Istanbul Üniv. Fen Fak. Mec. Seri A, 47 (1983-1986), 15

15
Istanbul Üniv. Fen Fak. Mec. Seri A, 47 (1983-1986), 15-34
ÜBER GEWISSE P O T E N Z R E I H E N , D E R E N FUNKTIONSWERTE
F Ü R A R G U M E N T E AUS DER M E N G E DER
Z A H L E N U - Z A H L E N V O M GRADE
LIOUVTLLESCHEN
< m SÎND
M. H. O R Y A N
Der Author hat in einer Arbeit [*] bewiesen, dass eine Klasse von
Potenzi'eihen mit algebraischen Koeffizienten unter bestimmten Bedingungen
für algebraische Argumente Werte aus den Mablerscben Unterklassen U
nehmen.
m
In der vorliegenden Arbeit werden die ähnlichen Beziehungen für
Argumente aus der Menge der Liouvilîeschen Zahlen untersucht. Es wird
bewiesen, dass die Funktionswerte gewisser Potenzreihen mit algebraischen
Koeffizienten unter bestimmten Bedingungen für Argumente aus der Menge
der Liouvilîeschen Zahlen entweder t/-Zahlen vom Grade ^ m oder algebraische Zahlen sind. Unter strengeren Bedingungen wird erhalten, dass die
Funktionswerte i/-Zahlcn vom Grade ^ m sind.
E I N F Ü H R U N G
3
Mahler [ ] hat 1932 die komplexen Zahlen i n vier Klassen A,S,T,U
einge-
teilt. Er zieht als Ordnungsprinzip für seine Klasseneinteilung der Zahlen £, die
Genauigkeit heran, mit welcher nichtidentisch verschwindende Polynome in H,
mit ganzen rationalen Koeffizienten
die Zahl N u l l nichttrivial
approximieren.
Es sei P(x) = a x" + . . . -f- <? ein Polynom mit ganzen rationalen Koeffin
0
zienten. Die Zahl
H(P) = m a x ( | a \ , . . . , j a | )
n
Q
heisst die H ö h e von P.
Mahler bildet bei festem n und festem H die Funktion
w (H£)
n
= min
(Pf
l
\P(Q\ K
< n
H(P) < H
> ©
J
# 0
) Das Symbol ( )° bedeutet den Grad eines Polynoms oder einer algebraischen Zahl.
M.H. O R Y A N
16
Diese Funktion ist für n > 1, II > 1 höchstens gleich 1 und sie nimmt mit wachsendem n und H nicht zu. Er bildet
i v „ © - h m sup
H-*<o
zlog H
und
w iE)
wg) = l i m sup — ^ .
Für « > 1 ist offenbar 0 < w„(£) < <*> und 0 < w © < «>. Da ferner w
< w (H£) ist, gilt w
{£) >
Daher ist w(^) entweder eine nichtnegative
endliche Grösse oder positiv unendlich.
a+l
n
M + 1
Sei
der kleinste Index, für den wJQ = <*> ist, falls ein solcher existiert,
und i m anderen Falle, dass w (%) für alle n unter einer endlichen Schranke liegt,
sei (i(^) = O Q . Dadurch ist u(E,) eindeutig bestimmt. Es können also u(^) und w(Q
nicht beide für das gleiche £, endliche Werte haben. Damit bleiben für die Werte
von w(g) und u(i;) die folgenden vier Möglichkeiten, nach denen die Einteilung
aller Zahlen £, vorgenommen werden soll. Mahler nennt die Zahl
n
A - Zahl, falls
h>© = 0,
S - Zahl, falls
0 < w ( £ ) < oo,
T- Zahl, falls
£ / - Z a h l , falls
= oo,
w(£) =
uß)
= oo,
= oo,
<
0 0
-
Die Klasse der ^4-Zahlen besteht aus allen algebraischen Zahlen. Die transzendenten Zahlen sind i n den Klassen S TJJ eingeteilt, i ; heisst eine U-Zahl
vom Grade m (1 < m), fallss u(i;) = m ist. Es seien U die Menge aller U - Zahlen und U (m = 1,2,...) die Menge aller U-Zahlen vom Grade m, dann ist
t
m
CO
u = U u
m
.
»1=1
Eine reelle Zahl £ heisst Liouvillesche Zahl, wenn und nur wenn für jede
natürliche Zahl n es ganze Zahlen p , q {q > 1) gibt mit
n
n
n
0 <
<1«
Jede Liouvillesche Zahl ist eine U - Zahl vom Grade 1 und auch umgekehrt
ist jede *7-Zahl vom Grade 1 eine Liouvillesche Zahl.
2
Koksma [ j hat 1939 eine andere Klasseneinteilung der komplexen Zahlen
aufgestellt. I n dieser Klassifikation wurden die komplexen Zahlen wieder i n vier
ÜBER GEWISSE POTENZREIHEN.
