Musterlösung zur Einsendearbeit: Kurs 00694KE3, Verbrauch

Musterlösung zur Einsendearbeit zum Modul 32511: Steuern und ökonomische Anreize, Kurs
00694KE3: Verbrauchsteuern
Musterlösung zur Einsendearbeit: Kurs 00694KE3, Verbrauchsteuern
Aufgabe 1
I) Nehmen Sie an das repräsentative Individuum einer Volkswirtschaft habe die Nutzenfunktion
√
U (x1 , x2 ) = x1 x2 . Sein Einkommen E verwendere das Individuum vollständig für den Konsum der beiden Güter x1 und x2 . Die Regierung erhebe auf das Gut x1 die Wertsteuer t1 und
auf das Gut x2 die Wertsteuer t2 .
a) Ermitteln Sie die gewöhnlichen (Marshallschen) Nachfragefunktionen der beiden Konsumgüter.
b) Gehen Sie davon aus, dass E = 100, t1 = 7%, t2 = 19% gilt und die beiden Nettopreise
ne
pne
1 und p2 jeweils 1 betragen. Bestimmen Sie die nachgefragten Gütermengen, das
Nutzenniveau und die Steuereinnahmen.
c) Der Staat erwäge im Rahmen einer aufkommensneutralen Steuerreform die unterschiedliche Besteuerung der beiden Güter zugunsten einer einheitlichen Besteuerung aufzugeben.
Bestimmen Sie unter Berücksichtigung der Angaben aus Teilaufgabe b) den einheitlichen
Wertsteuersatz t und das neue Nutzenniveau. Ist die Steuerreform aus Sicht des Individuums vorteilhaft?
Hinweis: Runden Sie bei Bedarf auf zwei Nachkommastellen genau.
II) In einer Volkswirtschaft seien die Angebots- und Nachfragefunktion nach einem Gut x gegeben
durch ps (x) = 5+0, 5x und pd (x) = 15−2x. Der Staat besteuere das Gut mit der Mengensteuer
t.
a) Bestimmen Sie für t = 0 sowie für t > 0 das Marktgleichgewicht bei vollständiger Konkurrenz. Welchen Steuersatz müßte der Staat zur Maximierung seiner Steuereinnahmen
setzen? Berechnen Sie die entsprechenden Steuereinnahmen. Welchen Anteil der Steuern
tragen die Anbieter und welchen die Nachfrager?
b) Bestimmen Sie für t = 0 sowie für t > 0 das Marktgleichgewicht im Monopol. Welchen
Steuersatz müßte der Staat zur Maximierung seiner Steuereinnahmen setzen? Berechnen
Sie die entsprechenden Steuereinnahmen. Welchen Anteil der Steuern tragen die Anbieter
und welchen die Nachfrager?
Hinweis: Runden Sie bei Bedarf auf zwei Nachkommastellen genau.
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00694KE3: Verbrauchsteuern
I)
a) Die Bestimmung der Nachfragefunktionen erfolgt über die Maximierung des Nutzens.
Die entsprechende Lagrange - Funktion lautet:
h
i
br
L = (x1 x2 )0,5 − λ pbr
1 x1 + p 2 x2 − E
Über die Bedingungen erster Ordnung lassen sich die Nachfragefunktionen x∗1 und x∗2
bestimmen.
0,5
x2
∂L
− λpbr
= 0, 5
1 =0
∂x1
x1
0,5
∂L
x1
− λpbr
= 0, 5
2 =0
∂x2
x2
∂L
br
= pbr
1 x1 + p 2 x2 − E = 0
∂λ
pbr
⇒ x2 = x1 1br
p2
⇒ E = 2pbr
1 x1
E
⇔ x∗1 = br
2p1
E
⇒ x∗2 = br
2p2
50
50
b) Die nachgefragten Gütermengen sind x∗1 = 1,07
= 46, 73 und x∗2 = 1,19
= 42, 02. Daraus
√
folgt für den Nutzen U = 46, 73 · 42, 02 = 44, 31, sowie für die Steuereinnahmen T =
ne
t1 pne
1 x1 + t2 p2 x2 = 0, 07 · 46, 73 + 0, 19 · 42, 02 = 11, 25.
