Universität Stuttgart Institut für Theoretische Physik 1 Prof. Dr. G

Universität Stuttgart
Institut für Theoretische Physik 1
Prof. Dr. G. Wunner
Übungen zur Vorlesung ,,Theoretische Physik 2: Quantenmechanik”, WS 2013/2014
Wiederholungsaufgaben zum Üben
Aufgabe 42: Fragen zum Nachdenken
1. Was ist eine unitäre Transformation und welche Eigenschaften hat sie?
2. Nennen Sie Beispiele für spezielle Operatortypen.
3. Was versteht man unter kanonischer Quantisierung, d.h. den Jordanschen Ersetzungsregeln?
4. Was ist ein vollständiger Satz von Observablen? Ist die Energie (Hamiltonoperator) ein vollständiger
Operator für ein freies Teilchen?
5. Nennen Sie einen Satz vollständiger Observablen für das ungestörte, nichtrelativistische Wasserstoffatom
6. Wie ist Unschärfe“ definiert?
”
7. Was versteht man unter Entartung?
8. Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? (Begründung!)
a) Der Kommutator hermitescher Operatoren ist hermitesch.
b) Die Heisenbergsche Unschärferelation begrenzt die Messgenauigkeit jeder einzelnen Impuls(bzw. Orts-) Messung.
c) Für einen vollständigen Operator sind alle Eigenwerte nicht entartet.
d) Für ein 2-Niveau-System gibt es nur genau 2 Zustände.
e) Für ein System mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator ist die Energie eine Erhaltungsgröße.
f) In der Ortsdarstellung entspricht der Hilbertraum dem 3-dimensionalen Ortsraum.
g) Die Ortsdarstellung des 1̂-Operators ist die δ-Funktion.
h) Das Produkt einer δ-Funktion mit sich selbst ist wieder die δ-Funktion.
9. Was versteht man unter Parität?
10. Gibt es für freie Teilchen Zustände mit wohldefinierter Parität?
11. Wie sieht der Erzeugungsoperator des harmonischen Oszillators in der Energiedarstellung aus (Matrix)?
12. Wie lautet die Unschärferelation für Drehimpuls-Komponenten?
13. Geben Sie die Eigenwertgleichungen für den Drehimpuls und eine seiner Komponenten an.
14. Was versteht man unter s- und p-Orbitalen? Wie sehen deren Polardiagramme aus?
15. Welcher Zusammenhang besteht zwischen L2 und dem Laplaceoperator ∆ in Kugelkoordinaten?
16. Was sind die möglichen Eigenwerte zu Lz , Ly und Lx bei gegebenem Eigenwert ~2 j(j + 1) zu L2 ?
17. Leiten Sie aus den Vertauschungsrelationen für Orts- und Impulsoperatoren die Vertauschungsrelationen der Komponenten des Drehimpulsoperators L = r × p her.
18. Wie lauten die Vertauschungsrelationen der Drehimpulskomponenten Li mit den Ortsoperatoren rj ?
19. Geben Sie die Vertauschungsrelationen [L2 , L± ], [Lz , L± ], [L2 , r 2 ] und [Lz , r 2 ] mit den Operatoren
L± = Lx ± iLy an.
1
20. Ein Drehimpulszustand |ψi sei Eigenzustand zu L2 mit l = 3/2. Weiterhin gelte hψ|Lz |ψi = ~/2,
hψ|Lx |ψi = hψ|Ly |ψi = 0. Zeigen Sie, dass diese Bedingungen durch |ψ 32 , 12 i erfüllt werden.
21. Welche Erhaltungsgrößen existieren für das Wasserstoffproblem?
22. Erläutern Sie den Begriff (zeitunabhängige) Störungsrechnung“.
”
Aufgabe 43: Elektron in einer Ringstruktur
In einer Halbleiterstruktur wird ein Elektron so gefangen, dass es sich nur auf einem Ring mit dem Radius
r frei bewegen kann. Es wird durch den Hamiltonoperator
H=
L2z
2M r2
beschrieben.
a) Geben Sie alle Energieeigenwerte und die zugehörigen normierten Wellenfunktionen an. Sind die
Eigenenergien entartet?
b) Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich das Elektron im Zustand
2
ψ(ϕ, t = 0) = √ sin2 ϕ .