17
Klassen A*, S*, T* U* eingeteilt. Koksma zieht die Approximationsfähigkeit
komplexer Zahlen durch algebraische Zahlen a einer Höhe H(a) < H und
eines Grades (a)° < n heran.
t
2)
Koksma bildet die Funktion
Wb
* (X, ö = min U - a I
< n
H(a) < H
und daraus
JÎ-»
log H
w*<£) = l i m sup
w *(£)
" ^
.
0 0
Es gilt auch 0 < w„*(l;) <
und 0 <
< ~ . Es sei u*(£) der kleinste Index,
für den w* ,,(£,) = 00 ist, falls ein solcher existiert, sonst sei u*(Ç) = <*> . Es besteht
für
und u*(£,) die folgenden vier Möglichkeiten. Die Zahl heisst
Â* - Zahl, falls
= 0,
< 00,
5* - Zahl, falls
0<
T* - Zahl, falls
w*(Ç) = <~,
E7*-Zahl, falls
=
n*(Q = 00,
u*(Q = 00,
n * © = oc,
M*(Ç)< ~ .
£, heisst eine Í/* - Zahl vom Grade m (1 < m), fahs u*(£,) = m ist.
Die beiden Klassifikationen sind völlig äquivalent, d.h. A-, S-, T-, UZahlen sind dieselben wie A*-, S*-, T*-, £/*- Zahlen. Ferner ist jede t / - Z a h l
vom Grade m eine £ / * - Z a h l vom Grade m und auch umgekehrt.
4
In einer Arbeit des Authors [ ] wurde bewiesen, dass eine Klasse von Potenzreihen mit algebraischen Koeffizienten unter bestimmten Bedingungen für
algebraische Argumente Werte aus den Mahlerschen Unterklassen U nehmen.
In der vorliegenden Arbeit werden die ähnlichen Beziehungen für Argumente
aus der Menge der Liouvilleschen Zahlen untersucht.
m
I m ersten Teil dieser Arbeit werden die Potenzreihen mit rationalen Koeffizienten behandelt. Es wird i n Satz 1 bewiesen, dass die Funktionswerte dieser
Potenzreihen unier bestimmten Bedingungen für Argumente aus der Menge
!
) Die Höhe einer algebraischen Zahl ist als gleich der Höhe ihres Minimalpolynoms
definiert.
M.H. O R Y A N
18
der L i ou villeschen Zahlen entweder Liouvillesche Zahlen oder rationale Zahlen
sind. Unter strengeren Bedingungen erhält man aus Satz 1, dass die Funktionswerte Liouvillesche Zahlen sind. Diese Tatsache wird als Folgerung 1 formuliert. U m Beispiele für Satz 1 und Folgerung 1 zu konstruieren, wird Satz 2 und
Folgerung 2 bewiesen.
I m zweiten Teil dieser Arbeit werden die Beziehungen im ersten Teil auf
die Potenzreihen mit algebraischen Koeffizienten nach dem Gesichtspunkt der
Koksmaschen Klassifikation übertragen. Es wird in Satz 3 bewiesen, dass die
Funktionswerte dieser Potenzreihen unter bestimmten Bedingungen für Argumente aus der Menge der Liouvilleschen Zahlen entweder U ~ Zahlen vom Grade <m sind, d.h. sie in der Menge f/j U U U...*J U liegen, oder algebraische
Zahlen sind. Unter strengeren Bedingungen erhält man aus Satz 3, dass die
Funktionswerte U - Zahlen vom Grade < m sind. Diese Tatsache wird als Folgerung 3 formuliert. Ein Beispiel für Satz 3 und Folgerung 3 wird am Ende dieses
Teils gegeben.
2
m
Satz 1 folgt aus Satz 3 als ein spezieller Fall und Folgerung 1 ist auch ein
spezieller Fall von Folgerung 3.
Die Beziehungen in dieser Arbeit können entsprechend auf die Potenzreihen übertragen, die i m ^-adischen Körper Q oder im Körper der formalen Laurentreihen definiert sind. Entsprechende Beziehungen können auch für die
Lückenreihen erhalten werden.
p
T E I L
I
W i r betrachten in diesem Teil die Potenzreihe
CO
/ ( x ) = y ^
x
n
,
(i)
wobei b I a (a„ , b ganzrational, a > 0) nicht verschwindende rationale Zahlen mit a > 1 für n > N
sind.
n
n
n
n
3 )
n
0
Es seien
i
i
m
i ^ ± i .
loga„
=
+
0 0
( 2 )
und
S
lim sup — - 1 M < 1 .
n-«
log a
(3)
n
Wegen (2) und (3) ist der Konvergenzradius von (1) unendlich. Es gilt der folgende Satz :
8
) Hier und im folgenden werden mit N^N^Ni,--- passende Indizis bezeichnet.
