8. Rechnen mit Restklassen, 9. Der kleine Fermat und Primzahltests

Elementare Zahlentheorie
Jörn Steuding (Uni Würzburg)
Wintersemester 2016/17
D
C
E
A
B
Literaturempfehlungen
• J. Appell, K. Appell: Mengen - Zahlen - Zahlbereiche, Spektrum
2005
• K. Reiss, G. Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie, Springer 2007,
2. Auflage
• Nicola Oswald, Jörn Steuding: Elementare Zahlentheorie – Ein
sanfter Einstieg in die höhere Mathematik, Springer 2015
• Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, herausgegeben von Nicola
Oswald, Springer 2016
III. Modulare Arithmetik
§8 Rechnen mit Restklassen
Eine ganze Zahl ist genau dann durch drei teilbar, wenn ihre
Quersumme durch drei teilbar ist. Hierbei benutzen wir die
eindeutige Dezimalentwicklung
n=
k
X
aj 10j
j=0
mit Ziffern aj ∈ {0, 1, 2, . . . , 9},
wobei k eine nicht-negative ganze Zahl ist (die von n abhängt).
Ganz ähnlich zur obigen Aussage zur Teilbarkeit bzgl. 3 gilt
Satz 8.1 (Satz von der Neunerprobe) Eine ganze Zahl n ist
genau dann durch neun teilbar, wenn ihre Quersumme durch neun
teilbar ist:
k
k
X
X
j
aj .
aj 10
⇐⇒
9 |
9 | n=
j=0
Dies wird in der Buchhaltung als Probe benutzt.
j=0
§8 Rechnen mit Restklassen
Eine ganze Zahl ist genau dann durch drei teilbar, wenn ihre
Quersumme durch drei teilbar ist. Hierbei benutzen wir die
eindeutige Dezimalentwicklung
n=
k
X
aj 10j
j=0
mit Ziffern aj ∈ {0, 1, 2, . . . , 9},
wobei k eine nicht-negative ganze Zahl ist (die von n abhängt).
Ganz ähnlich zur obigen Aussage zur Teilbarkeit bzgl. 3 gilt
Satz 8.1 (Satz von der Neunerprobe) Eine ganze Zahl n ist
genau dann durch neun teilbar, wenn ihre Quersumme durch neun
teilbar ist:
k
k
X
X
j
aj .
aj 10
⇐⇒
9 |
9 | n=
j=0
Dies wird in der Buchhaltung als Probe benutzt.
j=0
§8 Rechnen mit Restklassen
Gewisse arithmetische Sachverhalte lassen sich durch
Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen charakterisieren; dabei ist
oft nicht die Teilbarkeit durch jede ganze Zahl von Nöten, sondern
manchmal genügt es, sich auf bestimmte Teiler zu begrenzen!
Wir führen einen einfachen Formalismus für derartige Überlegungen
ein: Zu einer natürlichen Zahl m definiert
a ≡ b mod m
: ⇐⇒
m | (a − b)
eine Äquivalenzrelation auf Z. Wir sagen a ist kongruent b modulo
m; hierbei heißt m der Modul und a ≡ b mod m nennt man eine
Kongruenz. Wir schreiben a 6≡ b mod m und sagen a ist
inkongruent b modulo m, wenn m ∤ (b − a) gilt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Gewisse arithmetische Sachverhalte lassen sich durch
Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen charakterisieren; dabei ist
oft nicht die Teilbarkeit durch jede ganze Zahl von Nöten, sondern
manchmal genügt es, sich auf bestimmte Teiler zu begrenzen!
Wir führen einen einfachen Formalismus für derartige Überlegungen
ein: Zu einer natürlichen Zahl m definiert
a ≡ b mod m
: ⇐⇒
m | (a − b)
eine Äquivalenzrelation auf Z. Wir sagen a ist kongruent b modulo
m; hierbei heißt m der Modul und a ≡ b mod m nennt man eine
Kongruenz. Wir schreiben a 6≡ b mod m und sagen a ist
inkongruent b modulo m, wenn m ∤ (b − a) gilt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Gewisse arithmetische Sachverhalte lassen sich durch
Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen charakterisieren; dabei ist
oft nicht die Teilbarkeit durch jede ganze Zahl von Nöten, sondern
manchmal genügt es, sich auf bestimmte Teiler zu begrenzen!
Wir führen einen einfachen Formalismus für derartige Überlegungen
ein: Zu einer natürlichen Zahl m definiert
a ≡ b mod m
: ⇐⇒
m | (a − b)
eine Äquivalenzrelation auf Z. Wir sagen a ist kongruent b modulo
m; hierbei heißt m der Modul und a ≡ b mod m nennt man eine
Kongruenz. Wir schreiben a 6≡ b mod m und sagen a ist
inkongruent b modulo m, wenn m ∤ (b − a) gilt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Es bestehen folgende Rechenregeln: Für beliebige a, b, c, d , x, y ∈ Z
und m ∈ N gelten
(i) a ≡ a mod m,
(ii) a ≡ b mod m ⇐⇒ b ≡ a mod m,,
(iii) a ≡ b, b ≡ c mod m ⇒ a ≡ c mod m,
(iv) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax + cy ≡ bx + dy mod m,
(v) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax · cy ≡ bx · dy mod m,
(vi) ac ≡ bc mod m ⇒ a ≡ b mod (m/ggT(m, c)),
(vii) a ≡ b mod m ⇒ an ≡ bn mod m für jedes n ∈ N.
Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der
Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Es bestehen folgende Rechenregeln: Für beliebige a, b, c, d , x, y ∈ Z
und m ∈ N gelten
(i) a ≡ a mod m,
(ii) a ≡ b mod m ⇐⇒ b ≡ a mod m,,
(iii) a ≡ b, b ≡ c mod m ⇒ a ≡ c mod m,
(iv) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax + cy ≡ bx + dy mod m,
(v) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax · cy ≡ bx · dy mod m,
(vi) ac ≡ bc mod m ⇒ a ≡ b mod (m/ggT(m, c)),
(vii) a ≡ b mod m ⇒ an ≡ bn mod m für jedes n ∈ N.
Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der
Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Es bestehen folgende Rechenregeln: Für beliebige a, b, c, d , x, y ∈ Z
und m ∈ N gelten
(i) a ≡ a mod m,
(ii) a ≡ b mod m ⇐⇒ b ≡ a mod m,,
(iii) a ≡ b, b ≡ c mod m ⇒ a ≡ c mod m,
(iv) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax + cy ≡ bx + dy mod m,
(v) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax · cy ≡ bx · dy mod m,
(vi) ac ≡ bc mod m ⇒ a ≡ b mod (m/ggT(m, c)),
(vii) a ≡ b mod m ⇒ an ≡ bn mod m für jedes n ∈ N.
Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der
Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Es bestehen folgende Rechenregeln: Für beliebige a, b, c, d , x, y ∈ Z
und m ∈ N gelten
(i) a ≡ a mod m,
(ii) a ≡ b mod m ⇐⇒ b ≡ a mod m,,
(iii) a ≡ b, b ≡ c mod m ⇒ a ≡ c mod m,
(iv) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax + cy ≡ bx + dy mod m,
(v) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax · cy ≡ bx · dy mod m,
(vi) ac ≡ bc mod m ⇒ a ≡ b mod (m/ggT(m, c)),
(vii) a ≡ b mod m ⇒ an ≡ bn mod m für jedes n ∈ N.
Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der
Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Es bestehen folgende Rechenregeln: Für beliebige a, b, c, d , x, y ∈ Z
und m ∈ N gelten
(i) a ≡ a mod m,
(ii) a ≡ b mod m ⇐⇒ b ≡ a mod m,,
(iii) a ≡ b, b ≡ c mod m ⇒ a ≡ c mod m,
(iv) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax + cy ≡ bx + dy mod m,
(v) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax · cy ≡ bx · dy mod m,
(vi) ac ≡ bc mod m ⇒ a ≡ b mod (m/ggT(m, c)),
(vii) a ≡ b mod m ⇒ an ≡ bn mod m für jedes n ∈ N.
Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der
Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Es bestehen folgende Rechenregeln: Für beliebige a, b, c, d , x, y ∈ Z
und m ∈ N gelten
(i) a ≡ a mod m,
(ii) a ≡ b mod m ⇐⇒ b ≡ a mod m,,
(iii) a ≡ b, b ≡ c mod m ⇒ a ≡ c mod m,
(iv) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax + cy ≡ bx + dy mod m,
(v) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax · cy ≡ bx · dy mod m,
(vi) ac ≡ bc mod m ⇒ a ≡ b mod (m/ggT(m, c)),
(vii) a ≡ b mod m ⇒ an ≡ bn mod m für jedes n ∈ N.
Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der
Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Es bestehen folgende Rechenregeln: Für beliebige a, b, c, d , x, y ∈ Z
und m ∈ N gelten
(i) a ≡ a mod m,
(ii) a ≡ b mod m ⇐⇒ b ≡ a mod m,,
(iii) a ≡ b, b ≡ c mod m ⇒ a ≡ c mod m,
(iv) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax + cy ≡ bx + dy mod m,
(v) a ≡ b, c ≡ d mod m ⇒ ax · cy ≡ bx · dy mod m,
(vi) ac ≡ bc mod m ⇒ a ≡ b mod (m/ggT(m, c)),
(vii) a ≡ b mod m ⇒ an ≡ bn mod m für jedes n ∈ N.
Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der
Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt.
§8 Rechnen mit Restklassen
Wir schreiben die Äquivalenzklassen als
a mod m := {b ∈ Z : b ≡ a mod m} = {b = a+mk : k ∈ Z} =: a+mZ
und sprechen dann von der Restklasse a modulo m. Deren Elemente
bilden eine beidseitig unbeschränkte arithmetische Progression:
. . . , a − 2m, a − m, a, a + m, a + 2m, a + 3m, . . .
Eine Restklasse a mod m besteht also aus allen ganzen Zahlen, die
denselben Rest bei Division durch m lassen. Statt a könnte
natürlich auch jedes andere Element b ∈ a mod m als Repräsentant
dieser Restklasse herhalten.
§8 Rechnen mit Restklassen
Wir schreiben die Äquivalenzklassen als
a mod m := {b ∈ Z : b ≡ a mod m} = {b = a+mk : k ∈ Z} =: a+mZ
und sprechen dann von der Restklasse a modulo m. Deren Elemente
bilden eine beidseitig unbeschränkte arithmetische Progression:
. . . , a − 2m, a − m, a, a + m, a + 2m, a + 3m, . . .
Eine Restklasse a mod m besteht also aus allen ganzen Zahlen, die
denselben Rest bei Division durch m lassen. Statt a könnte
natürlich auch jedes andere Element b ∈ a mod m als Repräsentant
dieser Restklasse herhalten.
§8 Rechnen mit Restklassen
Nun rechnen wir mit Restklassen: Wir definieren eine Addition
vermöge
(a mod m) + (b mod m) := (a + b) mod m
sowie eine Multiplikation durch
(a mod m) · (b mod m) := (a · b) mod m.
Diese Verknüpfungen hängen nicht vom gewählten Repräsentanten
ab, wie wir am Beispiel der Addition illustrieren: Mit a ≡ A und
b ≡ B mod m existieren k, ℓ ∈ Z mit a = A + km und b = B + ℓm,
so dass
(a mod m) + (b mod m) = (a + b) mod m
= (A + B + (k + ℓ)m) mod m
= (A + B) mod m = (A mod m) + (B mod m).
Damit ist die Addition unabhängig vom gewählten Repräsentanten.
§8 Rechnen mit Restklassen
Nun rechnen wir mit Restklassen: Wir definieren eine Addition
vermöge
(a mod m) + (b mod m) := (a + b) mod m
sowie eine Multiplikation durch
(a mod m) · (b mod m) := (a · b) mod m.
Diese Verknüpfungen hängen nicht vom gewählten Repräsentanten
ab, wie wir am Beispiel der Addition illustrieren: Mit a ≡ A und
b ≡ B mod m existieren k, ℓ ∈ Z mit a = A + km und b = B + ℓm,
so dass
(a mod m) + (b mod m) = (a + b) mod m
= (A + B + (k + ℓ)m) mod m
= (A + B) mod m = (A mod m) + (B mod m).
