¨Ubungen zur Vorlesung ” ANALYSIS II“

Blatt 0-8
Prof. Dr. H. Dinges
Übungen zur Vorlesung
”
WS 2008/09
ANALYSIS II “
http://ismi.math.uni-frankfurt.de/dinges/teaching/
Datum:
Aufgabe 1:
Wenn man den Trick kennt, dann ist die folgende Ungleichung recht leicht
zu beweisen: Wenn
w1 , . . . , wp
irgendwelche komplexen Zahlen
n P
pP
P z1 , . . . , zn und
2·
2
sind, dann gilt | i w̄i · zi | ≤
|w
|
i
i
i |zi | .
Gehen wir davon aus, dass Sie den Trick nicht kennen und auch jetzt nicht
irgendwo nachlesen wollen. Begründen Sie zunächst einmal die folgenden
kleinen Überlegungen:
• Es genügt, die Ungleichung in dem Fall zu beweisen, wo die zi und wi
positive reelle Zahlen sind: xi bzw. yi .
P 2
• Es
die Ungleichung in dem Fall zu beweisen, wo
xi = 1 =
P genügt,
yi2 .
√
• Für positive Zahlen a, b gilt a · b ≤ 12 (a + b). Für die positiven Zahlen
xi , yi gilt yi · xi ≤ 12 x2i + 12 yi2 . —Interessant ist auch die Summe dieser
Ungleichungen!
P
• Für jedes
(z1 , . . . , zn ) mit
|zi |2 = 1 gilt
P n-tupelP
2
sup{| w̄i · zi | :
|wi | = 1} = 1.
Beweisen Sie entlang der Linie der vorigen Aufgabe den folgenden allgemeineren
Satz : (Hölder’sche Ungleichung)
Es seien p, q > 1 mit 1/p + 1/q = 1. Für jedes Tupel komplexer Zahlen
(z1 , . . . , zn ) gilt dann
sup{|
X
w̄i · zi | :
X
|wi |q = 1} =
X
|zi |p
1/p
.
1
p
·a+
1
q
· b oder ln
1
p
Aufgabe 3:
Die Stetigkeitsdefinition von Bolzano (1817) lautet bekanntlich:
Nach einer richtigen Erklärung nämlich versteht man unter der Redensart, daß eine Funktion f (x) für alle Werte von x, die inneroder ausserhalb gewisser Grenzen liegen, nach dem Gesetze der Stetigkeit sich ändere, nur soviel, daß, wenn x irgend ein solcher Wert
ist, der Unterschied f (x + ω) − f (x) kleiner als jede gegeben Größe
gemacht werden könne, wenn man ω so klein, als man nur will,
annehmen kann.
Formulieren Sie in der Sprache von Bolzano, was es heisst, dass eine Funktion
auf der reellen Achse R gleichmäßig stetig ist.
Aufgabe 4:
Zu einer beschränkten stetigen Funktion f (·) auf der reellen Achse definiert
man den sog. Stetigkeitsmodul als die Funktion
ωf (δ) = sup { |f (x + δ) − f (x)| : x ∈ R }.
Zeigen Sie, dass diese Funktion genau dann nach 0 strebt für δ → 0, wenn
f (·) gleichmäßig stetig ist.
Überprüfen Sie die folgende Aussage: Eine Abbildung
D, d(·, ·) −→ E, e(·, ·)
ϕ:
ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn die Funktion
i
Hilfe: Sie werden benötigen a1/p · b1/q ≤
1
1
p · ln a + q · ln b.
Aufgabe 2 :
Es sei {Mαβ : α ∈ I, β ∈ J} eine (‘doppeltindizierte’) Familie von Teil-
mengen einerTGrundmenge
ΩS. T
I und J sind irgendwelche Indexmengen.
S
Zeigen Sie
α β Mαβ ⊇
β
α Mαβ .
Es
sei
{A
:
α
∈
I,
β
∈
J}
eine Familie von Aussagen. Zeigen Sie
αβ
W V
V W
β
α Aαβ =⇒
α β Aαβ .
V W
Bemerke: Die Aussage B = α β Aαβ ist genau dann wahr, wenn für
alle α ein β existiert, W
sodass
V Aαβ wahr ist. ∀α ∈ I ∃β ∈ J : Aαβ
Die Aussage C = β α Aαβ ist genau dann wahr, wenn ein β existiert,
sodass für alle α Aαβ wahr ist. ∃β ∈ J ∀α ∈ I : Aαβ .
