1. ¨Ubungsblatt Aufgaben mit Lösungen

1. Übungsblatt
Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1:
Gegeben seien die Mengen
A = {(x, y) ∈ R2 : y = x2 + 1},
B = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 2, |y + 1| > 1},
C = {(x, y) ∈ R2 : |x| > 2}.
a) Skizzieren Sie die Mengen A, B, und C.
b) Bestimmen und skizzieren Sie die Mengen A ∩ B und R2 \ (B ∪ C).
Lösung 1:
a) Skizzen
b) A ∩ B :
(x, y) ∈ A ⇒ y = x2 + 1. (x, y) ∈ B ⇒ −2 ≤ x ≤ 2 und: y + 1 < −1 oder y + 1 > 1,also y < −2 oder y > 0.
Falls (x, y) ∈ A ∩ B, weil 0 ≤ |x| ≤ 2, 1 ≤ x2 + 1 ≤ 5, also 1 ≤ y ≤ 5. Insgesamt ergibt das die Bedingungen
−2 ≤ x ≤ 2, 1≤ y ≤ 5, y = x2 + 1, falls (x, y) ∈ A ∩ B.
Also A ∩ B ⊂ (x, y) ∈ R2 | − 2 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 5, y = x2 + 1 .
Man rechnet nach, daß (x, y) ∈ R2 | − 2 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 5, y = x2 + 1 ⊂ A ∩ B.
A∩C :
(x, y) ∈ A ⇒ y = x2 + 1. (x, y) ∈ C ⇒ |x| > 2, also x > 2 oder x < −2. Falls (x, y) ∈ A ∩ C, dann x > 2 und
y = x2 + 1, oder
y = x2 + 1.
x < −2 und
2
Also A ∩ C ⊂ (x, y) ∈ (R) | x > 2, y = x2 +1 ∪ (x, y) ∈ (R)2 | x < −2, y = x2 + 1 .
Offenbar, (x, y) ∈ R2 | x > 2, y = x2 + 1 ∪ (x, y) ∈ R2 | x < −2, y = x2 + 1 ⊂ A ∩ C.
B∩C :
(x, y) ∈ B ⇒ |x| ≤ 2. (x, y) ∈ C ⇒ |x| > 2, also B ∩ C = ∅.
R2 \ (B ∪ C) :
(x, y) ∈ R2 \ (B ∪ C) ⇒ (x, y) ∈ R2 und (x, y) ∈
/ (B ∪ C).
Also, (x, y) ∈ R2 , (x, y) ∈
/ B und (x, y) ∈
/ C.
Falls (x, y) ∈
/ B, |x| > 2 oder −2 ≤ y ≤ 0.
Falls (x, y) ∈
/ C, |x| ≤ 2.
Insgesamt also R2 \ (B∪ C) ⊂ (x, y) ∈ R2 | − 2 ≤ x ≤ 2, − 2≤ y ≤ 0 .
Man sieht leicht, dass (x, y) ∈ R2 | − 2 ≤ x ≤ 2, − 2 ≤ y ≤ 0 ⊂ R2 \ (B ∪ C).
Aufgabe 2:
(a) Zeigen Sie mit Hilfe von Indextransformation, dass gilt
(n + 1)
3
=
n
X
3
(k + 1) −
k=0
n
X
k3 .
k=0
(b) Seien n, r ∈ N mit n ≥ r ≥ 1. Beweisen Sie die Rechenregel für die Binomialkoeffizienten
n
n
n−1
=
·
.
r
r−1
r
Lösung 2:
(a) Mit einer Indextransformation erhalten wir
n
X
(k + 1)3 −
k=0
n
X
n+1
X
k3 =
k=0
k3 −
k=1
n
X
k 3 = (n + 1)3 +
k=0
n
X
(k 3 − k 3 ) − 03 = (n + 1)3 .
k=1
(b)
(n − 1)!
n
n−1
n!
n n≥r
r≥1 n
=
·
= ·
.
