5.1
p
N0 = N ∪ {0}, Z = N0 ∪ {−n|n ∈ N}, Q =
|p ∈ Z
n∈N n
|
{z
}
S
∼Z
12
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
2.) ∀n ∈ N : {1, 2, . . . , n + 1} ⊆ M
⇒ M nicht endlich
⇒ M abzählbar unendlich
•) Für endl. Produkt M1 × . . . × Mk nutze Cantor-Diagonlverfahren(Bew. Prop.1.5.4).
Satz 1.5.7. Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen liegen überabzählbar viele weiter.
Beweis. gzz.: M := {0, n1 n2 n3 . . . |nj ∈ {0, 1}} überabzählbar.
Inderekt mittels Cantors zweitem Diagonalargoment:
Annahme: M abzählbar M = {a1 , a2 , . . .} mit
a1 = 0, a11 a12 a13 a14 . . .
a2 = 0, a21 a22 a23 . . .
wobei aij ∈ {0, 1}
a3 = 0, a31 a22 a23 . . .
...
Setze b := 0, b1 b2 b3 . . . mit bj :=



0, falls ajj = 1
1, falls ajj = 0
⇒ b ∈ M , aber b 6= aj ∀j ∈ N E M nicht abzählbar.


Folgerung 1.5.8. R und R \ Q sind überabzählbar
Beweis.
•) R abzählbar, (0, 1) := {x ∈ R|0 < x < 1} ⊆ R
•) R \ Q abzählbar
⇒
Satz1.5.5,
Satz1.5.6
⇒
Lem.1.5.3(ii)
R = (R \ Q) ∪ Q abzählbar E
Beispiel 1.5.9.
•) Wie in Satz 1.5.7 zeigt man: P(N) überabzählbar
•) (0, 1) ∼ R wegen ϕ(x) :=
1
1−x
−
1
x
•) N ∼ {2n|n ∈ N} wegen ϕ(n) := 2n
(0, 1) abzählbar E
13
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.6
Körper
Definition 1.6.1. Eine Menge K zusammen mit den Abbildungen
+ : K × K → K, (x, y) 7→ x + y
(Addition)
· : K × K → K, (x, y) 7→ x · y
(Multiplikation)
heißt Körper :⇔
(A1) ∀x, y, z ∈ K : x + (y + z) = (x + y) + z
(+ ist assoziativ)
(A2) ∀x, y ∈ K : x + y = y + x
(+ ist kommutativ)
(A3) ∃0 ∈ K∀x ∈ K : x + 0 = x
(∃ Null)
(A4) ∀x ∈ K∃(−x) ∈ K : x + (−x) = 0
(∃ additive Inverse)
(M1) ∀x, y, z ∈ K : x(yz) = (xy)z
(· ist assoziativ)
(M2) ∀x, y ∈ K : xy = yx
(· ist kommutativ)
(M3) ∃1 ∈ K \ {0} ∀x ∈ K : x · 1 = x
(M4) ∀x ∈ K \ {0} ∃
1
x
∈K:x·
1
x
=1
(∃ Eins)
(∃ multiplikative Inverse)
(D) ∀x, y, z ∈ K : x(x + y) = xy + xz
(Distributiv-Gesetz)
Beispiel 1.6.2.
(i) K ∈ {R, Q} mit üblicher Addition und Multiplikation sind Körper, K ∈ {N, N0 , Z}
aber nicht!
(ii) K = F2 := {0, 1} mit
⊕ 0 1 und 0 1
0 0 1
0 0 0
1 1 0
1 0 1
Bemerkung 1.6.3. Notation −x, x1 zunächst nur symbolisch.
(beachte: in F) ist 1 ⊕ 1 = 0 und damit 1 = 1
Eigenschaften und Auswahl an Rechenregeln:
Satz 1.6.4. Sei K mit +, · Körper. Dann
(i) Äquivalenz-Umformungen:
∀x, y, z ∈ K : x = y ⇔ x + y = y + z
∀x, y ∈ K, z ∈ K \ {0} : x = y ⇔ xy = yz
(ii) 0 und 1 sind eindeutig bestimmt
(iii) Additive und multiplikative Inverse sind jeweils eindeutig bestimmt
(iv)
∀x ∈ K : −(−x) = x
1
∀x ∈ K \ {0} : 1 = x
x
(v) Nullteilerfreiheit: ∀x, y ∈ K : xy = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0
14
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
Beweis. (Exemplarisch, Rest Übung)
(i) für +: Seien x, y, z ∈ K
⇒“: x + y =
y+z
↑
”::
x=y
⇐“: x = x + y = x + (z + (−z)) = (x + z) + (−z)
”::
(A3)
(A4)
(A1)
= (y + z) + (−z) = y + (z + (−z)) = y + 0 = y
x+y=y+z
(A1)
(A4)
(A3)
(ii) für · : (M 3) gelte für 1, 10 ∈ K
⇒ 10 = 10 · 1 = 1 · 10 = 1
M2
(M 3)
für 1
(M 3)
für 10
(iv) für +: Sei x ∈ K ⇒ ∃(−x) ∈ K ⇒ ∃(−(−x)) ∈ K und
(A4)
(A4)
(−(x)) + (−x) = (−x) + (−(−x))
(A2)
⇒ −(−x) = x
=
(A4)
für (−x)
0 = x + (−x)
(A4)
für x
(i)
(v) Seien x, y ∈ K.
⇐“: Sei x = 0 (y = 0 analog)
”::
0y + 0y = (0 + 0)y = 0y = 0y + 0 = 0 + 0y ⇒ 0y = 0 (∗)
D
(A3)
(A3)
(A2)
(i)
⇒“: Sei xy = 0.
”::
Fall x = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0 Fall x 6= 0 ⇒ y = y · 1 = y x x1 = (yx) x1
(M 3)
M4
= (xy) x1 = 0 ·
(M 2)
xy=0
(M 2)
1
=0
x (∗)
Bemerkung 1.6.5. Wegen Satz 1.6.4 sind
− : K × K → K,
(x, y) 7→ x − y := x + (−y)
x
1
(x, y) 7→ := x ·
y
y
÷ : K × K \ {0} → K,
in jedem Körper K (mit +, −) wohldefiniert und erfüllt die üblichen Rechenregeln (z.B.
a
± dc = ad±bc
)
b
bd
Definition 1.6.6. Sei K mit +, · ein Körper und ≤ eine totale Ordnung auf K × K. Dann
heißt K durch ≤ angeordnet :⇔ ∀x, y, z ∈ K
O1 x < y ⇒ x + z < y + z
O2 x < y ∨ 0 < z ⇒ xz < yz
wobei a < b. ⇔ (a ≤ b) ∨ (a 6= b) für a, b ∈ K
Satz 1.6.7. Ist K durch ≤ angeordnet, so gilt
(i) ∀x, y ∈ K genau eine der Bezeichnungen
x < y,
x = y,
x>y
(Trichotomie)
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
(ii) ∀x ∈ K \ {0} :
1
x
15
> 0 ⇔ x > 0 ⇔ 0 > −x
(iii) ∀x, y, z ∈ K : x < y ⇔ x + z < y + z,