ÜBER GEWISSE P O T E N Z R E I H E N .
19
S a t z 1. Es sei f(x) wie oben gegeben. Es sei ferner £, eine Liouvillesche
Zahl mit folgenden Eigenschäften :
1 °) H, lässt sich durch rationale Zahlen p / q mit q > 1 derart approximieren, dass für hinreichend grosses n
n
^ __ in
<
q -"
( lim
n
n
n
= + 0 0 )
w(n)
(4)
-><o
n
ist
2°) Es gibt zwei positive reelle feste Zahlen 5 und 5 mit 1 < 8, < 8 ,
sodass es gilt
t
2
2
a
a * < q* < O
n
(5)
n
für hinreichend grosses n.
Dann ist / ( £ ) entweder eine Liouvillesche Zahl oder eine rationale Zahl.
Beweis, 1) Es folgt aus (2), dass die Folge {a } ab n = N > iV streng
monoton wächst und für n — » 00 gegen + «1 strebt. Ferner gilt auch wegen (2)
n
H
m
J o g
«->o>
5
L
=
+
o
^
o
M
n
Es sei A : = [ a
n
m
Jog^
t
=
0
^
+
( 6 )
«-*«!
4
0
n j > und n eine feste Zahl mit 0 < n < 1— ~ - . Dann
"1
gilt für n > N > iV, wegen (2)
2
JL <
n
l
o
S <Vt-1
log dr
Ä
und hieraus hat man
n
a < ä .
n
(7)
n+1
Es sei 7c : = a ...<% -i» dann erhält man für n > N nach (7)
0
0
a
d.h. es gilt für n > N
2
2
A <k .aW~v
n
0
.
(8)
Wegen Auswahl von n ist 0 < b —1/(1 — n.) . N u n sei e eine reelle Zahl
mit 0 < e < 8 —1/(1 — T\) . Dann gilt für n > N > N
1
X
3
*) Das Symbol [o , ... a ] bedeutet das kleinste
Zahlen a ,...,a .
0
a
n
n
2
gemeinsame Vielfache der ganzen
20
M.H. O R Y A N
r
Also folgt hieraus und aus (8) für n > A ,
(9)
2)
W i r betrachten die Polynome
n
v
x
{«=1,2,3,-..).
Es gilt
/„(£)
-fn(PM
v=0
(10)
v=0
Es gilt ferner wegen (4) für n > N > 7V
4
3
Also folgt hieraus und aus (4) und (10) für n > N
4
—nw(n)
DO
v= l
Sei B — max | b J , dann gilt für n > İV
n
v
4
v=0
vCKi + i r ^ f l ^ ^ . c i ^ i
+
1
i)"- .
02)
v=l
Es sei 9 : = lim sup
n->™
n •> N > N
5
log|*
n
, dann gilt wegen (3) und 9 < (9 + l ) / 2 für
log a
n
4
log|6„|
log a
J
+ l
(13)
n
Hieraus folgt für n > N > N
6
s
log a
n
weil die Folge {a } monoton wächst.
n
(14)
ÜBER GEWISSE P O T E N Z R E I H E N .
21
Wegen 0 < e < 5j — 1/(1 — n), lim w(n) = + « , (6) und (14) ergibt sich für
n > N > N
7
6
^ . ^ . ( l ^ j - h 1)*
1 \ wOO
2
<
Hieraus und aus (5), (9) und (12) erhält man für n > N
7
1
v=l
1
Also bekommt man hieraus und aus ( l ) für n > N
7
(15)
3)
Es gilt ferner
2
Nach (13) gilt für n > N
n+k
7
Also folgt hieraus für n > N
7
|/(0 - / „ © | <
IE r
1
ia
+ i
6
V " )/
2
i +
/A , V - ) /
+ ( —
1
I S I
m
8
2
2
a -i-..-
Aus (7) folgt für n > N
7
und da l i m a = + °<> ist, erhält man
B
lim
„->«> " + 2
fl
Da (' — 8)/2 > 0 ist, folgt hieraus für n > N > iV und v = 1,2,3,...
s
7
2
und für n > N» auch
22
M.H. O R Y A N
/
a •
"
W-ovs
T l
y
j ^ r < l / 2 ( v = 1,2,3,.-.).
Also ergibt sich für n >: A
r
8
/
1
Ausserdem gilt wegen (6) für n > N
9
1
\
2lH
i n + 1
> N%
Hieraus erhält man für n > N
9
\M)-m)\<a «~W
.
n+r
(16)
N u n definieren wir für n > N die Folge {s'(n)} mit J ' ( H ) : = (log a / l o g a,).
