Mechanik und Wärmelehre

Vorbereitungskurs Physik
Mechanik und Wärmelehre
© D. Ortner 2006
1. Masse und Gewicht
Wenn Sie gefragt werden nach Ihrem Gewicht, werden Sie wie selbstverständlich antworten: 60 kg, 65 kg, 70 kg usw.
Das ist für den Alltagsgebrauch durchaus in Ordnung, physikalisch gesehen jedoch nicht richtig. Die 60 kg oder 70 kg
sind nicht Ihr Gewicht, sondern Ihre Masse.
Seit etwa 300 Jahren weiss man1: Massen ziehen einander an. Die Sonne zieht die Erde an, die Erde den Mond, die
Erde zieht aber auch den Apfel an damit er vom Baume fällt. Die Erde zieht aber auch dich und mich an. Diese Erdanziehungskraft nennen wir auch das Gewicht.
Spätestens seit dem 20. Juli 1969, als die Amerikaner Neil Armstrong und Buzz Aldrin als erste Menschen den Mond
betraten und wie Kängurus in grossen Sprüngen über das Mondgestein hüpften, weiss man: Am Mond ist man um einiges leichter, hat man weniger Gewicht. Diese beiden Astronauten hatten am Mond etwa sechs Mal weniger Gewicht als
auf der Erde.
Es kommt aber noch bunter: Sie haben bestimmt Fernsehaufnahmen von Astronauten gesehen, die in ihrer Raumkapsel
völlig schwerelos herumturnen, kopfüber und kopfunter. In einem Raumschiff, das um die Erde kreist oder antriebslos in
Richtung Mond fliegt, haben die Astronauten überhaupt kein Gewicht, sie sind schwerelos.
Halten wir fest: Der Astronaut Neil Armstrong hat eine bestimmte Masse, sagen wir 60 kg. Die Erde zieht ihn mit einer
bestimmten Kraft an, er hat ein Gewicht. Am Mond hat er nach wie vor dieselbe Masse, nämlich 60 kg (er wird auf seinem Flug zum Mond kaum abgenommen haben). Neil Armstrong wird aber vom Mond sechs Mal weniger angezogen, er
hat sechs mal weniger Gewicht. Im Raumschiff, auf seinem Flug zum Mond und wieder zurück zur Erde, ist er schwerelos, er hat kein Gewicht – aber er hat immer noch eine Masse von 60 kg (hoffentlich).
1
10 kg
N
In welchen Einheiten misst man das Gewicht?
Die Masse 1 kg wird auf der Erde mit einer Kraft von 10 Newton (10 N)
angezogen.
Wir sagen: „1 kg hat auf der Erde ein Gewicht von 10 N.“
Die Masse 1 kg wird auf dem Mond mit einer etwa sechsmal kleineren Kraft angezogen.
1 kg hat auf dem Mond ein Gewicht von 1.6 N.
1
1.6 kg
N
Neil Armstrong mit einer Masse von 60 kg hat auf der Erde also ein Gewicht von 600 N, auf dem Mond ein Gewicht von
100 N und im Raumschiff gar kein Gewicht.
Die Masse ist überall gleich.
1 kg ist 1 kg auf der Erde und auch 1 kg auf dem Mond oder wo auch immer.
Das Gewicht einer Masse hängt davon ab, wo man sich befindet.
1 kg hat auf der Erde ein Gewicht von 10 N, auf dem Mond 1.6 N, auf dem Mars 4 N.
1
Eine Erkenntnis des grossen englischen Physikers Sir Isaak Newton 1642 – 1727.
2
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Der Ortsfaktor:
Warum eine Masse von 1 kg ein Gewicht von gerade 10 N hat (und nicht 2.5 N oder 7 N), darauf soll später eingegangen werden.
Das Gewicht von 1 kg auf der Erde ist auch nicht ganz genau 10 N, 10 N ist nur der gerundete Wert.
1 kg hat …
… am Äquator ein Gewicht von 9.78 N
… am Nordpol ein Gewicht von 9.83 N
… in Zürich ein Gewicht von
9.81 N
… am Mond ein Gewicht von
1.62 N
Die Unterschiede zwischen dem Gewicht am Äquator und dem Gewicht am Nordpol sind damit zu erklären, dass die
Erde nicht genau eine Kugel, sondern an den Polen etwas abgeplattet ist. Die Menschen am Äquator sind etwas weiter
vom Erdmittelpunkt entfernt und damit etwas leichter als die Menschen in den Polargegenden.
Nun verwendet man in der Physik folgende Sprechweise:
Statt „1 kg kostet 2 Fr.„
sagt man: „Der Verkaufspreis beträgt 2 Fr./kg.“
Statt „1 kg hat ein Gewicht von 9.81 N.“ sagt man: „Der Ortsfaktor beträgt 9.81 N/kg.“
Also:
Ortsfaktor am Äquator:
Ortsfaktor am Nordpol:
Ortsfaktor in Zürich:
Ortsfaktor am Mond:
9.78 N/kg
9.83 N/kg
9.81 N/kg
1.62 N/kg
Für nicht allzu genau Rechnungen verwenden wir für die Erde einen Ortsfaktor von 10 N/kg.
Aufgaben: Rechnen Sie mit einem Ortsfaktor von 10 N/kg.
1) Welche Masse hast du auf der Erde?
Welche Masse hättest du auf dem Mond?
Welches Gewicht hast du auf der Erde?
Welches Gewicht hättest du auf dem Mond?
Achtung: Statt „... welches Gewicht hat ...“ sagen wir auch: „... wie schwer ist ...“
Wie ist die Masseneinheit 1 kg definiert?
1 kg ist die Masse von 1 dm3 (= 1 Liter) Wasser (bei einer Temperatur von 4 °C).
In Paris wird ein „Urkilogramm“ (und ein „Urmeter“) aufbewahrt.
2)
3)
4)
5)
Wie schwer ist 1 kg Eisen?
Wie schwer ist 1 kg Blei?
Wie schwer ist 1 Liter Wasser?
a) Wie viele Kubikdezimerter (= Liter) hat ein Kubikmeter?
b) Wie gross ist die Masse von einem Kubikmeter Wasser?
c) Wie schwer ist ein Kubikmeter Wasser?
6) a) Welche Masse hat 1 cm3 Wasser?
b) Welches Gewicht hat 1 cm3 Wasser?
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3
Wie bestimmt man die Masse eines Körpers?
Ganz einfach: Mit einer Balken-Waage (Küchenwaage, Apothekerwaage). Aber was macht man da genau? Zu einer
Küchenwaage oder einer Apothekerwaage gehört ein Gewichtssatz. Eigentlich müsste man sagen: Massesatz. Man
verfügt über (vom Bundesamt für Eichwesen) geeichte Massen von 1 kg, 0.5 kg, 200 g, 100 g, 50 g, 20 g, 10 g usw. Mit
Hilfe der Waage vergleicht man die unbekannte Masse mit den bekannten Massen aus dem Massesatz. Für den Vergleich benutzen wir das Gewicht dieser Massen.
Die unbekannte Masse m wird von der Erde genau gleich angezogen wie die
(bekannte) Masse von 50 g. Die Masse m beträgt also 50 g.
m
50 g
0.5 N
Würde man dasselbe „Experiment“ auf dem Mond durchführen, erhielte man
das gleiche Ergebnis. Die 50 g aus dem Massesatz und die unbekannte Masse m würden vom Mond zwar sechs mal weniger, aber gleich stark angezogen werden.
0.5 N
m
50 g
0.08 N
0.08 N
Im schwerelosen Zustand (in einer Raumstation) würde diese Art von Waage nicht funktionieren! Warum nicht?
Zwei Massen sind gleich, wenn sie am gleichen Ort gleiches Gewicht haben.
Wie bestimmt man das Gewicht eines Körpers?
Das Gewicht eines Körpers bestimmt man mit einer Federwaage. Eine
Masse von 60 g wird von der Erde mit einer Kraft von 0.6 N angezogen,
vom Mond nur mit einer Kraft von 0.1 N.
Die Federwaage bestimmt also das Gewicht eines Körpers. Eine (physikalische) Federwaage muss also in Newton geeicht sein.
Bemerkung: Im Alltag unterscheidet man nicht zwischen Masse und Gewicht. Wenn Sie ein grösseres Paket ins Ausland schicken, müssen Sie ein
Formular für den Zoll ausfüllen. Da steht dann etwa: „Gewicht in Kilogramm“. Physikalisch gesehen ist das nicht richtig. Es müsste heissen:
„Masse in Kilogramm“. Dann könnten Sie hinschreiben 5 kg. Oder aber es
müsste stehen „Gewicht in Newton“. Dann müssten Sie schreiben 50 N.
Ähnliches gilt für Federwaagen. Eine Federwaage, die Sie in einem normalen Kaufhaus kaufen, wird nicht in Newton, sondern in Kilogramm geeicht
sein. Sollten Sie jedoch eine solche Federwaage auf einem Ausflug auf den
Mond benutzen, hätten Sie Schwierigkeiten!
0.6 N
0.1 N
60 g
60 g
auf der Erde
am Mond
4
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Baum der
Erkenntnis
Es soll hier der (etwas schwierigen) Frage nachgegangen werden, warum
1 kg ein Gewicht von gerade 10 N hat (und nicht 2.5 N oder 7 N).
Fällt ein Apfel vom Baum so fällt er infolge seines Gewichts, infolge der Anziehung durch die Erde. Wir wissen: Je höher der Fall umso heftiger der
Aufprall. Die Fallgeschwindigkeit nimmt mit der Fallzeit zu.
Galileo Galilei (1564 – 1642) hat als erster den freien Fall experimentell
untersucht. Er ist der Begründer der Experimentalphysik. Erst wird experimentiert, gemessen, untersucht, dann werden daraus geeignete Schlüsse
gezogen – und nicht nur philosophiert.
Die Messung ergibt:
1. Sofern keine Luftreibung vorhanden ist (oder falls sie vernachlässigbar klein ist) spielt die Masse des frei fallenden Körpers keine Rolle. Lässt man einen Stein von 2 kg und einen Stein von 4 kg von einer Höhe von 10 m herunterfallen, so kommen beide gleichzeitig unten an. Im Vakuum fällt eine Hühnerfeder genau gleich schnell wie
eine Bleikugel.
Das ist nicht ganz leicht zu verstehen. Massen haben zwei Eigenschaften: Sie sind träge und sie sind schwer.
· Träge heisst, eine Masse lässt sich nur unter Kraftaufwand in Bewegung versetzen (beschleunigen) und nur
unter Kraftaufwand1 wieder zum Stillstand bringen.
· Schwer heisst, eine Masse wird durch andere Massen angezogen.
Zwei Massen, die gleich schwer sind, sind auch gleich träge – und umgekehrt2.
Ein Stein von 4 kg ist doppelt so träge wie ein Stein von 2 kg. Um gleich schnell zu fallen braucht es auch doppelt
so viel Kraft (doppelt so viel Gewicht).
2. Auf der Erde nimmt die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers in jeder Sekunde um 10 m/s zu (genau genommen um 9.81 m/s). Also: Nach einer Sekunde Fallzeit beträgt die Fallgeschwindigkeit 10 m/s, nach 2 Sekunden 20 m/s, nach 3 Sekunden 30 m/s usw.
Die Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit nennt man Beschleunigung. Die Fallbeschleunigung auf der Erde
beträgt also 10 m/s pro Sekunde, man schreibt 10 ms/ s oder kürzer 10 m/s2.
Am Mond nimmt die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers in jeder Sekunde um 1.6 m/s zu. Also: Nach
einer Sekunde Fallzeit beträgt die Fallgeschwindigkeit 1.6 m/s, nach 2 Sekunden 3.2 m/s, nach 3 Sekunden
4.8 m/s usw. Die Fallbeschleunigung auf dem Mond beträgt 1.6 m/s2.
Mit der Masse des Körpers und der Fallbeschleunigung hat man nun ein Mass für die Kraft, mit der die Erde (oder der
Mond) den Körper anzieht. Gewicht = Masse mal Fallbeschleunigung.
Gewicht von Neil Armstrong auf der Erde:
60 kg ⋅ 10 m/s2 = 600
Gewicht von Neil Armstrong auf dem Mond:
60 kg ⋅ 1.6 m/s2 = 100
Die Einheit 1 Newton ist also nichts anderes als eine Abkürzung für 1
kg ⋅ m
s
= 600 N.
2
kg ⋅ m
s
2
kg ⋅ m
s
2
:
= 100 N.
1
kg ⋅ m
s
2
=1N
Ich wusste ja, dass Sie das immer schon genauer wissen wollten.
7) Manche Raumfahrt-Fans träumen bereits von einem bemannten Flug zum Mars (was ich für völlig illusorisch
halte). Ein frei fallender Stein auf dem Mars erreicht nach einer Sekunde eine Geschwindigkeit von 3.75 m/s, nach
zwei Sekunden eine Geschwindigkeit von 7.5 m/s, nach drei Sekunden 11.25 m/s usw.
a) Wie gross ist die Fallbeschleunigung auf dem Mars?
b) Welches Gewicht hätte ein Astronaut von 70 kg auf dem Mars?
1
2
Das widerspricht etwas unseren Erfahrungen. Ein Curlingstein bleibt auf seiner Fahrt über das Eis schliesslich von selber stehen.