·a+
1
q
·b ≥
ωϕ (δ) = sup { e (ϕ(Q), ϕ(P )) : d(Q, P ) < δ }
nach 0 strebt für δ & 0.
Aufgabe 5
Zeigen Sie: Eine positivhomogene Funktion (auf einem reellen Vektorraum)
ist genau dann konvex, wenn sie subadditiv ist.
Aufgabe 6
P
Für ein trigonometrisches Polynom f (t) = cn · eint definieren wir N (f ) =
P
|cn |.
1. Zeigen Sie, dass N (·) eine Norm auf dem Vektorraum der trigonometrischen Polynome ist.
2. Wenn f und g trigonometrische Polynome sind, dann auch das punktweise Produkt h = f · g. Zeigen Sie: N (f · g) ≤ N (f ) · N (g).
Hinweis: Die ’Koeffizientenfolge’ von f · g ergibt sich durch Faltung
(‘Cauchy-Produkt’) aus den Koeffizientenfolgen von f und g.
3. Wenn die Koeffizientenfolgen von f und g nichtnegativ sind, dann gilt
N (f · g) = N (f ) · N (g).
Aufgabe 7
Es sei Ω die Menge aller 01 -Folgen ω = (ω1 , ω2 , ω3 , . . . ). Für Paare
ω 0 , ω 00 definieren wir N (ω 0 , ω 00 ) = min{n : ωn00 6= ωn0 } und d(ω 0 , ω 00 ) =
−1
N (ω 0 , ω 00 )
.
Zeigen sie, dass d(· , ·) eine Metrik ist, welche Ω zu einem vollständigen metrischen Raum macht.
Hinweis: Überlegen Sie N (ω 0 , ω 00 ) = k, N (ω 00 , ω 000 ) = l =⇒ N (ω 0 , ω 000 ) ≥
min{k, l}.
Daraus folgt d(ω 0 , ω 000 ) ≤ max{d(ω 0 , ω 000 ), d(ω 0 , ω 000 }.
Aufgabe 8
(Nur für diejenigen, die sich gut an die Schulmathematik erinnern)
Es sei p ≥ 1, 1/p + 1/q = 1 und a, b > 0. Zeigen Sie mit den Mitteln
der Schulmathematik
1/q
sup a · t1/p + b · (1 − t)1/p = aq + bq
.
0<t<1
Empfehlung: Behandeln Sie zuerst den Fall p = 2 = q.
Aufgabe 9
(Die etwas aufwendigere Aufgabe. Nur für die, die weiter gehen wollen.)
Für ein festes d-Tupel positiver Zahlen z = (z1 , . . . , zd ) betrachten wir die
P
p 1/p
p−Norm als Funktion von p ∈ [1, +∞]. p −→ kzkp =
|zj |
. Zeigen
Sie
1. Die Funktion ln kzkp ist monoton fallend; die Funktion f (p) = p · ln kzkp
ist monoton steigend.
2. Die Funktion f (p) = p · ln kzkp ist konvex.
3. Für 1 ≤ r ≤ s gilt d−1/r kzkr ≤ d−1/s kzks .
4. Finden Sie für das Paar r ≤ s eine Konstante C = C(r, s) sodass gilt
kzks ≤ kzkr ≤ C · kzks .
Hinweise:
zu 1): Beachten Sie, dass für p ≤ q die Einheitskugel zur p-Norm enthalten
ist in der Einheitskugel zur q-Norm.
zu 2): Zeigen Sie für p, q > 1 mit p1 + 1q = 1 und r1 , r2 ≥ 1
1
1
1
1
f ( r1 + r2 ) ≤ f (r1 ) + f (r2 )
p
q
p
q
1
indem Sie die Höldersche Ungleichung anwenden auf xi := |zi | p r1 und yi :=
1
|zi | q r2 .
zu 3): Zeigen Sie zuerst mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung kzk1 ≤ d1−1/p ·
kzkp und wenden Sie dann nochmals die Höldersche Ungleichung an mit
s = rp.