Wegen (2) ist l i m s'(n) = +
Hieraus und aus (16) folgt für « > N
9
w+1
9
£ C
^
^
'
(17)
Wegen lim j ' ( / i ) = + w , (5) und (9) gibt es eine geeignete Folge [s"(ri)}
lim ,?*(«) = +
0 0
mit
> sodass es gilt für n > jV" > 7V"
10
9
n->to
Hieraus und aus (17) ergibt sich für n >
N
10
s
(n)
\ m - u m ^ ^-•(^, o~ " .
1
Sei nun für n > i V
für n > N
10
i(n) : = min (w(«)/2, J*(n)) . Also folgt aus (15) und (18)
10
m
~
f
H
[ j ' )
< (^o-
Ä(n)
,
wobei l i m s(ri) = + °° ist. Ferner sind
rationale Zahlen, wobei h für n — 1,2,3,... ganzrational sind.
n
4)
äs)
Es folgt aus (19)
(i9)
ÜBER GEWISSE POTENZREIHEN,..
23
Hieraus ergibt sich, dass entweder die Folge ]/„{—— \ \
eine unendliche Teil¬
folge hat, deren Glieder voneinander und von /(£,) verschieden sind, oder die
HZ
Folge </!,( — ]£ für hinreichend grosses n konstant bleibt.
Im ersten Fall ist/(£,) nach (19) und (20) eine Liouvillesche Zahl. I m zweiten
Fall ist /(£,) eine rationale Zahl, da f
[
n
1 für « = 1 , 2 , . . . rationale Zahlen sind.
Damit ist Satz 1 bewiesen.
Folgerung
1 . Falls i n Satz 1 b > 0 (n = 0,1,2,...) und £, > 0 sind,
dann ist /(£,) eine Liouvillesche Zahl.
n
Beweis. Da ^ > 0 ist,kann aus der F o l g e \ ~ \ s o eine Teilfolge SZÜILI
ausge¬
wählt werden, dass die Glieder von \^—^-[ positiv sind und sie streng monoton
wächst oder abnimmt.
Sei J - ^ - i strong monoton wachsend, dann gilt für jedes k
qn
9"k-hi
k
Ferner sind
-s- > 0
(« = 0,1,2,...) .
(22)
Es gilt für jedes k
f
M+i
l P"k+\
\
f
! P"k \ __ * i (P"k+l
—
a
9"k+i I —J"k \ —
Q»k I
P«k
q«k
"k\
/
+
bnj^
a
"k+i
i
/ „
P
k + l
P»k \ _,_
\9"k+i
W t
\ 4»k+i I
|
1
+
^
+
fe,
a
bn
a
9»k /
A+]
k
—
»k
((Pn
k+l
\"k
\\9»k+i
/ ^ M V ' Ä + I
»k+i \
/
Wegen (21) und (22) ist die rechte Seite von (23) positiv. Also darf die Folge
\ fn | ^~) [ für hinreichend grosses n nicht konstant bleiben. Somit hat sie eine
(
\ 9 J )
unendliche Teilfolge, deren Glieder voneinander und von /"(%) verschieden sind.
Also muss /(£,) wegen (19) und (20) eine Liouvillesche Zahl sein.
M.H. O R Y A N
24
Im Falle vom Abnehmen der Folge
wird der Beweis genauso laufen.
(
5
Damit ist Folgerung 1 gezeigt.
Der folgende Satz lässt uns Potenzreihen und Liouvillesche Zahlen konstruieren, für welche die Bedingungen von Satz 1 erfüllt werden.
Satz
2.
I n den
Potenzreihen
/(*) = y ^ x "
(24)
und
i
g(x) = V
X
"
(25)
seien bja {a , b ganzrational, a„ > 0) und fje
(e ,f ganzrational, e„ > 0)
nicht verschwindende rationale Zahlen mit a > 1 und e > 1 für n > N ' .
n
n
a
n
n
H
n
n
a
Es seien folgende Bedingungen erfüllt :
limn^«>
l 0 g < v
"
log a
= + oc,
(26)
n
l i m sup
l Q g
lim sup
l
b
' " ^ < 1
log a„
(27)
und
o
g
1
^
< 1.
log e„
(28)
Ferner gebe es zwei positive reelle Konstanten 6 / und Ö ' mit 1 < 5 / < 5 ',
sodass es gilt
2
efl/ < e
n
n
<
2
(29)
für hinreichend grosses n.
Dann ist für jede nicht verschwindende rationale Zahl pjq mit q > 0 g [ — ]
eine Liouvillesche Zahl und / f g \ — ] ) ist entweder eine Liouvillesche Zahl oder
eine rationale Zahl.
Beweis.
1) Es folgt aus (26) und (29)
log e
Um _TL*?_r«+L
log e
n+(
H
=
+
oo.
(30)
ÜBER GEWISSE P O T E N Z R E I H E N .
25
4
Nach (28) und (30) erhält man aus Satz 1 i n [ ] für m — 1, dass g [ —)
eine
U - Zahl vom Grade 1 ist. Also ist g { — ) eine Liouvillesche Zahl.
