Analysis I SS 2001

Analysis I SS 2001
− Zusammenfassung −
Stephan Weller, Juli 2002
Inhalt
1. Vollständige Induktion und Ungleichungen
2. Folgen und Reihen
3. Konvergenz und Stetigkeit
4. Differentiation, lokale Extrema, Konvexität
5. Integration, Substitutionsregel und partielle Integration
6. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Taylorreihen
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Dieser Text soll dazu dienen, kurz die wichtigsten Punkte der Vorlesung Analysis I
im SS 2001 bei Prof. Spindler zusammenzufassen. Natürlich kann er das vollständige
Skript nicht ersetzen. Insbesondere wurden intuitiv klare Definitionen und Sätze vernachlässigt.
Die Sätze sind daher streng mathematisch gesehen unsinnig und falsch, aber trotzdem praktisch.
Der Autor übernimmt keinerlei Verantwortung für irgendetwas.
Bei entdeckten Fehlern wäre ich über eine kurze Mail an [email protected] dankbar.
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1. Vollständige Induktion und Ungleichungen
1.1 Vollständige Induktion
Eine Aussage A gilt unter folgener Voraussetzung für jede ganze Zahl n grösser−gleich n 0
n
, n n 0 als bewiesen:
1. (Induktionsvoraussetzung) Die Aussage gilt für n 0
A n0 .
2. (Induktionsschritt) Gilt die Aussage für ein m m n0 ,
so gilt sie auch für m 1.
A m
A m 1 .
1.2 Geometrische Summenformel
n : n x k 1 x n 1 mit x 1
1 x
k
0
1.3 Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient beschreibt die Anzahl der k−elementigen Teilmengen
einer n−elementigen Menge.
und eine beliebige Zahl n setzt man n : k n j 1 .
Für k
j
k
j
1
Damit gilt auch (trivialerweise ;−):
Und weiter:
n
k
n 1
k
n
k
n 1 .
k 1
1.4 Dreiecksungleichung
Für alle Zahlen x und y x , y
x y x y
n!
k! n k !
gilt:
1.5 Bernoullische Ungleichung
, x 1 und alle n Für alle Zahlen x
1 x n 1 nx
gilt:
2. Folgen und Reihen
2.1 Konvergenz einer Zahlenfolge
Eine Folge an n reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl a , wenn gilt:
Zu jeder reellen Zahl
a an
0 gibt es ein n 0
, so dass für alle n
, n n0 gilt:
Konvergiert die Folge gegen eine reelle Zahl, heißt sie konvergent und man schreibt:
lim a n a
n
Jede konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.
Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent .
2.2 Rechenregeln für die Grenzwerte von Folgen
Für konvergente (!) Folgen an und bn mit lim an
n
a und lim b n
n
b
und reelle Zahlen gilt:
lim an b n lim an lim bn
lim
n lim
n n
lim
n
an bn
an
n
n
ab
a
an a
, falls b n 0 für alle n
bn b
und b 0
2.3 Unendliche Reihen
n
ak bezeichnet die Folge der Partialsummen
ak n !
k
n
k
n
0
n0
0
Konvergiert die Folge der Partialsummen gegen a , so schreibt man:
Sind
a k k
0
ak und
k 0
b konvergent, so gilt (mit
k a
k
k
0
k
a
0
):
k 0
bk
2.4 Geometrische Reihe
Für x
ak
k
n
mit x
1 gilt:
bk
0
k 0
xk 1
1 x
2.5 Leibniz−Kriterium für alternierende Reihen
Wenn an eine monoton fallende Folge reeller Zahlen ist, die gegen Null konvergiert,
dann gilt:
k 0
1 k ak ist konvergent.
2.6 Majorantenkriterium / Absolute Konvergenz
Eine Reihe
ck komplexer Zahlen heißt absolut konvergent,
k 1
wenn die Reihe der Absolutbeträge
Ist
ck konvergiert.
k 1
a eine konvergente Reihe und c eine Reihe mit ck
k
k
so ist
ck absolut konvergent und
ak heißt
k
1
k
1
ak für alle k ,
k 1
2.7 Quotientenkriterium
Wenn
ck eine Reihe ist mit cn 0 und es gibt ein
k 1
so dass
Majorante von
cn cn
1
"
für alle n n 0 , dann ist
k 1
ck .
k 1
" mit 0 " c k absolut konvergent.