Aufgabe 10
(Mit Mitteln der Schulmathematik)
A
Es sei A > 0 Wir betrachten ϕ : x 7→ 12 x + 2x
als Abbildung des R+ in
sich. Zu x0 > 0 konstruieren wir die Folge
(x
)
:
xn = ϕ(xn−1 ). Um zu
n
n∈N
√
zeigen, dass (xn )n absteigend gegen A konvergiert, zeigen Sie
√
1
1) x1 ≥ A;
2) xn+1 ≤ xn ;
3) |xn+1 − xn | ≤ · |xn − xn−1 |.
2
Ist es wahr, dass die Einschränkung von ϕ auf das Intervall [ √13 A, ∞) eine
Kontraktion ist?
Klären Sie die entsprechenden Fragen für die Abbildung
A
ψ: x→
7 23 x + 3x
2!
Aufgabe 11
Zu jeder formalen Potenzreihe ohne konstantes Glied p(z)
=
a1 ·z+a2 ·z 2 +a3 ·z 3 +. . . (a1 6= 0 ) gibt es bekanntlich eine ‘inverse’ formale Potenzreihe q(z) = b1 ·z+b2 ·z 2 +b3 ·z 3 +. . . ;
p(q(z)) = z; p(q(z)) = z.
Bestimmen Sie für p(z) = a · z + z 2 die Koeffizienten b1 , b2 , b3 , b4 . mit der
Methode des Koeffizientenvergleichs.
(Wenn es unübersichtlich wird, beschränken Sie sich auf den Fall a = 1 )
Wir lösen die Gleichung p(z) − w = 0 für w nahe bei 0 mit dem vereinfachten Newton-Verfahren.
Z0 (w) = 0, Z1 (w) = a1 · w , . . . , Zn+1 (w) = Zn (w) − a1 · p(Zn (w)) − w .
Berechnen Sie die Polynome Z2 (w), Z3 (w), Z4 (w). (Wenn es unübersichtlich
wird, beschränken Sie sich auf den Fall a = 1; beachten Sie, dass in diesem
Fall gilt Zn+1 = w − Zn2 . )
Sprechweise:
Eine Abbildung ϕ : S, d(·, ·) −→ T, e(·, ·) heisst Lipschitz-stetig zum
Streckungsparameter α, wenn gilt
∀P1 , P2
e(ϕ(P1 , ϕ(P2 )) ≤ α · d(P1 , P2 ).
Eine Abbildung heisst Lipschitz-stetig, wenn es einen Streckungsparameter gibt; eine Lipschitz-stetige Abbildung nennt man auch eine dehnungsbeschränkte Abbildung. Eine dehnungsbeschränkte Abbildung ist offenbar
gleichmäßig stetig.
Eine Lipschitz-stetige Abbildung zu einem Streckungsparameter α < 1
heisst auch eine α-Kontraktion.
Aufgabe 12
Es sei U eine Teilmenge eines normierten Vektorraums V, k · k und es sei
κ : U −→ V eine α-Kontraktion.
Zeigen Sie: die Abbildung ϕ : v 7−→ v + κ(v) ist injektiv, und für die
1
kw2 − w1 k.
Umkehrabbildung auf dem Bild ψ gilt kψ(w2 ) − ψ(w1 )k ≤ 1−α
( Man sagt, ψ ist Lipschitz-stetig zum Faktor (1 − α)−1 .)
Hinweis: Für beliebige w1 , w2 im Definitionsbereich von κ gilt
kw2 −w1 k ≤ kϕ(w2 )−ϕ(w1 )k+kκ(w2 )−κ(w1 )k ≤ kϕ(w2 )−ϕ(w1 )k+α·kw2 −w1 k.
Beispiel: Auf einer Umgebung von x̃ ∈ Rn sei eine stetig differenzierbare
Abbildung G(·) in den Rn gegeben mit G0 (x̃) = I (Einheitsmatrix).
Es gilt dann G(x) − G(x̃) = (x − x̃) + κ(x), wo κ in einer Umgebung Uα
von x̃ eine α−Kontraktion ist (α ∈ (0, 1) kann vorgegeben werden).
G(·) ist nach der obigen Aussage injektiv mit einer stetigen Umkehrabbildung auf dem Bild Vα = {y : y = G(x) mit x ∈ Uα }.