1
2)
Wir zeigen nun, dass die Bedingungen von Satz 1 für f(x) und E,: =
g j — ) erfüllt werden.
Vi/
Nach (29) gilt für hinreichend grosses n
log a
log a„
8 /
n
Hieraus und aus (26) folgt die Bedingung (2).
Die Bedingung (3) ist dieselbe wie (27).
Es sei
(31)
qj'
n
Z j e A q }
E .q
n
v=-0
wobei E = [e ,...,e„] und k eine ganze Zahl ist. M a n kann genauso wie i n
Satz 1 zeigen, dass es für n > N ' >: N ' gilt
n
0
n
t
Q
<
wobei 9' : = lim sup
«-»»
l
o
g
^ l
log e
ff)i+1
-ii-e')/4
,
ist. Ferner gilt auch für n>
(32)
N ' > JV/
2
n
^ < ^ < e „
c
,
(33)
wobei c > 0 eine geeignete reelle Konstant ist. Hieraus und aus (29) folgt für
n > 7Y ' >
3
N
f
2
l
o
g
c
« + i
>
n log
und
i^g£«±i. > _!°_8
B C
log e
n
c 8 ' log a„
2
also erhält man nach (26)
l 0 g e
+ i
lim
"
= +co,
"-*» n log E
(34)
Ferner gilt wegen (30) auch
l i m - "- = + oo
«-«> n
g
e
und
0
l i m i ^ ' = + °o.
«-»» n
(35)
26
M.H. O R Y A N
Nach (34) und (35) gibt es eine Folge {w(n)} mit lim w{n) —
gilt für n > N/
>
sodass es
N/
^+r
( 1
e
) / 4
" '
< (E q")-*m
.
H
(36)
Aus (31), (32) und (36) folgt für n > JV '
4
,
<
n
Eq
(£ „^)-
n i K
)
" ,
n
welche die Bedingung (4) ist.
Es ist ferner möglich geeignete Konstanten d und S mit 1 < S < S
bestimmen, sodass es gilt für hinreichend grosses n
l
a
B
n
l
2
:
^(E qr^a^.
2
zu
(37)
n
Denn es folgt aus (29) für n > N
4
s '
2
log E„ + n log g
Oj .
- —
«log E + n logg
log
n
<
log e„
-
< ö
2
+ n log g
.
. (38)
log a„
log e„
Wegen (33) , (35) und 8 / > 1 gibt es eine geeignete reelle Zahl 8, , sodass es
für n > N/ > N/ gilt
! < « , < » ; .
i°gs, + «iogg
.
( 3 9 )
Ferner gibt es wegen (33) und (35) auch eine geeignete reelle Zahl 8 j , sodass es
für n > N ' > JV/ gilt
6
8 '. l ° g J , + i»logg
loge„
2
<
5 2
.
{ 4 0 )
Also folgt aus (38), (39) und (40) die Beziehung (37) für n > N \
dingung (5) ist.
6
Somit folgt aus Satz 1, dass f\g[—
welche die Be-
)) entweder eine Liouvillesche Zahl oder
eine rationale Zahl ist.
Folgerung
2.
Falls in Satz 2 b„ f >0(n=
y a
0,1,2,...) und pfq > 0
sind, dann ist / { g I ~ 11 eine Liouvillesche Zahl.
q
Beweis.
Unter den obigen Bedingungen ist % : = g \ — ] > 0. Da aus den
\qJ
Bedingungen von Satz 2 die Bedingungen von Satz 1 erhalten werden, ergibt sich
nach Folgerung 1, dass /
^— \ \ eine Liouvillesche Zahl ist.
ÜBER GEWISSE P O T E N Z R E I H E N . .
27
Als Beispiele zu Satz 2 und Folgerung können die Koeffizienten i n (24) und
(25) wie folgt genommen werden :
1°)
a = M»0'/4i,
n
a
b n
i
=
= W
i e n
J
a
= i ,
n
wobei a > 1 eine ganze Zahl ist.
2°)
«„ = a ^ ^ \
=
> b n
n
h
= <? ,f
e n
a
= 1,
n
wobei a > 1 eine ganze Zahl ist.
T E I L
II
I n diesem Teil untersuchen wir die Potenzreihe
CO
Ax)=y^x",
(i)
Z_/ a
n
ii=0
wobei r| (« = 0,1,2,...) nicht verschwindende ganze algebraische Zahlen aus
einem algebraischen Zahlkörper K vom Grade m und a„ positive ganzrationale
Zahlen mit a > 1 für n > N sind.
n
n
0
Es seien
llimi -m M ü . + c
(2)
und
limsup
«-*«»
wobei H(r\ )
n
H ö h e von n
n
1 0 8
^
log «„
< 1 ,
(3)
bedeutet.