3π
Welche Energien können gemessen werden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, sie zu messen?
c) Geben Sie die Wellenfunktion ψ(ϕ, t) für beliebige Zeiten t an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
das Elektron zum Zeitpunkt t auf dem Halbkreis y ≥ 0 zu finden?
Aufgabe 44: Zwei-Niveau-System
Für ein Zwei-Niveau-System sei der Hamiltonoperator
H = H0 + V
gegeben. In der Eigenvektorbasis von H0 ,
1̂ = |e1 ihe1 | + |e2 ihe2 | ,
H0 |ei i = Ei0 |ei i ,
nehmen die einzelnen Operatoren folgende Gestalt an:
0
E1 0
0
H0 =
,
V
=
0 E20
K
K
0
,
K reell.
a) Lösen Sie die Eigenwertgleichung
H |ψi i = Ei |ψi i ,
i = 1, 2 .
Geben Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren |ψi i an. Schreiben Sie die Eigenvektoren als Linearkombination der Eigenvektoren von H0 :
|ψi i =
2
X
j=1
cij |ej i .
b) Entwickeln Sie für E10 = E20 = 3, K = −1 und ~ = 1 den Zustand |ϕ0 i = |e1 i nach den Eigenvektoren
von H. Geben Sie seine Zeitentwicklung |ϕ(t)i an.
2
c) Berechnen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten |hei |ϕ(t)i|2 in den ungestörten Zuständen. Nach
welcher Zeit ist das System erstmalig vollständig im Zustand |e2 i? Mit welcher Frequenz oszilliert
das System zwischen den Zuständen |e1 i und |e2 i?
d) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Systems in den Zuständen
|ei i der ungestörten Basis.
Aufgabe 45: Zweidimensionaler harmonischer Oszillator
Der Hamiltonoperator des zweidimensionalen harmonischen Oszillators lautet
H = ~ω(b†x bx + b†y by + 1) ,
mit
1 √
i
bx = √ ( mω x + √
px ) ,
mω
2~
1 √
i
by = √ ( mω y + √
py ) ,
mω
2~
1 √
i
b†x = √ ( mω x − √
px ) ,
mω
2~
i
1 √
b†y = √ ( mω y − √
py ) .
mω
2~
a) Zeigen Sie: Die Eigenfunktionen zu H sind
1
(b†x )nx (b†y )ny |0i
|nx , ny i = √ √
nx ! ny !
zum Eigenwert Enx ,ny = ~ω(nx + ny + 1). Wie groß ist die Entartung von Enx ,ny ? Beweisen Sie dazu
mit vollständiger Induktion:
h
i
(b†i )n , b†j bj = −n(b†i )n δij , i, j = x, y .
b) Drücken Sie den Drehimpulsoperator Lz = xpy − ypx durch die Operatoren b†x , bx , b†y , by aus. Zeigen
Sie, dass Lz mit H vertauscht. Lz und H besitzen also gemeinsame Eigenfunktionen. Erfüllen die
|nx , ny i aus a) diese Bedingung?
c) Drücken Sie Lz und H durch die zirkularen“ Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
”
1
1
d†± = √ b†x ± ib†y ,
d± = √ bx ∓ iby
2
2
aus. Berechnen Sie die Vertauschungsrelationen der zirkularen Operatoren untereinander. Wie lauten
die gemeinsamen Eigenfunktionen von Lz und H? Welche Drehimpulseigenwerte sind bei gegebenem
Energieeigenwert möglich? Entwickeln Sie die Eigenfunktionen zu den Eigenwerten E = 2~ω und
E = 3~ω nach den Eigenfunktionen aus a).
Aufgabe 46: Matrixelemente beim harmonischen Oszillator
Es sei |ni Eigenfunktion zum Hamiltonoperator H = ~ω b† b + 21 .
a) Zeigen Sie, dass die Erwartungswerte
hn|xk |ni
verschwinden, wenn k ungerade ist.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert
hn|xp3 |ni .
3
Aufgabe 47: Drehimpulszustände und Messung in einer bestimmten Richtung
Ein Drehimpulszustand |ψi sei Eigenzustand zu s2 mit Eigenwert 3~2 /4 sowie Eigenzustand zum Operator
A = α(sx + sy ). Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt eine Messung von sz den Wert −~/2? Berechnen
Sie dazu die Eigenwerte und Eigenzustände von A. Welchen Punkten auf der Blochkugel (vgl. Aufgabe
33) entsprechen die beiden Eigenzustände?