∀x, y ∈ K, z ∈ K \ {0} : x < y ⇔ 

xz < yz, falls z > 0
xz > yz, falls z < 0
(iv) ∀x ∈ K \ {0} : x2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0
(Äquivalenz-Umformung)
Beispiel 1.6.8.
(i) R, Q
(ii) F E (denn 0 < 1 = 1 ⊕ 0 < 1 ⊕ 1 = 0 d.h. 0 < 0 ⇒ 0 ≤ 0 ∨ 0 6== 0 E)
Bemerkung 1.6.9.
(i) Sehen in Bsp.1.6.8(ii): Jeder angeordneter Körper enthält (Modell von) N und damit
auch (N0 ,Z und) Q als Teilmenge
(ii) Wegen Satz 1.6.4(i) gilt Satz1.6.7(iii) auch für ≤“
”
Definition 1.6.10. Sei K mit +, · Körper. Ist L ⊆ K mit 0, 1 ∈ L bzgl. der auf L
eingeschränkten Abbildungen +, · selbst ein Körper, so heißt L Teilkörper von K und K
Oberkörper von L.
Beispiel 1.6.11.
(i) Q Teilkörper von R (nach Bem. 1.6.9 kleinster“)
”
(ii) F2 kein Teilkörper von Q, da anderes ⊕, (iii) Z kein Teilkörper von R, da kein Körper
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.7
16
Beschränktheit und Vollständigkeit
Definition 1.7.1. Sei K ein durch ≤ angeordneter Körper, M ⊆ K und s ∈ K. Dann
heißt
(i) M nach oben beschränkt :⇔ Für Mengen aller oberen Schranken von M in K,
O(M ) := {s ∈ K|∀x ∈ M : x ≤ s}
gilt O =
6 ∅
(ii) s Supremum von M in K (s = sup M )
:⇔ s ∈ O(M ) ∧ ∀t ∈ O(M ) : s ≤ t
(iii) s Maximum von M (s = max M ) :↔ s = sup M ∧ s ∈ M
Bemerkung 1.7.2. sup M ( kleinste obere Schranke“) ist eindeutig bestimmt, falls es
”
existiert.
Beispiel 1.7.3. Sei K ∈ {R, Q} mit üblicher Ordnung
(i) M1 := {x ∈ K|x > 0} nicht nach oben beschränkt, @ sup, max
(ii) M2 := {x ∈ K|x < 1} ist nach oben beschränkt, s = sup M2 = 1, @ max M2
(iii) M3 := {x ∈ K|x ≤ 1} ist nicht nach oben beschränkt, s = sup M3 = max M3 = 1
Satz 1.7.4. Sei K angeordneter Körper, M ⊆ K, s ∈ K. Dann
s = sup M ⇔ (1.)s ≥ x ∀x ∈ M
(2.)∀ε ∈ K mit ε > 0 ∃xε ∈ M : xε > s − ε
Beweis. Wegen (1) ⇔ s ∈ O gzz.: (2) ⇔ ∀t ∈ O(M ) : s ≤ t
⇒“: Annahme: ∃t ∈ O(M ) : s > t
”::
⇒ ε := s − t ∈ K, ε > 0
⇒ ∃xε ∈ M : xε > s − ε = t E zu t ∈ O(m)
(2)
⇐“: Annahme: ∃ε ∈ K mit ε > 0, sodass ∀x ∈ M : x ≤ s − ε
”::
⇒ t := s − ε ∈ O(m) und t < s E zu s ≤ t
Bemerkung 1.7.5.
(i) Analog zu Def. 1.7.1 definiert man für Teilmengen angeordneter Körper Infimum
(Minimum) als größte unter Schranke (in M ).
Satz ?? gilt entsprechend.
(ii) M ⊆ K heißt beschränkt :⇔ M nach oben und unten beschränkt
Proposition 1.7.6. Sei K angeordneter Körper und A, B ⊆ K. Dann gilt (sofern die
Infima/Suprema jeweils existieren)
(i) inf A ≤ sup A
(ii) A ⊆ B ⇒ inf B ≤ inf A und sup A ≤ sup B
17
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
(iii) inf(A ∪ B) = inf{inf A, inf B} und
sup(A ∪ B) = sup{sup A, sup B}
(iv) A ∩ B 6= ∅ ⇒ inf(A ∩ B) ≥ sup{inf A, inf B}
und sup(A ∩ B) ≤ inf{sup A, sup B}
Bemerkung 1.7.7. Unterschied zwischen Q und R?
M := {x ∈ K|0 < x ∧ x2 < 2} ist beschränkt, aber nur für K = R existiert supm ∈ K
Definition 1.7.8. Sei K ein durch ≤ angeordneter Körper.
K heißt vollständig :⇔ ∀M ⊆ K mit M 6= ∅ und M nach oben beschränkt ∃ sup M ∈ K
Beispiel 1.7.9. R vollständig, Q nicht.