Damit ist die Addition unabhängig vom gewählten Repräsentanten.
§8 Rechnen mit Restklassen
Modulo m bilden die Restklassen
0 mod m, 1 mod m, . . . , m − 1 mod m
ein vollständiges Restsystem modulo m. Es gibt also genau m
verschiedene Restklassen modulo m. Wir notieren die Menge der
Restklassen modulo m als
Z/mZ := {0 mod m, 1 mod m, . . . , m − 1 mod m}.
Hierbei handelt es sich um eine Menge, deren Elemente wiederum
Mengen sind, genauer: um eine endliche Menge, deren Elemente
jeweils unendliche Mengen sind.
§8 Rechnen mit Restklassen
Modulo m bilden die Restklassen
0 mod m, 1 mod m, . . . , m − 1 mod m
ein vollständiges Restsystem modulo m. Es gibt also genau m
verschiedene Restklassen modulo m. Wir notieren die Menge der
Restklassen modulo m als
Z/mZ := {0 mod m, 1 mod m, . . . , m − 1 mod m}.
Hierbei handelt es sich um eine Menge, deren Elemente wiederum
Mengen sind, genauer: um eine endliche Menge, deren Elemente
jeweils unendliche Mengen sind.
§8 Rechnen mit Restklassen
Speziell für m = 3 gibt es beispielsweise drei verschiedene
Restklassen und diese lassen sich etwa als die Mengen der ganzen
Zahlen beschreiben, die bei Division durch 3 entweder den Rest 0, 1
oder 2 lassen. Mit der oben eingeführten Addition und
Multiplikation von Restklassen ergeben sich die folgenden Tabellen:
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
und
·
0
1
2
0
0
0
0
Hierbei steht 0 für die Restklasse 0 mod 3 usw.
Wir beobachten, dass Z/3Z ein Körper ist!
1
0
1
2
2
0
2
1
§8 Rechnen mit Restklassen
Speziell für m = 3 gibt es beispielsweise drei verschiedene
Restklassen und diese lassen sich etwa als die Mengen der ganzen
Zahlen beschreiben, die bei Division durch 3 entweder den Rest 0, 1
oder 2 lassen. Mit der oben eingeführten Addition und
Multiplikation von Restklassen ergeben sich die folgenden Tabellen:
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
und
·
0
1
2
0
0
0
0
Hierbei steht 0 für die Restklasse 0 mod 3 usw.
Wir beobachten, dass Z/3Z ein Körper ist!
1
0
1
2
2
0
2
1
§8 Rechnen mit Restklassen
Speziell für m = 4 gibt es vier verschiedene Restklassen und diese
sind additiv und multiplikativ verknüpft gemäß:
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
und
·
0
1
2
3
Wir beobachten, dass Z/4Z nur ein Ring ist!
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
§8 Rechnen mit Restklassen
Speziell für m = 4 gibt es vier verschiedene Restklassen und diese
sind additiv und multiplikativ verknüpft gemäß:
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
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1
2
3
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3
3
0
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und
·
0
1
2
3
Wir beobachten, dass Z/4Z nur ein Ring ist!
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
§8 Rechnen mit Restklassen
Das Restklassenkalkül geht zurück auf Carl Friedrich Gauß (∗ 30.
April 1777 in Braunschweig, – † 23. Februar 1855 in Göttingen) und
sein zahlentheoretisches Standardwerk Disquisitionae Arithmeticae
von 1801. Nach Gauß ist „Mathematik die Königin der
Wissenschaften und Zahlentheorie die Königin der Mathematik.“
§8 Rechnen mit Restklassen
Satz 8.2 (Gauß, 1801) Sei m ≥ 2 eine natürliche Zahl, dann ist
die Menge Z/mZ mit der oben definierten Addition und
Multiplikation ein kommutativer Ring mit Einselement, der so
genannte Restklassenring modulo m.
Etwas später werden wir sehen, dass Z/mZ für prime m sogar ein
Körper ist...
§8 Rechnen mit Restklassen
Satz 8.2 (Gauß, 1801) Sei m ≥ 2 eine natürliche Zahl, dann ist
die Menge Z/mZ mit der oben definierten Addition und
Multiplikation ein kommutativer Ring mit Einselement, der so
genannte Restklassenring modulo m.
Etwas später werden wir sehen, dass Z/mZ für prime m sogar ein
Körper ist...
§8 Rechnen mit Restklassen
Rechnen mit Restklassen hat Anwendungen: Ein erstes Beispiel
liefert die seit 2007 jedem Buch zugeordnete dreizehnstellige
Internationale Standard-Buchnummer (kurz: ISBN). Mit den ersten
zwölf Ziffern werden wichtige Informationen über Sprachraum,
Verlag und Titelnummer bereitgestellt; dabei werden die Zahlen
0, 1, 2, 3, . . . , 9 für die Ziffern verwendet. Die letzte Ziffer ist eine
Prüfziffer: Bezeichnet aj die j -te Ziffer, so berechnet sich diese als
a13 ≡ −(a1 +a3 +a5 +a7 +a9 +a11 +3(a2 +a4 +a6 +a8 +a10 +a12 )) mod 10.
Liest etwa ein Preisscanner einen ISBN-Code mit unpassender
Prüfziffer, so muss ein Fehler vorliegen – ISBN ist somit ein Beispiel
eines Fehler erkennenden Codes.
§8 Rechnen mit Restklassen
Rechnen mit Restklassen hat Anwendungen: Ein erstes Beispiel
liefert die seit 2007 jedem Buch zugeordnete dreizehnstellige
Internationale Standard-Buchnummer (kurz: ISBN). Mit den ersten
zwölf Ziffern werden wichtige Informationen über Sprachraum,
Verlag und Titelnummer bereitgestellt; dabei werden die Zahlen
0, 1, 2, 3, . . . , 9 für die Ziffern verwendet. Die letzte Ziffer ist eine
Prüfziffer: Bezeichnet aj die j -te Ziffer, so berechnet sich diese als
a13 ≡ −(a1 +a3 +a5 +a7 +a9 +a11 +3(a2 +a4 +a6 +a8 +a10 +a12 )) mod 10.