Aufgabe 48: Ebene Wellen
a) Zeigen Sie, dass die ebenen Wellen
1
φk (x) = √ exp (ikx)
2π
die zeitunabhängige Schrödingergleichung eines freien Teilchens erfüllen. Wie lautet der zugehörige
Energieeigenwert? Erfüllt das Wellenpaket
Z +∞
(k − k0 )2
ψ(x) = N
φk (x) exp −
dk
2(∆k)2
−∞
die zeitunabhängige Schrödingergleichung eines freien Teilchens?
b) Wie lautet die Zeitentwicklung φk (x, t) der ebenen Wellen? Löst die Superposition
Z +∞
(k − k0 )2
φk (x, t) exp −
ψ(x, t) = N
dk
2(∆k)2
−∞
die zeitabhängige Schrödingergleichung eines freien Teilchens?
c) Wie lautet
der Erwartungswert des Impules für das Wellenpaket ψ(x, t)? Dabei sei ψ(x, t) so normiert,
R
dass |ψ(x, t)|2 = 1.
Z +∞
exp (iax) dx = 2πδ(a) , a ∈ R )
(Angabe:
−∞
Aufgabe 49: Zeitentwicklung im harmonischen Potential
a) Wie lauten die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators
H=−
~2 d2
mω 2 2
+
x ?
2m dx2
2
Es ist keine Rechnung verlangt.
b) Die Wellenfunktion
ψ(x, t) =
X
cn ϕ̃n (x)e−iEn t/~
n
ist eine Superposition der Energieeigenzustände
√
2
ϕn (w) = (2n n! π)−1/2 Hn (w)e−w /2 ,
w = x/a0 ,
a0 =
p
~/(mω) ,
1
ϕ̃n (x) = √ ϕn (w)
a0
des harmonischen Oszillators. Zeigen Sie, dass der Erwartungswert des Ortes eine periodische Funktion der Zeit ist. Wie lautet die Periode? Berücksichtigen Sie, dass die Funktionen ϕn (w) orthonormiert sind und verwenden Sie die Rekursionsrelation 2wHn (w) = Hn+1 (w) + 2nHn−1 (w).
4
Aufgabe 50: Attraktives Doppel-Delta-Potential
a) Stellen Sie die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Potential
V (x) = −V0 δ(x + a/2) − V0 δ(x − a/2) ,
V0 > 0
auf. Wie lautet ihre allgemeine Lösung für gebundene Zustände in den drei Bereichen I: x < −a/2,
II: −a/2 < x < a/2, III: x > a/2?
b) Welche Anschlussbedingungen müssen an den Stellen x = ±a/2 erfüllt sein?
c) Geben Sei einen mit der allgemeinen Lösung in den drei Bereichen verträglichen Ansatz für eine
symmetrische Wellenfunktion an. Geben Sie eine Bestimmungsgleichung für die Energieeigenwerte
an. Wie viele symmetrische Lösungen gibt es? Hängt diese Zahl von V0 oder a ab?
d) Wiederholen Sie die Betrachtung aus c) für antisymmetrische Wellenfunktionen.
e) Haben die gefundenen Eigenzustände Knoten? Wenn ja, wo liegen diese?
Aufgabe 51: Zeeman-Effekt
In einem homogenen Magnetfeld B = Bez kommt zum Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms der
Zeeman-Term
Be
Be
HZ =
(lz + 2sz ) =
(jz + sz )
2me
2me
hinzu. In einem schwachen Magnetfeld, das in dieser Aufgabe vorausgesetzt wird, bilden die Drehimpulszustände |j, l, s, mj i, also die Eigenzustände zu den Operatoren j 2 , l2 , s2 , jz mit j = l + s, geeignete
Ausgangszustände für eine Störungsrechnung, da das Magnetfeld als kleine Störung gegenüber der Feinstruktur betrachtet werden kann.
a) Geben Sie ohne Rechnung an, welche Werte von j und mj bei gegebenen l für ein Elektron möglich
sind. Geben Sie für l = 1 explizit alle Werte von j und mj sowie die zugehörigen Eigenwerte von j 2
und jz an.
b) Die Zustände |j, l, s, mj i sind mit den Eigenzuständen |l, ml i|s, ms i über die Beziehung
1 1
|j = l ± , l, , mj i = ±
2 2
r
1
1
1
l ± mj + 1/2
|l, ml = mj − i|s = , ms = i
2l + 1
2
2
2
r
1
1
1
l ∓ mj + 1/2
+
|l, ml = mj + i|s = , ms = − i
2l + 1
2
2
2
verknüpft. Berechnen Sie für j = 1/2 in erster Ordnung Störungstheorie die Energieverschiebung
durch Hz . Bedenken Sie dabei, dass in der Feinstruktur alle Zustände zu gleichem j entartet sind.