Satz 1.7.10. Sei K ein durch ≤ angeordneter Körper. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
(1.) K ist vollständig
(2.) ∀ ⊆ K mit L 6= ∅ und L nach unten beschränkt ∃ inf M
(3.) Sind A, B ⊆ K, sodass A, B 6= ∅ und ∀(a, b) ∈ A × B a ≤ b
Beweis. Ringschluss
(1) ⇒ (2): Zu L ⊆ K betrachte ML := {−x ∈ K | x ∈ L}
⇒ x ∈ L : (x ≥ t ⇔ −x ≤ −t)
(∗)
ML 6= ∅, nach oben beschränkt (da L nach unten beschränkt)
⇒ ∃s = sup ML ∈ K ⇒ −s = inf L
::::::::::
(1)
(∗), t:=−s
(2) ⇒ (3): Nach Voraussetzung ist B nach unten (durch jedes a ∈ A) beschränkt.
::::::::::
∃c := inf B ∈ K
⇒ ∀(a, b) ∈ A × B
a
≤
größte
untere Schranke
c
≤
⇒
(2)
b
unter Schranke
(3)
⇒ (1) : Sei M ⊆ K mit M 6= ∅ und M nach oben beschränkt.
::::::::::
Setze A := M , B := {b ∈ K | ∀a ∈ A : a ≤ b}
⇒ B = O(A), A, B 6= ∅, ∀(a, b) ∈ A × B : a ≤ b
⇒ ∃c ∈ K : ∀(a, b) ∈ A × B : a ≤ c ≤ b
(3)
⇒ c = sup A
Def.
Hauptsatz 1.7.11.
(i) Es existiert ein vollständiger, durch eine Relation ≤ angeordneter Körper R mit
entsprechenden Abbildungen + und · .
(ii) R ist (im Wesentlichen) eindeutig bestimmt.
Definition 1.7.12. Man nennt R den Körper der reellen Zahlen.
Kapitel II
Zahlenbereiche
R (inklusive +, ·, ≤) ist durch Def. 1.7.12 gegeben!
2.1
Natürliche und ganze Zahlen
Definition 2.1.1.
(i) M ⊆ R heißt induktiv (schreibe M ∈ I) :⇔
1 ∈ M und x ∈ M ⇒ x + 1 ∈ M .
(ii) N :=
T
M ∈I
M heißt Menge der natürlichen Zahlen.
Bemerkung 2.1.2.
•) ∃ induktive Menge, z.B. R selbst,
•) N formal exakt als kleinste induktive Menge.
Satz 2.1.3. n ∈ N ⇒ @x ∈ N : n < x < x + 1
Beweis. Setze M := {1, 2, 2, . . . , n} ∪ {x ∈ R| x ≥ n + 1}
⇒ M induktiv, insbesondere ist N ⊆ M
Annahme: ∃x ∈ N : n < x < n + 1
⇒x∈M ⇒x≤n ∨ x≥n+1 E
Folgerung 2.1.4 (Vollständige Induktion). Sei M ⊆ N induktiv, also
(IA) 1 ∈ M
(IS) x ∈ M ⇒ x + 1 ∈ M
( Induktions-Anfang“)
”
( Induktions-Schritt“)
”
Dann gilt M = N
Beweis. M ⊆ N nach Voraussetzung, N ⊆ M nach Def. 2.1.1.
Satz 2.1.5 (Wohlordnungsprinzip). Sei A ⊆ N mit A 6= ∅ ⇒ ∃ min A
Beweis. Annahme: @ min A
Setze M := {m ∈ N | ∀a ∈ A : m < a}
(IA):
1 ∈ M (denn 1 ∈ M ⇒ ∃a∗ ∈ A ⊆ N : 1 ≥ a∗
::::
⇒ a∗ = 1 ⇒ a∗ = min A E)
18
19
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
(IS):
Sei m ∈ M
::::
⇒ ∀a ∈ A : m + 1 ≤ a (denn sonst ∃a∗ ∈ A ≤ : m < a∗ < m + 1 E)
↑
m∈M
⇒ ∀ ∈ A : m + 1 < a (denn sonst m + 1 ∈ A ∧ ∀a ∈ A : m + 1 ≤ a,
d.h. m + 1 = min A E)
⇒ m+1∈M
⇒ M =N
F olg.2.1.4
Wegen ∅ =
6 A ⊆ N = M gibt es also a∗ ∈ A mit a∗ ∈ M , d.h. a∗ < a∗ . E
Bemerkung 2.1.6. Mit N0 := N ∪ {0}, Z := N0 ∪ {−n| n ∈ N} wie bisher folgt:
A ⊆ Z, A 6= ∅, A nach unten (oben) beschränkt
⇒ ∃ min A (max A)
Insbesondere ist für x ∈ R
bxc := max{a ∈ Z | a ≤ x}
dxe := min{b ∈ Z | x ≤ b}
wohldefiniert.
Induktive (rekursive) Definition.
Definition 2.1.7. Sei K ein Körper, ∅ =
6 M ⊆K
(i) Die Abbildung f : N → M, j 7→ aj := f (j) heißt Folge in M und man schreibt
a := (aj )j∈N = (aj )∞
j=1 ⊂ M
(ii) Für a = (aj )j∈N ⊂ M setzt man
0
X
aj = 0
und
n+1
X
j=1
j=1
0
Y
n+1
Y
aj = 1
und
j=1