=
r! (n − r)!
r (r − 1)! ([n − 1] − [r − 1])!
r
r−1
r
Aufgabe 3: Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach n ∈ N:
n
X
1
1
≤ 2− .
k2
n
k=1
Lösung 3:
Induktionsanfang n = 1:
Induktionsschritt n y n + 1 : Es gelte
1
P
k=1
n
P
k=1
1
k2
= 1 ≤ 1 = 2 − 11 . Die Behauptung stimmt also für n = 1.
1
k2
≤ 2 − n1 für ein n ∈ N (Induktionsvoraussetzung). Zu zeigen
ist, dass unter der Voraussetzung auch
n+1
X
k=1
1
1
≤2−
k2
n+1
gilt. Wir haben
n+1
X
k=1
n
X 1
1
1
=
+
2
2
k
k
(n + 1)2
Ind.Vor.
≤
2−
k=1
=2−
1
1
n − (n + 1)2
+
=2+
2
n (n + 1)
n(n + 1)2
n2 + n + 1
n2 + n
1
≤2−
=2−
.
2
2
n(n + 1)
n(n + 1)
n+1
Aufgabe 4: Sei z ∈ C \ {i} eine komplexe Zahl. Berechnen Sie fr Für die komplexe Zahl
(2 − i)z − 1 + 2i
z+i
Real- und Imaginärteil, sowie Betrag und Argument.
w=
Lösung 4:
Bei Brüchen mit komplexen Zahlen erweitert man normalerweise mit dem konjugiert Komplexen des Nenners,
und vereinfacht dann die Ausdrücke:
(2 − i)z − 1 + 2i [z − i]
[(2 + i) (x + iy) − 1 + 2i] [x − iy − i]
w=
=
[z + i] [z − i]
[x + iy + i] [x − iy − i]
[(2x − y − 1) + i (x + 2y + 2)] [x − i (y + 1)]
=
2
x2 + (y + 1)
2x2 − xy − x + [(x + 2y + 2) (y + 1)]
x2 + 2xy + 2x − (2x − y − 1) (y + 1)
=
+i
2
2
x2 + (y + 1)
x2 + (y + 1)
2x2 + 2y 2 + 4y + 2
x2 + y 2 + 2y + 1
=
+
i
= 2 + i.
2
2
x2 + (y + 1)
x2 + (y + 1)
Das ergibt die Antwort
Re w = 2, Im w = 1, |w| =
√
1
5, Arg w = arctan .
2
Bemerkung: Schneller geht es hier wie folgt:
(2 + i)z − 1 + 2i
(2 + i)z + i (2 + i) − i (2 + i) − 1 + 2i
(2 + i) (z + i) −i (2 + i) − 1 + 2i
=
=
+
z+i
z+i
z+i
z+i
−2i + 1 − 1 + 2i
0
=2+i+
=2+i+
= 2 + i.
z+i
z+i
w=
Aufgabe 5: Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlen z, die der jeweiligen Bedingung genügen:
(a) |3z − 1 + 2i| ≤ 2 ,
(b) |z − z0 | = |z − z1 | für z0 = 1 − i, z1 = 2 + i .
Lösung 5:
(a) |3z − 1 + 2i| ≤ 2 ist zu |z −
1−2i
3 |
≤
2
3
äquivalent. Dies ist eine Kreisscheibe um
1−2i
3
mit Radius 23 .
(b) Die Bedingung |z − z0 | = |z − z1 | kann man in äquivalenter Form als |z − z0 |2 = |z − z1 |2 schreiben. Mit
2
2
2
2
der Bezeichnung x = Re(z), y = Im(z) ergibt das(x − 1) + (y − (−1)) = (x − 2) + (y − 1) , oder
x2 − 2x + 1 + y 2 + 2y + 1 = x2 − 4x + 4 + y 2 − 2y + 1. Das ergibt die lineare Gleichung 2x + 4y = 3. Die
Antwort ist also die Gerade y = 3/4 − x/2.