(Man kann zeigen, dass Vα eine Umgebung von ỹ = G(x̃) ist.)
Aufgabe 13
(Mit Mitteln der Schulmathematik)
Auf der Schule lernt man die ‘schriftliche Division’ als ein Verfahren, um
schrittweise die Dezimalbruchentwicklung einer positiven rationalen Zahl zu
bestimmen. Manchmal kann auch ein verallgemeinertes Newton-Verfahren
mit einem passend gerundeten Divisor effizient sein, wenn es gilt, einen
Dezimalbruch xn zu bestimmen, der in mindestens M Stellen korrekt ist.
Als Beispiel betrachten wir:
b
x̃ =
a
⇐⇒
x̃
ist Fixpunkt von φc :
2. Es sei x0 = 0 und xn = φc (xn−1 ). Zeigen Sie |xn − ab | ≤ αn · ab .
φ:
1. Es gibt mehrere interessante Darstellungsweisen für die sog. Dirichletkerne DN (t). Beweisen Sie die Gleichheiten
DN (t) =
6
100 .
Hinweis:
• Zeigen Sie: Wenn f (t) ein trigonometrisches Polynom ist, dann auch der
Realteil von f .
• Der Raum aller reellwertigen trigonometrischen Polynome vom Grad
≤ N ist ein reeller Vektorraum der Dimension . . . . Finden Sie eine Basis!
• Eine Funktion f (t) heisst bekanntlich gerade (bzw. ungerade), wenn gilt
f (−t) = f (t) (bzw. f (−t) = −f (t)). Die Menge der geraden trigonometrischen Polynome ist ein . . . . . . -dimensionaler Vektorraum, der Vektorraum der ungeraden trigonometrischen Polynome hat die Dimension
. . . . . . . Finden Sie Basen für diese Vektorräume !
• Produkte trigonometrischer Polynome sind bekanntlich trigonometrische Polynome. Die Funktion f (t) = (cos t)3 ist ein gerades reellwertiges
trigonometrisches Polynom vom Grad ≤ 3. Stellen Sie es mit der oben
gewählten Basis dar!
PN
−N
−1
1 1
sin(N + 12 )t
· ei(N + 2 )t − e−it(N + 2 )t =
.
sin 12 t
eikt ist eine geometrische Reihe.
2. Aus der vorletzten Darstellung gewinnt man (durch die Summation geometrischer Reihen) bemerkenswerte Darstellungen des sog. Fejér-Kerns
N -ter Ordnung:
FN =
Aufgabe 14
eikt = 1 + 2 cos t + cos 2t + · · · + cos N t =
= eit/2 − e−it/2
x −→ x − 0, 03 · (37x − 2)
Schätzen Sie ab, wie nahe x6 an der gesuchten Zahl x̃ = 2/37 dran liegt.
M. a. W.: Auf wieviele Dezimalen genau ist der Näherungswert x6 ?
N
X
−N
1
x −→ x − (ax − b) .
c
1. Zeigen Sie: φc ist eine α-Kontraktion mit α = |1 − ac |, wenn c ≈ a.
3. Studieren Sie das Beispiel x̃ = 2/37 ≈
Aufgabe 15 (Rechenübungen: geometrische Reihe und Eulersche Formel
anhand der Kerne von Dirichlet und Fejér)
X
1
(D0 + D1 + . . . + DN −1 ) =
(1 −
N
n
|n| +
N )
· eint =
= 1 + 2(1 − N1 ) cos t + 2(1 − N2 ) cos 2t + . . . + 2 N1 cos(N − 1)t =
2
 N
!2
N
i2t
−i 2 t
sin N2 t
1
1 e
−e
 =
·
·
=
N
N
eit/2 − e−it/2
sin 2t
3. Zeigen Sie
1
2π
Z
π
DN (t) dt
−π
= 1 =
1
2π
Z
π
FN (t) dt.
−π
4. Die jeweils letzten Formeln in 1) und 2) geben eine bequeme Grundlage
für eine Diskussion des Funktionsgraphen. Möglicherweise können Sie
Mathematik-Software (wie z.B. MAPLE) heranziehen.
Aufgabe 16
Zeigen Sie: Eine Zahlenfolge ist genau dann eine Nullfolge, wenn jede Teilfolge
eine summierbare Teilfolge besitzt.