aj := 
n
X

aj  + an+1
für n ∈ N0
j=1

aj := 
n
Y

für n ∈ N0
aj  · an+1
j=1
j=1
Bemerkung 2.1.8.
(i) Formal exakte Definition von a = (a1 , a2 , . . .),
Qn
j=1 aj = a1 · a2 · . . . · an
Pn
j=1
aj = a1 + a2 + . . . + an und
(ii) allgemeiner für n, m ∈ Z: Folgen a = (aj )∞
j=m = (am , am+1 , . . .) und Summen bzw.
Produkte mittels Indexverschiebung“
”
n
X
j=m
(iii)
P Q
,
Beweis.
n
X
aj :=







0
,n < m




n−m+1
P

aj+m−1 , n ≥ m 

j=1
,
n
Y
aj :=
j=m







erfüllen Assoziativ- und Kommutativ-Gesetz.
(i) (IA):
A(n) gilt für n = 1, denn
::::
(bj+1 − bj ) =
j=1
n=1
1
X
(bj+1 − bj ) = b2 − b1 = bn+1 − b1
j=1
n=1
1
n−m+1
Q
j=1
,n < m





aj+m−1 , n ≥ m 

20
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
(IS):
(IV): A(n) gelte für ein n ∈ N
::::
⇒ A(n + 1) gilt, denn

n+1
X
(bj+1 − bj )
j=1
=P 
Def.
n
X

(bj+1 − bj ) + (b(n+1)+1 − bj )
j=1
|
{z
}
= bn+1 −b1
(IV)
= b(n+1)+1 − b1
(ii) (IA):
::::
(IS):
::::
n
X
1
P
j=1
j=
1·(1+1)
2
j + (n + 1) =
(IV)
j=1
n(n + 1) 2(n + 1)
+
2
2
(n + 1) ((n + 1) + 1)
(n + 2)(n + 1)
=
2
2
=
Induktive
Beweise(allgemeines Schema)
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Behauptung: Aussage A(n) gilt für jedes n ∈ N
Beweis.
(IA)zeige:
A(1) gilt (d.h. 1 ∈ M := {n ∈ M | A(n) gilt})
::::
(IS)
Induktions-Voraussetzung (IV): Es gelte A(n) für ein n ∈ N (d.h. sie n ∈ M )
::::
Zeige: A(n + 1) gilt (d.h. n + 1 ∈ M )
⇒ Beh. (denn M = N)
F olg.2.1.3
Beispiel 2.1.9.
(i) Teleskop-Summe:
Sei b = (bj )j∈N ⊂ R. Dann gilt: ∀n ∈ N :
n
X
(bj+1 − bj ) = bn+1 − b1
j=1
|
(ii) ∀n ∈ N :
Beweis.
n
P
j=
j=1
{z
=A(n)
}
n(n+1)
2
(i) (IA):
A(n) gilt für n = 1, denn
::::
n
X
(bj+1 − bj ) =
1
X
n=1
j=1
(bj+1 − bj ) = b2 − b1 = bn+1 − b1
j=1
n=1
Def. 2.1.7 ermöglicht weitere nützliche Definitionen:
Definition 2.1.10. Sei K ein Körper, x ∈ K, und n, k ∈ N0 mit k ≤ n
(i) Man setzt xn :=
n
Q
(n -fache Potenz)
x
j=1
und falls x 6= 0, n ∈ N: x−n :=
1
x
21
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
(ii) n! :=
(iii)
n
k
n
Q
(n Fakultät)
j
j=1
=
(Binomialkoeffizient, n über k)
n!
k!(n−k)!
Bemerkung 2.1.11.
(i) beachte: x0 = 1 (auch für x = 0)
(ii) anschaulich: xn = x · . . . · (n mal), n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1, 0! = 1
(iii) einfache Rechenregeln:
n
n
=1=
für n ∈ N0
0
n
n
n(n − 1)!
=n
für n ∈ N
=
1
1(n − 1)!
n
n
=
für n ∈ N
k
n−k
n
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1) n(n − 1) . . . (n − (k − 1) + 1) k
+
=
+
k
k−1
k!
(k − 1)!
k
n(n − 1) . . . (n − (k − 1) + 1)
· (n
− k {z
+ 1 + k})
=
|
k!
=n+1
(n + 1)((n + 1) − 1) . . . ((n + 1) − k + 1)
n+1
=
=
k!
k
für n, k ∈ N mit k ≤ n
(iv) Potenzgesetze:
x, y ∈ K, r, s ∈ K ⇒ xrs = (xr )s , (xy)r = xr y r , xr+s = xr xs (sofern wohldefiniert)
(v) Kombinatorik:
M endliche Menge, n := |M |
⇒ Es gibt genau
n! Permutationen (ϕ : M → M bijektiv) von M
und genau nk Teilmengen mit genau k ≤ n Elementen
Anwendung: wichtige Gleichungen.
Satz 2.1.12. Sei K ein Körper, a, b ∈ K, n ∈ N0 . Dann gilt:
(i) (a + b)n =
(ii)
n
P