Liest etwa ein Preisscanner einen ISBN-Code mit unpassender
Prüfziffer, so muss ein Fehler vorliegen – ISBN ist somit ein Beispiel
eines Fehler erkennenden Codes.
Resümee
Division mit Rest impliziert eine Äquivalenzrelation auf der Menge
der ganzen Zahlen. Die zugehörigen Restklassen a + mZ lassen sich
(wie die ganzen Zahlen) addieren und multiplizieren.
Ein Satz von Gauß zeigt, dass die Menge Z/mZ der Restklassen zu
einem festen Modul m einen kommutativen Ring mit Einselement
bilden, den so genannten Restklassenring modulo m.
Restklassenkalkül hat Anwendungen, etwa bei Prüfziffern in Fehler
erkennenden Codes oder bei der Neunerprobe. Vorteilhaft ist,
anstelle der unendlichen Menge der ganzen Zahlen nur eine endliche
Menge von Restklassen betrachten zu müssen!
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Eine Restklasse a mod m heißt prim, wenn a und m teilerfremd
sind. Wegen ggT(a + km, m) = ggT(a, m) ist entweder jedes
Element einer Restklasse oder keines teilerfremd zum Modul m.
Die primen Restklassen modulo m = 8 sind damit
1, 3, 5, 7 mod 8.
Die Menge der primen Restklassen modulo m ist multiplikativ
abgeschlossen (denn mit a und b ist auch das Produkt ab
teilerfremd zu m).
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Eine Restklasse a mod m heißt prim, wenn a und m teilerfremd
sind. Wegen ggT(a + km, m) = ggT(a, m) ist entweder jedes
Element einer Restklasse oder keines teilerfremd zum Modul m.
Die primen Restklassen modulo m = 8 sind damit
1, 3, 5, 7 mod 8.
Die Menge der primen Restklassen modulo m ist multiplikativ
abgeschlossen (denn mit a und b ist auch das Produkt ab
teilerfremd zu m).
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Die Eulersche ϕ-Funktion zählt die Anzahl ϕ(m) der primen
Restklassen mod m. Es gelten
ϕ(8) = ♯{1, 3, 5, 7 mod 8} = 4
und
ϕ(2k ) = 2k−1
bzw.
ϕ(p) = p − 1
und
ϕ(pk ) = pk (1 − p1 )
für prime p .
Darüberhinaus gilt die Multiplikativität (hier ohne Beweis).
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n)
für ggT(m, n) = 1.
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Die Eulersche ϕ-Funktion zählt die Anzahl ϕ(m) der primen
Restklassen mod m. Es gelten
ϕ(8) = ♯{1, 3, 5, 7 mod 8} = 4
und
ϕ(2k ) = 2k−1
bzw.
ϕ(p) = p − 1
und
ϕ(pk ) = pk (1 − p1 )
für prime p .
Darüberhinaus gilt die Multiplikativität (hier ohne Beweis).
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n)
für ggT(m, n) = 1.
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Ein Vertretersystem der ϕ(m) vielen primen Restklassen mod m
heißt primes Restsystem modulo m.
Ist b1 , . . . , bϕ(m) ein primes Restsystem mod m, so auch
ab1 , . . . , abϕ(m) , sofern a teilerfremd zu m ist.
Ein illustrierendes Beispiel: Multiplizieren wir das prime Restsystem
modulo 8 von oben mit 3, so entsteht
3 · 1 = 3, 3 · 3 ≡ 1, 3 · 5 ≡ 7, 3 · 7 ≡ 5 mod 8;
Multiplizieren wir hingegen mit einer nicht zum Modul
teilerfremden Zahl, etwa 2, so entstehen zwangsläufig nicht prime
Restklassen (z.B. 2 · 1 = 2 mod 8).
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Ein Vertretersystem der ϕ(m) vielen primen Restklassen mod m
heißt primes Restsystem modulo m.
Ist b1 , . . . , bϕ(m) ein primes Restsystem mod m, so auch
ab1 , . . . , abϕ(m) , sofern a teilerfremd zu m ist.
Ein illustrierendes Beispiel: Multiplizieren wir das prime Restsystem
modulo 8 von oben mit 3, so entsteht
3 · 1 = 3, 3 · 3 ≡ 1, 3 · 5 ≡ 7, 3 · 7 ≡ 5 mod 8;
Multiplizieren wir hingegen mit einer nicht zum Modul
teilerfremden Zahl, etwa 2, so entstehen zwangsläufig nicht prime
Restklassen (z.B. 2 · 1 = 2 mod 8).
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Satz 9.1 (Satz von Euler, 1750) Für teilerfremde a und m gilt
aϕ(m) ≡ 1 mod m .
z.B.: 34 = 81, 54 ≡ (−3)4 , 74 ≡ (−1)4 ≡ 1 mod 8.
Korollar 9.2 (Kleiner Fermat) Sei p eine Primzahl und p ∤ a.
Dann gilt
ap−1 ≡ 1 mod p .
Ohne die Voraussetzung p ∤ a kann man dies auch so formulieren:
ap ≡ a mod p.
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Satz 9.1 (Satz von Euler, 1750) Für teilerfremde a und m gilt
aϕ(m) ≡ 1 mod m .
z.B.: 34 = 81, 54 ≡ (−3)4 , 74 ≡ (−1)4 ≡ 1 mod 8.
Korollar 9.2 (Kleiner Fermat) Sei p eine Primzahl und p ∤ a.
Dann gilt
ap−1 ≡ 1 mod p .
Ohne die Voraussetzung p ∤ a kann man dies auch so formulieren:
ap ≡ a mod p.
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Die Umkehrung des kleinen Fermatschen Satzes gilt leider nicht,
wie etwa das Beispiel
2340 ≡ 1 mod 341 ,
aber
341 = 11 · 31
zeigt. Eine Zahl m, für die also am−1 ≡ 1 mod m besteht, ist nicht
notwendig prim. Zusammengesetzte Zahlen m, für die es ein a ≥ 2
mit a 6≡ 1 mod m und
am−1 ≡ 1 mod m
gibt, heißen Pseudoprimzahlen zur Basis a.