Wegen (2) und (3) ist der Konvergenzradius von (1) unendlich. Es gilt der
folgende Satz :
S a t z 3. Es sei f(x) wie oben gegeben. Es sei ferner E, eine Liouvillesche
Zahl mit folgenden Eigenschaften :
1°) E, lässt sich durch rationale Zahlen pjq
mieren, dass für hinreichend grosses n
n
E.-
^
< ^ -»'K«)
(lim ( )
n
w
n
mit q > 1 derart approxin
= +oo)
(4)
In
ist.
2°)
Es gibt zwei reelle Konstanten ö\ und 5 mit 0 < 8j < 5 , sodass es gilt
2
O
für hinreichend grosses «.
< q« < <
n
2
2
(5)
28
M.H. O R Y A N
Dann ist/(Ç) entweder eine U-Zahl
sche Zahl aus K.
vom Grade < m oder eine algebrai­
Zum Beweis dieses Satzes benötigen wir den folgenden Hilfssatz :
H i l f s s a t z . Es seien otj (j = 3,...,/c) (k > I ) Zahlen aus einem algeb­
raischen Zahlkörper K vom Grade g und m i t den jeweiligen Hohen H(a.j) (j —
l,...,k). Es sei ferner n eine weitere algebraische Zahl, die mit aj durch eine Re­
lation F(y\,a ,... a )
= 0 verbunden sein möge, wobei F{y,x ,x )
ein Polynom
mit ganzen rationalen Koeffizienten und i n y von mindestens erstem Grad ist.
l
>
k
1
/(
Dann ist der Grad von T| < dg und es gilt für die Höhe H(y\) von r| folgende
Abschätzung:
Dabei bedeutet d den Grad von F^y^ ,...,x ) nach y; İj denjenigen von
F(y,x ,
...,x ) nach xj(j~\>...,k),
H das Maximum der Absolutbeträge der Koeffizienten
von Fiy^,...^^
(Orhan Ş. İçen [ ' ] , S. 25).
k
1
k
Beweis von Satz 3. 1) Wie i n Satz 1 wächst die Folge {a } streng monoton
für n > N > N und strebt gegen + °o. Ferner gelten auch die folgenden Be­
ziehungen für n > TV", > N
n
L
Q
1
a„<<%
(7)
+l
und
a < A < a ... a„ < k, . a^-^
n
n
0
3
< a„ ,
(8)
wobei T) eine feste Zahl mit 0 < r| < 1 /2 und ÄTJ > 1 eine geeignete feste Zahl
ist.
Sei 9 : = l i m s u p
l o g g ( T 1
log a
^ . Aus (3) und B < (9 + l ) / 2 folgt für n > ÎV > İV
3
2
H
log^(n„)
log a
<
1+ 0
n
Hieraus bekommt man für dieselben n
H(n ) < a«*^
f
.
D a andererseits
Inj < I n j <
ist, bekommt man für n > N aus (9)
3
a
5
) S. Schneider [ ] , S.5, Hilfssatz 1.
2ff(n„y>
(9)
ÜBER GEWISSE POTENZREIHEN..
29
(10)
wobei | r | | das Maximum der Absolutbeträgen aller Konjugierten von r\
bedeutet.
n
2)
n
Es seien für n — 0,1,2,...
\q„
v=0
y (n = 0,1,2,...) sind algebraische Zahlen aus dem Zahlkörper K. Also sind
y vom Grade < m. W i r schätzen die Höhe von y nach oben ab. Hierfür wenden wir den Hilfssatz auf das Polynom
n
n
n
F(y,x ,...
n
n
(Pn
\ q„
n
v=0
an. Da F(y„ , r j
*
a
,x„) = Ä q* y ~ A q " .
0
v
r\„) = 0 ist, gilt
0
H(y ) < s -*V>»
. H . H(r] y" ... H(x\J
2
m
n
(11)
o
wobei
H = max \A q *,A q;
v=0
\
n
H
—
n
(7,
ist. Wegen (4) gilt für jedes n
P„
wobei d > I eine geeignete feste Zahl ist. Es folgt hieraus
0
X<A„q "d "
n
.
Q
(12)
Aus (11) und (12) bekommt man
H(y,)
< dr
m
• A„ • q
nm
n
• tfiTioT ... W
" ,
wobei i/j > 1 eine geeignete feste Zahl ist. D a ferner
"(nv)£(2Kf)"'
6 )
ist, erhält man hieraus
H(y„) < dr
Aus (10) folgt für n > iV
fi
. A »>. C
n
3
) S. Schneider [•], S. 10, Hilfssatz 4.