ak = 

k=0
Beweis.
n P
n
ak bn−k
k=0
(Binomischer Lehrsatz)
k
n+1
, falls a = 1
(geometrische Summe)
an+1 − 1 , sonst
(i) Induktion nach n.
(IA):
n = 0 : (a + b)0 = 1 =
::::
0
0
a0 b 0 =
(IA):
(i) gelte für ein n ∈ N0
::::
⇒ (a + b)n+1
=
Bem. 2.1.11(iv)
= (a + b)
=
k=0
k
(a + b)n
(IV)
"
0 P
0
ak b0−k
n
X
k=0
!
n k n−k
a b
k
X
n n+1 n−1
a
+
ak+1 bn−k
n
k=0
!
#
22
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
Bemerkung 2.1.13. Es folgt unmittelbar:
(i)
(ii)
n P
k=0
n
k
n P
n
k=0
k
(−1)k =



1 , falls n = 0


0 , falls n ∈ N
= 2n , n ∈ N0 ,
(Insbesondere: |P(M )| = 2|M | für endliche Mengen M )
(iii) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = ↑ a2 + 2↑ ab + ↑ b2
(22)=1
(21)=2
(20)=1
Satz 2.1.14. Sei K durch ≤ angeordneter Körper und
(i) a ∈ K mit a ≥ −1, n ∈ N0
⇒ (1 + a)n ≥ 1 + na
(Bernoulli-Ungleichung)
(ii) (aj )j ⊂ K Folge in !
K, mit aj ≥ 0 ∀ j, n ∈ N
n
n
n
Q
1 P
aj ≤ n aj
⇒
j=1
(AGM-Ungleichung)
j=1
Bemerkung. AGM“ wegen äquivalenter Form:
”

1
aj
n j=1
≥
arithmetisches Mittel
≥
n
X
n
Y

1
n
aj 
j=1
geometrisches Mittel
23
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.2
Rationale und reelle Zahlen
2.2.1
Betrag und Abstand auf R
Definition 2.2.1. Für x, y ∈ K heißt







x
, falls x > 0
(i) |x| :=  0












Betrag von x
, falls x = 0 




−x falls x < 0 
(ii) d(x, y) := |x − y|
Abstand von x und y
Satz 2.2.2.
(i) | · | : R → R und ∀x, y ∈ R:
(N1) |x| ≥ 0
(Nichtnegativität)
(N2) |x| = 0 ⇔ x = 0
(Definitheit)
(N3) |xy| = |x||y|
(absolute Homoginität)
(N4) |x + y| ≤ |x| + |y|
(Dreiecks-Ungleichung)
Außerdem ist für a ≥ 0
|x| ≤⇔ −a ≤ x ≤ a
Insbesondere also | − x| = |x| und −|x| ≤ x ≤ |x|
(ii) d : R × R → R und ∀x, y, z ∈ R:
(D1) d(x, y) ≥ 0
(Nichtnegativ)
(D2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(Definitheit)
(D3) d(x, y) = d(y, x)
(Symmetrie)
(D4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
(Dreiecks-Ungleichung)
Bemerkung. (N1)-(N4) definieren Norm“
”
(D1)-(D4) definieren Metrik“
”
Folgerung 2.2.3. Es gilt:
(i) für x, y ∈ R und ε > 0. |x − y| < ε ⇔ −ε < x − y < ε ⇔ y − ε < x < y + ε
(≤)
(≤)
(ii) für x, y ∈ R
|x| − |y|| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y|
(iii) M ⊆ R beschränkt ⇔ ∃ s ≥ 0 : ∀x ∈ M : |x| ≤ s
(≤)
(≤)
(≤)
24
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.2.2
Q liegt dicht in R
Definition 2.2.4.
Q :=
\
L rationale Zahlen
L⊆R
Teilmenge
Bemerkung 2.2.5. Man zeigt leicht: Q = {x ∈ R| ∃p ∈ Z, n ∈ N : x = np }
Satz 2.2.6. ∀a, b ∈ R mit a < b ∃x ∈ Q : a < x < b
Folgerung 2.2.7. ∀x ∈ R, ε > 0 : ∃q ∈ Q : d(q, x) < ε
25
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.2.3
Wurzeln
Lemma 2.2.8. ∀n ∈ N, b ∈ R mit b > 1 ∃q ∈ Q, so dass q > 1 und 1 < q n < b.
Satz 2.2.9. ∀n ∈ N, a ∈ R mit a ≥ 0 ∃! x ∈ R, so dass x ≥ 0 und xn = a.
Definition 2.2.10. Für a ≥ 0 und √
n ∈ N heißt x ≥√0 mit√xn = a aus Satz 2.2.9 n-te
1
Wurzel von a und man schreibt x = n a = a n (sowie a = 2 a).
Bemerkung 2.2.11.
(i) Beweis von Satz 2.2.9 zeigt:
1
a n = sup{q ∈ Q| q ≥ 0, q n ≤ a}
(ii) Für a ≥ 0 gibt es i.A. n Lösungen von xn = a (z.B. x2 = 9 ⇔ x = 3 ∨ x = 1),
aber stets nur genau eine in {x ∈ R| x ≥ 0} von
√
(iii) Für a < 0 ist n a (bisher) nicht erklärt!
(iv) Nun auch Potenzen von a ≥ 0 mit Exponenten q ∈ Q wohldefiniert
aq :=
 1 m