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Aus dem Satz von Euler folgt unmittelbar, dass jede prime
Restklasse ein multiplikativ Inverses besitzt, denn es gilt
a · aϕ(m)−1 = aϕ (m) ≡ 1 mod m
für jedes a, welches teilerfremd zu m ist.
Ein Beispiel: Sei m = 25 und a ≡ 11 mod 25, dann ist ϕ(25) = 20
und also
1119 = 61 159 090 448 414 546 291 ≡ 16 mod 25
das gesuchte Inverse zu a ≡ 11 mod 25.
Mit dem euklidischen Algorithmus lässt sich das Inverse schneller
berechnen!
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Aus dem Satz von Euler folgt unmittelbar, dass jede prime
Restklasse ein multiplikativ Inverses besitzt, denn es gilt
a · aϕ(m)−1 = aϕ (m) ≡ 1 mod m
für jedes a, welches teilerfremd zu m ist.
Ein Beispiel: Sei m = 25 und a ≡ 11 mod 25, dann ist ϕ(25) = 20
und also
1119 = 61 159 090 448 414 546 291 ≡ 16 mod 25
das gesuchte Inverse zu a ≡ 11 mod 25.
Mit dem euklidischen Algorithmus lässt sich das Inverse schneller
berechnen!
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Aus dem Satz von Euler folgt unmittelbar, dass jede prime
Restklasse ein multiplikativ Inverses besitzt, denn es gilt
a · aϕ(m)−1 = aϕ (m) ≡ 1 mod m
für jedes a, welches teilerfremd zu m ist.
Ein Beispiel: Sei m = 25 und a ≡ 11 mod 25, dann ist ϕ(25) = 20
und also
1119 = 61 159 090 448 414 546 291 ≡ 16 mod 25
das gesuchte Inverse zu a ≡ 11 mod 25.
Mit dem euklidischen Algorithmus lässt sich das Inverse schneller
berechnen!
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Ist a nicht teilerfremd zum Modul m, so ist die Restklasse a mod m
nicht prim und insbesondere auch nicht invertierbar, denn für alle
x, y ∈ Z ist ax + my ein Vielfaches von ggT(a, m) > 1 und also
stets ax + my ≡ ax 6≡ 1 mod m.
Damit ist a mod m genau dann bzgl. der Restklassenmultiplikation
invertierbar, wenn ggT(a, m) = 1 ist, es sich folglich um eine prime
Restklasse handelt!
Satz 9.3 (Gauß, 1801) Die Menge
(Z/mZ)∗ := {a mod m : ggT(a, m) = 1}
der primen Restklassen modulo m ist mit der Multiplikation von
Restklassen eine abelsche Gruppe der Ordnung ϕ(m) mit neutralem
Element 1 mod m, die prime Restklassengruppe modulo m. Genau
für Primzahlen m = p ist der Restklassenring Z/mZ ein Körper, der
so genannte Restklassenkörper modulo p.
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Ist a nicht teilerfremd zum Modul m, so ist die Restklasse a mod m
nicht prim und insbesondere auch nicht invertierbar, denn für alle
x, y ∈ Z ist ax + my ein Vielfaches von ggT(a, m) > 1 und also
stets ax + my ≡ ax 6≡ 1 mod m.
Damit ist a mod m genau dann bzgl. der Restklassenmultiplikation
invertierbar, wenn ggT(a, m) = 1 ist, es sich folglich um eine prime
Restklasse handelt!
Satz 9.3 (Gauß, 1801) Die Menge
(Z/mZ)∗ := {a mod m : ggT(a, m) = 1}
der primen Restklassen modulo m ist mit der Multiplikation von
Restklassen eine abelsche Gruppe der Ordnung ϕ(m) mit neutralem
Element 1 mod m, die prime Restklassengruppe modulo m. Genau
für Primzahlen m = p ist der Restklassenring Z/mZ ein Körper, der
so genannte Restklassenkörper modulo p.
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Satz 9.4 (Satz von Wilson) Es ist p genau dann eine Primzahl,
wenn
(p − 1)! ≡ −1 mod p.
Der Satz von Wilson ist als Primzahltest nicht praktikabel, wenn es
darum geht wirklich große Zahlen zu testen.
Ein schneller Primzahltest wurde von Manindra Agrawal, Neeraj
Kayal und Nitin Saxena gefunden. Hierbei bedeutet schnell, dass
deren so genannter AKS-Test sicher in Polynomialzeit entscheidet,
ob eine gegebene große Zahl N prim ist.
§9 Der kleine Fermat und Primzahltests
Satz 9.4 (Satz von Wilson) Es ist p genau dann eine Primzahl,
wenn
(p − 1)! ≡ −1 mod p.
Der Satz von Wilson ist als Primzahltest nicht praktikabel, wenn es
darum geht wirklich große Zahlen zu testen.
Ein schneller Primzahltest wurde von Manindra Agrawal, Neeraj
Kayal und Nitin Saxena gefunden. Hierbei bedeutet schnell, dass
deren so genannter AKS-Test sicher in Polynomialzeit entscheidet,
ob eine gegebene große Zahl N prim ist.
Resümee
Zu einer primen Restklasse modulo m existiert ein multiplikativ
Inverses; deren Gesamtheit bildet die prime Restklassengruppe. Im
Falle eines Primzahlmoduls m = p ist folglich Z/pZ nicht nur ein
Ring, sondern ein Körper, der Restklassenkörper modulo p.
Mit dem kleinen Fermat oder allgemeiner mit dem Satz von Euler
lassen sich Potenzen berechnen und multiplikative Inverse
berechnen; letzteres geht effizienter mit dem euklidischen
Algorithmus.
Ein Primzahltest steht vor der Aufgabe, eine gegebene große, ganze
Zahl daraufhin zu testen, ob sie prim ist. Der kleine Fermat und der
Satz von Wilson sind hierfür ungeeignet.
§10 Der chinesische Restsatz
Die Idee der primen Restklassen (bzw. multiplikativ Inversen) hilft
auch beim Lösen von linearen Kongruenzen, wie etwa
11 X ≡ 7 mod 25.
Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt 11−1 ≡ 16 mod 25 und
Multiplikation unserer Kongruenz mit diesem Inversen liefert
11−1 · 11 X ≡ X ≡ 11−1 · 7 ≡ 16 · 7 = 112 ≡ 12 mod 25.