1 und ein n0 1 ,
3. Konvergenz und Stetigkeit
3.1 Exponentialreihe
zn
absolut konvergent.
ist für alle z
exp z n 0 n!
exp z heißt die komplexe Exponentialfunktion.
z n
Es gilt: exp z lim 1 n
n 3.2 Stetigkeit
Eine Funktion heißt stetig auf X , wenn sie in jedem Punkt a X stetig ist.
Eine Funktion heißt stetig in a, wenn gilt:
Zu jedem 0 gibt es ein # 0, so dass für alle x X mit x a # gilt: x a
Alle rationalen Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.
3.3 Sätze über stetige Funktionen
Die Summe zweier stetiger Funktionen ist stetig.
Das Produkt zweier stetiger Funktionen ist stetig.
Die Komposition zweier stetiger Funktionen ist wieder stetig.
Die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion ist stetig (sofern sie existiert).
Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervallen ihr Maximum und Minimum an.
3.4 Gleichmäßige Stetigkeit
Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig auf X , wenn gilt:
Zu jedem 0 gibt es ein # 0, so dass gilt:
f x f x ’ für alle x , x ’ X mit x x ’ #
Jede gleichmäßig stetige Funktion ist auch stetig, nicht aber umgekehrt.
Stetige Funktionen sind auf jedem kompakten Intervall gleichmäßig stetig.
3.5 Sinus und Cosinus
): e ix cos x i sin x
Es gilt (mit x
ix
ix
Also ist sin x Im e und cos x Re e
4. Differentiation, lokale Extrema, Konvexität
4.1 Differenzierbarkeit
Eine Funktion f heißt differenzierbar in a , wenn der Grenzwert
f x f a
f’ a : lim
x a
x a
existiert. Sie heißt differenzierbar auf X , wenn sie in jedem a X differenzierbar ist.
Die Funktion x f’ x heißt dann die Ableitung von f
Alternative Charakterisierung der Differenzierbarkeit:
mit folgenden
Eine Funktion ist in x 0 differenzierbar, wenn eine Funktion $ : X Eigenschaften existiert:
$ ist stetig in x 0
x X: f x
Dann gilt: f’
f x0
x0 $
$
x
x
x0
Es folgt die Darstellung: f x
mit
%
x
$
x
$
x0
f x0
f’ x 0 x x 0
%
x0
x0
4.2 Differentiationsregeln
und f , g : X Es seien a , b
seien reelle Funktion, beide in x 0 X differenzierbar.
Dann gilt:
af bg ist in x 0 differenzierbar in x 0 mit af bg ’ x 0
fg ist in x 0 differenzierbar in x 0 mit fg ’ x 0
f
ist differenzierbar in x 0 mit
g
x
x
f
’ x0
g
(falls g x 0 für alle x X )
f & g ’ x 0 f’ g x 0 g’ x 0
− Ist f umkehrbar, dann gilt: f '
1
’ x
af’ x 0
f’ x 0 g x 0
f’ x 0 g x 0
f’ f '
bg’ x 0
f x 0 g’ x 0
f x 0 g’ x 0
g x0
2
1
1
x
4.3 Lokale Extrema
Ist f eine in x 0 differenzierbare Funktion, die in x 0 ein lokales Extremum hat,
so ist f’ x 0
0 (Achtung: Die Umkehrung gilt nicht!)
0 und f’’ x 0 0, so besitzt f in x 0 ein lokales Minimum.
Gilt f’ x 0 0 und f’’ x 0 0, so besitzt f in x 0 ein lokales Maximum.
, a b und f : a,b sei stetig und differenzierbar.
Seien a,b
f b f a
Dann gibt es ein (
a,b , so dass: f’ ( b a
Gilt f’ x 0
f ist monoton wachsend auf X genau dann, wenn f’ nicht−negativ auf X ist.
Ist f’ auf ganz X positiv, so ist f streng monoton wachsend.
Ist f’’ nicht−negativ (nicht−positiv) auf X , so ist f konvex (konkav).
5. Integration, Substitutionsregel und partielle Integration
5.1 Integration
Jede stetige Funktion ist integrierbar.
Das Integral ist linear, d.h. )+* f x , g x dx f x dx b
)
Es gilt:
a
Seien f und
)
b
f x
%
f x dx ,) g x dx
a
)
f x dx
b
stetig mit
x dx f
%
*-)
%.
0 . Dann gibt es ein
(
, so dass
b
( ) %
a
x dx
a
Für eine stetige Funktion f ist das Integral eine Stammfunktion.
