Mathematische Hilfsmittel - Institut für Technische und Numerische

Institut für Technische und Num. Mechanik
Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard / Dr.-Ing. F. Fleißner
Maschinendynamik
WS 17/18 M 4.1
Mathematische Hilfsmittel
Matrizenalgebra und Matrizenanalysis
Skalar
μ∈R
Vektor
Matrix
∈R :
x
= ⋮
x
∈R
A
= ⋮
A
:
x ∈R
,
⋯ A
⋱
⋮
⋯ A
,
A ∈R
Elementare Operationen
Operation
Schreibweise
Addition
C=A+B
Komponenten
C = A +B
Multiplikation mit Skalar
= μ
C =μA
Transponieren
=
C =A
→
d
dt
C =
d
A
dt
=
∂
∂
C =
∂x
∂y
A x
∙
C =
A B
∙
μ=
∙
=
μ=
→
,
y =
=
→
→
=
Differentiation
Abbildung
→
→
Matrizenmultiplikation
Inneres Produkt
(Skalarprodukt)
Äußeres Produkt
(Dyadisches Produkt)
= x y
A =x y
→
→
→
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Maschinendynamik
WS 17/18 M 4.2
Rechenregeln:
+( + )=( + )+
Addition:
+
Multiplikation mit Skalar:
=
+
μ( ∙ ) = (μ ) ∙
∙ (μ )
=
μ( + ) = μ + μ
Transposition:
(
) =
( + ) =
+
(μ ) = μ
( ∙ ) =
Differentiation:
∙
d
d
( + )=
dt
dt
+
d
d
( ∙ )=
dt
dt
∙
d
dt
+
∙
d
dt
d
∂ dy
( )=
∙
dt
∂ dt
Matrizenmultiplikation:
∙( + )=
∙
+
∙
∙( ∙ )=( ∙ )∙
∙
aber i.a.
Skalarprodukt:
∙
=
∙
∙
∙
0∀
∙
=0⇔ ,
∙
,
=0⇔ =0
orthogonal
Quadratische Matrizen:
Einheitsmatrix
1
= _
_
Diagonalmatrix
d
= diag d = _
_
Inverse Matrix
_
⋱
_
=
1
det
∙
=
( ∙ )
_
_
1
adj
∙
=
=
∙
_
⋱
_
_
_
d
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Maschinendynamik
WS 17/18 M 4.3
=
Symmetrische Matrix
Schiefsymmetrische Matrix
=−
Zerlegung
= ( +
)+ ( −
=
Schiefsymmetrische 3
∙
=
∙
=− ∙
∙
=
3 Matrix
=
0
= a
−a
=−
−a
0
a
a
−a
0
Rösselsprung
=−
∙ − ( ∙ )
)
a
a
=
a
( ∙ )= − Symmetrische, positiv definite Matrix:
∙
∙
0∀
∙
∙
0∀
∙
∙
0∀
∙
∙
0∀
Hauptabschnittsdeterminante
H
0, α = 1(1)n
Eigenwerte λ
0, α = 1(1)n
Symmetrische, positiv semidefinite Matrix:
Eigenwerte λ
0, α = 1(1)n
Symmetrische, negativ definite Matrix:
Hauptabschnittsdeterminante
(−1) H
0, α = 1(1)n
Eigenwerte λ
0, α = 1(1)n
Symmetrische, negativ semidefinite Matrix:
Eigenwerte λ
0, α = 1(1)n
=
Orthogonale Matrix
Determinante
Adjungierte Matrix
,
det
=
adj
B
= ⋮
B
∙
=
A B =
…
_
…
B
⋮
B
∙
A B
=
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Maschinendynamik
WS 17/18 M 4.4
Adjunkte eines Elementes einer Matrix = (−1)
A
⋮
A ,
det
A ,
⋮
A ,
… A
_
_
_
_
… A
A
,
_
_
_
_
A
,
… A
_
⋮
_ A
_ A
_
⋮
… A
,
_
_
_
_
,
Komplexe Zahlen
u = a + b,
= −1
v = c + d,
Konjugiert komplexe Zahl: u = a − b,
v=c− d
Polardarstellung
u = re
u = re
r=
tanφ =
a + b²
a = rcosφ
Im
b
a
u
b
b = rsinφ
v = Re
φ
a
Regeln
Re
u ± v = (a ± c) + (b ± d)
uv = (ac − bd) + (ad + bc) = rRe (
)
Äquivalente Darstellung harmonischer Funktionen h(t) ∈ R
h(t) = h e
+ h e
Euler-Formel: e±
= cos ωt ± sin ωt
h = (h − h )
h =h +h
h = (h − h )
= h cos ωt + h sin ωt
Trigonometrie:
a=
cos(ωt − φ) = cos φ cos ωt + sin φsin ωt
(h )² + (h )²
h = a cos ϕ
h
h
h = a sin ϕ
ϕ = arctan
= a cos(ωt − φ)
,
,