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Lösungsskizze zu Übungsblatt 14
(Fehler und Irrtümer vorbehalten)
Aufgabe 1.
1. Durch Umformen der Nachfragefunktion D(p) = 100-p erhält man die inverse Nachfragefunktion:
PD(qD) = 100 - qD,
wobei qD die nachgefragte Menge bezeichnet. Entsprechend ist die inverse Angebotsfunktion
gleich PS(qS) = qS, wobei qS die angebotene Menge bezeichnet.
Im Gleichgewicht gilt:
qD = qS :=q* und PD(q*) = PS(q*) :=p*
Folglich gilt:
100 – q* = q* Ù q* = 50 und p* = PS(q*) = q* = 50.
Das Marktgleichgewicht ist also durch (p*, q*) = (50, 50) gegeben.
P
100
PD(q)
PS(q)
p*
45°
q*
q
100
2. Die Preiselastizität der Nachfrage ist definiert als
εD =
p dD( p )
p
=
⋅ (− 1)
D( p ) dp
100 − p
Im Marktgleichgewicht (p*, q*) = (50, 50) ist sie gleich ε = (-1)·50 / (100-50) = -1.
3. Wenn eine Mengensteuer mit dem Steuersatz t = 10 eingeführt wird, verringert sich der
„effektive Preis“ für die Anbieter auf p' = p – t. Die Angebotsfunktion sieht nun wie folgt aus:
 0 wenn p < t
S ( p, t ) = 
 p − t wenn p ≥ t
Im Gleichgewicht gilt S(p, t) = D(p) Ù p – t = 100 – p, so dass der neue Gleichgewichtspreis und
die neue Gleichgewichtsmenge von dem Steuersatz t wie folgt abhängen:
p(t) = 50 + ½ t
q(t) = p(t) – t = 50 + ½ t – t = 50 - ½ t
Beachte: Ist t > 100, bricht der Markt zusammen!
Für t = 10 gilt: p** = 50 + 10/2 = 55 und q** = 50 – 10/2 = 45.
Das Steueraufkommen ist gleich T(t) = t·q(t) = t·(50 – ½ t) = 50·t – ½ t². Für t = 10 ist T = 450.
4. Die Mengensteuer führt zwar zu einem Preisanstieg auf dem Markt, der Preis erhöht sich
allerdings nicht um t = 10, sondern nur um p** - p* = 55 – 50 = 5 Geldeinheiten. Die Produzenten
müssen aber 10 Geldeinheiten an den Fiskus abführen. Für jede Mengeneinheit des Gutes
realisieren sie also nur den Preis p' = p** - t = 55 – 10 = 45. Im Vergleich zum Marktgleichgewicht
-1-
vor Einführung der Mengensteuer müssen die Konsumenten für jede gekaufte Mengeneinheit des
Gutes 5 Geldeinheiten mehr bezahlen und die Produzenten erhalten für jede verkaufte
Mengeneinheit des Gutes 5 Geldeinheiten weniger. Die Steuerlast (10 Geldeinheiten für jede
Mengeneinheit des Gutes) wird also zwischen den Produzenten und Konsumenten 50:50 verteilt!
Beachten Sie noch zwei Spezialfälle:
(i) Vollkommen elastisches Angebot
In diesem Fall ist die Angebotskurve (fast) horizontal, d.h. die Produzenten bieten jede
gewünschte Menge zu einem festen Preis an. Die Konsumenten tragen hier die ganze Steuerlast
einer Mengensteuer. (Vgl. Varian, Grundzüge der Mikroökonomik, Abb. 16.5-A).
(ii) Vollkommen unelastisches Angebot
In diesem Fall ist die Angebotskurve (fast) vertikal, d.h. die Produzenten legen eine bestimmte
Menge fest, und die Nachfrage bestimmt den Preis. Die Anbieter tragen in diesem Fall die ganze
Last einer Mengensteuer. (Vgl. Varian, Grundzüge der Mikroökonomik, Abb. 16.5-B).
5. Steueraufkommen ist gleich T(t) = t·q(t) = t·(50 – ½ t) = 50·t – ½ t². Bestimme die Ableitung
dieser Funktion nach t: T’(t) = 50 – t. Bei t = 10 gilt: T’(10) = 50 – 10 = 40>0, d.h. durch eine
Erhöhung des Steuersatzes t wird das Steueraufkommen größer.
⇒ Die Regierung sollte den Steuersatz also erhöhen!
Um den Steuersatz t* zu bestimmen, der das Steueraufkommen maximiert, löse das folgende
Maximierungsproblem:
max t T(t) = 50·t – ½ t² !
∂T(t*) / ∂t = 50 – t* = 0 Ù t* = 50. (Bei t =50 ist das Steueraufkommen T = 1250.)
6. Die Produzentenrente berechnet man als Erlös abzüglich der Kosten und ggf. der Steuern. Die
Kosten erhält man als Fläche unter der inversen Angebotsfunktion.
Die Veränderung der Produzentenrente aufgrund der Einführung einer Mengensteuer ist gleich:
q **
q*

 

∆PR =  p * * ⋅ q * * − ∫ PS ( q )dq − t ⋅ q * * −  p * q * − ∫ PS ( q )dq 

 

0
0
Für t = 10, p** = 55, q** = 45, p* = 50, q* = 50 und PS(q) = q gilt:
45
50


 
∆PR = (55 − 10 ) ⋅ 45 − ∫ qdq  − 50 ⋅ 50 − ∫ qdq 
0
0

 

