1 Komplexe Zahlen

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KOMPLEXE ZAHLEN
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Komplexe Zahlen
(Beschreibung der grundlegenden Rechenoperationen)
1.1
Definition
i := Symbol für
√
−1 (also i2 = −1).
Menge der komplexen Zahlen C = {a + bi, a, b ∈ R}.
Für den Spezialfall rein reeller oder rein imaginärer komplexer Zahlen schreibt
man auch kurz:
a + 0i =: a, 0 + bi =: bi, 0 + 0i =: 0
1.2
Bezeichnungen, Darstellungsformen
a = Re z Realteil von z = a + bi
b = Im z Imaginärteil von z = a + bi
r = |z|
Betrag von z
ϕ = arg z Argument von z, Winkel zwischen dem Vektor von 0 zu z und der
positiven reellen Achse. Ist (für z 6= 0) eindeutig bestimmt bis auf
Vielfache von 2π.
z̄ := a − bi
konjugiert komplexe Zahl zu z = a + bi
Im
z = a + bi
r
Umrechnungen:
a = r cos ϕ, b = r sin ϕ
√
r = a2 + b2 ,
bi
ϕ
Re
a
ϕ = arctan ab
(falls z ∈ 1. oder 4. Quadrant)
z̄ = a − bi
Diese Formel zur Berechnung von ϕ und gleichwertige Varianten wie ϕ = arccos ar
stimmen auf jeden Fall im 1. Quadranten. Praktisch gehe man so vor:
Skizze ⇒ (falls z 6∈ 1. Qu.) zeichne Hilfswinkel ϕ∗ ∈ [0, π2 ]
⇒ bestimme ϕ∗ aus Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck
⇒ bestimme ϕ aus ϕ∗ .
Bsp.: z = −i, |z|, arg z =?
Lsg.: Skizze ⇒ |z| = 1, arg z =
3π
2
1
2
KOMPLEXE ZAHLEN
√
Bsp.: z = 2 + 2 q3 i, |z|, arg z =?
√
Lsg.: r = 22 + (2 3)2 = 4,
√
ϕ = arctan 3 =
π
3
Im√
2 3i
z
√
Bsp.: z = −2 + q
2 3 i, |z|, arg z =?
√
Lsg.: r = (−2)2 + (2 3)2 = 4 ,
ϕ
ϕ
ϕ∗
√
= arctan 2 2 3 = π3 ,
= π − ϕ∗ = 2π
3
∗
ϕ
Re
−2
Man unterscheidet 3 Darstellungsarten einer komplexen Zahl:
z = a + bi
Kartesische Form
Trigonometrische Form z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
z = reiϕ
Exponentielle Form
Die trigon. Form folgt aus der kartesischen sofort durch Einsetzen von
a = r cos ϕ, b = r sin ϕ; die exponentielle Form folgt aus der trigonometrischen
über die sogenannte
Euler’sche Formel
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
[Bem.: Die Euler’sche Formel muss an dieser Stelle zwangsläufig etwas mystisch erscheinen. Man
kann jedoch zeigen, dass es genau eine ’vernünftige’ Möglichkeit gibt, die reelle Exponentialfunktion
ins Komplexe fortzusetzen. Da dies jedoch nicht unser Thema ist, betrachte man die exponentielle
Form einfach als abkürzende Schreibweise für die trigon. Form und glaube oder rechne nach, dass
die ’üblichen’ Potenzgesetze auch für ez , z komplex, gelten.]
1.3
Grundrechenarten
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division(durch z2 6= 0) zweier
komplexer Zahlen z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i sind definiert als
z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i
z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i
z1
z2
=
a1 a2 +b1 b2
a22 +b22
+
a2 b1 −a1 b2
i
a22 +b22
Man merke sich natürlich nicht diese Formeln, sondern nur:
Die Definitionen sind so gewählt, daß die ’üblichen’ Rechenregeln gelten. Bei
der Division ist der entscheidende Trick ein Reellmachen des Nenners durch
Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl z2 = a2 − b2 i.
Bsp.: (3 + 4i) + (5 − 7i) = 8 − 3i
(3 + 4i) − (5 − 7i) = −2 + 11i
(3 + 4i)(5 − 7i) = 15 + 20i − 21i − 28i2 = (15 + 28) + (20 − 21)i = 43 − i
3+4i
5−7i
=
(3+4i)(5+7i)
(5−7i)(5+7i)
=
15+21i+20i+28i2
52 −(7i)2
=
−13+41i
25+49
= − 13
74 +
41
74 i
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KOMPLEXE ZAHLEN
Multiplikation und Division gehen ganz bequem in trigonometrischer (oder
exponentieller) Form:
(r1 eiϕ1 ) · (r2 eiϕ2 ) = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 )
r1 eiϕ1
r2 eiϕ2
=
r1
r2
ei(ϕ1 −ϕ2 )
Geometrische Deutung:
Addition (Subtraktion) zweier komplexer Zahlen entsprechen der Addition (Subtraktion) von Vektoren (wie man aus der Definition von Addition (Subtraktion)
erkennt).
Multiplikation (Division) zweier komplexer Zahlen bedeutet Multiplikation (Division) der Beträge nebst Addition (Subtraktion) der Argumente (wie man aus
der trigonometrischen Form erkennt); Potenzieren einer komplexen Zahl entspricht somit einer Drehstreckung eines Vektors.
1.4
Potenzieren, Radizieren
Dies macht man am besten nur in der trigonometrischen (oder exponentiellen)
Form.
Bsp.: z = −1 + i, w = z 20 =?
Variante 1: (−1 + i)20 =? ⇒ binom. Formel für (...)20 ... viel Rechnerei
... ⇒ w = −1024.
√
√ 3π i
Variante 2: z = −1 + i ⇒ |z| = 2, arg z = 3π
2e 4
4 ⇒ z =
√ 3π i 20 √ 20 3π i·20
10
15i
10
15πi−14πi
=2 e =2 e
= 1024eπi =
⇒ w = { 2e 4 } = 2 e 4
1024(cos π + i sin π) = −1024
Allgemein hat man für z = reiϕ :
z n = r n ei nϕ
√ 3π i √ ( π +7· 2π )i
20
Insbesondere ist damit z = 2e 4 = 2e 20
eine Lösung
der Gleichung z 20 = −1024.
√ π √
√
π
π
2π
2π
Andere Lösungen sind
offenbar die Zahlen 2e 20 i , 2e( 20 +1· 20 )i , 2e( 20 +2· 20 )i ,
√
√
π
2π
π
2π
2e( 20 +3· 20 )i , ... , 2e( 20 +19· 20 )i .
Allgemein hat man für w = reiϕ : Die Lösungen z der Gleichung z n = w sind
genau die n Zahlen
z=
√
n
re
ϕ+2kπ
i
n
,
k = 0, 1, 2, ..., n − 1
Im
z1
z2
π
5
π
5
π
5
z0 Re
π
5
π
5
z3
z4
Die fünf 5. Einheitswurzeln, also
die Lösungen von z 5 = 1.