an





, falls q =




1 m


 a n1
, falls q = − m
mit n, m ∈ N und a 6= 0
n
1
m
n
mit n, m ∈ N
, falls q = 0
(insbesondere unabhängig von der Darstellung von q ∈ Q)
und es gelten die üblichen Potenzgesetze:
a, b > 0, r, s ∈ Q ⇒ ars = (ar )s , (ab)r = ar br , ar+s = ar as
(vgl. Bem 2.1.11(4), )
Weitere Anwendung: R \ Q liegt dicht in R
Satz 2.2.12. ∀a, b ∈ R mit a < b ∃x ∈ R \ Q : a < x < b
26
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.2.4
Intervalle und Umgebungen
Wichtige spezielle Teilmengen von R
Definition 2.2.13.
(i) ∅ =
6 I ⊆ R heißt Intervall :⇔
∀a, b ∈ R : a < b < b ⇒ x ∈ I
(ii) Für a, b ∈ R mit a < b heißt
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}
bzw. analog (a, b]
abgeschlossenes Intervall
offenes Intervall
halboffenes Intervall
(iii) Analog definiert man für a, b ∈ R unbeschränkte Intervalle (−∞, b] := {x ∈ R | x ≤
b}, sowie (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞) und (−∞, ∞)
(iv) Für a ∈ R und ε ≥ 0 heißt
Uε := {x ∈ R | |x − a| < ε}
Epsilon-Umgebung von a
Bemerkung 2.2.14.
(i) Alle in Def. 2.2.13 sind Intervalle gemäß (i). Insbesondere auch R = (−∞, ∞) und
Uε = (a − ε, a + ε).
(Folg. 2.2.3)
(ii) Mengen in (ii), (iv) beschränkt gemäß Bem. 1.7.5, in (iii) unbeschränkt.
(iii) Visualisierung Bild
27
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.3
Komplexe Zahlen
@x ∈ R ; x2 = −1 (da x ∈ R ⇒ x2 ≥ 0 > −1)
Suche Zahlenbereichserweiterung, die alle reellen Zahlen enthält, Körperaxiome erfüllt
(⇒ bekannte Rechenregeln sichert) und Lösbarkeit solcher Gleichungen garantiert bisher
Zahlengerade Bild (bereits vollständig, d.h. ohne Lücken “).
”
Jetzt zusätzliche Dimension“; Gauß’sche Zahlenebene. Bild
”
2.3.1
Normaldarstellung
Definition 2.3.1.
(i) Für x, y ∈ R heißt z = (x, y) komplexe Zahl mit Realteil Re(z) := x und Imaginärteil
Im((z)) := y
(ii) C = {z = (x, y) | x, y ∈ R} heißt Menge der komplexen Zahlen
(iii) i := (0, 1) ∈ C heißt imaginäre Einheit
(iv) Man nennt die Abbildungen
+: C×C→C
(z, w) 7→ z + w := (Re(z) + Re(w), Im(z) + Im(w))
·: C×C→C
(z, w) 7→ zw := (Re(z)Re(w) − Im(z)Im(w), Re(z)Im(w) + Im(z)Re(w))
Addition bzw. Multiplikation auf C
und
:C→C
z 7→ z := (Re(z), −Im(z))
heißt Konjugation auf C
Bemerkung 2.3.2.
(i) Darstellung von z ∈ C als geordnete Paare (x, y) ∈ R × R, d.h. Koordinaten in der
Ebene. Bild
Insbesondere sind Re(z) = x und Im(z) = y für z = (x, y) stets reelle Zahlen!
(ii) C enthält R als {z = (x, y) ∈ C | y = 0} =: R0 und man vereinbart die Schreibweise
(x, 0) =: x falls x ∈ C ∩ R0 .
Legitim, da
x + u = (x, 0) + (u, 0) = (x + u, 0) = x + u,
xu = (x, 0)(u, 0) = (xu, 0) = xu
d.h. +|R×R und ·|R×R sind gewöhnliche Addition/Multiplikation auf R.
(iii) Wegen
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0) (nach Konvention)
| {z }
=x
| {z } | {z }
=i
=y
schreibt man auch
z = x + iy = Re(z) + iIm(z)
( Normaldarstellung“)
”
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
(iv) Physiker schreiben j statt i für (0, 1) ∈ C
(v) Es gilt
i2 = i · i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1
d.h. z = i löst z 2 = −1 in C (ebenso z = −i)
(vi) + entspricht Vektoraddition und ( ) entspricht Spiegelung an reeller Achse.
Bild
Satz 2.3.3. C mit +, · aus Def. 2.3.1 ist ein Körper und enthält R als Teilkörper.
Es gelten nützliche Regeln bzgl. Konjugation:
Proposition 2.3.4. Für z, w ∈ C gilt:
(i) (z) und
1
z
=
1
z̄
(falls sz 6= 0), −z = −z
(ii) z + w = z + w
(iii) zz = Re(z)2 + Im(z)2 ∈ R
(iv) z ∈ R ⇔ z = z und z ∈ {iy ∈ C | y ∈ R} ⇔ z = −z
(v) z + z = 2Re(z) ∈ R und
z − z = i2Im(z) ∈ {iy ∈ C | y ∈ R}
Satz 2.3.5. C kann nicht angeordnet werden.
28
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.3.2
29
Betrag und Abstand auf C
Definition 2.3.6. Für z, w ∈ C und ε > 0 heißt
(i) |z| :=
q
Re(z)2 + Im(z)2
(ii) d(z, w) := |z − w|
(iii) Uε = {x ∈ C | |z − w| < ε}
Betrag von z
Abstand von z und w
ε-Umgebung um z
Bemerkung 2.3.7.
• Natürliche Erweiterung der Begriffe von R auf C
Bild
• Beachte: a, b ∈ R ⇒ (a, b) offen in R aber nicht in C!
Satz 2.3.8. Betrag/Abstand auf C erfüllen die Norm-/Metrikaxiome (N1)-(N4) bzw.
(D1)-(D4) aus Satz 2.2.2.
Außerdem gilt für alle z, w ∈ C
√
(i) |z| = zz
(ii) |z| = |z| = | − z|
(iii) Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)| und
Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|
(iv) |z| − |w| ≤ |z ± w| ≤ |z| + |w|
Definition 2.3.9. M ⊆ C heißt beschränkt :⇔ ∃r > 0 M ⊆ Ur (0)
Beispiel 2.3.10. (vgl. auch Folg. 2.2.3 (iii))
Bild
30
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.3.3
Polardarstellung
Für z ∈ C \ {0} ∃!w ∈ C \ {0} : z = |z|w
⇒ |w| = 1 und Re(w) = Re(z)
= cos(ϕ), Im(w) = Im(z)
= sin(ϕ)
|z|
|z|
⇒ ∃! ϕ ∈ [0, 2π) : z = |z|(cos(ϕ) + i sin(ϕ))
Für z = 0 gilt die Darstellung mit beliebigem Winkel ϕ.
Definition 2.3.11. Die Darstellung von z ∈ C als z = r(cos(ϕ)+i sin(ϕ)) mit r ≥ 0, ϕ ∈
[0, 2π) heißt Polardarstellung. Dabei heißt arg(z) := ϕ Argument von z
Bemerkung 2.3.12. Hier Winkel im Bogenmaß (ϕ ∈ (0, 2π] statt Gradmaß ϕ ∈ [0◦ , 360◦ )),
Kreiszahl und sin / cos Winkelfunktionen.
wobei π ≈ 3, 1415 ≈ 22
7
Bild
Bogenmaß
Gradmaß
sin
cos
0
0◦
0
π
6
30◦
1
2
1
√
1
π
4
45◦
π
3
60◦
π
2
90◦
√
1
2
2
2
3
√
1
1
2
3
2
2
√
1
1
2
0
Zeigen später für ϕ, ψ ∈ R, k ∈ Z :
sin(ϕ + 12 ) = cos(ϕ)
sin(ϕ + 2kπ) = sin(ϕ)