Aufgabe 17
Es sie (vn )n=1,2,... eine unbedingt summable Folge in einem Banachraum.
Jedes
P∞ vn sei als der Wert einer unbedingt summablen Reihe gegeben: vn =
Sie, dass diePFamilie {vnm : (n, m) ∈ N × N} unbedingt
m=1 vnm . ZeigenP
summabel ist mit nm vnm = n vn .
Aufgabe 18
Es sei V, k·k ein vollständiger normierter Vektorraum (‘Banachraum’). Eine
abzählbare Familie von Vektoren {vα : α ∈ I} wird
P absolut summabel
genannt, wenn die Summe der Normen endlich ist: α kvα k < ∞.
Zeigen Sie
1. Jede absolut summable Familie ist unbedingt summabel.
2. Jede unbedingt summable Familie in einem endlichdimensionalen Vektorraum ist absolut summabel.
3. Finden Sie eine quadratsummable (d.h. in Bezug auf die bekannte 2Norm unbedingt summable) trigonometrische Reihe, die nicht absolut
summabel ist.
Aufgabe 19
Zeigen Sie
(Teilfolgen mit summablen Abständen)
• Wenn (Pn )n=1,2,... eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum ist,
dann
P existiert eine Teilfolge (Pnk )k=1,2,... , sodass
k d(Pnk+1 , Pnk ) < ∞
• Wenn (vn )n=1,2,... eine Cauchy-Folge in einem normierten Vektorraum
ist, dann existiert eine Teilfolge
(vnk )k=1,2,... , sodass sodass die Folge
der Differenzen { vnk+1 − vnk : k ∈ N} unbedingt
summabel ist. Wenn
P
vn −→ v, dann gilt vn1 + k vnk+1 − vnk = v.
Aufgabe 20
Zeigen Sie, dass für alle m, n ∈ N gilt
(
1 wenn
cos mt · cos nt dt =
0
wenn
−π
Z π
1
·
cos mt · sin nt dt = 0.
π −π
Rπ
Berechnen Sie auch π1 · −π sin mt · sin nt dt.
1
·
π
Z
π
m=n
m 6= n.
Aufgabe 21
Gegeben sei ein trigonometrisches Polynom
X
ak · cos kt + bk · sin kt .
f (t) = a20 +
k=1
Rπ
Zeigen Sie ak = π1 · −π cos kt · f (t) dt für k = 0, 1, . . . .
Wie lautet die entsprechende Formel für die Koeffizienten bk ?
Aufgabe 22 (Eine spezielle Cauchyfolge im Raum der trig. Polynome)
Wir betrachten für N = 1, 2, . . . das trigonometrische Polynom
EN (t) ==
N
+N
X
X
2
sin(nt) =
an eint
n
1
mit
an =
−N
1
für n 6= 0.
in
Zeigen Sie: die Folge (EN )N eine Cauchyfolge ist im Sinne der üblichen Norm
s Z
qX
π
X
1
2
|cn | =
kf k =
|f (t) |2 dt wenn f (t) =
cn · eint .
2π
−π
Zeigen Sie, dass die Familie { n2 · sin nt : n ∈ N} unbedingt summabel ist in
der Vervollständigung des Raums der trigonometrischen Polynome.
Aufgabe 23 (Eulers Sägezahnfunktion)
E(·) sei die 2π-periodische Funktion mit
−π − s für s ∈ (−π, 0)
E(s) =
π − s für s ∈ (π, 0)
Zeigen Sie:
• Die Fourier-Koeffizienten sind a0 = 0 und
Z
i
1
E(s)e−ins ds = −
an =
2π
n
für n 6= 0 .
Das approximierende Fourierpolynom vom Grad ≤ N ist also
EN (s) =
+N
X
−N
an eins =
N
X
2
sin(ns) .
n
1
• Die Ableitung von EN (s) ist eng verwandt mit dem sog. Dirichletkern
PN
DN (s) = −N eins , den wir in Aufgabe 15 diskutiert haben. Klären Sie
die Beziehung!