Aber auch hier wirkt eine Kraft, die ihn zum Stillstand bringt, es ist die Reibungskraft.
Die Masse eines Astronauten (ob er zu- oder abgenommen hat) im schwerelosen Zustand misst man über seine Trägheit.
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2. Die Kraft
Wir haben gesehen: Die Kraft mit der die Erde eine Masse anzieht (das Gewicht) misst man in Newton. Man multipliziert
die Masse mit der Fallbeschleunigung.
Es ist sinnvoll, jede Art von Kraft in Newton zu messen.
Kräfte misst man mit der Federwaage.
50 N
50 N
5 kg
Kräfte können aber auch über die Beschleunigung, die sie erzeugen, gemessen werden.
Ein Beispiel:
Ein Auto von 1500 kg Masse beschleunigt in 10 Sekunden von 0 auf 90 km/h.
Das geht nur mit der Kraft des Motors1. Die Kraft des Motors lässt sich auf folgende Weise berechnen:
Zunächst müssen die 90 km/h in m/s umgerechnet werden. Das ist nicht schwierig, 90 km/h = 25 m/s. Die Geschwindigkeit nimmt also innerhalb von 10 Sekunden von 0 m/s auf 25 m/s zu. Das bedeutet eine Geschwindigkeitszunahme von
2.5 m/s in jeder Sekunde bzw. eine Beschleunigung von 2.5 m/s2.
Die Kraft erhält man durch Multiplikation der Beschleunigung mit der Masse:
Kraft = 2.5 m/s2 ⋅ 1500 kg = 3750
kg ⋅ m
s
2
= 3750 N.
8) Ein Sprinter der Spitzenklasse läuft die 100 m in einer Zeit von 10 Sekunden.
a) Wie gross ist seine (durchschnittliche) Geschwindigkeit in m/s?
b) Wie gross ist seine (durchschnittliche) Geschwindigkeit in km/h?
9) Ein Sportwagen von 1200 kg Masse beschleunigt in 5 Sekunden von 0 auf 90 km/h. Welche Kraft muss der Motor
entwickeln?
10) Auf einem Wagen von 25 kg ist eine kleine Rakete mit einem Schub von 50 N montiert.
a) Welche Beschleunigung erfährt der Wagen durch den Raketenantrieb?
b) Welche Geschwindigkeit erreicht der Wagen innerhalb von 5 Sekunden?
25 kg
1
Es würde auch ohne Motor gehen wenn man das Auto (mit gelösten Bremsen) einen 14.5° geneigten Abhang hinabrollen liesse.
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Mechanik und Wärmelehre
3. Das Internationale Einheitensystem (SI-System)
Wird nach dem französischen Le Système International d’Unité auch SI-System genannt. Das SI-System besteht aus
drei Grundeinheiten: Den Einheiten für Länge, Zeit und Masse. Alle anderen Einheiten sind aus diesen Grundeinheiten
abgeleitet.
Einheit der Länge: Die Einheit der Länge ist 1 Meter.
1 m ist der 40'000’000-ste Teil des Erdumfanges.
Einheit der Zeit:
Die Einheit der Zeit ist 1 Sekunde.
1 s ist der 24 ⋅ 60 ⋅ 60-ste Teil der Zeit einer Erdumdrehung.
Einheit der Masse: Die Einheit der Masse ist 1 Kilogramm. 1 kg ist die Masse von 1 dm3 Wasser bei 4 °C.
Neben der eigentlichen Längeneinheit 1 m werden grössere und kleinere Einheiten verwendet: dm, cm, mm, km usw.
Aus der Längeneinheit (1 m) leitet sich die Flächeneinheit (1 m2) und die Volumeneinheit (1 m3) ab.
Die Zeiteinheit gemäss SI-System ist 1 s. Daneben verwendet man Minuten (min), Stunden (h), Tage (d), Jahre (a) usw.
Neben der Masseeinheit 1 kg verwendet man Gramm (g), Milligramm (mg), Mikrogramm (μg), die Tonne (t) usw.
Bitte beachten Sie: Die Tonne ist eine Masseeinheit (und nicht eine Gewichtseinheit). Eine Tonne = 1 t = 1000 kg.
11) Welches Gewicht hat (wie schwer ist) eine Tonne?
12) Rechnen Sie um:
1m=
…………………… dm
1 dm =
…………………… m
1 dm =
…………………… cm
1 cm =
…………………… dm
1m=
…………………… cm
1 cm =
…………………… m
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 m2 =
…………………… dm2
1 dm2 =
…………………… m2
1 dm2 =
…………………… cm2
1 cm2 =
…………………… dm2
1 m2 =
…………………… cm2
1 cm2 =
…………………… m2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 m3 =
…………………… dm3
1 dm3 =
…………………… m3
1 dm3 =
…………………… cm3
1 cm3 =
…………………… dm3
1 m3 =
…………………… cm3
1 cm3 =
…………………… m3
Abkürzungen für Vergrösserungen/Verkleinerungen:
Faktor
Vergrösserungen
Präfix
Zeichen
Faktor
103
106
Deka
Hekto
Kilo
Mega
da
h
k
M
10–1
109
1012
Giga
Tera
G
T
101
102
Verkleinerungen
Präfix
10–3
10–6
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
10–9
10–12
Nano
Piko
10–2
Zeichen
d
c
m
μ
n
p
Mit Ausnahme von Deka, Hekto und Kilo sind die Vergrösserungsfaktoren Grossbuchstaben, die Verkleinerungsfaktoren
sind Kleinbuchstaben. Das ist etwas unlogisch (und auch verwirrend), hat aber historische Gründe.
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7
4. Die Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit bezeichnet man mit dem Buchstaben v (engl. velocity), den Weg mit dem Buchstaben s (engl.
space) und die Zeit mit dem Buchstaben t (engl. time). Dann berechnet man die Geschwindigkeit nach folgender Formel:
Weg
s
Geschwindigkeit =
oder v = .
Zeit
t
Δs
Eigentlich handelt es sich um „Wegstücke“ und „Zeitstücke“, das Zeichen dafür ist Δs und Δt, damit gilt v =
.
Δt
Wichtiger Hinweis: Sie müssen unterscheiden zwischen der physikalischen Grösse (z. B. Weg, Zeit, Geschwindigkeit)
und den Einheiten, in denen sie gemessen wird. Die physikalische Grösse Weg wird mit s bezeichnet und in Metern (m)
gemessen. Die physikalisch Grösse Zeit wird mit t bezeichnet und in Sekunden (s) gemessen. Die physikalische Grösse
Geschwindigkeit wird mit v bezeichnet und in Metern pro Sekunde (m/s) gemessen.
Damit es nicht zu Verwechslungen kommt schreibe ich physikalische Grössen kursiv.
13) Max fährt nach Isenthal. Für Ortsunkundige: Um von Altdorf (460 m ü. M.) nach Isenthal (770 m ü. M.) zu gelangen fährt man zunächst nach Seedorf, dann den Urnersee entlang bis Isleten. Von Isleten aus geht es ziemlich
steil bergauf, dann wieder flach das Tal zurück nach Isenthal. Berechnen Sie für die einzelnen Teilstücke die
(durchschnittliche) Geschwindigkeit und tragen Sie diese in das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ein. Achten Sie
auch auf das Vorzeichen der Geschwindigkeit.
Weg in km
15 km
Isenthal
Steigung
10 km
Isleten
5 km
Seedorf
Altdorf
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Zeit
in Minuten
120
130
120
Zeit
130 in Minuten
Geschwindigkeit
in km/h
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
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Mechanik und Wärmelehre
14) Erzählen Sie die Geschichte von Jolanda und Tobias. Berechnen Sie für die einzelnen Abschnitte die Geschwindigkeit und tragen Sie diese in das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ein. Achten Sie auch auf das Vorzeichen der
Geschwindigkeit.
Weg
Flüelen
Jolanda
10 km
Moosbad
Altdorf
5 km
Schattdorf
Tobias
Erstfeld
14 h
15 h
16 h
17 h
15 h
16 h
17 h
Zeit
Geschwindigkeit
20 km/h
15 km/h
10 km/h
5 km/h
14 h
- 5 km/h
- 10 km/h
Zeit
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5. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung
Die Beschleunigung bezeichnet man mit dem Buchstaben a (engl. acceleration). Es gilt a =
v
Δv
bzw. a =
.
t
Δt
15) Sie haben hier ein v-t-Diagramm vorgegeben. Mit Unterstützung wird es Ihnen gelingen, die beiden übrigen Diagramme zu ergänzen.
s
30 m
25 m
20 m
15 m
10 m
5m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 s
t
v
5 m/s
5 m/s
4 m/s
3 m/s
2 m/s
1 m/s
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 s
t
t
10
Mechanik und Wärmelehre
16) Sie sehen hier eine Darstellung des freien Falles auf der Erde. Mit Unterstützung wird es Ihnen gelingen, die Diagramme auszufüllen.
s
0s
1s
2s
0m
600 m
3s
50 m
500 m
4s
400 m
100 m
5s
300 m
150 m
200 m
6s
200 m
100 m
7s
250 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 s
t
v
300 m
150 m/s
8s
350 m
100 m/s
9s
400 m
450 m
10 s
50 m/s
500 m
t
a
550 m
11 s
50 m/s2
600 m
t
Mechanik und Wärmelehre
11
6. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung: F = m ⋅ a
Die Kraft erhält den Buchstaben F (engl. force).
Auf Jahrmärkten messen die Burschen ihre Kräfte. Dafür gibt es verschiedene Einrichtungen: Man „haut den Lukas“ (der
Hammer wird unter Krafteinsatz beschleunigt), man verbiegt Stierhörner (mit Kraft werden Federn gedehnt) und auch die
„Dicke Berta“ ist beliebt. Die „Dicke Berta“ ist eine Spielzeugkanone auf einem Geleise, die mit Krafteinsatz gegen eine
Ritterburg gestossen wird. Erreicht sie das Burgtor gibt es einen Knalleffekt. Die Kraft wird hier über die erzielte Beschleunigung gemessen (wie das etwa auch bei der Sportart „Kugelstossen“ der Fall ist).
1. Kurt beschleunigt 5 kg mit 2 m/s2. Wie gross ist seine Kraft?
2. Fritz beschleunigt 2 kg mit 5 m/s2. Wie gross ist seine Kraft?
3. Berta beschleunigt 3 kg mit 3 m/s2. Wie gross ist ihre Kraft?
4. Ein Auto von 800 kg wird mit 2.5 m/s2 beschleunigt. Wie gross ist die Kraft des Motors?
5. Ein frei fallender Stein von 5 kg wird auf der Erde mit 10 m/s2 beschleunigt. Mit welcher
Kraft zieht ihn die Erde an?
6. Ein frei fallender Stein von 1 kg wird auf der Erde mit 10 m/s2 beschleunigt. Mit welcher
Kraft zieht ihn die Erde an?
7. Ein frei fallender Stein von 5 kg wird auf dem Mond mit 1.6 m/s2 beschleunigt. Mit welcher
Kraft zieht ihn der Mond an?
8. Ein frei fallender Stein von 5 kg wird auf dem Jupiter mit 25 m/s2 beschleunigt. Mit welcher
Kraft zieht ihn der Jupiter an?
9. Welche Beschleunigung erfährt ein Lastwagen von 20 Tonnen bei einer Antriebskraft von
30 000 N?
10. Welche Beschleunigung erhält ein Velofahrer von 60 kg (samt Velo) bei einer Antriebskraft
von 150 N?
11. Wie schwer ist ein Velofahrer von 50 kg?
12. Wie schwer ist 1 kg auf der Erde?
13. Wie schwer ist 1 kg auf dem Mond?
14. Wie gross ist deine Masse?
15. Welches Gewicht hast du auf der Erde?
16. Welches Gewicht hast du auf dem Mond?
17. Welche Masse hast du auf dem Mond?
12
Mechanik und Wärmelehre
7. Spiralfedern
Solange man Spiralfedern nicht überdehnt gilt folgendes: Bei doppelter Kraftanwendung dehnt sich die Feder um das
Doppelte, bei dreifacher Ausdehnung um das Dreifache usw. Überprüfen Sie dieses Gesetz im Experiment!
0 cm
1 cm
50 g
2 cm
50 g
50 g
3 cm
50 g
50 g
4 cm
50 g
50 g
50 g
Ausdehnung s
50 g
50 g
17) Das nebenstehende Diagramm zeigt die Kennlinien
dreier verschiedener Federn. Berechnen Sie von
jeder der drei Federn die Federkonstante. Welches
ist die weichste, welches die härteste Feder?
Kraft F
2.5 N
2.0 N
1.5 N
1.0 N
0.5 N
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
Dehnung s
F
25 N
20 N
15 N
er 2
Fed
Fe
de
r3
Physiker lieben Diagramme. Also trägt man hier die Kraft
F auf der einen Achse und die Dehnung s auf der anderen
Achse auf und erhält nebenstehendes Diagramm.
Aus dem Diagramm erkennt man: Für jeden zusätzlichen
Zentimeter Ausdehnung braucht es 0.5 N mehr an Kraft.
Oder: Es braucht 0.5 N pro Zentimeter Ausdehnung.
Diese Zahl charakterisiert die Feder, man nennt sie die
Federkonstante D.