cos(ϕ + 2kπ) = cos(ϕ) 
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
sin(ϕ)2 + cos(ϕ)2 = 1
cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) cos(ψ) − sin(ϕ) sin(ψ)




sin(ϕ + ψ) = cos(ϕ) sin(ψ) + sin(ϕ) cos(ψ) 
(Phasenverschiebung)
(Periodizität)
(gerade)
(ungerade)
(Pythagoras)
(Additionstheoreme)
Proposition 2.3.13. Seien z = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)), w = s(cos(ψ) + i sin(ψ)) ∈ C und
n ∈ N. Dann gilt:
(i) zw = rs(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))
(ii) z n = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ))
Bemerkung 2.3.14.
• Länge multiplizieren, Winkel addieren.
Bild
• Es folgt leicht für z = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) 6= 0
1
1
1
= (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) = (cos(ϕ) − i sin(ϕ))
z
r
r
”
Formel von Moivre“
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
und damit
w
s
= (cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ))
z
r
Bild
(Länge dividieren, Winkel subtrahieren)
31
32
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.3.4
Wurzeln
Suchen analog zu Satz 2.2.9 w ∈ C, sodass für gegebenes z ∈ C, n ∈ N gilt dass wn = z.
Satz 2.3.15. Für n ∈ N und z = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) ∈ C \ {0} gibt es genau n Zahlen
w0 , w1 , . . . , wn−1 mit wkn = z, nämlich
√
wk = n r(cos(ψk ) + i sin(ψk ))
wobei ψk =
ϕ+2kπ
,
n
k = 0, 1, . . . , n − 1
Definition 2.3.16. Für n ∈ N und z ∈ C \ {0} heißen die wk ∈ C, k = 0, . . . , n − 1 mit
wkn = z aus Satz 2.3.15 die n-te Wurzeln von z.
Folgerung 2.3.17. Für n ∈ N gilt wn = 1
2kπ
⇔ w = wk = cos
n
!
2kπ
+ sin
n
!
mit k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
Diese n-ten Einheitswurzeln bilden ein regelmäßiges n-Eck auf den Einheitskreis in C.
Beispiel 2.3.18.
(i) n = 3 in Folg. 2.3.17 :
w0 = 1, w1 = cos( 2π
) + i sin( 2π
),
3
3
√
= − 21 + i 21 3
w2 = cos( 4π
) + i sin( 4π
)
3
3
√
= − 12 − i 12 3
Bild
√
z ∈ R ⇒ w0 = n z (reelle Wurzel)
√
und falls n = 2m mit m ∈ N : wm = − 2m z
Bild
z ∈ R mit z < 0 und n = 2
⇒ ϕ = πq q
π+2kπ
⇒ wk = |z| cos( π+2kπ
|z|(0 + i
)
+
i
sin(
)
=
2
2
sin(
|