Diese Idee lässt sich verallgemeinern:
§10 Der chinesische Restsatz
Die Idee der primen Restklassen (bzw. multiplikativ Inversen) hilft
auch beim Lösen von linearen Kongruenzen, wie etwa
11 X ≡ 7 mod 25.
Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt 11−1 ≡ 16 mod 25 und
Multiplikation unserer Kongruenz mit diesem Inversen liefert
11−1 · 11 X ≡ X ≡ 11−1 · 7 ≡ 16 · 7 = 112 ≡ 12 mod 25.
Diese Idee lässt sich verallgemeinern:
§10 Der chinesische Restsatz
Satz 10.1 Seien a, b ∈ Z und m ∈ N. Dann ist die Kongruenz
aX ≡ b mod m
genau dann lösbar, wenn ggT(a, m) | b. In diesem Fall gibt es
genau ggT(a, m) inkongruente Lösungen modulo m.
Der Beweis ist konstruktiv (dank des euklidischen Algorithmus).
§10 Der chinesische Restsatz
Satz 10.2 (Chinesischer Restsatz) Es seien m1 , . . . , mn ∈ N
paarweise teilerfremd und a1 , . . . , an ∈ Z beliebig. Dann besitzt das
lineare Kongruenzsystem

X ≡ a1 mod m1 ,




...

X ≡ aj mod mj ,



...


X ≡ an mod mn
eine eindeutige Lösung x mod m, wobei m := m1 · . . . · mn .
Der Beweis liefert konstruktiv
x=
n
X
i =1
ai (m/mi )ϕ(mi ) .
§10 Der chinesische Restsatz
Satz 10.2 (Chinesischer Restsatz) Es seien m1 , . . . , mn ∈ N
paarweise teilerfremd und a1 , . . . , an ∈ Z beliebig. Dann besitzt das
lineare Kongruenzsystem

X ≡ a1 mod m1 ,




...

X ≡ aj mod mj ,



...


X ≡ an mod mn
eine eindeutige Lösung x mod m, wobei m := m1 · . . . · mn .
Der Beweis liefert konstruktiv
x=
n
X
i =1
ai (m/mi )ϕ(mi ) .
Resümee
Eine lineare Kongruenz (wenn überhaupt lösbar) lässt sich (wie eine
lineare diophantische Gleichung) mit dem euklidischen Algorithmus
rückwärts lösen. Insbesondere kann man so auch die inverse
Restklasse einer primen Restklasse finden.
Ein System linearer Kongruenzen mit paarweise teilerfremden
Moduln ist nach dem chinesischen Restsatz eindeutig lösbar; die
Lösung ist eine Restklasse modulo dem Produkt der einzelnen
Moduln. Der konstruktive Beweis liefert eine explizite Formel für die
Lösung.
Aus dem chinesischen Restsatz folgt ebenso, dass in einem
hinreichend kleinen Intervall eine ganze Zahl eindeutig durch ihre
Reste modulo kleiner Primzahlen bestimmt ist!
Resümee
Eine lineare Kongruenz (wenn überhaupt lösbar) lässt sich (wie eine
lineare diophantische Gleichung) mit dem euklidischen Algorithmus
rückwärts lösen. Insbesondere kann man so auch die inverse
Restklasse einer primen Restklasse finden.
Ein System linearer Kongruenzen mit paarweise teilerfremden
Moduln ist nach dem chinesischen Restsatz eindeutig lösbar; die
Lösung ist eine Restklasse modulo dem Produkt der einzelnen
Moduln. Der konstruktive Beweis liefert eine explizite Formel für die
Lösung.
Aus dem chinesischen Restsatz folgt ebenso, dass in einem
hinreichend kleinen Intervall eine ganze Zahl eindeutig durch ihre
Reste modulo kleiner Primzahlen bestimmt ist!
Resümee
Eine lineare Kongruenz (wenn überhaupt lösbar) lässt sich (wie eine
lineare diophantische Gleichung) mit dem euklidischen Algorithmus
rückwärts lösen. Insbesondere kann man so auch die inverse
Restklasse einer primen Restklasse finden.
Ein System linearer Kongruenzen mit paarweise teilerfremden
Moduln ist nach dem chinesischen Restsatz eindeutig lösbar; die
Lösung ist eine Restklasse modulo dem Produkt der einzelnen
Moduln. Der konstruktive Beweis liefert eine explizite Formel für die
Lösung.
Aus dem chinesischen Restsatz folgt ebenso, dass in einem
hinreichend kleinen Intervall eine ganze Zahl eindeutig durch ihre
Reste modulo kleiner Primzahlen bestimmt ist!
§11 Eine kryptographische Anwendung
Restklassenkalkül lässt sich für kryptographische Verfahren nutzen!
Wir unterscheiden zwei Probleme: Gegeben N ∈ N;
• ein Primzahltest entscheidet, ob N prim oder zusammengesetzt
ist, und
• ein Faktorisierungsalgorithmus liefert die Primfaktorzerlegung
von N.
Wahrscheinlich sind diese zwei Probleme unterschiedlich schwierig.
Beispielsweise ist es recht aufwendig, die neun-stellige Zahl
239 707 129
in ihre Primfaktoren zu zerlegen; andererseits ist es ein Leichtes
(und womöglich nur eine Arbeit von ein oder zwei Minuten), das
nachstehende Produkt zu berechnen:
12 373 · 19 373 .