F 0.5 N 1 N 1.5 N
D= =
=
=
= ... = 0.5 N / cm
s 1 cm 2 cm 3 cm
1
Feder
10 N
5N
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
s
Mechanik und Wärmelehre
13
18) Eine Spiralfeder dehnt sich bei einer Zugkraft von 5 N um 2.5 cm aus. Berechnen Sie die Federkonstante (in N/m).
19) Die Feder der Puffer eines Eisenbahnwaggons wird durch eine Kraft von 10 000 N um 5 cm zusammengedrückt.
Berechnen Sie die Federkonstante.
20) Eine 20 cm lange Feder mit einer Federkonstante von 50 N/m wird mit 4 N belastet. Um wie viel dehnt sie sich?
21) Eine 20 cm lange Feder mit einer Federkonstante von 50 N/m soll sich um genau 5 cm ausdehnen. Welche Kraft
ist hierfür erforderlich?
22) Eine Feder dehnt sich um 4 cm wenn man eine Masse von 500 g anhängt. Um wie viel dehnt sie sich bei einer
Kraft von 0.5 N?
23) Zwei Federn, welche je eine Federkonstante von 40 N/m haben, werden parallel zueinander gehängt (siehe Abbildung). Wie gross ist die Federkonstante beider Federn?
40 N/m
24) Zwei Federn, welche eine Federkonstante von je 40 N/m haben, werden aneinander gehängt. Wie gross ist die Federkonstante der beiden
aneinander gehängten Federn?
25) Zwei Federn, welche die Federkonstanten 40 N/m und 60 N/m haben,
werden aneinander gehängt. Wie gross ist die Federkonstante der
beiden aneinander gehängten Federn?
40 N/m
40 N/m
40 N/m
40 N/m
60 N/m
26) In dem Diagramm ist die (veränderliche) Geschwindigkeit eines Autos über einen Zeitraum von 50 Sekunden dargestellt. Welche Strecke legt das Auto in diesen 50 Sekunden zurück? Wie gross ist die durchschnittliche Geschwindigkeit in diesen 50 Sekunden?
14
Mechanik und Wärmelehre
8. Die Dichte
Um verschiedener Stoffe in Hinsicht auf ihre Masse vergleichen zu können, nimmt man jeweils einen Kubikzentimeter
(oder einen Kubikdezimerter oder einen Kubikmeter) des betreffenden Stoffes und vergleicht die Massen. Oder aber
man nimmt jeweils ein Gramm (oder ein Kilogramm) des betreffenden Stoffes und vergleicht das Volumen. Üblicherweise wählt man ersteres.
1 cm
3
Wasser
1g
1 cm
3
Eisen
7.8 g
1 cm
3
Quecksilber
13.6 g
1 cm
3
Luft
0.0012 g
1 cm3 Wasser hat eine Masse von 1 g.
Die Dichte von Wasser beträgt 1 g/cm3.
3
1 cm Eisen hat eine Masse von 7.8 g.
Die Dichte von Eisen beträgt 7.8 g/cm3.
usw.
Anstelle von „Dichte“ sagt man auch „spezifische Masse“. Das Wort „spezifisch“ bedeutet hier „materialabhängig“.
Für die Dichte verwendet man den griechischen Buchstaben ρ (rho). Es gilt:
Dichte =
Masse
Volumen
bzw.
ρ=
m
V
Die Dichte der verschiedenen Materialien entnimmt man einer Dichtetabelle:
Alkohol
Aluminium
Blei
Eis
Eisen
0.8 g/cm3
2.7 g/cm3
11.3 g/cm3
0.9 g/cm3
7.9 g/cm3
Glas
Gold
Granit
Kupfer
Marmor
2.6 g/cm3
19.3 g/cm3
2.5 g/cm3
8.9 g/cm3
2.7 g/cm3
Silber
Quecksilber
Wasser
Luft
Helium
10.5 g/cm3
13.6 g/cm3
1 g/cm3
1.2 g/dm3
0.2 g/dm3
27) Rechnen Sie um:
1 g/cm3 = ....................... g/dm3 = ....................... kg/dm3 = ....................... kg/m3 = ....................... t/m3
2.7 g/cm3 = ....................... g/dm3 = ....................... kg/dm3 = ....................... kg/m3 = ....................... t/m3
28) Ein Quader aus Messing ist 5.3 cm lang, 3.2 cm breit und 2.6 cm hoch. Seine Masse beträgt 379 g. Bestimmen
Sie die Dichte von Messing.
29) Ein Kilogramm Glyzerin hat ein Volumen von 0.79 Liter. Wie gross ist die Dichte?
30) Welches Volumen hat ein Würfel aus Aluminium von 0.5 kg Masse?
31) Eine Aluminiumfolie von den Abmessungen 30 cm x 30 cm hat eine Masse von 3.34 g. Wie dick ist diese Folie?
32) Die Goldreserve der Schweizerischen Nationalbank beträgt 2590 Tonnen. Wie viele Kubikmeter Gold sind das?
Welche Kantenlänge hätte ein Würfel mit dieser Goldmenge?
33) Heizöl hat eine Dichte von 0.92 g/cm3. Wie viele Kilogramm Heizöl fasst ein zylindrischer Tank mit einem Innendurchmesser von 2 m und einer Länge von 5 m?
34) Gold ist ein Metall von unglaublicher Verformbarkeit. 10 g Gold können zu einem
hauchdünnen, lichtdurchlässigen Blatt von 3.5 m2 oder zu einem spinnwebfeinen
Draht von fast 25 km Länge verarbeitet werden.
a) Welche Dicke hat dieses 3.5 m2 grosse Blatt aus 10 g Gold?
b) Welche Dicke hat der 25 km lange Draht aus 10 g Gold?
35) Ein Kork einer Weinflasche hat einen Durchmesser von 2 cm, eine Länge von 3 cm und eine Masse von 1.9 g.
a) Berechnen Sie die Dichte von Kork.
b) Was glauben Sie: Könnten Sie einen Kubikmeter Kork hochheben?
36) Welchen Rauminhalt hat 1 kg Eis?
37) Welchen Rauminhalt hat 1 kg Quecksilber?
38) Wie viel kg Luft sind in unserem Physikzimmer, wenn das Physikzimmer etwa 5 m breit, 10 m lang und 3 m hoch ist?
Mechanik und Wärmelehre
15
9. Arbeit und Energie
Wir haben bereits festgestellt: Um ein Gewicht zu halten braucht man
eine Kraft. Um 1 kg zu halten braucht man (auf der Erde) eine Kraft
von 10 N.
Man kann das Gewicht auch auf einen Tisch stellen. Dann übernimmt
der Tisch das Halten des Gewichts.
Kraft 10 N
Gewicht 10 N
Wenn man etwas hochhebt ist das eine Arbeit. Je grösser das Gewicht (je mehr Kraft man aufwenden muss) und je
höher man heben muss, desto grösser ist die Arbeit. Die Arbeit, die beim Heben eines Gegenstandes verrichtet wird,
nennen wir Hubarbeit.
Lisa
Franz
Kurt
2m
1m
0.5 m
Kurt hebt 20 kg 0.5 m hoch. Franz hebt 10 kg 1 m hoch. Lisa hebt 20 kg 2 m hoch. Wer arbeitet am meisten?
Bestimmt hat Lisa am meisten zu arbeiten. Und Kurt und Franz? Die beiden haben genau gleich viel gearbeitet.
Bei der Hubarbeit kommt es auf zwei Dinge an:
1. Wie viel Kraft man zum Heben braucht (das Gewicht).
2. Wie hoch man hebt.
Kurt braucht zum Heben eine Kraft von 200 N, er hebt seine Last 0.5 m hoch. Zur Berechnung der Arbeit multipliziert
man das Gewicht (die Kraft) mit der Höhe. Wie soll man das aber multiplizieren? Newton mal Meter, man kann doch
nicht Kraut und Rüben miteinander multiplizieren?
Man kann, in der Physik darf man das. Kraut mal Rüben gibt weder Kraut noch Rüben, sondern etwas ganz Neues.1
Arbeit für Kurt
= 200 N ⋅ 0.5 m
= 100 Nm
Arbeit für Franz
Arbeit für Lisa
= 100 N ⋅ 1 m
= 200 N ⋅ 2 m
= 100 Nm
= 400 Nm
Newton (N) mit Meter (m) multipliziert gibt ganz einfach Newtonmeter (Nm). Für Newtonmeter verwendet man in der
Physik eine Abkürzung, 1 Newtonmeter = 1 Joule (1 Nm = 1 J).
Hubarbeit = Gewicht mal Höhe
Die Arbeit misst man in Nm oder J (1 Nm = 1 J).
39) Wie gross wäre die Arbeit von Kurt, Franz und Lisa, wenn sich alles auf dem Mond abspielen würde?
40) Wie viel Arbeit ist es, um 1 m3 Wasser (auf der Erde) einen Meter hochzuheben?
1
Man kann ja beispielsweise auch Kilometer durch Stunden dividieren. Man erhält dann etwas ganz Neues, nämlich km/h, die
Einheit für die Geschwindigkeit.
16
Mechanik und Wärmelehre
Arbeit und Energie
Arbeit und Energie sind nur zwei verschiedene Seiten ein und derselben Sache. Wer arbeitet verbraucht Energie1. Umgekehrt lassen wir Fremdenergie (meist elektrische Energie) für uns arbeiten2.
Arbeit und Energie ist grundsätzlich dasselbe. Arbeit und Energie messen wir in Nm oder J.
Allgemeine Definition der Arbeit (Energie)
Von einer Arbeit spricht man immer dann, wenn auf einer bestimmten Strecke eine bestimmte Kraft eingesetzt werden
muss. Für die physikalische Grösse Arbeit verwenden wir den Buchstaben W (eng. work).
W=F⋅s
bzw.
Arbeit (Energie) = Kraft mal Weg
41) Ein Pferd zieht einen Wagen von 400 kg einen 5 km langen Weg mit unterschiedlicher Steigung. Sie sehen in dem
Diagramm, wie sich die aufgewendete Kraft ständig ändert. Berechnen sie die Arbeit (= Energieaufwand).
Nochmals zurück zu den Einheiten für Arbeit und Energie. Wir haben gesehen, Arbeit misst man in Nm. J (Joule) ist nur
eine Abkürzung für Nm.
m
kg ⋅ m
F = m ⋅ a.
Einheit der Kraft = 1 kg ⋅ 1
W=F⋅s
Einheit der Arbeit (Energie) = 1 N ⋅ 1 m = 1 Nm = 1
1
2
s
2
=1
s
2
=1N
kg ⋅ m
s
2
⋅1m=1
kg ⋅ m
s
2
2
kg ⋅ m
Kraft und Gewicht misst man in Newton:
1N=1
Arbeit und Energie misst man in Joule:
1 J = 1 Nm = 1
s
2
kg ⋅ m
s
2
2
Er muss essen. Er muss Energie zu sich nehmen in Form von Brot, Würsten etc.
Die elektrische Energie pumpt für uns Wasser aus dem Brunnen, schneidet für uns Holz, trocknet uns die Haare etc.
Mechanik und Wärmelehre
17
42)
43)
44)
45)
46)
Welche physikalische Grösse misst man in N/m, welche in Nm?
Wie gross ist die Arbeit, um einen Marmorblock von 50 kg 13 Meter hoch zu heben?
Wie gross ist die Arbeit, um 1 m3 Wasser 10 Meter hochzupumpen?
Wie hoch kann man eine Last von 50 kg mit einer Energie von 50'000 J heben?
Wie viel Energie steckt in 1 m3 Wasser im Göscheneralpsee im Vergleich zum 400 m tiefer gelegenen Kraftwerk
Göschenen?
47) Wie viel Energie verbraucht Max (ledig, 180 cm gross, blaue Augen, 70 kg), wenn er von Bürglen (500 m Seehöhe,
2000 Einwohner) auf Eggbergen (1700 m Seehöhe, 75 Einwohner) marschiert. Ein Cervelat hat 100 g Masse und
enthält eine Energiemenge von 1140 kJ. Wie viele Cervelats muss Max auf seinem Marsch Bürglen – Eggbergen
zu sich nehmen, um seinen Energiebedarf zu decken?
Die Energie einer gespannten Feder
Max trainiert mit einem Expander. Der Expander hat fünf Federn, jede Feder hat eine Federkonstante von 40 N/m. Die
Federkonstante aller fünf Federn zusammen beträgt also 200 N/m. Max dehnt alle fünf Federn von einer Ausgangslänge
von 0.5 m auf eine Länge von 1.5 m. Dehnt man die fünf Federn um 1 m, so braucht man dazu eine Kraft von 200 N.
Max muss also Kraft einsetzen auf einer Strecke von 1 m, das bedeutet Arbeit bzw. Energieaufwand. Die aufgewendete
Energie steckt dann in den gespannten Federn.
Kraft
100 N
Es wäre aber nun falsch so zu rechnen: W = F ⋅ s = 200 N ⋅ 1 m =
= 200 Nm = 200 J. Wenn man so rechnet hat man übersehen, dass
Max ja nicht für die gesamte Strecke eine Kraft von 200 N aufwenden
muss. Zunächst muss er ja nur wenig Kraft einsetzen, erst am Schluss,
wenn er den Expander auf eine Länge von 1.5 m gedehnt hat, braucht
er eine Kraft von 200 N.