1,


−1, k = 1
=
Bild
π
+ kπ) )
2{z
}
k=0
33
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.3.5
Polynome und ihre Nullstellen
Definition 2.3.19. Für n ∈ N0 seien a0 , a1 , . . . , an ∈ C wobei an 6= 0.
Dann heißt
(i) die Abbildung p : C → C, z 7→ p(z) :=
grad(p) = n mit Koeffizienten a0 , . . . , an
Pn
k=0
ak z k (komplexes) Polynom von Grad
(ii) an Leitkoeffizient vom p
(iii) b ∈ C Nullstelle von p :⇔ p(b) = 0
Beispiel 2.3.20. Reelle Polynome als Spezialfall:
p(z) = (z − 3)(z + 1) = z 2 − 2z − 3
hat Grad n = 2, Koeffizienten a0 = −3, a1 = −2, a2 = 1 und Nullstellen b1 = −1, b2 = 3
Bild
Satz 2.3.21. Für n ∈ N sie p ein Polynom vom Grad n mit Leitkoeffizent an . Dann
existiert eine Nullstelle b ∈ C von p und ein Polynom q von Gras n − 1 mit Leitkoeffizent
an , sodass
p(z) = (z − b)q(z) ∀z ∈ C.
Folgerung 2.3.22 (Fundamentalsatz der Algebra). Für n ∈ N sei p Polynom von Grad
n mit Leitkoeffizenten an . Dann besitzt p genau n Nullstellen (inklusive Vielfachheiten)
z1 , . . . , zn ∈ C und es gilt
p(z) = an
n
Y
(z − zk ) ∀z ∈ C.
k=1
Satz 2.3.23 (Identitätssatz für Polynome). Stimmen Polynome p, p̃ an m > max{grad(p), grad(p̃)} ∈
C verschiedenen Stellen überein, so gilt p = p̃ auf ganz C.
34
KAPITEL II. ZAHLENBEREICHE
2.4
Topologische Grundbegriffe
Sei K ∈ {R, C}
Definition 2.4.1. Für M ⊆ K heißt
(i) a ∈ M innerer Punkt von M :⇔ ∃ε > 0 : Uε (a) ⊆ M
◦
(ii) M = {a ∈ M | ainnerer Punkt} ⊆ M Inneres von M
◦
(iii) M offen :⇔ M = M
(iv) M abgeschlossen :⇔ K \ M offen
(v) M :=
T
A⊆Kabg.:
M ⊆A
A Abschluss von M in K
◦
(vi) ∂M := M \ M Rand von M
(vii) c ∈ ∂M Randpunkt von M
(viii) a ∈ M isolierter Punkt in M
:⇔ ∃ε > 0 : Uε (a) ∩ M = {a}
(ix) x ∈ K Häufungspunkt von M
:⇔ ∀ε > 0 : ∃yε ∈ (Uε (x) ∩ M ) \ {x}
Proposition 2.4.2. Sei M ⊇ K. Dann
(i) a ∈ M ⇒ a entweder Häufungspunkt von M oder isoliert in M
(ii) M abgeschlossen ⇔ Jeder Häufungspunkt von M liegt in M
Beispiel 2.4.3.
◦
(i) (a, b] ⊂ R weder offen noch abgeschlossen, aber (a, b] = [a, b] abgeschlossen, (a, b] =
(a, b)
(ii) R, C, ∅ offen und abgeschlossen
(iii) (a, b) ⊂ C nicht offen
(iv) {0} ∪ [7, 12) 0
0
LITERATURHINWEISE
35
Literaturhinweise
[1] H. Amann and J. Escher. Analysis I. Grundstudium Mathematik. Birkhäuser Verlag, Basel, 2006. ISBN 978-3-7643-7756-4. 3. Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/
978-3-7643-7756-4.
[2] J. Appell. Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: Eine Einführung in die Theorie
reeller Funktionen. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg, 2009. ISBN 978-3540-88902-1. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-88903-8.
[3] E. Behrends. Analysis Band 1. Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur
Uni. Von Studenten mitentwickelt. Springer Fachmedien, Wiesbaden, 2015. ISBN 978-3658-07122-6. 6., erweiterte Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-07123-3.
[4] C. Blatter. Analysis I, volume 151 of Heidelberger Taschenbücher. Springer-Verlag, BerlinNew York, 1980. ISBN 978-3-540-08204-0. 3. Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/
978-3-662-05709-4.
[5] N. Bourbaki and P. Spain. Functions of a Real Variable: Elementary Theory. Elements of
Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004. ISBN 978-3-642-63932-6. http:
//dx.doi.org/10.1007/978-3-642-59315-4.
[6] T. Bröcker. Analysis, Band 1. Spektrum Akademischer Verlag, 1999. ISBN 978-3-86025417-2. 2. Auflage, http://home.arcor.de/brt22071.
[7] I. N. Bronstein, H. Mühlig, G. Musiol, and K. A. Semendjajew. Taschenbuch der Mathematik (Bronstein). Europa-Lehrmittel, 2016. ISBN 978-3-8085-5789-1. 10. Auflage.
[8] R. Denk and R. Racke. Kompendium der Analysis: Ein kompletter Bachelor-Kurs von
Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen. Vieweg+Teubner Verlag, 2011. ISBN
978-3-8348-1565-1. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-8184-7.
[9] M. Ensenbach. Analysis I. 2016. Skript zur Vorlesung des Autors im Wintersemester
2014/2015 an der Universität Siegen.
[10] O. Forster. Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.
Grundkurs Mathematik. Springer Fachmedien, Wiesbaden, 2013. ISBN 978-3-658-00316-6.
11., erweiterte Auflage, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-00317-3.
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. . . sowie die zugehörigen Übungsbücher/Repetetorien/etc. oder auch (beinahe) jedes andere Lehrbuch, Kompendium oder Skript, welches Analysis 1 im Titel trägt (ggf. mit
Zusätzen wie für das Lehramt, für Physiker, oder Ähnlichem).