§11 Eine kryptographische Anwendung
Diese vermutliche Asymmetrie der Schwierigkeiten bildet das
Fundament vieler moderner Kryptosysteme. Genauer: Die Tatsache,
dass es zwar leicht ist, zwei große Primzahlen miteinander zu
multiplizieren, aber - jedenfalls nach heutigem Kenntnisstand - sehr
aufwendig, aus dem Produkt auf die Faktoren zu schließen, wird in
der Kryptographie seit der bahnbrechenden Arbeit von Ronald Linn
Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman Mitte der siebziger Jahre
des vergangenen Jahrhunderts verwendet. Bei dem - nach den
Initialen seiner Erfinder benannten - RSA-Verfahren wird als
öffentlicher Schlüssel das Produkt zweier großer Primzahlen
eingesetzt. Die Sicherheit dieses Systems basiert auf der Unkenntnis
einer schnellen Faktorisierungsmethode; das Sieb des Eratosthenes
ist tatsächlich unpraktikabel langsam. Zur Erzeugung des
öffentlichen Schlüssels hingegen benötigt man Algorithmen zur
Generierung von großen Primzahlen, also effiziente Primzahltests,
die auch die Primalität großer Zahlen schnell erkennen können.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Diese vermutliche Asymmetrie der Schwierigkeiten bildet das
Fundament vieler moderner Kryptosysteme. Genauer: Die Tatsache,
dass es zwar leicht ist, zwei große Primzahlen miteinander zu
multiplizieren, aber - jedenfalls nach heutigem Kenntnisstand - sehr
aufwendig, aus dem Produkt auf die Faktoren zu schließen, wird in
der Kryptographie seit der bahnbrechenden Arbeit von Ronald Linn
Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman Mitte der siebziger Jahre
des vergangenen Jahrhunderts verwendet. Bei dem - nach den
Initialen seiner Erfinder benannten - RSA-Verfahren wird als
öffentlicher Schlüssel das Produkt zweier großer Primzahlen
eingesetzt. Die Sicherheit dieses Systems basiert auf der Unkenntnis
einer schnellen Faktorisierungsmethode; das Sieb des Eratosthenes
ist tatsächlich unpraktikabel langsam. Zur Erzeugung des
öffentlichen Schlüssels hingegen benötigt man Algorithmen zur
Generierung von großen Primzahlen, also effiziente Primzahltests,
die auch die Primalität großer Zahlen schnell erkennen können.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Wie funktioniert RSA? Ein Benutzer, nennen wir ihn Bob, wählt
zwei große (verschiedene) Primzahlen p und q (sagen wir mit ca.
100 Stellen) und berechnet N = pq sowie
ϕ(N) = (p − 1)(q − 1) = N + 1 − p − q.
Dann wählt Bob zufällig eine ganze Zahl e, so dass 1 < e < ϕ(N)
und e teilerfremd zu ϕ(N) ist; hierbei kann die Teilerfremdheit
leicht mit dem euklidischen Algorithmus nachgeprüft werden. Dann
bestimmt Bob das multiplikative Inverse d zu e mod ϕ(N), also
d ≡ e −1 mod ϕ(N)
(wiederum mit dem euklidischen Algorithmus).
§11 Eine kryptographische Anwendung
Wie funktioniert RSA? Ein Benutzer, nennen wir ihn Bob, wählt
zwei große (verschiedene) Primzahlen p und q (sagen wir mit ca.
100 Stellen) und berechnet N = pq sowie
ϕ(N) = (p − 1)(q − 1) = N + 1 − p − q.
Dann wählt Bob zufällig eine ganze Zahl e, so dass 1 < e < ϕ(N)
und e teilerfremd zu ϕ(N) ist; hierbei kann die Teilerfremdheit
leicht mit dem euklidischen Algorithmus nachgeprüft werden. Dann
bestimmt Bob das multiplikative Inverse d zu e mod ϕ(N), also
d ≡ e −1 mod ϕ(N)
(wiederum mit dem euklidischen Algorithmus).
§11 Eine kryptographische Anwendung
Wie funktioniert RSA? Ein Benutzer, nennen wir ihn Bob, wählt
zwei große (verschiedene) Primzahlen p und q (sagen wir mit ca.
100 Stellen) und berechnet N = pq sowie
ϕ(N) = (p − 1)(q − 1) = N + 1 − p − q.
Dann wählt Bob zufällig eine ganze Zahl e, so dass 1 < e < ϕ(N)
und e teilerfremd zu ϕ(N) ist; hierbei kann die Teilerfremdheit
leicht mit dem euklidischen Algorithmus nachgeprüft werden. Dann
bestimmt Bob das multiplikative Inverse d zu e mod ϕ(N), also
d ≡ e −1 mod ϕ(N)
(wiederum mit dem euklidischen Algorithmus).
§11 Eine kryptographische Anwendung
Wie funktioniert RSA? Ein Benutzer, nennen wir ihn Bob, wählt
zwei große (verschiedene) Primzahlen p und q (sagen wir mit ca.
100 Stellen) und berechnet N = pq sowie
ϕ(N) = (p − 1)(q − 1) = N + 1 − p − q.
Dann wählt Bob zufällig eine ganze Zahl e, so dass 1 < e < ϕ(N)
und e teilerfremd zu ϕ(N) ist; hierbei kann die Teilerfremdheit
leicht mit dem euklidischen Algorithmus nachgeprüft werden. Dann
bestimmt Bob das multiplikative Inverse d zu e mod ϕ(N), also
d ≡ e −1 mod ϕ(N)
(wiederum mit dem euklidischen Algorithmus).
§11 Eine kryptographische Anwendung
Dies ist gleichbedeutend mit der Existenz einer ganzen Zahl f mit
de = 1 + f ϕ(N).
Nun ist Bobs öffentlicher Schlüssel das Paar (N, e); die Zahl d , die
Faktorisierung von N, und ebenso ϕ(N) sind jedoch geheim. Der
öffentliche Schlüssel mag nun bekannt gemacht werden. Damit
muss ein Schlüssel nicht gesendet werden – ein großer Vorteil
gegenüber klassischen Verfahren, und außerdem erleichtert dies die
Nutzung kryptographischer Methoden für eine breite Öffentlichkeit.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Dies ist gleichbedeutend mit der Existenz einer ganzen Zahl f mit
de = 1 + f ϕ(N).
Nun ist Bobs öffentlicher Schlüssel das Paar (N, e); die Zahl d , die
Faktorisierung von N, und ebenso ϕ(N) sind jedoch geheim. Der
öffentliche Schlüssel mag nun bekannt gemacht werden. Damit
muss ein Schlüssel nicht gesendet werden – ein großer Vorteil
gegenüber klassischen Verfahren, und außerdem erleichtert dies die
Nutzung kryptographischer Methoden für eine breite Öffentlichkeit.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Jetzt stellen wir uns vor, Alice möchte eine geheime Botschaft an
Bob schicken. Dazu muss sie diese in eine Zahlenfolge umwandeln.