Arbeit
Spannungsenergie
1.5 m Dehnung
Wir rechnen so: Max beginnt mit einer Kraft von 0 N und hört mit 200 N auf. Wir nehmen nun als Kraft den Mittelwert
zwischen 0 N und 200 N, das sind 100 N.
So ist richtig gerechnet: W = F ⋅ s = 100 N ⋅ 1 m = 100 Nm = 100 J.
48) Wie gross ist der Energieaufwand, um eine Masse von 1 kg 10 cm hochzuheben?
49) Eine Feder mit einer Federkonstanten von 100 N/m wird um10 cm gedehnt. Wie gross ist der Energieaufwand?
Der freie Fall auf der Erde
Wir haben bereits gesehen dass ein Stein auf der Erde in einer Sekunde 5 m tief fällt, in zwei Sekunden 20 m tief, in drei
Sekunden 45 m tief, in vier Sekunden 80 m tief fällt usw.
Die Geschwindigkeit nimmt in jeder Sekunde um 10 m/s zu, die Beschleunigung beträgt also 10 m/s2.
Dass man nach einer Sekunde nicht 10 m tief fällt sondern nur 5 m,
obwohl die Geschwindigkeit nach einer Sekunde 10 m/s beträgt, liegt
daran, dass die Geschwindigkeit zu Beginn der ersten Sekunde noch
0 m/s war und erst am Ende der ersten Sekunde 10 m/s erreichte. Wir
nehmen also den Mittelwert von 0 m/s und 10 m/s und das sind 5 m/s.
Der Stein fällt also in der ersten Sekunde 5 m tief.
Für zwei Sekunden Fallzeit: Der Stein erreicht eine Geschwindigkeit von 20 m/s. Die durchschnittliche Geschwindigkeit
in den ersten drei Sekunden beträgt 10 m/s. Der Stein fällt also in den ersten zwei Sekunden 20 m tief.
Für drei Sekunden Fallzeit: Der Stein erreicht eine Geschwindigkeit von 30 m/s. Die durchschnittliche Geschwindigkeit in
den ersten drei Sekunden beträgt 15 m/s. Der Stein fällt also in den ersten drei Sekunden 45 m tief.
Zeit
0s
1s
2s
3s
4s
5s
Geschwindigkeit
0 m/s
10 m/s
20 m/s
30 m/s
40 m/s
50 m/s
Fallhöhe
0m
5m
20 m
45 m
80 m
125 m
18
Mechanik und Wärmelehre
50) Die Fallbeschleunigung auf dem Mond beträgt 1.6 m/s2. Die folgende Tabelle soll den freien Fall auf dem Mond
beschreiben. Ergänzen Sie die fehlenden Spalten.
Zeit
Geschwindigkeit
Fallhöhe
0s
1s
2s
3s
4s
5s
Fallbeschleunigung gleich Ortsfaktor
Wir haben zwei Möglichkeiten, das Gewicht einer Masse (von beispielsweise 1 kg) zu berechnen. Das Ergebnis muss
beide Male dasselbe sein:
N
1. Möglichkeit:
Gewicht gleich Masse mal Ortsfaktor = 1 kg ⋅ 10
2. Möglichkeit:
Gewicht gleich Masse mal Erdbeschleunigung = 1 kg ⋅ 10
Es muss also gelten:
1
m
s
2
=1
Man kann das auch so einsehen:
kg
= 10 N
m
s
2
= 10
kg ⋅ m
s
2
= 10 N
N
kg
N
kg
kg⋅m
=
s2
kg
=
m
s
2
Lageenergie und Bewegungsenergie
Lageenergie
(potentielle Energie)
5m
Der Stein am Boden ist nicht weiter gefährlich, man kann
höchstens darüber stolpern. Der Stein oben auf der Mauer
ist wesentlich gefährlicher, er kann herunter fallen und
Schaden anrichten.
Damit der Stein herunter fallen kann, muss man ihn erst
hinaufschaffen. Dazu ist Arbeit erforderlich, ein Energieaufwand von 80 N ⋅ 5 m = 400 J. Diese Energie „steckt“ in dem
Stein oben auf der Mauer in ihm steckt Lageenergie.
Beim Herunterfallen wird die Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt. Der Gewinn an Bewegungsenergie
muss gleich sein dem Verlust an Lageenergie.
m ⋅v 2
2
Fällt ein Stein von 8 kg von einer 5 m hohen Mauer, so erreicht er eine Geschwindigkeit von 10 m/s (siehe freier Fall).
Er erhält dabei eine Bewegungsenergie von:
Berechnung der Bewegungsenergie:
m ⋅ v 2 8 kg ⋅ (10 m / s )
kg ⋅ m2
W=
=
= 400 2 = 400 J
Bewegungsenergie
2
2
s
(kinetische Energie)
Das entspricht genau der Energie die nötig war, den Stein
auf die Mauer schaffen, entspricht genau seiner Lageenergie.
2
8 kg
10 m/s
W=
Mechanik und Wärmelehre
19
Der Stein auf der Mauer kann herunterfallen, er hat die Möglichkeit herunterzufallen, er ist ein potenzieller Herunterfaller.
Daher sagt man anstelle von Lageenergie auch potenzielle Energie. Anstelle von Bewegungsenergie sagt man auch
kinetische Energie1.
51) Liegt auf den Bergen viel Schnee, so ist das eine potenzielle Gefährdung für die Talbewohner, im Schnee auf den
. Die Lawine, die zu Tal stürzt, enthält eine grosse Menge an
Bergen steckt
.
52) Wie viel Bewegungsenergie steckt in einer Gewehrkugel von 20 g Masse bei einer Geschwindigkeit von 400 m/s?
53) Wie viel Bewegungsenergie steckt in einem fahrenden Auto von 1500 kg bei einer Geschwindigkeit von 72 km/h?
54) Wie viel Bewegungsenergie steckt in einem Stein von 5 kg, der aus einer Höhe von 45 m (50 m) herunterfällt?
10. Die Leistung
Die Leistung gibt an wie viel in jeder Sekunde gearbeitet wird bzw. wie viel Energie pro Sekunde produziert oder verbraucht wird.
Arbeit (Energie)
W
work (energy)
P=
(engl. power =
)
Leistung =
Zeit
t
time
Die Einheit der Leistung ist 1 Watt:
1W= 1
Nm
s
=1
J
=1
s
kg ⋅ m
s
2
3
Vielfach misst man die Energie nicht in Joule (J), sondern in Wattsekunden (Ws) und in Kilowattstunden (kWh).
Es gilt: 1 J = 1 Ws, 1 kWh = 3'600'000 Ws = 3'600'000 J.
Wie kommt es zu dieser eigenartigen „Wattsekunde“ und warum ist diese identisch mit 1 Joule? Rein formal können Sie
so rechnen:
1W= 1
J
s
Die ganze Gleichung wird mit 1 s multipliziert
1 Ws = 1 J
1 Ws (= 1 J) ist eine relativ kleine Energiemenge. Das Elektrizitätswerk verwendet eine grössere Einheit, nämlich die
Kilowattstunde: 1 kWh = 1000 Wh = 3'600'000 Ws = 3'600'000 J.
kg ⋅ m
Einheit der Kraft:
1N=1
Einheit der Arbeit/Energie:
1 Nm =1 J = 1 Ws = 1
s
2
kg ⋅ m
s
2
2
1 kWh = 3'600'000 Ws = 3'600'000 J
Einheit der Leistung:
1W= 1
Nm
s
=1
J
s
=1
kg ⋅ m
s
2
3
55) Eine Maschine produziert 1000 Knöpfe pro Minute (das ist ihre „Leistung“). Wie lange braucht sie für 2'256’000
Knöpfe?
56) Ein Gewichtsheber hebt eine Last von 100 kg ein 5 Sekunden 2 m hoch. Wie viel Energie ist dazu nötig (wie viel
Arbeit ist das?), wie gross ist die Leistung (wie gross ist die Arbeit pro Sekunde)?
57) Ich (D. Ortner) bringe die 100 kg auch 2 m hoch hinauf. Dafür brauche ich aber einen Flaschenzug und dann
schaffe ich das nicht in 5 Sekunden. Sagen wir, ich schaffe das in 40 Sekunden. Wie gross für mich die Arbeit, wie
gross ist meine Leistung?
1
kinesis ist ein griechisches Wort und heisst so viel wie Bewegung. Dieses Wort steckt auch in dem Wort Kino, eine Veranstaltung
mit bewegten Bildern.
20
Mechanik und Wärmelehre
Pferd
58) Man hat herausgefunden, dass ein durchschnittliches Arbeitspferd im „Dauerbetrieb“ imstande ist,
pro Sekunde 75 kg einen Meter hochzuheben.
Zeichnen Sie das fehlende Pferd und berechnen
Sie seine Leistung.
1m
Die Leistung eines durchschnittlichen Pferdes beträgt also 750 W. Man nennt das auch die „Pferdestärke“ und schreibt PS1. Es gilt 750 W = 1 PS.
75 kg
1 Sekunde
Diese Einheit PS wurde vor etwa 100 Jahren eingeführt, als man die ersten Lastautos mit Benzinmotoren baute.
Damals musste die junge Autoindustrie die Pferdefuhrwerker dazu überreden, ihre Fuhrwerke durch Lastautos zu
ersetzen. Den Fuhrwerkern konnte man zum Beispiel sagen: Dieser Motor hat 8 PS, er ist so stark wie 8 Pferde.
Heute verwendet man kaum noch die Einheit 1 PS, man ersetzt sie durch kW (Kilowatt). Wie ist die Umrechnung?
1 PS =
kW
1 kW =
PS
59) Wie viele kW hat ein Auto mit 50 PS?
60) Eine Pumpe soll pro Minute 6 m3 Wasser aus einem 5 m tiefen Schacht herauspumpen. Wie viel Leistung muss
die Pumpe haben?
61) Wie lange braucht eine Pumpe mit 500 Watt Leistung, um 10 m3 Wasser 20 m hoch zu pumpen?
62) Ein Kran hebt eine Last von 500 kg mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wie gross ist die Leistung?
63) Wie gross ist der Energieverbrauch eines Heizkörpers von 1000 W in einer Stunde?
64) Wie gross ist der monatliche Energieverbrauch einer Glühlampe von 60 W, welche täglich 2 Stunden eingeschaltet
ist? Was kostet das bei einem Strompreis (besser: Energiepreis) von 15 Rp pro kWh?
65) In Isenthal UR befindet sich ein kleines Staubecken von 20’700 m3 Inhalt. Die Wasseroberfläche liegt 760 m über
dem Meeresniveau. Das Wasser geht durch einen Stollen und dann durch eine Druckleitung hinunter nach Bolzbach am Urnersee in ein kleines Kraftwerk. Das Turbinenhaus Bolzbach liegt auf 440 m über dem Meeresniveau.
Im Turbinenhaus befindet sich eine einzige Turbine, welche pro Sekunde 2.7 m3 Wasser verarbeiten kann.
a) Wie gross ist etwa die Leistung des Kraftwerks Bolzbach (sofern die Turbine in Betrieb ist)?
b) Die Turbine ist jährlich ca. 5000 Stunden in Betrieb. Wie gross ist die Jahresenergieproduktion (in kWh)?
66) Das Kraftwerk Amsteg wird zur Zeit erneuert. Die Turbinen werden in eine Kaverne in den Berg verlegt, die Druckleitung, heute weithin sichtbar an der Oberfläche, kommt ebenfalls in den Berg hinein.
Aus einer Informationsschrift der Kraftwerksleitung:
MEHR WASSER – HÖHERE LEISTUNG
Um die Leistung zu erhöhen, wird künftig das Kraftwerk Amsteg
bedeutend mehr Wasser verarbeiten als bisher. Sind dies heute
29 m3 pro Sekunde, werden dies dereinst, wenn die Anlage vollständig ausgebaut ist, bis zu 67 m3 pro Sekunde sein. Mit einer
Menge von 50 m3 pro Sekunde und einem mittleren Nutzgefälle
von 275 m kann im Dauerbetrieb eine Leistung von 120 Megawatt
erreicht werden.
Prüfen Sie diese Angaben des Kraftwerks nach.
1
Eigentlich sollte man nicht sagen „Pferdestärke“, sondern man sollte sagen (und meint) die „Pferdeleistung“.
Mechanik und Wärmelehre
21
67) Ein Niederdruckkraftwerk (Flusskraftwerk, Laufkraftwerk)
verarbeitet pro Sekunde viel Wasser bei relativ geringer
Stauhöhe (unter relativ geringem Druck). Wie viele Kubikmeter Wasser müssen durch die Turbine eines Flusskraftwerkes mit 10 m Stauhöhe fliessen, um eine Kilowattstunde
Energie zu erzeugen?
Fluss
Stauraum
Staumauer
10 m
Abfluss
Kraftwerk
68) Ein Hochdruckkraftwerk verarbeitet pro Sekunde relativ wenig Wasser bei grosser Stauhöhe (unter grossem Druck).
Wie viele Kubikmeter Wasser müssen durch die Turbine eines
Hochdruckkraftwerkes mit 500 m Stauhöhe fliessen, um eine
Kilowattstunde Energie zu erzeugen?