• Diskutieren Sie den Funktionsgraphen
der 2π-periodischen Funktion
S(s) = π4 · E(s) + E(π − s) und zeigen Sie
1
4
1
S(s) ∼
sin s + sin 3s + sin 5s + . . . ,
π
3
5
in dem Sinn, dass die hier angegebene Reihe die formale Fourier-Reihe
zur (unstetigen!) Funktion S(·) ist. — Fragen der Konvergenz sollen hier
nicht diskutiert werden.
Aufgabe 24
Für eine beliebige formale Potenzreihe A(z) = a0 + a1 · z + a2 · z 2 + . . .
definiert man die ‘formale Ableitung’ A0 (z) = a1 + 2a2 · z + 3a3 · z 2 + . . . .
Zeigen Sie:
1. Es gibt genau eine formale Potenzreihe E(z) mit E(0) = 1 und E 0 (z) =
E(z). Bestimmen Sie die Koeffizienten!
2. Für jedes reelle α gibt es genau eine formale Potenzreihe Eα (z) mit
Eα (0) = 1 und (1+z)·Eα0 (z) = α·Eα (z).Bestimmen Sie die Koeffizienten!
3. Die Menge aller A(z) mit A00 (z) = −A(z) ist ein zweidimensionaler
Vektorraum. Die folgenden formalen Potenzreihen bilden eine Basis
C(z) = 1 −
1 2
2! z
+
1 4
4! z
−
1 6
6! z
+ ···
=
S(z) = z −
1 3
3! z
+
1 5
5! z
−
1 7
7! z
+ ···
=
1
(E(iz) + E(−iz)) ;
2
1
(E(iz) − E(−iz)) ;
2i
Aufgabe 25 (Logarithmus- und Exponential-Reihe)
Es sei E(z) die Exponentialreihe (betrachtet als eine formale Potenzreihe mit
komplexen Koeffizienten)
X
1 2
1 3
1 n
E(z) = 1 + z + 2!
z + 3!
z + ··· =
n! z .
Aufgabe 27 : Seien X und Y unabhängig und gleichmäßig verteilt auf
der Punktmenge {−N, −N + 1, . . . , −1, 0, +1, . . . , N }.
Zeigen Sie: Die Gewichte von Z = X + Y liefern eine ‘Dreiecksverteilung’ in
dem Sinne
+
Ws({X + Y = n}) = 2N1+1 · 1 − 2N|n|+1
.
Begründen Sie (mit Hilfe der Faltungsformel für die Koeffizienten und dem
binomischen Lehrsatz) für α, β ∈ C
Aufgabe 28 :
1 2 2
2! α z + · · · )
1
β)z + 2!
(α2 +
E(αz) · E(βz) =(1 + αz +
= 1 + (α +
· (1 + βz +
2
1 2 2
2! β z
2
+ ···)
2αβ + β )z + · · · = E((α + β)z) .
Die formale Potenzreihe E(z) − 1 besitzt eine Umkehrung L(z). Die Differentiation von E(L(z)) − 1 = z ergibt
1 = E(L(z)) · L0 (z) = (z + 1) · L0 (z) ;
1
= 1 − z + z2 − z3 + · · · .
L0 (z) =
1+z
L(z) = z − 21 z 2 + 13 z 3 − 14 z 4 + · · · .
Bemerke: Die formale Potenzreihe L(z) hat dieselben Koeffizienten wie die
wohlbekannte Potenzreihenentwicklung von ln(1 + z). Wundert Sie das?
Aufgabe 26
Zeigen Sie: Wenn (an )n eine Zahlenfolge ist mit |an | = o((1 + δ)n ) für jedes
δ > 0, Dann gilt lim supn→∞ |an |1/n ≤ 1.
Sei r eine positive Zahl < 1 und
f (t) =
∞
X
rn · eint
für t ∈ R/2π .
1
Es gilt dann mit gewissen Koeffizienten cn bzw. ak
|f (t)|2 = f (t) · f (t) =
+∞
X
∞
cn · eint =
−∞
X
1
ak · cos(kt) .
a0 +
2
1
a) Berechnen Sie diese Koeffizienten
c0 , c1 = c̄−1 , c2 = c̄−2 , . . .
b) Finden Sie eine einfache Formel für |f (t)|2 .
Hinweis. Es geht bei f (t) um eine geometrische Reihe.