E
und
2pne
1 (1+t)
E
tpne
=
2 2pne
2 (1+t)
c) Gilt ein einheitlicher Steuersatz t, so lauten die Nachfragefunktionen x∗1 =
E
. Für die Steuereinnahmen gilt
2pne
2 (1+t)
E
E
t 2(1+t) + t 2(1+t) . Diese sollen 11, 25 betragen.
x∗2 =
E
dann T = tpne
1 2pne (1+t) +
1
Des Weiteren ist E = 100. Es folgt:
50
50
+t
= 11, 25
1+t
1+t
⇔100t = 11, 25 + 11, 25t
T =t
⇔88, 75t = 11, 25
9
≈ 12, 68%
⇔t =
71
√
Für die Gütermengen und wegen U = x1 x2 für den Nutzen folgt x∗1 = x∗2 = U =
50
1,1268 = 44, 37 > 44, 31. Da der Nutzen größer ist als im Steuerregime mit zwei unterschiedlichen Steuersätzen sollte die Reform aus der Sicht des Individuums durchgeführt
werden.
II)
a) Ohne Steuer gilt im Marktgleichgewicht ps = pd . Es folgt:
5 + 0, 5x = 15 − 2x
⇔x = 4
⇒ps = pd = 5 + 2 = 7
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Wird eine Mengensteuer erhoben gilt hingegen ps = pd − t. Es folgt:
5 + 0, 5x = 15 − 2x − t
⇔x = 4 − 0, 4t
⇒ps = 7 − 0, 2t
pd = 7 + 0, 8t
Die Steuereinnahmen des Staates belaufen sich auf T = xt = 4t − 0, 4t2 . Das Maximum
der Steuereinnahmen lässt sich über die Bedingung erster Ordnung eines Maximums
ermitteln:
dT
= 4 − 0, 8t = 0
dt
⇔t = 5
Die Steuereinnahmen belaufen sich dann auf Tmax = 20 − 0, 4 · 25 = 10. Die Traglast
lässt sich aus den Anbieter- und Nachfragerpreisen ableiten. So müssen die Anbieter pro
Mengeneinheit einen Abschlag von 0, 2t auf den Preis ohne Steuer hinnehmen. Sie tragen
damit 20% der Mengensteuer. Die Nachfrager haben dagegen einen Aufschlag von 0, 8t
im Vergleich zum Preis ohne Steuer je Mengeneinheit zu tragen. Dies entspricht einer
Traglast von 80% der Mengensteuer.
b) Im Monopol entsprechen die Grenzkosten des Anbieters seinen Grenzerträgen. Ohne
Steuer sind die Grenzkosten durch ps (x) = 5 + 0, 5x gegeben. Die Grenzerträge entsprechen der ersten Ableitung der Erträge pd (x)x = 15x − 2x2 . Sie belaufen sich daher auf
15 − 4x. Im Monopolgleichgewicht gilt somit:
15 − 4x = 5 + 0, 5x
20
≈ 2, 22
⇔x =
9
40
5
⇒pd = 15 −
= 10 ≈ 10, 56
9
9
Erhebt der Staat die Mengensteuer t gilt für den erzielbaren Preis des Anbieters ps =
pd − t. Entsprechend sind seine Erträge dann pd (x)x − tx = 15x − 2x2 − tx und die
Grenzerträge 15 − 4x − t. Im Monopolgleichgewicht ist dann:
15 − 4x − t = 5 + 0, 5x
2 2
⇔x = 2 − t ≈ 2, 22 − 0, 22t
9 9
40 4
5 4
⇒pd = 15 −
+ t = 10 + t ≈ 10, 56 + 0, 44t
9
9
9 9
5 5
ps = 10 − t ≈ 10, 56 − 0, 56t
9 9
Die Steuereinnahmen belaufen sich auf T = xt = 2 29 t − 92 t2 Für ein Maximum muss
dT
dt = 0 gelten:
dT
2 4
=2 − t = 0
dt
9 9
⇔t = 5
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50
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Die maximalen Steuereinnahmen belaufen sich auf Tmax = 100
9 − 9 = 9 ≈ 5, 56. Die
Traglast lässt sich wieder anhand der Preise bestimmen. So trägt der Anbieter einen
Anteil von 0, 56t bzw. 56%, während die Nachfrager 44% tragen müssen.
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