Stausee
500 m
Druckleitung
Kraftwerk
69) Wie viele Liter Wasser muss ein Elektrizitätswerk, welches eine Höhendifferenz von 500 m zwischen Stausee und
Kraftwerk nutzt, verarbeiten um eine Liftkabine von 400 kg 10 m hoch zu transportieren?
Stausee
500 m
Druckleitung
400 kg
10 m
Kraftwerk
70) Das beiden Kernkraftwerk in Beznau haben zusammen eine Leistung von etwa 760 MW (= 760 ⋅ 106 W). An 290
Tagen pro Jahr wird Strom produziert. Wie gross ist die Jahresenergieproduktion (in GWh)?
71) In Beznau wird neben den beiden Kernkraftwerken auch ein Flusskraftwerk betrieben. Wenn genügend Wasser
vorhanden ist und alle Turbinen laufen (Vollbetrieb) werden pro Sekunde 400 m3 Wasser bei einem Nutzgefälle
von 6.5 m verarbeitet. Wie hoch ist die Leistung bei Vollbetrieb?
22
Mechanik und Wärmelehre
11. Kraftwerke als Energieveredelungswerke
Energie ist ein „Stoff“ den man nicht aus nichts erzeugen kann. Es gibt keine Maschine, die aus
nichts Energie erzeugt. Das Perpetuum Mobile, eine Maschine die eine wunderbare Energievermehrung erzeugt, gibt es nicht, kann es nicht geben1.
Unsere Kraftwerke sind Energieveredelungswerke. Sie verwandeln für den Gebrauch weniger
wertvolle Energie (Wasserkraft, Windenergie, Energie aus Kohle und Erdöl, Atomenergie) in die
so ungemein vielseitig anwendbare elektrische Energie. Zwar könnte man mit Wasserkraft auch
so manches Haushaltsgerät betreiben, eine Wäscheschleuder etwa, einen Staubsauger auch
zur Not. Aber wie will man mit Wasserenergie einen Haarföhn oder einen Fernseher betreiben?
Auch die Energie des Windes oder der Kohle ist nur beschränkt verwertbar, beschränkt sich auf
Windmühlen und Dampflokomotiven.
Energie ist eine Ware, sie hat ihren Preis. Man kauft und verkauft Benzin, Kohle, Heizöl, Nahrungsmittel. Man kauft und verkauft elektrische Energie.
Die elektrische Energie kann man allerdings nicht in der Einkaufstasche nach Hause tragen. Sie
ist unsichtbar. Das Elektrizitätswerk schickt seine Energie „per Draht“ in die Haushalte. Natürlich
nicht gratis. Wir müssen dafür bezahlen. In jedem Haushalt findet sich ein Stromzähler2. Er misst
die eingekaufte Energie in Kilowattstunden (kWh). Eine Kilowattstunde elektrische Energie kostet ca.15 Rappen.
12. Die Sonne – unsere Energiequelle
Mit Ausnahme der Kernenergie, der
Energie der Gezeiten (die im wesentlichen vom Mond geliefert wird)
und der Energie die aus der Erdwärme gewonnen wird stammt alle
Energie von der Sonne. Die Sonne deckt unseren täglichen Energiebedarf, wir nutzen (verschwenVenus
2
2600 W/m
den) auch über Jahrmillionen gespeicherte Sonnenenergie in Form
Erde
2
Merkur
1360 W/m
von Erdöl, Erdgas, Kohle.
Sonne
2
9050 W/m
Die Sonne ist wie eine riesige Glüh26
3.826 10 W
lampe im All mit einer Leistung von
7
2
26
6.29 10 W/m
3.826 ⋅ 10 W. Anders gesagt: Die
Sonne strahlt in jeder Sekunde eine
Energiemenge von 3.826 ⋅ 1026 J
aus.
Diese Energie muss sie natürlich
auch von irgendwo hernehmen.
Über Jahrtausende wurde darüber
gerätselt woher die Sonne ihre
Energie nimmt. Die alten Griechen
vermuteten ein riesiges Kohlefeuer.
Als man zu ahnen begann wie alt unsere Sonne schon ist wurde bald einmal klar: Ein noch so grosser Kohlevorrat könnte nie so lange brennen und so viel Energie liefern. Erst mit der Entdeckung der Kernenergie (vor etwa 100 Jahren)
konnte das Rätsel gelöst werden: Die Sonnenenergie ist Energie aus Kernfusion. Wasserstoffatome fusionieren (verschmelzen, verbrennen) zu Heliumatomen unter Abgabe grosser Energiemengen.
1
2
Auch wenn es immer wieder Bastler und Tüftler gibt, die das nicht glauben wollen.
Genauer müsste man sagen: Ein Energiezähler. Man dürfte auch nicht sagen: „Ich heize mit Strom“, sondern man müsste sagen:
„Ich heize mit elektrischer Energie“.
Mechanik und Wärmelehre
23
Der Radius der Sonne beträgt 6.96 ⋅ 108 m, ihre Oberfläche 4r2π = 6.09 ⋅ 1018 m2. Bei einer Gesamtleistung von
3.83 ⋅ 1026 W kommen auf jeden Quadratmeter Sonnenoberfläche 6.29 ⋅ 107 W. Anders gesagt: Die Strahlungsleistung
an der Sonnenoberfläche beträgt 6.29 ⋅ 107 W/m2.
Dir Sonnenenergie besteht hauptsächlich aus Wärmestrahlung (dazu kommt das sichtbare Licht und das UV-Licht).
Wärmestrahlung ist langwelliges Licht. Unser Auge spricht darauf nicht an, nur unsere Haut jedoch reagiert darauf positiv oder negativ, je nach Intensität und Dauer der Einstrahlung.
Die Wärmestrahlung pflanzt sich (wie das Licht) mit Lichtgeschwindigkeit fort, weg von der Sonne, hinaus ins Weltall.
Unterwegs geht davon nichts verloren.1
Mit zunehmender Entfernung von der Sonne „verdünnt“ sich allerdings die Sonnenstrahlung.
Der Merkur hat einen Abstand von 58 ⋅ 109 m von der Sonne. Im Abstand des Merkur von der Sonne verteilt sich die
Gesamtleistung der Sonne auf eine Fläche von 4.23 ⋅ 1022 m2. Auf einen Quadratmeter Merkur kommen also 9050 W,
die Solarkonstante für den Merkur beträgt 9050 W/m2.
Die Venus hat einen Abstand 108 ⋅ 109 m von der Sonne. Im Abstand der Venus von der Sonne verteilt sich die
Gesamtleistung bereits auf eine Fläche von 1.47 ⋅ 1023 m2. Auf einen Quadratmeter Venus kommen also 2600 W, die
Solarkonstante für die Venus beträgt 2600 W/m2.
72) Die Erde hat einen Abstand 150 ⋅ 109 m von der Sonne. Berechnen Sie die Solarkonstante für die Erde.
73) Licht (wie auch Wärmestrahlung) pflanzt sich mit einer Geschwindigkeit von 300'000 km/s fort. Wie lange braucht
das Licht (und die Wärmestrahlung) für ihre Reise von der Sonne zur Erde?
Zusammenfassung
Im Abstand von 150'000'000 km von der Sonne (das ist der Abstand der Erde von der Sonne), trifft auf eine 1 m2 grosse,
senkrecht zur Sonneneinstrahlung gerichtete Fläche pro Sekunde eine Energie von 1360 J.
Solarkonstante für die Erde = 1360
J
W
= 1360 2
2
s ⋅m
m
1 m2 senkrecht zur Richtung
der Sonneneinstrahlung
in Erdentfernung
km
Mill.
150
Sonne
Erde
So
nn
en
en
erg
ie
Der Wert von 1360 W/m2 gilt nur für einen Quadratmeter ausserhalb der Erdatmosphäre. Durch Strahlungsverluste in
der Atmosphäre beträgt die Solarkonstante auf der Erdoberfläche nur etwa 1000 W/m2, abhängig von der Tageszeit (am
Abend, am Morgen und im Winter bei tiefer Sonne ist der Weg der Strahlung durch die Atmosphäre länger), von der
Jahreszeit und natürlich vom Wetter.
1
Ein ganz klein wenig davon kriegen die Planeten ab, auch die Planetoiden und die Staubpartikel, die herumschwirren.
24
Mechanik und Wärmelehre
Nutzung der indirekten Sonnenenergie
Im Wasser oben im Stausee steckt Sonnenenergie in Form von Lageenergie. Immerhin hat die Sonne das Wasser verdunsten lassen, hoch hinauf in die Atmosphäre gehoben und über die Alpen herunterregnen lassen. Im Wasserkraftwerk
kann diese Energie in elektrische Energie umgewandelt werden. Nahezu verlustfrei, zu 90 % etwa. Das Wasser im
Vierwaldstättesee hingegen ist für die Energieproduktion wertlos, es hat seine Lageenergie bereits verloren.1
In Erdöl, Erdgas und Kohle steckt Jahrmillionen alte Sonnenenergie. Diese Sonnenenergie holt man in thermischen
Kraftwerken wieder heraus und veredelt sie in elektrische Energie. Mit ziemlich hohen Verlusten allerdings, nur etwa
30 % der Wärmeenergie kann in elektrische Energie umgewandelt werden.
Auch in Windgeneratoren wird indirekt Sonnenenergie genutzt. Die Winde werden ja auch von der Sonne „angetrieben“.
Nutzung der direkten Sonnenenergie
Die Sonnenenergie kann auch direkt genutzt werden.
− Mit Hilfe von Sonnenkollektoren wird Warmwasser bereitet und werden Wohnräume beheizt. Sonnenkollektoren
können bis zu 80 % der eingestrahlten Sonnenenergie in Wärmeenergie umwandeln.
− Wo Brennstoffknappheit herrscht und man über genügend Sonneneinstrahlung verfügt verwendet man Sonnenöfen. Sonnenöfen sind Parabolspiegel mit ein bis zwei Meter Durchmesser. Im Brennpunkt des Parabolspiegels kann gekocht werden. Die Abbildung zeigt einen Sonnenofen auf dem Dach eines tibetischen Klosters.
− Mit Photovoltaik wird Sonnenenergie direkt in elektrische Energie umgewandelt. Der Wirkungsgrad von Solarzellen ist allerdings nicht sehr hoch. Mit der heutigen Technik können 10 bis 15 Prozent der eingestrahlten Sonnenenergie in elektrische Energie umgewandelt werden. Mit 1 m2 Solarzellen kann also eine Leistung von 100 bis 150
Watt erzielt werden. Damit kann man zwei Glühlampen zu je 60 W betreiben.
74) Die beiden Kernkraftwerke in Beznau haben zusammen eine Leistung von etwa 760 MW (= 760 ⋅ 106 W). Wie viele
Quadratmeter Solarzellen wären nötig für eine Leistung von 760 MW – sofern die Sonne scheint. Rechnen Sie mit
100 W pro Quadratmeter.
In grossem Massstab kann in Solarkraftwerken aus Sonnenenergie elektrische Energie gewonnen werden. Mit grossen
(oder einer grossen Anzahl von) Spiegeln wird das Sonnenlicht auf einen Dampfkessel gelenkt. Der Dampf treibt die
Turbinen und diese die Generatoren. Geeignete Standorte sind Gebiete, die ganzjährig eine hohe Sonneneinstrahlung
aufweisen; z. B. Wüsten oder der Süden Europas. Man benötigt etwa 30 m2 Spiegelfläche pro Kilowatt.
Energieverbrauch und Energieproduktion in der Schweiz
Endverbrauch nach Energieträgern im Jahr 2001 (in 1015 Joule):
Brennstoffe (Heizöl)
229 ⋅ 1015 J
Treibstoffe (Benzin, Diesel)
285 ⋅ 1015 J
elektrische Energie
194 ⋅ 1015 J
Gas
99 ⋅ 1015 J
Kohle und Koks
6 ⋅ 1015 J
Holz und Holzkohle
21 ⋅ 1015 J
Fernwärme
14 ⋅ 1015 J
Müll und Industrieabfälle
17 ⋅ 1015 J
erneuerbare Energien (Sonne, Wind, Biogas)
7 ⋅ 1015 J
SUMME
872 ⋅ 1015 J
Der Verbrauch an elektrischer Energie betrug 194 ⋅ 1015 J, das sind umgerechnet 53 ⋅ 109 kWh. Produziert wurde hingegen mehr, 70 ⋅ 109 kWh. Die Differenz von 17 ⋅ 109 kWh konnte wohl ins Ausland verkauft werden.
1
Es sei denn man bohrt eine Druckleitung von Küssnacht in den 20 Meter tiefer gelegenen Zugersee und baut dort ein Kraftwerk.
Bei diesem geringen Nutzgefälle müsste man aber viel Wasser über die Turbinen laufen lassen, die Reuss in Luzern müsste man
wohl trockenlegen.
Mechanik und Wärmelehre
25
Die Produktion an elektrischer Energie nach Kraftwerkstypen:
3.7 % von konventionellen thermischen Kraftwerken (beheizt Heizöl)
25.3 % von Flusskraftwerken
34.9 % von Speicherkraftwerken
36.1 % von Kernkraftwerken.
Mit dem Ausstieg aus der Kernenergie müsste also ein Drittel der Produktion an elektrischer Energie anderweitig ersetzt
werden – wenn wir nicht im Finstern sitzen wollen.