Stellen wir uns also vor, dass die folgende Zuordnung besteht:
7→ 99, A 7→ 10, B 7→ 11, . . . , Z 7→ 35, ! 7→ 36, . . . .
Eine Textnachricht wird dann in eine Zahlenfolge übersetzt, indem
Buchstaben in die entsprechenden Zahlen kodiert werden, wobei wir
Päckchen von einer Größe < N bilden (in der Praxis muss man
etwas vorsichtiger sein). Die geheime Nachricht ist also eine große
ganze Zahl M. Alice kennt Bobs öffentlichen Schlüssel (N, e) und
bildet dementsprechend M e und reduziert dieses modulo N. Nennen
wir das Ergebnis C , so gilt somit
C = M e mod N,
wobei hier und im folgenden c = a mod N für den kleinsten
positiven Rest c in der Restklasse a modulo N steht.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Jetzt stellen wir uns vor, Alice möchte eine geheime Botschaft an
Bob schicken. Dazu muss sie diese in eine Zahlenfolge umwandeln.
Stellen wir uns also vor, dass die folgende Zuordnung besteht:
7→ 99, A 7→ 10, B 7→ 11, . . . , Z 7→ 35, ! 7→ 36, . . . .
Eine Textnachricht wird dann in eine Zahlenfolge übersetzt, indem
Buchstaben in die entsprechenden Zahlen kodiert werden, wobei wir
Päckchen von einer Größe < N bilden (in der Praxis muss man
etwas vorsichtiger sein). Die geheime Nachricht ist also eine große
ganze Zahl M. Alice kennt Bobs öffentlichen Schlüssel (N, e) und
bildet dementsprechend M e und reduziert dieses modulo N. Nennen
wir das Ergebnis C , so gilt somit
C = M e mod N,
wobei hier und im folgenden c = a mod N für den kleinsten
positiven Rest c in der Restklasse a modulo N steht.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Jetzt stellen wir uns vor, Alice möchte eine geheime Botschaft an
Bob schicken. Dazu muss sie diese in eine Zahlenfolge umwandeln.
Stellen wir uns also vor, dass die folgende Zuordnung besteht:
7→ 99, A 7→ 10, B 7→ 11, . . . , Z 7→ 35, ! 7→ 36, . . . .
Eine Textnachricht wird dann in eine Zahlenfolge übersetzt, indem
Buchstaben in die entsprechenden Zahlen kodiert werden, wobei wir
Päckchen von einer Größe < N bilden (in der Praxis muss man
etwas vorsichtiger sein). Die geheime Nachricht ist also eine große
ganze Zahl M. Alice kennt Bobs öffentlichen Schlüssel (N, e) und
bildet dementsprechend M e und reduziert dieses modulo N. Nennen
wir das Ergebnis C , so gilt somit
C = M e mod N,
wobei hier und im folgenden c = a mod N für den kleinsten
positiven Rest c in der Restklasse a modulo N steht.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Jetzt wird diese Zahl C Bob zugesendet. Bob dekodiert C nun
durch Berechnung der d -ten Potenz von C modulo N. Mit dem
Satz 9.1 von Euler gilt nämlich
C d ≡ (M e )d = M de = M 1+f ϕ(N) = M · (M f )ϕ(N) ≡ M mod N.
Nun kann Bob Alices Nachricht lesen. Tatsächlich benötigt man
hier für die Anwendung des Eulerschen Satzes, dass M und N
teilerfremd sind, was nur in seltenen Fällen verletzt ist; dieses
Problem kann man leicht mit einigen technischen Voraussetzungen
beheben, worauf wir der Einfachheit halber aber verzichten.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Jetzt wird diese Zahl C Bob zugesendet. Bob dekodiert C nun
durch Berechnung der d -ten Potenz von C modulo N. Mit dem
Satz 9.1 von Euler gilt nämlich
C d ≡ (M e )d = M de = M 1+f ϕ(N) = M · (M f )ϕ(N) ≡ M mod N.
Nun kann Bob Alices Nachricht lesen. Tatsächlich benötigt man
hier für die Anwendung des Eulerschen Satzes, dass M und N
teilerfremd sind, was nur in seltenen Fällen verletzt ist; dieses
Problem kann man leicht mit einigen technischen Voraussetzungen
beheben, worauf wir der Einfachheit halber aber verzichten.
§11 Eine kryptographische Anwendung
Will nun etwa die neugierige Eva wissen, was denn Alice dem
dubiosen Bob mitzuteilen hatte, so könnte sie versuchen die
öffentlich bekannte Zahl N zu faktorisieren, um an den geheimen
Exponenten d zu gelangen. Ist N klein, kann sie es mit so
genannter ’Probedivision’ versuchen, also dem
√ sukzessiven
Ausprobieren aller potentiellen Primteiler ≤ N (denn jede
zusammengesetzte
Zahl N = ab muss ja mindestens einen Faktor
√
≤ N haben, da ja sonst ab > N gelten würde).
Die Hauptschwierigkeit für unsere Angreiferin Eva ist, dass der
geheime Exponent d nicht aus den öffentlich bekannten Größen N
und e, sondern nur aus der Faktorisierung von N oder dem Wissen
von ϕ(N) gewonnen werden kann – zumindest nach dem heutigen
Erkenntnisstand!
Resümee
Viele kryptographische Verfahren basieren auf zahlentheoretischen
Methoden.
Das RSA-Verfahren zur Verschlüsselung geheimer Nachrichten
benutzt die Schwierigkeit, große ganze Zahlen faktorisieren zu
können; andererseits werden für die Generierung des öffentlichen
Schlüssels große Primzahlen benötigt. In der Praxis werden Zahlen
mit mehreren hundert Stellen verwendet.
Resümee
Viele kryptographische Verfahren basieren auf zahlentheoretischen
Methoden.
Das RSA-Verfahren zur Verschlüsselung geheimer Nachrichten
benutzt die Schwierigkeit, große ganze Zahlen faktorisieren zu
können; andererseits werden für die Generierung des öffentlichen
Schlüssels große Primzahlen benötigt. In der Praxis werden Zahlen
mit mehreren hundert Stellen verwendet.