I?(
+i
• 2" " >. ( K i . . .
r
(13)
M.H. O R Y A N
30
( ho I - K I r
S
,
1
< ä . 2" i"+ > - (a ... ay'W*
2
,
0
wobei d > 1 eine geeignete feste Zahl ist. Hieraus und aus (8) erhält man für
n > N
2
3
2
mH
(Kl».Kl T
+1)
3m2(1+9)/2
* 4 •2 " •
fl„
.
Also ergibt sich hieraus und aus (5), (8) und (13) für n > N
3
i% ) < < \ <° ,
(14)
w
wobei i / > 1, c > 1 geeignete feste Zahlen sind.
3
3)
0
W i r betrachten die Polynome
71
/«(*) = V
— *
V
(« = 1=2,...).
v=0
Da /„(JC) als Polynom überall stetig und differenzierbar ist, gibt es für jedes n
reelle Zahlen 0„ zwischen E, und p j q , sodass es gilt
n
n
05)
9n
Wegen (4) gilt für n > JV > N
4
3
| e „ | < m a x ^ | ,
^-
j < [ ^ | + l .
Also folgt hieraus und aus (4) und (15) für n > N
4
(16)
(I5I + D
Sei ß„ : =
max \n | , dann gilt für n > N
v
4
v=0
i
a
(U| + i r ^ n . ß . ( K | + l)-
1
(17)
B
Es gilt nach (10) für n > iV > N
3
4
1
e
2
ß„ < 2a„< + >/ .
Also folgt hieraus für n > N
s
r? . ß„ . ( | § | + 1 r
1
2
< 2 « . (|51 + l r
1
i+e
2
• «,/ >' .
Hieraus und aus (16) und (17) bekommt man für n > N
5
ÜBER G E W I S S E POTENZREIHEN...
z
| / „ © - Y„l < q -™«* • 2n • (| 5 ] + i r
1
n
Wegen (5) erhält man hieraus für n > N
ö
n
31
•«
( 1 + B ) / 2
f l
•
s
6iw(«) — ( l + 0)/2
Wegen (6) und l i m w(ri) = + <*> ist es möglich eine Folge {/(«)} mit l i m s'(n)
n->oo
n->ta
= + » o zu finden, für welche gilt für « > jV > N
e
2nH\t,
l
+
1
y->
fi
_
±
„ 8IW(II)~(1+8V2
5
_
( ] 9 )
2
Also folgt aus (14), (18) und (19) für n > N,
!/»<£>-YJ ^ - • m y n )
^
(20)
mit hm •?'(«) = + ° ° .
4)
Genauso wie i n Satz 1 kann man zeigen, dass es für n >: N > N gilt
7
\f(Q~m)\^a
N u n definieren wir für n > N
n
+
1
-^.
(21)
die Folge {s"(n)} mit s"(n) : —
7
6
a , , + l
log a
.
B
Wegen (2) ist l i m s"(fi) = + ° ° - Hieraus und aus (21) folgt für n > N
7
n-<o
(22)
0 0
Wegen l i m s"(ri) = +
und (6) gibt es eine geeignete Folge {s"'(ri)}
mit
n-ioo
Hm s"'(n) = + °o , sodass es gilt für n > N > N
H
7
6
c
. <i~)/'» < — . (^» . a *)->"M>.
B
Also folgt hieraus und aus (14) und (22) für n > N
\m -m)
\^~-
(23)
s
H(y,r^
(24)
mit l i m s'"(n) = + <*> .
fl-XO
m
Sei nun s(n) = min (s'(n), s (n)), dann ist l i m s(ri) = +
erhält man für « > N
0 0
- Aus (20) und (24)
s
s
n
|/(Q-y |<i?(y„r t >,
n
wobei l i m s(ri) = -\~ °° ist.
(25)
M.H.
32
5)
ORYAN
Wegen (26) ist l i m y = /"(£,)• Also ist die Folge {y„} entweder konstant
n
n
-*a>
von einer Stelle ab, oder sie hat eine Teilfolge {jn },
deren Glieder von /(£,) und
voneinander verschieden sind. I m ersten Fall ist y = y für hinreichend grosses
n, wobei y eine feste algebraische Zahl aus K ist. Dann ist / ( £ ) = y , d.h. es gilt
/ ( ! ; ) G K. I m zweiten Fall sei / der höchste Grad von Gliedern der Folge { y } ,
welcher unendlich viel wiederholt wird. Die Teilfolge der Glieder mit Graden /
hat so eine Teilfolge { y , ^ } , dass die Höhen von y„ streng monoton wachsen.
Es gilt nach (25) für die Teilfolge {y„ } für n . > JV
k
n
M/c
kj
kj
k
8
n
| A O - Y i ; | < H(y y<- V
nk
wobei l i m s(n )
(26)
= + oo ist.
kj
Aus
,
(26) ergibt sich
u*(/U)) < / -
(27)
Wegen l < m folgt aus (27), dass /(%) eine U*- Zahl vom Grade < m ist. Also ist
/(£) auch eine U-Zahl vom Grade < m.