13. Wärmeenergie
Das Wesen der Wärme war Physikern und Chemikern über Jahrhunderte ein grosses Rätsel. 1702 begründete der
deutsche Chemiker Georg Stahl die Phlogistontheorie. Er nahm an, die Wärme sei ein Stoff, ein „Feuerstoff“ der etwa in
einer Kerze oder in Holz und Kohle enthalten ist. Beim Verbrennen werde dieses Phlogiston freigesetzt. Diese Theorie
wurde 1777 durch den französischen Chemiker Antoine Lavoisier in Frage gestellt. Lavoisier erkannte, dass bei der
Verbrennung eine Verbindung mit Sauerstoff erfolgt. Lavoisier ist der Begründer der modernen Chemie (und er endete
1794 in den Wirren der französischen Revolution unter der Guillotine).
Was ist nun Wärme? In welchen Einheiten misst man Wärme?
Wärme ist eine Form von Energie. Sie wird in Joule (oder in Ws oder kWh) gemessen.
Sie müssen unterscheiden zwischen Wärme und Temperatur:
− Die Temperatur wird in Grad Celsius gemessen.
− Die Wärme wird in Joule gemessen.
Ein Beispiel soll diesen Unterschied illustrieren: Sie haben einen Ofen und einen Kübel mit Kohle. Wenn Sie die
Kohle verbrennen entsteht Wärme, die Temperatur steigt. Wenn Sie die Kohle in einem kleinen Zimmer verbrennen,
steigt die Temperatur beispielsweise um 5 °C. Wenn Sie dieselbe Menge Kohle in einem grossen Saal verbrennen, gibt
der Ofen zwar die gleiche Wärmemenge ab, die Temperatur steigt jedoch nur um vielleicht 2 °C.
Wärme und Temperatur ist nicht dasselbe!
15 °C
20 °C
Was ist nun die Wärme?
15 °C
17 °C
Wärme ist Bewegungsenergie der Atome oder Moleküle.
26
Mechanik und Wärmelehre
Die Aggregatzustände
Das grösste Wunder der Natur und Basis allen Lebens ist das Wasser. Wir finden es in drei Zuständen (Aggregatzuständen): Fest, flüssig und gasförmig.
Im festen Zustand (Eis) hängen die Wassermoleküle fest aneinander. Sie schwingen allerdings
auf ihren Plätzen hin und her, mehr oder weniger, je nach Temperatur. Je geringer die Bewegung desto niedriger die Temperatur. Der absolute Nullpunkt ist dann erreicht wenn sich die
Moleküle gar nicht mehr bewegen. Der absolute Nullpunkt liegt bei –273 °C.1
Fügt man dem Wasser im festen (gefrorenen) Zustand Wärme zu, so bewegen sich die Moleküle immer heftiger, bis die
Bewegungen so heftig werden, dass die Bindungen zerreissen. Das Eis schmilzt, es beginnt die flüssige Phase. Es
braucht relativ viel Energie, bis alle Bindungen auseinander gerissen sind. Man nennt diese Energie die Schmelzenergie oder Schmelzwärme (die wir später bestimmen werden).
Bei Wasser im flüssigen Zustand sind nur noch einzelne, lose Verbindungen zwischen den
Molekülen vorhanden. Im Prinzip können sich die Moleküle frei bewegen. Wasser passt sich
jeder Form an, hat aber ein festes (unveränderliches) Volumen.
Fügt man dem Wasser im flüssigen Zustand Wärme zu, so bewegen sich die Moleküle immer
heftiger. Durch die heftige Bewegung werden aus der Wasseroberfläche einzelne Moleküle
heraus gestossen, das Wasser verdunstet zu Wasserdampf. Bei einer bestimmten Temperatur, dem Siedepunkt, bilden sich sogar innerhalb der Flüssigkeit Dampfblasen (dort wo die
Pfanne am heissesten ist), das Wasser kocht (siedet). Es braucht ziemlich viel Energie, um alle Wassermoleküle gänzlich auseinander zu zupfen, man nennt diese Energie die Verdampfungsenergie oder Verdampfungswärme (die wir
ebenfalls bestimmen werden).
Im gasförmigen Zustand bewegen sich die Wassermoleküle gänzlich frei, wie
ein Schwarm Mücken. Wasserdampf passt sich jeder Form und passt sich auch
jedem Volumen an.
Beachten Sie bitte: Wasserdampf ist unsichtbar, ist ein unsichtbares Gas. Was
wir in der Umgangssprache als Wasserdampf bezeichnen, ist eigentlich kein
Wasserdampf, sondern besteht aus feinen Wassertröpfchen – wie Wolken oder
Nebel.
erstarren
schmelzen
d
ver
gasförmig
a
sie
ren
ub
res
m
bli
su
lim
ier
en
ier
en
flüssig
mp
f en
fest
n
de
n
o
k
Nebenstehende Abbildung fasst die verschiedenen Übergänge
zusammen. Den umgekehrten Vorgang von schmelzen nennen wir
erstarren. Den umgekehrten Vorgang von verdampfen nennen wir
kondensieren.
Es gibt auch die Möglichkeit, dass Eis direkt verdampft. Auch bei
Temperaturen unter Null Grad trocknet die Wäsche, wenn man sie
im Freien aufhängt. Diesen Vorgang nennen wir sublimieren, das
Umgekehrte nennen wir resublimieren.
75) Wenn sich aus dem Wasserdampf Wolken oder Nebel bilden nennt man den Vorgang
.
76) Wenn sich aus dem Wasserdampf Schneeflocken bilden nennt man den Vorgang
.
77) Wenn sich an den Zweigen Reif bildet nennt man den Vorgang
.
78) Wenn sich an den Fenstern Eisblumen bilden nennt man den Vorgang
.
79) Wenn sich am Boden Tau bildet nennt man den Vorgang
80) Wenn sich Hagel bildet nennt man den Vorgang
1
Kälter kann es uns nicht werden, was sehr beruhigend ist.
.
.
Mechanik und Wärmelehre
27
Die spezifische Wärmekapazität
Es geht um die Frage, wie viel Wärme es braucht, um die Temperatur einer bestimmten Menge eines Stoffes um einen
bestimmten Betrag zu erhöhen. Wir einigen uns darauf der Frage nachzugehen, wie viel Wärme es braucht, um 1 kg
eines Stoffes (Eisen oder Kupfer oder Wasser usw.) um 1 °C zu erwärmen.
Unter der spezifischen Wärmekapazität eines Stoffes versteht man die Wärmemenge (Energiemenge), die es braucht,
um 1 kg dieses Stoffes um 1 °C zu erwärmen.
Die Frage ist doch: Braucht es mehr (oder weniger) Wärme, um 1 kg Wasser um 1 °C zu erwärmen oder um 1 kg Kupfer
um 1 °C zu erwärmen?
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser (manchmal sagt man einfach nur spezifische Wärme) können Sie auch zu
Hause in Ihrer Küche bestimmen. Sie brauchen dazu nur einen Tauchsieder oder einen Wasserkocher, ein Litermass
und ein (Bade-)Thermometer.
1. Sehen Sie nach welche Leistung der Tauchsieder oder der Wärmekocher
hat. Mein Wasserkocher hat eine Leistung von 1800 W. D. h. in einer Sekunde gibt er eine Energie von 1800 J ab, in einer Minute 108'000 J, in zwei
Minuten 216'000 J usw.
2. Nun gebe ich einen Liter Wasser1 in den Wasserkocher (1 Liter Wasser ist
zugleich 1 kg Wasser) und messe die Anfangstemperatur: 20.5 °C.
3. Nun schalte ich den Wasserkocher für 2 Minuten ein und warte anschliessend noch ein wenig, bis das Wasser auch
noch die restliche Wärme aus der Heizung aufgenommen hat.
4. Ich messe wieder die Temperatur: 67 °C.
5. Nun wird gerechnet: In 120 Sekunden hat der Wasserkocher eine Energie von 216'000 J abgegeben. Damit wurde
1 kg Wasser um 46.5 °C erwärmt. Um 1 kg Wasser um 1 °C zu erwärmen braucht es also eine Energie von etwa
4650 J. Die spezifische Wärme von Wasser beträgt also 4650 Joule pro Kilogramm Wasser und pro Grad Temperaturerhöhung.
Dieser Wert ist etwas zu hoch. Das liegt vor allem daran, dass in diesem Experiment neben dem Wasser auch noch das
Gefäss und die Heizung selber erwärmt werden musste. Auch wurde etwas Wärme an die Luft abgegeben.
Der genaue Wert der spezifischen Wärmekapazität von Wasser ist etwas kleiner und beträgt:
Spezifische Wärmekapazität von Wasser:
cWasser = 4200
J
kg ⋅ Grad
Beispiel: Für ein anständiges Bad braucht man etwa 120 Liter (120 kg) Wasser von 35 °C. Wenn das Wasser mit 15 °C
aus der Wasserleitung kommt, muss es um 20 °C erwärmt werden. Dazu braucht es folgende Energiemenge (die Menge an Wärmeenergie wird meist mit Q bezeichnet):
Q = 4200
J
kg ⋅ Grad
⋅ 120 kg ⋅ 20 °C = 10'080'000 J = 10'080'000 Ws = 2.8 kWh.
Bei einem Strompreis von 0.15 Fr./kWh kostet so ein Vollbad etwa 40 Rappen.
1
In dem Experiment habe ich der Einfachheit halber gerade 1 kg Wasser in den Wasserkocher gegeben. Wenn Sie mehr oder
weniger Wasser nehmen, müssen Sie noch auf 1 kg umrechnen.
28
Mechanik und Wärmelehre
Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität eines festen Stoffes (am Beispiel Blei)
Mit Hilfe der spezifischen Wärmekapazität von Wasser kann man die spezifische Wärmekapazität von festen Stoffen
bestimmen. Zum Beispiel für Blei. Dazu gibt man eine abgewogenen Menge Bleischrot in ein Probeglas und erhitzt es in
kochendem Wasser. Das erhitzte Blei schüttet man in ein Gefäss mit ein wenig Wasser und misst die Temperaturerhöhung.
Mein Experiment:
50 g Bleischrot
von 97 °C
kochendes Wasser
von 97 °C
10 g Wasser
von 20 °C
10 g Wasser von 20 °C
+ 50 g Blei von 97 °C
Mischtemperatur: 29 °C
In meinem Experiment schüttete ich 50 g Bleischrot von 97 °C (das Wasser siedet nur auf Meeresniveau bei 100 °C) in
10 g Wasser von 20 °C. Es stellte sich eine Mischtemperatur von 29 °C ein.
Das Blei hat Wärme abgegeben, das Wasser hat Wärme aufgenommen.
Temperaturerhöhung des Wassers
Wärmeaufnahme des Wassers
4200
9 °C
J
kg ⋅ Grad
⋅ 0.010 kg ⋅ 9 Grad = 378 J
Temperaturabnahme des Bleis
Wärmeabgabe des Bleis
68 °C
cBlei ⋅ 0.050 kg ⋅ 68 Grad
(cBlei ist die noch unbekannte spezifische Wärmekapazität von Blei)
Es muss gelten: Die vom Blei abgegebene Wärme muss gleich sein der vom Wasser aufgenommenen Wärme:
cBlei ⋅ 0.050 kg ⋅ 68 Grad = 378 J
Daraus erhält man durch einfache Rechnung:
c Blei = 111
J
kg ⋅ Grad
Dieser Wert ist etwas zu tief. Wir haben nicht berücksichtigt, dass auch das Gefäss Wärme aufnimmt. Die Mischtemperatur sollte also etwas höher ausfallen. Der tatsächliche Wert der spezifische Wärmekapazität von Blei beträgt
129 J/kg⋅Grad (siehe Tabelle Seite 31).
Mechanik und Wärmelehre
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Bestimmung der Verdampfungswärme von Wasser
Die spezifischen Wärmekapazität von Wasser ist jene Wärmemenge die es braucht, um die Temperatur von 1 kg Wasser um 1 °C zu erhöhen. Man kann auch so sagen: Die spezifischen Wärmekapazität von Wasser ist jene Wärmemenge
die es braucht, um die Bewegungsenergie der Wassermoleküle so stark zu erhöhen, dass die Temperatur um 1 °C
steigt.
Bei der Verdampfungswärme geht es nicht um Temperaturerhöhung, sondern um die Wärmemenge die es braucht, um
1 kg Wassermoleküle gänzlich auseinander zu reissen, so dass aus dem Wasser Wasserdampf entsteht. Das kann bei
jeder Temperatur geschehen (Wäsche trocknet bei 5 °C und auch bei 35 °C), am schnellsten jedoch bei der Siedetemperatur. Egal bei welcher Temperatur, für das Verdampfen braucht es pro Kilogramm Wasser immer (nahezu) die gleiche Wärmemenge.
Zur Bestimmung der Verdampfungswärme von Wasser benötigen wir wieder einen Tauchsieder (oder einen Wasserkocher) und ein Litermass. Mein Experiment sah folgendermassen aus:
1. Ich gebe 1 kg Wasser in meinen Wasserkocher (Leistung 1800 W) und warte zunächst bis das Wasser siedet.
2. Sobald das Wasser siedet starte ich die Stoppuhr und lasse das Wasser 10 Minuten sieden.1 Eine bestimmte Menge
Wasser verdampft.