45
50
 q2 
 q2 
2025
2500
= 2025 −   − 2500 +   = 2025 −
− 2500 +
2
2
 2 0
 2 0
1
475
= (2025 − 2500) = −
= −237,5
2
2
Die Konsumentenrente berechnet man als Zahlungsbereitschaft der Konsumenten abzüglich der
bezahlten Preise. Die Zahlungsbereitschaft erhält man als Fläche unter der inversen
Nachfragefunktion.
Die Veränderung der Konsumentenrente aufgrund der Einführung einer Mengensteuer ist gleich:
 q **
 q*

−
−
−
P
(
q
)
dq
p
*
*
q
*
*
P
(
q
)
dq
p
*
q
*
 ∫ D

∆KR =  ∫ D
 0
  0

Für t = 10, p** = 55, q** = 45, p* = 50, q* = 50 und PD(q) = 100 – q gilt:
-2-

 45
 50
−
−
⋅
(
100
q
)
dq
55
45
∆KR =  ∫
 −  ∫ (100 − q ) dq − 50 ⋅ 50 
0
 0

45
50


q2 
q2 
= 100q −  − 2475 − 100q −  + 2500
2 0
2 0


2025
2500
= 4500 −
− 2475 − 5000 +
+ 2500
2
2
1
475
= (2500 − 2025) − 475 =
− 475 = −237,5
2
2
7. Der durch die Einführung der Mengensteuer verursachte Rückgang der Produzenten- und
Konsumentenrenten beträgt insgesamt ∆KR + ∆PR = 475. Das Steueraufkommen liegt
lediglich bei 450. Die Mengensteuer (mit dem Steuersatz t=10) führt zu einem Wohlfahrtsverlust in
Höhe von 25.
Aufgabe 2.
Vergessen Sie bei der Interpretation der Ergebnisse nicht, dass a,b,d > 0 und c < 0 sind!
1. Im Gleichgewicht gilt:
D(p*) = S(p*) ⇔ a – b·p* = c + d·p* Ù p* =
q* = D(p*) = S(p*) = a – b·
a−c
b+d
a−c
ad + bc
=
b+d
b+d
2. Sind NN Konsumenten mit der individuellen Nachfragefunktion D(p) auf dem Markt, ist die
aggregierte Marktnachfrage gleich
DA(p) = NN·D(p) = NN·(a – b·p).
Im Gleichgewicht gilt:
DA(p*) = S(p*) Ù NN·[a – b·p*] = c + d·p* Ù p*(NN) =
q* = DA(p*) = S(p*) = c + d·
NNa − c
NNb + d
NNa − c
ad + bc
= NN
NNb + d
NNb + d
Geht NN gegen Unendlich, konvergiert der Gleichgewichtspreis gegen
a
:
b
NNa − c
sehr groß,
NNb + d
so dass man die zweiten Terme im Zähler und im Nenner nun außer Acht lassen darf,
N a a
p*→ N = .
NNb b
Wenn NN→∞, werden die ersten Terme im Zähler und im Nenner von p*(NN) =
Alternativer Lösungsvorschlag. Die Regel von de l'Hospital besagt:
Unter Verwendung dieser Regel ergibt sich hier:
f (x)
f '(x)
= lim
.
x → x 0 g( x )
x → x 0 g' ( x )
lim
N Na − c
a a
= lim = .
N N →∞ N b + d
N N →∞ b
b
N
lim p * ( N N ) = lim
N N →∞
Interpretation: zwar steigt der Gleichgewichtspreis, wenn sich die Anzahl der Konsumenten auf
dem Markt (die Nachfrage) erhöht, der Marktpreis kann aber nicht den höchsten (individuellen)
-3-
a
übersteigen. (Beachten Sie, dass die aggregierte
b
a
q
inverse Nachfragefunktion PNA(q) =
–
mit steigendem NN immer flacher wird und für
b
NNb
a
NN→∞ (fast) waagerecht verläuft: PNA(q) ≈ .)
b
Reservationspreis eines jeden Konsumenten
3. Sind NS Anbieter mit der individuellen Angebotsfunktion S(p) auf dem Markt, ist das aggregierte
Marktangebot gleich
SA(p) = NS·S(p) = NS·(c + d·p).
Im Gleichgewicht gilt:
DA(p**) = SA(p**) Ù NN·[a – b·p**] = NS·[c + d·p**] Ù p**(NN, NS) =
q** = DA(p**) = S(p**) = NS·{c + d
NN a − NSc
NNb + NS d
NN a − NSc
ad + bc
} = NN NS
NNb + NS d
NNb + NSd
Ist die Anzahl der Nachfrager auf dem Markt NN endlich und geht die Anzahl der Anbieter auf dem
c
Markt NS gegen Unendlich, konvergiert der Gleichgewichtspreis gegen − .
d
N N a − N Sc
N N b + N Sd
sehr groß, so dass man die ersten Terme im Zähler und im Nenner (beim endlichen NN) nun außer
N c
c
Acht lassen darf, p**→ − S = − .
NSd
d
Wenn NS→∞, werden die zweiten Terme im Zähler und im Nenner von p**(NN, NS) =
Alternativer Lösungsvorschlag. Nach der Regel von de l'Hospital:
N N a − NSc
c
c
= lim − = − .
NS →∞ N b + N d
NS →∞ d
d
N
S
lim p * *( N S , N N ) = lim
NS →∞
Interpretation: zwar sinkt der Gleichgewichtspreis, wenn sich die Anzahl der Anbieter (das
Angebot) auf dem Markt erhöht, der Marktpreis darf aber nicht unter dem niedrigsten
c
(individuellen) Reservationspreis eines jeden Anbieters (- ) liegen. (Beachten Sie, dass die
d
q
c
aggregierte inverse Angebotsfunktion PSA(q) =
–
mit steigendem Ns immer flacher wird
NSd
d
c
und für NS→∞ (fast) waagerecht verläuft: PSA(q) ≈ - )
d
-4-