Es gilt:
)
f x dx F b
b
F a
a
5.2 Substitutionsregel
Für stetiges f und stetig differenzierbares
)
b
f
%
t
%
/
’ t dt /
a
Kurzschreibweise:
)
%
gilt:
b
)
f x dx
a
b
%
f
t d%
a
t
/
)
/
b
f x dx
a
5.3 Partielle Integration
Für stetig differenzierbare Funktionen f und g gilt:
)
b
f x g’ x
dx f x g x
0 )
b
b
a
a
f’ x g x dx
a
5.4 Uneigentliche Integrale
f : a, 1
heißt uneigentlich integrierbar auf [ a, 1 ),
wenn der Grenzwert lim )
R
R
f x dx existiert.
a
f : ( a, b ] heißt uneigentlichintegrierbar auf ( a, b ], wenn gilt:
2
Der Grenzwert lim
)
0 a
b
2
f x dx existiert.
5.5 Integralvergleichskriterium
Es sei f : [ 1, 1 ) +
monoton fallend, a n f n . Dann konvergiert die Reihe
genau dann, wenn das uneigentliche Integral
)
n 1
f x dx konvergiert.
1
an
6. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Taylorreihen
6.1 Konvergenz von Funktionenfolgen
Für eine Folge f n von Funktionen f n : X und eine Funktion f : X gilt:
f n konvergiert punktweise gegen f ,
wenn für alle x X die Folge f n x gegen f x konvergiert.
f
konvergiert gleichmäßig gegen f , wenn gilt:
n 0 3
N
, so dass für alle n N , x X gilt: f x
f x0
Konvergiert f n gleichmäßig gegen f , so folgt aus der Stetigkeit von f n die Stetigkeit von f .
Ist f: X eine Funktion, so heißt f
: sup { f x 0 x X } die Supremumsnorm von f .
X
Eine Folge f n konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f , wenn gilt: lim f f n
n
: 6.2 Weierstraßsches Konvergenzkriterium
Für n 0 gelte für eine Funktion f n : X Die Reihen
f n und
n 0
fn
n 0
X
1
X
0
. Dann gilt:
f n konvergieren gleichmäßig.
n 0
6.3 Integrale von Funktionenfolgen
Konvergiert f n gleichmäßig f , so gilt lim )
n
b
fn x
b
dx )
a
f x dx
a
6.4 Differenzierbarkeit bei Funktionenfolgen
Sei f n eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen, die punktweise gegen f konvergiert.
Weiter konvergiere die Folge f n ’ der Ableitungen gleichmäßig gegen eine Funktion g .
Dann gilt: f ist differenzierbar und g ist die Ableitung von f .
6.5 Taylorsche Formel
Für eine (n+1)−mal stetig differenzierbare Funktion f : X ) gilt für a, x X :
(für ein offenes Intervall X 4
f x
f a
mit R n 1
x
f’ a x a
x
1
) x t n f
n! a
f’’ a
2
n 1
x a
2
... f
n
a
n!
x a
n
Rn
1
x
t dt
1
heißt das Restglied (n+1)−ter Ordnung und f a
... n
a
x a
n!
heißt das n −te Taylorpolynom von f um den Entwicklungspunkt a .
Rn
f
n
6.5’ Lagrange−Form des Restgliedes
(Zur Taylorformel) Es gibt ein (
a,x , so dass:
f x
n fk a
k!
k
0
x a
k
(
x
n 1 !
f
n 1
a
n 1
6.6 Approximation durch Taylorpolynom
Ist f n−mal differenzierbar, a X , so gibt es eine in a stetige Funktion
$ : X mit $ a 0, so dass gilt:
f x
n fk a
k!
k
0
x a
k
6.7 Taylorreihe
$
x x a
n
k
a
k
x a heißt die Taylorreihe von f
k!
k
0
mit Entwicklungspunkt a. Ihre Partialsummen sind die Taylorpolynome.
Die Potenzreihe T f,a x
6.8 Abelscher Grenzwertsatz
Es sei
cn konvergent, c n
n 0
Dann konvergiert f x
f
.
cn x n für alle x
0,1 und ist stetig auf 0,1 .
n 0
6.9 Allgemeine binomische Formel (Anwendung der Taylorentwicklung)
und x , x 1 gilt:
Für beliebiges *
1 x 5 n 0
*
n
x mit
n
* n
1
n!
n *6 k k
1
1
6.10 Wichtige Reihenentwicklungen (oft zur Bestimmung von Taylorpolynomen gebraucht)
2k 1
)
(für alle x
sin x 1k x
2k 1 !
k
0
2k
)
cos x (für alle x
1k x
2k !
k
0
k
x
)
exp x (für alle x
k 0 k!
1 mit x 1 )
x k (für alle x
1 x k
0