Damit ist der Satz 3 bewiesen.
F o l g e r u n g 3. Falls i n Satz 3 r | (« = 0,1,2,...) positive reelle ganzalgebraische Zahlen aus K und E, > 0 sind, dann ist / ( £ ) eine U - Zahl vom
Grade < m.
n
Beweis. Genauso wie i n Folgerung 1 kann man zeigen, dass unter den
obigen Bedingungen die Folge {y } für hinreichend grosses n nicht konstant ist.
Also folgt wie i n Satz 3, dass /(£) eine U - Zahl vom Grade < m ist.
n
I m folgenden konstruieren wir ein Beispiel für Satz 3 und Folgerung 3.
Es sei K ein algebraischer Zahlkörper vom Grade m und {P } eine Folge
der Primzahlen mit P
> « . P . Es sei ferner
n
2
n+1
n
5
: ~ 2 2 - * .
n=0
F
Mit q : = 2 "
n
und j? : = #
rt
2
H
- J > V
gilt für hinreichend grosses n
v-0
q
/
/
v=n+l
2
P n + i
2
"
wobei w(n) = n/2 ist. Also gilt für hinreichend grosses n
Fn
(2 )'Mn)
ÜBER GEWISSE POTENZREIHEN...
ELL
5
< ^-""W
(lim w(n) =
+
33
oo)
(28)
.
p
Aus (28) folgt, dass £, eine Liouvillesche Zahl ist. Es sei ferner a : = q" — 2" ".
n
Dann gilt
lim
«-»«>
loga„
+ 1
log fl
_
(29)
n
Ausserdem sei et eine nicht verschwindende ganzalgebraische Zahl aus K und
seien für n = 0,1,2,...
H„ : = a* .
Dann gilt \^\
= H " und H(i\J < (2 K | )
M
m
= 2 | T | ' " " . Es folgt hieraus
H m r a p ^ . O .
log fl„
(30)
Aus (28), (29) und (30) folgen die Bedingungen (2), (3) und (4) in Satz 3. F ü r
5j = 5 - 1 gilt auch (5).
2
Also ist nach Satz 3
M = 0
entweder eine (7-Zahl vom Grade < m oder eine algebraische Zahl aus K.
Falls a > 0 ist, dann sind n — a" > 0 (ra = 0,1,2,...). Ausserdem ist auch
£, > 0. Also ist /(£,) in diesem Fall eine U- Zahl vom Grade < m nach Folge­
rung 3.
);
L I T E R A T U R V E R Z E I C H N I S
{']" İÇEN, O.Ş.
:
Anhang zu den Arbeiten "Über die Funktionswerte der p-adischen
elliptischen Funktionen I und II", Revue de la Faculté des Scien­
ces de l'Université d'Istanbul, Série A, 38 (1973), 25-35.
,[*] K O K S M A , J . F .
:
Über die Mahlersche Klasseneinteilung der transzendenten Zah­
len und die Approximation komplexer Zahlen durch algebraische
Zahlen, Monatsh. Math. Physik 48 (1939), 176-189.
:
Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarith­
mus I, J. reine und angewandte Mathematik 166 (1932), 137-150.
B
[]
MAHLER, K.
M.H. O R Y A N
34
4
[]
O R Y A N , M.H.
Über gewisse Potenzreihen, die für algebraische Argumente Wer­
te aus der Mahlerschen Unterklassen U nehmen, Revue de la
Faculté de Sciences de l'Université d'Istanbul, Série A, 45 (1980),
1-42.
m
5
[]
S C H N E I D E R , Th.
Einführung in die Transzendenten Zahlen, Berlin-Göttingen-Hei­
delberg, 1957.
Bemerkung : Diese Arbeit war am 21.4.1983 bei dieser Zeitschrift eingegangen. Wegen langer
Verspätung der Publikation wurde sie vom Author bei einer anderen Zeitschrift
erscheinen lassen.
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ
F E N FAKÜLTESİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ
VEZNECİLER-İSTANB U L
Ö Z E T
Yazar bir çalışmasında [*], cebirsel katsayılı bazı kuvvet serilerinin
belirli şartlar aitmda cebirsel argümanlar için Mahîcr'İn U alt sınıflarında
değer aldıklarını ispat etmişti.
m
Bu çalışmada benzer ilişkiler argümanların Liouville sayıları olmaları
halinde incelenmektedir. Belirli şartlar altında cebirsel katsayılı bazt kuvvet
serilerinin, argümanlarının Liouville sayıları olmaları halinde aldığı değerlerin
ya dereceleri ^ m olan [/-sayıları veya cebirsel sayılar oldukları ispat
edilmektedir. Daha kuvvetli şartlar altında, kuvvet serilerinin aldığı değerle­
rin dereceleri ^ m olan {/-sayıları oldukları elde edilmektedir.