Logik und Logikprogrammierung, ¨Ubungsblatt 5

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
Abgabe am 11.05., Besprechung am 12.05. und 15.05.
Logik und Logikprogrammierung, Übungsblatt 5
(1) Geben Sie ein While-Programm an, das die Funktion f : N → N mit
(
1 falls n Potenz von 2
f (n) =
0 sonst
für alle n ∈ N berechnet. Sollten Sie Simulationen verwenden, so sind deren Definitionen
anzugeben.
(2) Betrachten Sie die im Folgenden gegebene Datenbank:
• Tabelle Kinos
Kinoname
Stadt
Telefon
Linden Lichtspiele
Passage Kinos
..
.
Ilmenau
Leipzig
..
.
+49 3677 899177
+49 341 2173862
..
.
• Tabelle Filme:
Filmtitel
Regisseur
Schauspieler
Der Name der Leute
Der Name der Leute
Almanya
Almanya
..
.
Michel Leclerc
Michel Leclerc
Yasemin Samdereli
Yasemin Samdereli
..
.
Sara Forestier
Jacques Gamblin
Rafael Koussouris
Aylin Tezel
..
.
• Tabelle Vorstellungen:
Kinoname
Filmtitel
Linden Lichtspiele
Linden Lichtspiele
Linden Lichtspiele
Linden Lichtspiele
Passage Kinos
Passage Kinos
Passage Kinos
..
.
Der Name
Der Name
Almanya
Almanya
Der Name
Der Name
Almanya
..
.
Startzeit
der Leute
der Leute
der Leute
der Leute
17.30
20.00
19.30
21.45
18.00
20.30
19.30
..
.
Uhr
Uhr
Uhr
Uhr
Uhr
Uhr
Uhr
Wenn wir die Zeichenketten Linden Lichtspiele, Passage Kinos, +49 341 2173862, Aylin Tezel
etc. als 0-stellige Funktionssymbole und die Tabellennamen Kinos, Filme und Vorstellungen als
3-stellige Relationssymbole auffassen, dann repräsentieren die obigen Tabellen eine Struktur
über genau diesen Funktions- bzw. Relationssymbolen.
(a) Formulieren Sie die folgenden Aussagen über die Datenbank mittels prädikatenlogischer
Formeln. Sie dürfen dabei annehmen, dass der Name eines Kinos das Kino eindeutig identifiziert (analoges gilt für den Filmtitel). Der besseren Übersicht halber bietet es sich
an, ausnahmsweise die folgenden Variablennamen zu verwenden: k für Kinonamen, f für
Filmtitel, z für Startzeiten, r für Regisseure, a für Schauspieler, s für Städte, t für Telefonnummern.
(i) Es gibt eine Vorstellung, die um 21.45 Uhr beginnt.
(ii) Es gibt eine Vorstellung des Films Der Name der Leute“ in Ilmenau.
”
(iii) Es gibt ein Kino, das alle Filme zeigt.
(iv) Es wird von jedem Regisseur mindestens ein Film in Ilmenau gezeigt.
(b) Wie lassen sich die folgenden Formeln mittels natürlicher Sprache beschreiben?
(i) ∀x1 ∃x2 (∃x3 ∃x4 Filme(x1 , x3 , x4 ) → Vorstellungen(x2 , x1 , 20.00 Uhr))
(ii) ∃x1 ∀x2 (∃x3 Vorstellungen(x3 , x2 , 20.00 Uhr) → ∃x4 Filme(x2 , x4 , x1 ))
(iii) ∃x1 ∃x2 ∃x3 ∃x4 (¬(x2 = x3 ) ∧ Vorstellungen(x1 , x2 , x4 ) ∧ Vorstellungen(x1 , x3 , x4 ))
(3) Sei ≤ ein binäres Relationssymbol und Q die Struktur bestehend aus den rationalen Zahlen
Q zusammen mit der natürlichen linearen Ordnung ≤Q auf Q. Weiterhin sei Z die Struktur
bestehend aus den ganzen Zahlen Z zusammen mit der natürlichen linearen Ordnung ≤Z auf
Z. Geben Sie eine prädikatenlogische Formel F an, so dass Q |= F und Z 6|= F gilt.
(4) Seien verheiratet und Kind binäre und männlich und weiblich unäre Relationssymbole. Wir
verwenden Kind(x, y) mit der Bedeutung x ist Kind von y“.
”
(a) Im Folgenden sind Formeln mit freien Variablen x und y gegeben. Beschreiben Sie jeweils,
welches Verwandschaftsverhältnis zwischen x und y ausgedrückt wird.
(i) männlich(x) ∧ Kind(y, x)
(ii) ∃z1 ∃z2 (Kind(x, z1 ) ∧ Kind(z1 , z2 ) ∧ Kind(z2 , y) ∧ weiblich(x))
Für eine Übersicht über Verwandschafts- und Schwägerschaftsbeziehungen können Sie
http://de.wikipedia.org/wiki/Verwandtschaftsbeziehung heranziehen.
(b) Geben Sie eine Formel mit zwei freien Variablen x und y über den obigen Prädikaten an,
so dass für alle passenden Strukturen A gilt: A |= F genau dann, wenn
(i) xA ist Schwester von y A
(ii) xA ist Neffe zweiten Grades von y A
(iii) xA ist Schwägerin von y A
(c) Geben Sie eine Formel F über den obigen Prädikaten an, so dass für alle Strukturen A
gilt: A |= F gdw. A entspricht einer Familie mit genau zwei Kindern.
(5) Seien G1 = ∃y∀x P (x, y) und G2 = ∀x∃y P (x, y). Beweisen bzw. widerlegen Sie:
(a) G1 |= G2
(b) G2 |= G1
Aufgabe zum Selbststudium (nicht bewertet)
(6) Seien P und Q zwei zweistellige Relationssymbole. Entwickeln Sie eine Formel F der Prädikatenlogik, so dass für alle Strukturen A gilt:
(a) A |= F gdw. es existiert eine Funktion f : UA → UA mit P A = {(a, f (a)) | a ∈ UA }.
(b) A |= F gdw. es existieren Funktionen f, g : UA → UA mit P A = {(a, f (a)) | a ∈ UA },
QA = {(a, g(a)) | a ∈ UA } und f 2 = g.
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