Aufgabe 52: Zwei Potentialtöpfe
a) Ein Teilchen der Masse m ist in einen unendlichen hohen“ Potentialwall mit Wänden bei x = −a/2
”
und x = a/2 eingesperrt. Ansonsten liegen keine weiteren Kräfte vor. Bestimmen Sie alle Energieeigenwerte und die zugehörigen normierten Eigenfunktionen der zeitunabhängigen Schrödigergleichung.
b) Betrachten Sie nun einen unendlich hohen“ Potentialwall mit Wänden bei x = 0 und x = a/2. Wel”
che Lösungen aus a) sind auch Lösungen dieses Problems. Haben Sie damit schon alle Eigenzustände
gefunden? Begründen Sie Ihre Antwort.
5
Aufgabe 53: Weitere Quantengatter
a) Wie in Aufgabe 38 bezeichnen wir für ein Spin-1/2-System den Zustand |sz = +1/2i mit |0i und
|sz = −1/2i mit |1i ( Qbits“ 0 und 1). In Aufgabe 38 wurden das Hadamard- H und das Phasengatter
”
R(ϕ) eingeführt,
1 1 1
1 0
H= √
,
R(ϕ) =
.
0 eiϕ
2 1 −1
Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung R(π/2 + ϕ) H R(ϑ) H|0i jeden Punkt auf der Blochkugel darstellen kann. Was bedeutet das für die realisierbaren Linearkombinationen von |sz = +1/2i
und |sz = −1/2i? Wie muss die Wahl der Winkel für |sx = −1/2i (bis auf eine globale Phase)
lauten?
b) Das kontrollierte Phasengatter RC (ϕ) wirkt auf den Zwei-Qubit-Zustand |xi|yi, x, y ∈ {0, 1} in der
Form
RC (ϕ)|xi|yi = eixyϕ |xi|yi .
Erklären Sie seinen Namen anhand seiner Wirkung. Stellen Sie die Matrix auf, die das Gatter in der
Basis der Spaltenvektoren |0i|0i = (1, 0, 0, 0)T , |0i|1i = (0, 1, 0, 0)T , |1i|0i = (0, 0, 1, 0)T , |1i|1i =
(0, 0, 0, 1)T beschreibt.
Aufgabe 54: Kohärente Zustände
Es seien a, a† die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren eines harmonischen Oszillators mit Masse m
und Kreisfrequenz ω, und |ni die Eigenzustände des Besetzungszahloperators, a† a |ni, n = 0, 1, 2, . . . .
a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen x, p und a, a† ? Welchen Vertauschungsrelationen gehorchen diese Operatoren? Wie sieht der Hamiltonoperator H ausgedrückt durch a, a† aus?
b) Ein kohärenter Zustand |ψα i =
∞
X
n=0
cn |ni ist definiert als (normierter) Eigenzustand des Vernich-
tungsoperators, a |ψα i = α |ψα i, mit α ∈ C. Berechnen Sie die Entwicklungskoeffizienten cn .
c) Berechnen Sie die Erwartungswerte von H, x, p sowie die Varianzen ∆x und ∆p mit dem Zustand.
Was ergibt sich demnach für ∆x · ∆p?
d) Wie lautet die Zeitentwicklung des Zustands? Zeigen Sie, dass |ψα (t)i = |ψα(t) i für eine geeignete
Funktion α(t). Wie lautet diese?
Über dieses Übungsblatt hinaus lohnt auch das Wiederholen der Übungsblätter 1 bis 14 als Vorbereitung
auf die Prüfung. Ergänzungen zu den hier behandelten Themen stellen die Aufgaben 14, 16, 21, 28, 30,
32, 33, 35 und 38 dar.
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