Aufgabe 29
Es sei (fn )n eine Folge stetiger Funktionen auf einem metrischen Raum,
welche gleichmäßig gegen eine Funktion f˜ konvergiert. Zeigen Sie, dass die
Limesfunktion f˜ stetig ist.
Gilt auch die Umkehrung?
1
Für α ∈ R sei an = α
n = n! · α · (α − 1) · · · ((α − n + 1).
1/n
Zeigen Sie lim supn→∞ |an |
≤ 1.
Aufgabe 30
Es sei F+ die Menge aller nichtnegativen Funktionen auf irgendeinem Grundraum Ω. Für f, g ∈ F+ bezeichne f ∧ g das punktweise Minimum, f ∨ g das
punktweise Maximum und f \g = f − f ∧ g. Zeigen Sie
(f + g)\h =f \h + g\(h\f ),
(f + g) ∧ h =f ∧ h + g ∧ (h\f ),
f \(g + h) =(f \g)\h.
Möglicherweise hilft es, wenn Sie zuerst beweisen: (h\f ) ∧ (f \h) = 0
(f + h) ∧ (g + h) = f ∧ g + h,
(f + h)\(g + h) = f \g.
Aufgabe 31 : (Rechenregeln für formale Potenzreihen)
P∞
Eine formale Potenzreihe ist ein formaler Ausdruck der Form 0 an z n · z n .
Wir schreiben auch
A = A(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + a3 z 3 + · · · .
Die an (sie sind bei uns hier komplexe Zahlen) heissen die Koeffizienten; z
heisst die Unbestimmte.
Die Menge F aller formalen Potenzreihen ist ein komplexer Vektorraum. Formale Potenzreihen kann man aber auch miteinander multiplizieren; es gelten
die Assoziativ- und die Distributivgesetze. Für das Produkt sind die Koeffizientenfolgen miteinander zu falten.
X
X
X
an z ·
bn z n =
cn z n
n
mit
cn =
n
X
ak bn−k .
Aufgabe 32 :
(Die Potenzreihen zu den trigonometrischen Funktionen)
• Berechnen Sie (mit der Methode des Koeffizientenvergleichs für formale
Potenzreihen) die ersten Koeffizienten in der Potenzreihenentwicklung
der Arcussinusfunktion
A(z) = arcsin z = z + a3 z 3 + a5 z 5 + a7 z 7 + · · ·
1
Hinweis: Die Ableitung der Arcussinusfunktion ist (1 − z 2 )− 2 und ihre
Potenzreihenentwicklung ergibt sich aus Newton’s Binomialreihe.
Verifizieren Sie das Ergebnis durch Einsetzen in die Potenzreihe für den
Sinus
1 3
1 5
z = A(sin z) = A(z − 3!
z + 5!
z − · · · ).
• Finden Sie die beiden ersten Koeffizienten in der Potenzreihenentwicklung der Tangensfunktion
0
Die formale Ableitung ist die lineare Abbildung
D:
F −→ F;
∞
X
0
1)
an z n 7−→
∞
X
tan z = z + b3 z 3 + b5 z 5 + · · · =
nan z n−1 = A0 (z)
Diskutieren Sie auch den Arcustangens und seine Ableitung!
0
Zeigen Sie die Produktregel
D(A · B) = D(A) · B + A · D(B).
Beachten Sie die Linearität
in beiden Faktoren und studieren Sie die Monome A = z k und B = z l .
2)Zu jeder formalen Potenzreihe A(z) mit a0 6= 0 existiert in F eine multiplikative Inverse. Begründen Sie das und drücken Sie ihre formale Ableitung
durch die Ableitung von A(z) aus.
3) Sei G(z) eine formale Potenzreihe ohne konstantes Glied G = g1 z + g2 z 2 +
g3 z 3 + · · · . Dann ist
B(z) = A(G(z)) = a0 + a1 G(z) + a2 (G(z))2 + · · ·
für jedes A ∈ F eine wohldefinierte formale Potenzreihe. Begründen Sie das!
3) Zeigen Sie, dass sich ihre Ableitung B 0 = D(B) aus den Ableitungen A0
und G0 ergibt, wie folgt
B 0 (z) = D (A(G(z))) = A0 (G(z)) · G0 (z).
Hinweis: Zeigen Sie die ’Kettenregel’ zunächst für die Monome A = z k .
sin z
.
cos z