3. Nun messe ich die verbleibende Wassermenge und stelle fest: In diesen 10 Minuten sind 0.470 kg Wasser verdampft.
4. Nun wird wieder gerechnet: In den 10 Minuten hat der Wasserkocher eine Energiemenge von 1'080’00 J abgegeben.
Damit wurden 0.470 kg Wasser verdampft. Um ein ganzes Kilogramm Wasser zu verdampfen braucht es also eine
Energiemenge von etwa 2'300'000 J. Die Verdampfungswärme von Wasser beträgt 2'300'000 J/kg.
Dieser Wert ist etwas zu hoch, der genaue Wert der Verdampfungswärme von Wasser beträgt:
Verdampfungswärme von Wasser: LV, Wasser = 2'256’000
Beachten Sie bitte, dass die Benennung hier lautet
J
kg
und nicht
J
kg ⋅ Grad
J
kg
.
Es geht hier rein nur um die Umwandlung vom flüssigen Zustand in den gasförmigen Zustand und nicht um eine Temperaturerhöhung.
Verdampfungswärme und Kondensationswärme sind zwei Seiten ein und derselben Medaille.
− Um 1 kg Wasser zu verdunsten oder zu verdampfen braucht es eine Energie von 2'256'000 J.
− Umgekehrt: Wenn 1 kg Wasserdampf kondensiert (wieder zu Wasser wird), werden 2'256'000 J an Energie frei.
81) Wie viel Wärme ist nötig, um 2 kg Wasser von 17 °C auf den Siedepunkt (97°C) zu erhitzen und anschliessend
restlos zu verdampfen?
Bestimmung der Schmelzwärme von Wasser
Bei der Schmelzwärme geht es wieder nicht um Temperaturerhöhung, sondern um die Wärmemenge die es braucht, um
1 kg „gefrorene“ Wassermoleküle so weit auseinander zu reissen, dass sie sich frei bewegen können und als Wasser in
Erscheinung treten. Es geht um die Wärmemenge die es braucht, um 1 kg Eis von 0 °C in 1 kg Wasser von gleichfalls
0 °C zu verwandeln.
Zur Bestimmung der Schmelzwärme von Wasser zunächst eine Vorüberlegung:
− Was erhält man, wenn man 1 kg Wasser von 0 °C mit 1 kg Wasser von 80 °C mischt? Da werden Sie nicht lange
überlegen müssen und sagen: Man erhält 2 kg Wasser von 40 °C.
− Was erhält man jedoch, wenn man 1 kg Eis von 0 °C mit 1 kg Wasser von 80 °C mischt? Sie werden wohl keine
Antwort wissen. Diese Frage kann nur durch ein Experiment geklärt werden.
1
Bis zum Sieden verdampft zwar auch ein wenig Wasser, aber das fällt nicht ins Gewicht.
30
Mechanik und Wärmelehre
Mein Experiment:
1. Ich entnehme dem Tiefkühlfach meines Kühlschrankes 250 g Eis und warte bis es zu schmelzen beginnt, dann nämlich hat es eine Temperatur von 0 °C.
2. Nun erhitze ich 250 g Wasser auf 80 °C.
3. Die 250 g Eis von 0 °C und die 250 g Wasser von 80 °C gibt man zusammen in eine Thermosflasche. Das heisse
Wasser beginnt das Eis zu schmelzen. Die Thermosflasche verhindert einen Wärmeaustausch mit der Aussenwelt.
4. Nach 10 bis 20 Minuten ist der Schmelzvorgang beendet, es hat sich ein thermisches Gleichgewicht eingestellt.
Ergebnis: Nach Ablauf von 10 bis 20 Minuten findet man in der Thermosflasche nur noch ein kleines Stücklein Eis und
das Wasser hat sich nahezu auf 0 °C abgekühlt. Aus 250 g Eis von 0 °C und 250 g Wasser von 80 °C sind 500 g Wasser von 0 °C entstanden.
250 g Eis
250 g Wasser
0° C
80° C
500 g
?
Thermosflasche
Es spielt natürlich keine Rolle, ob man 250 g Eis mit 250 g heissem Wasser mischt, oder ob man 1 kg Eis mit 1 kg heissem Wasser mischt. In beiden Fällen wird man Wasser von 0 °C erhalten. Wichtig ist nur, dass man von beidem die
gleiche Menge nimmt.
Wie ist das Ergebnis zu deuten? Das eine Kilogramm Wasser von 80 °C ist zu Wasser von 0 °C geworden. Es hat eine
Wärmemenge von 336'000 J abgegeben. Was ist mit dieser Wärmemenge von 336'000 J geschehen? Mit dieser Wärmemenge wurde das eine Kilogramm Eis von 0 °C geschmolzen und in Wasser von 0 °C umgewandelt. Die Schmelzwärme von Eis beträgt damit 336'000 J/kg.
Ich habe hier mit etwas gerundeten Zahlen gerechnet, genauer erhält man als Schmelzwärme von Eis 334'000 J/kg.
Schmelzwärme von Eis:
LS, Eis = 334’000
J
kg
Schmelzwärme und Erstarrungswärme sind zwei Seiten ein und derselben Medaille.
− Um 1 kg Eis zu schmelzen braucht es eine Energie von 334’000 J.
− Wenn 1 kg Wasser zu Eis wird, werden 334’000 J frei (bzw. müssen dem Wasser entzogen werden).
Einige thermische Daten:
spez. Wärmekapazität
Aluminium
Blei
Kupfer
Eisen
Alkohol
Wasser
Eis
Luft
896 J⋅kg−1⋅Grad−1
129 J⋅kg−1⋅Grad−1
383 J⋅kg−1⋅Grad−1
450 J⋅kg−1⋅Grad−1
2’430 J⋅kg−1⋅Grad−1
4’200 J⋅kg–1⋅Grad−1
2’100 J⋅kg−1⋅Grad−1
1‘005 J⋅kg−1⋅Grad−1
Schmelzpunkt
660 °C
327 °C
1083 °C
1535 °C
−114 °C
0 °C
0 °C
Siedepunkt bei
VerdampfungsErstarrungswärme
Normaldruck
wärme
78 °C
100 °C
397’000 J⋅kg−1
23’000 J⋅kg−1
205’000 J⋅kg−1
277’000 J⋅kg−1
108’000 J⋅kg−1
334’000 J⋅kg−1
840’000 J⋅kg−1
2’256’000 J⋅kg−1
Mechanik und Wärmelehre
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
94)
95)
96)
97)
98)
99)
100)
101)
102)
103)
31
Welche Leistung hat ein Tauchsieder, der in einer Zeit von einer Minute eine Energiemenge von 30’000 J abgibt?
Wie lange geht es, bis ein elektrischer Heizkörper von 2000 W eine Energiemenge von 200’000 J abgegeben hat?
Wie viel Energie gibt ein Tauchsieder von 1000 W in einer Stunde ab?
Wie viele Joule hat eine Kilowattstunde?
Eine Wärmeflasche ist mit einem Liter Wasser von 80 °C gefüllt. Wie viel Wärme kann sie abgeben wenn sie sich
auf eine Temperatur von 25 °C abkühlt?
Auf wie viele Grad Celsius erwärmt ein Tauchsieder von 1000 W innerhalb von 100 Sekunden 1 kg Wasser von
einer Ausgangstemperatur von 17 °C?
Ein Tauchsieder von 1000 W wird in 5 Liter Wasser von 20 °C getaucht und zwei Minuten lang angesteckt. Wie
hoch steigt die Temperatur?
Wie viel Energie ist nötig, um 0.5 kg Schnee (Schnee hat dieselbe spezifische Wärmekapazität wie Eis) von
–10 °C in Wasser von 40 °C zu verwandeln?
Auf einer Kochplatte von 2000 W sollen 2 kg Eis von 0 °C geschmolzen werden. Wie lange dauert dies?
Was erhält man, wenn man 1 kg Wasser von 80 °C mit 1 kg Eis von 0 °C mischt?
Was erhält man, wenn man 1 kg Wasser von 80 °C mit 2 kg Eis von 0 °C mischt?
Was erhält man, wenn man in einer Thermosflasche 1 kg Eis von 0 °C mit 1 kg Wasser von 100 °C mischt?
Ein Tauchsieder von 1000 W erwärmt 1 kg Alkohol von 17 °C auf 57 °C in einer Zeit von 100 Sekunden. Berechnen Sie die spezifische Wärmekapazität von Alkohol.
Wie viel Wärme muss einem Viertelliter Wasser von 20 °C entzogen werden, damit es zu Eis von –15 °C werden
kann?
Ein Wasserboiler hat einen Inhalt von 80 Liter und eine Heizung von 2000 W. Das Wasser kommt mit 15 °C aus
der Wasserleitung und muss auf 75 °C aufgeheizt werden.
a) Wie viel Energie ist für das Aufheizen nötig?
b) Wie lange dauert das Aufheizen?
c) Was kostet das Aufheizen falls man die kWh zu 15 Rp rechnet?
Für ein Frühstücksei fülle ich 40 cm3 Wasser von 15 °C in den Eierkocher. Die Heizung des Eierkochers bringt das
Wasser zum Kochen und verdampft es anschliessend. Wie hoch ist der Energieverbrauch?
Ein Tauchsieder bringt in 4 Minuten 0.5 Liter Wasser von anfänglich 17 °C zum Kochen. Wie gross ist die Leistung
des Tauchsieders?
2 kg einer Flüssigkeit (ich verrate nicht, welche) wird durch einen Tauchsieder von 500 W in 100 s von 20 °C auf
30 °C erwärmt. Wie gross ist die spezifische Wärmekapazität dieser Flüssigkeit?
50 g Kupferschrot von 100 °C werden in 100 g Wasser von 20 °C geschüttet. Es stellt sich eine Mischtemperatur
von 23.5 °C ein. Welche spezifische Wärmekapazität ergibt sich daraus für Kupfer?
In ein Gefäss mit 50 g Wasser von 20 °C werden 100 g Kupfer von 100 °C hinzugefügt. Welche Mischtemperatur
stellt sich ein?
In ein Gefäss mit 50 g Wasser von 100 °C werden 100 g Kupfer von 20 °C hinzugefügt. Welche Mischtemperatur
stellt sich ein?
Verbrennt man 10 g eines Heizöls unter 2 kg Wasser von 15 °C, so steigt die Wassertemperatur auf 60 °C an.
Berechnen Sie den Heizwert dieses Heizöls.
Die Tabelle mit den thermischen Daten (Seite 30) zeigt, dass Wasser wirklich eine besonderer Saft ist: Es gibt keine
Flüssigkeit mit grösserer spezifischer Wärmekapazität, keine mit grösserer Schmelzwärme und auch keine mit grösserer
Verdampfungswärme. Das hat grosse Bedeutung für die Jahreszeiten. Wenn ab September die Sonne bereits viel von
ihrer Kraft verloren hat, verfügt die Natur immer noch über grosse Wärmereserven: Die Seen und Meere haben viel
Wärme gespeichert und bis die Flüsse und Bäche gefrieren muss dem Wasser noch viel Wärme entzogen werden. Der
kälteste Monat ist nicht der Dezember, wenn die Sonne am tiefsten steht, sondern der Januar.
Umgekehrt: Wenn von März an die Sonne schon recht hoch steht, ist es immer noch ziemlich kalt. Erst muss noch
Schnee und Eis geschmolzen werden und zudem nehmen die Seen und Meere noch viel Wärme auf.
Das Meer als riesiger Wärmespeicher sorgt dafür, dass in Küstengebieten die Sommer nicht allzu heiss und die Winter
nicht allzu kalt sind. Man spricht vom maritimen Klima im Gegensatz zum kontinentalen Klima.
32
Mechanik und Wärmelehre
14. Kühlschrank und Wärmepumpe
Da kommt jemand und gräbt ein Loch. Er muss Erdmasse aus einem tieferen Niveau in ein höheres Niveau hinauf
schaufeln. Je tiefer das Loch wird desto mehr Energie muss er aufwenden für jede Schaufel Erde.
Was hat das mit einem Kühlschrank zu tun? Etwa weil der Mann sich nach gegrabenem Loch ein kaltes Bier wünscht?
Dieser Zusammenhang ist hier nicht gemeint.
Die Wärmepumpe im Kühlschrank macht jedoch etwas ähnliches wie dieser Mann. Sie schaufelt nicht Erdmasse, sondern Wärme aus einem tieferen Temperaturniveau (Kühlschranktemperatur) in ein höheres Temperaturniveau (Zimmertemperatur). Sie schaufelt eine Wärmesenke. Das geht auch nicht von selber, dafür muss Energie aufgewendet werden.
Kühlschrank
20 °C
20 °C
Kühlschrank
21 °C
10 °C
W
Kühlschrank
e
ärm
W
22 °C
0 °C
e
ärm
W
W
Wenn Wärme aus dem Innern des Kühlschrankes nach aussen gepumpt wird, muss natürlich die Temperatur ausserhalb des Kühlschrankes steigen. Ein wenig natürlich, da sich die heraus gepumpte Wärme auf einen grösseren Raum
verteilt.
Mechanik und Wärmelehre
33
Wie macht das der Kühlschrank?
J
J
Verdampfer
Drosselventil
J
Kompressor
J
Verflüssiger
Im Kühlkreislauf befindet sich ein Kühlmittel. Die erste Generation Kühlschränke verwendete Freon oder Frenon. Dies
sind Fluorkohlenwasserstoffe (FCKW). Fluorkohlenwasserstoffe werden verantwortlich gemacht für die Zerstörung der
Ozonschichte, daher verwendet man heute FCKW-freie Kühlmittel, Propan oder Butan.
Damit das Kühlmittel seine Aufgabe erfüllen kann, treibt es eine Pumpe (der Kompressor) im Kreis herum.
Das Herzstück des Kühlkreislaufes ist der Verdampfer. Hier verdampft das Kühlmittel. Dabei wird dem Innern des Kühlschrankes die zum Verdampfen nötige Verdampfungswärme entzogen. Der Kompressor pumpt das verdampfte Kühlmittel ab und pumpt es in den Verflüssiger. Nur so kann immer wieder neues Kühlmittel verdampfen.
Im Verflüssiger herrscht erhöhter Druck. Dafür sorgt das Drosselventil. Das gasförmige Kühlmittel wird damit gezwungen sich zu verflüssigen, zu kondensieren. Dabei wird Wärme frei. Dieser Verflüssiger befindet sich natürlich ausserhalb
des Kühlschrankes. Die Kondensationswärme muss ja ausserhalb des Kühlschrankes abgegeben werden.
Das verflüssigte Kühlmittel steigt dann wieder hoch in den Verdampfer und das Spiel beginnt von neuem.
Wie kann man das den Kindern erklären?
Man könnte sich vorstellen das Kühlmittel besteht aus vielen kleinen Männlein, die sich im Verdampfer Wärmepakete
aufladen und diese in den Verflüssiger transportieren. Das Drosselventil macht Stau wie auf der Autobahn vor dem
Gotthardtunnel und die kleinen Männlein sind gezwungen, ihre Wärmepakete dort abzulegen.
34
Mechanik und Wärmelehre
Wärmepumpe als energiesparende Gebäudeheizung
Das Prinzip der Wärmepumpe kann auch zur Beheizung von Gebäuden verwendet werden. Man entzieht der Aussenluft, dem Grundwasser, einem Bach oder einem See Wärme und pumpt diese Wärme in das Haus. Der Verdampfer
befindet sich im Grundwasser, hier wird ja Wärme verbraucht. Im Verflüssiger wird die Wärme wieder abgegeben, damit
wird das Wasser der Zentralheizung erhitzt.
Bei einer Wärmepumpe als Gebäudeheizung kann nicht eine allzu hohe Temperatur erzielt werden. 40 °C bis 50 °C. Es
braucht eine Bodenheizung. Der Nachteil einer Wärmepumpe sind die hohen Investitionskosten. Wärmepumpen rentieren vor allem bei grösseren Gebäudekomplexen oder etwa bei einem Schwimmbad mit angeschlossenem Eislaufplatz.
Sie finden hier eine Wärmepumpe zur Beheizung eines Wohnhauses abgebildet. Eigentlich ist es eine normale Zentralheizung, nur wird nicht mit Öl geheizt, sondern mit der Wärme, die bei der Kondensation des Kühlmittels entsteht.
Dem Grundwasser wird durch Verdampfen des Kühlmittels Wärme entzogen. Das Kühlmittel kondensiert im Verflüssiger
und erhitzt damit das Wasser im Heisswasserkreislauf der Zentralheizung. Der Verflüssiger ist somit der Heizkessel der
Zentralheizung.
Der Kompressor treibt das Kühlmittel an und sorgt dafür, dass immer wieder neues Kühlmittel verdampfen kann.
Das Heisswasser für die Zentralheizung fliesst mit einer Vorlauftemperatur von 50 °C in die Heizkörper, angetrieben von
einer Umlaufpumpe. Nachdem es einen Grossteil seiner Wärme abgegeben hat, fliesst es wieder zurück in den Heizkessel um wieder aufgeheizt zu werden.
Heizkörper
Umlaufpumpe
Heizwasserkreislauf
50 °C
30 °C
Kühlmittelkreislauf
Verflüssiger
(Heizkessel)
Elektromotor
Drosselventil
Kompressor
Grundwasser
10 °C
Verdampfer
Mechanik und Wärmelehre
35
Die Leistungszahl für den Kühlschrank
Der Strombedarf eines Kühlschrankes hängt davon ab, wie tief die Wärmesenke ist. Das heisst, er ist umso höher, je
grösser die Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Aussentemperatur ist. Der Kühlschrank in einem Eskiomo-Iglu hat
natürlich keinen Strombedarf.
Unter der Leistungszahl ε für den Kühlschrank versteht man das Verhältnis zwischen der dem Kühlschrank entzogenen Wärmemenge (mit der Temperatur Tkalt) und der dafür eingesetzten Energie (im Motor des Kompressors) an. Eine
Leistungszahl von 3 beispielsweise würde bedeuten, dass man mit einem Energieaufwand von 100 Joule eine Wärmemenge von 300 Joule aus dem Innern des Kühlschrankes herauspumpen kann.
Tkalt
Es lässt sich zeigen dass gilt:
εKühlschrank ≤
Twarm − Tkalt
Die Temperatur darf jedoch nicht in Grad Celsius, sondern muss in Kelvingraden angegeben werden. Die Umrechnung
von Celsiusgraden ist einfach: Kelvingrade = Celsiusgrade + 273.
Bei den Kelvingraden (mit K bezeichnet) wird im Vergleich zu den Celsiusgraden (bezeichnet mit °C) lediglich der Nullpunkt verschoben. –273 °C = 0 K ist der absolute Nullpunkt der Temperatur1. Damit ist 0 °C = 273 K.
Das Gleichheitszeichen ist reserviert für den Idealfall, der praktisch nie erreicht werden kann. In der praktischen Ausführung eines Kühlschrankes ist der theoretisch höchste Wert etwa zu halbieren.
Nehmen wir als Beispiel einen Kühlschrank mit einer Aussentemperatur von +25 °C und einer Innentemperatur von
+5 °C und berechnen wir die Leistungszahl ε:
Tkalt
(273 + 5)
εKühlschrank ≤
=
= 13.9
Twarm − Tkalt (273 + 25) − (273 + 5)
Diesen Wert wird man nie erreichen, praktisch wird er etwa bei 7 liegen.
Bei grosser Temperaturdifferenz zwischen innen und aussen ist die Leistungszahl eines Kühlschrankes klein. Bei kleiner
Temperaturdifferenz ist die Leistungszahl gross.
Die Leistungszahl für die Wärmepumpe
Unter der Leistungszahl ε für die Wärmepumpe versteht man das Verhältnis zwischen der in das Haus gepumpten
Wärmemenge (mit der Temperatur Twarm) und der dafür eingesetzten Energie (im Motor des Kompressors). Eine Leistungszahl von 3 beispielsweise würde bedeuten, dass man mit einem Energieaufwand von 100 Joule eine Wärmemenge von 300 Joule in das Haus pumpen kann kann.
Twarm
Es lässt sich zeigen, dass gilt:
εWärmepumpe ≤
Twarm − Tkalt
Achten Sie darauf, dass in diesem Fall im Zähler die Temperatur Twarm steht, die Temperatur des Heizwassers.
Wieder ist Gleichheitszeichen ist reserviert für den Idealfall, der praktisch nie erreicht werden kann. In der praktischen
Ausführung einer Wärmepumpe ist der theoretisch höchste Wert etwa zu halbieren.
Nehmen wir als Beispiel die auf der vorangehenden Seite abgebildete Wärmepumpe zur Beheizung eines Hauses mit
einer Temperatur von +10 °C im Verdampfer und einer Temperatur im von +50 °C im Verflüssiger und berechnen wir
die Leistungszahl ε:
Twarm
(273 + 50)
εWärmepumpe ≤
=
= 8.1
Twarm − Tkalt (273 + 50) − (273 + 10)
Auch diesen Wert wird man nie erreichen, praktisch wird er etwa bei 4 liegen. Immerhin: Mit einem Energieaufwand von
100 Joule wird man 400 Joule in das Haus pumpen können.
Anders ausgedrückt: Die Heizleistung ist etwa vier mal grösser als die aufzuwendende Leistung im Kompressor.
1
Kälter kann es uns nicht werden, das ist irgendwie beruhigend.
LÖSUNGEN
1) Achten Sie darauf: Sie haben auf dem Mond die gleiche Masse
wie auf der Erde. Nur Ihr Gewicht ist am Mond sechsmal kleiner.
2) 10 N
3) 10 N
4) 10 N
5) a) 1 m3 = 1000 dm3 b) 1000 kg = 1 t c) 10’000 N
6) a) 0.001 kg = 1 g b) 0.01 N = 1 cN
7) a) 3.75 m/s2 b) 262.5 N
8) a) 10 m/s b) 36 km/h
9) 6000 N
10) a) 2 m/s2 b) 10 m/s
11) 10'000 N, genauer 9’810 N
12) Keine Lösung angegeben.
13) Max hat auf der Strecke zwischen Altdorf und Seedorf eine
Durchschnittsgeschwindigkeit von 24 km/h, zwischen Seedorf
und Isleten 20 km/h usw. Beachten Sie: Die Geschwindigkeit
beim Zurückfahren ist negativ!
14) Jolanda spaziert zunächst mit – 6 km/h in Richtung Moosbad
und wartet dort 10 Minuten auf Tobias, der mit einer Geschwindigkeit von +18 km/h aus Richtung Erstfeld angefahren kommt.
15) Keine Lösung angegeben.
16) Keine Lösung angegeben.
17) 250 N/m, 500 N/m, 1200 N/m
18) 200 N/m
19) 200’000 N/m
20) 8 cm; (die Länge der Feder spielt dabei keine Rolle)
21) 2.5 N
22) 4 mm
23) 80 N/m
24) 20 N/m
25) 24 N/m
26) 800 m, Durchschnittsgeschwindigkeit 16 m/s
27) 1 g/cm3 = 1000 g/dm3 = 1 kg/dm3 = 1000 kg/m3 = 1 t/m3
2.7 g/cm3 = 2700 g/dm3 = 2.7 kg/dm3 = 2700 kg/m3 = 2.7 t/m3
28) 8.59 g/cm3
29) 1.27 g/cm3
30) 0.185 dm3
31) 0.014 mm
32) 134 m3 Gold; Kantenlänge des Goldwürfels 5.12 m
33) 15.708 m3, 14.45 t = 14'450 kg
34) a) 0.00015 mm
b) 0.0051 mm
35) a) 0.2 g/cm3 b) nein, 200 kg
36) 1.11 dm3
37) 73.5 cm3
38) 180 kg
39) Die Arbeit wäre sechsmal kleiner.
40) 10'000 Nm = 10'000 J
41) 1'600’000 J = 0.44 kWh
42) In N/m misst man die Federkonstante, in Nm misst man die Arbeit und die Energie.
43) 6500 J
44) 100'000 J
45) 100 m
46) 4'000'000 J = 4 MJ
47) 840'000 J bzw. 0.75 Cervelat
48) 1 J
49) 0.5 J
36
50) Freier Fall auf dem Mond:
0s
1s
2s
3s
0 m/s
1.6 m/s
3.2 m/s
4.8 m/s
0m
0.8 m
3.2 m
7.2 m
51) Im Schnee auf den Bergen steckt Lageenergie. In
der Lawine steckt Bewegungsenergie.
52) 1600 J
53) 300’000 J
54) 2250 J (2500 J)
55) 37 h 36 min
56) Die Energie ist 2000 J, die Leistung beträgt 400 W
57) Für mich ist es derselbe Energieaufwand, meine
Leistung ist hingegen geringer, nämlich 50 W.
58) 1 PS = 750 W = 0.75 kW
59) 50 PS = 37.5 kW
60) 5000 W
61) 1 h 7 min
62) 10'000 W
63) W 3'600'000 J = 3'600'000 Ws = 1 kWh
64) 3.6 kWh, Fr. 0.54
65) a) 8'600'000 W = 8.6 MW b) 43 Mill. kWh = 43 GWh
66) Theoretisch (wenn es keine Reibungsverluste gäbe)
könnte man eine Leistung von 137.5 Megawatt erzielen.
67) 36 m3
68) 0.72 m3
69) 8 Liter Wasser
70) 5290 GWh
71) 26 MW
72) 1360 W/m2
73) 8 Minuten 20 Sekunden
74) 760 ⋅104 m2 = 7.5 km2.
75) Kondensation
76) Resublimation
77) Resublimation.
78) Resublimation.
79) Kondensation.
80) gefrieren
81) 672'000 J + 4'512’000 J = 5'184’000 J
82) 500 W
83) 100 s
84) 3’600’000 J = 3’600’000 Ws = 1 kWh
85) 1 kWh = 3’600’000 J
86) 231’000 J
87) 40.8 °C
88) 25.7 °C
89) 261’400 J
90) 5 Minuten 34 Sekunden
91) 2 kg Wasser von 0 °C
92) 2 kg Wasser und 1 kg Eis von 0 °C
93) 2 kg Wasser von 10 °C
94) 2 500 J/(kg⋅Grad)
95) 112’375 J
96) a) 5.6 kWh b) 2 Stunden 48 Minuten c) Fr. 0.85
97) 104’520 J = 0.03 kWh
98) 720 W
99) 2500 J/(kg⋅Grad)
100) 384 J/(kg⋅Grad)
101) 32.4 °C
102) 87.7 °C
103) 37’800 kJ/kg