Probe-Klausur ASW Mathematik II

Pobe--Klausur Mathematik II
Prof. Dr. B. Grabowski
Dauer:120 Minuten
Probe-Klausur ASW Mathematik II
Dauer : 110 Minuten
Prof. Dr. B. Grabowski
(Erlaubte Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner, 2 DIN A 4-Blätter)
Hinweise:
o Insgesamt sind 5 Aufgaben zu lösen!
• Begründen Sie alle Aussagen bzw. machen Sie Lösungswege deutlich!
• Wählen Sie die angegebene Zahl von Aufgaben aus jedem Kapitel aus!
• Lösen Sie mehr Aufgaben zu einem Kapitel, so werden nur die Aufgaben bewertet, für die Sie
in der Summe die höchste Punktzahl erzielen!
Tabellen:
f(x)
sin(x)
cos(x)
ln(x)
(x>0)
ex
f'(x)
cos(x)
-sin(x)
1/x
ex
Weiterhin gelten folgende Beziehungen zwischen cos(x) und sin(x):
cos( x) = sin( x +
π
2
) ,
π
sin( x) = cos( x − ) .
2
Viel Erfolg
Prof. Dr. B. Grabowski
1
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Dauer:120 Minuten
I. Komplexe Zahlen (1 aus 2 auswählen)
1) (20 Punkte)
Seien z1 = 1+ j, z2 = 3 e
j
π
4
und
z=
3 z1
.
z2 + z2
*
a) Geben Sie z in Eulerform an!
b) Geben Sie z in Normalform an!
1) (20 Punkte, a) =12 P, b) 8P)
Seien f1(t)= 2 sin(2t ) und f2(t)= 2 4 cos(2t −
π
).
4
a) Berechnen Sie die Schwingung f(t) = f1(t) + f2(t)
Geben Sie das Ergebnis in der Form f(t) = A sin(2t + ϕ) an, d.h. geben Sie A und ϕ an!
b) Skizzieren Sie die Schwingungen f1(t), f2(t) und f(t) als komplexen Zeiger in das gleiche
Zeigerdiagramm!
II. Allgemeine Eigenschaften von Funktionen und Matrizenrechnung (2 aus 5 auswählen)
3) (20 Punkte)
Sei
( x − 1)( x − 2)( x + 3)
f ( x) =
,
x ∈ R /{−3,−1,−2}
( x + 2)( x 2 + 4 x + 3)
Geben Sie
a) die behebbaren Unstetigkeitsstellen (3P), Polstellen (3P), Nullstellen (2P) an!
b) Berechnen Sie die Asymptote (3P)
c) Berechnen Sie alle Grenzwerte an den Polstellen durch getrennte Betrachtung von links- und
rechtsseitigem Grenzwert! (3P).
d) Untersuchen Sie, ob die Funktion von unten oder oben gegen die Asymptote konvergiert, falls
sie existiert (2P).
e) Skizzieren Sie den Graph der Funktion! (3P).
4) (20 Punkte, a=5P, b= 15P)
a) Skizzieren Sie die Funktion f ( x) = sin(2 x − π / 2) im Bereich x∈[-2π,2π]!
b) Geben Sie alle Lösungen der Gleichung sin(2 x − π / 2) = 0,5 an!
5 ) (15 Punkte)
Skizzieren Sie die Abbildung, die durch folgende implizite Gleichung dargestellt wird:
4 x 2 − 8 x + y 2 + 2 y + 1 = 0 dargestellt!
2
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6) (20 Punkte) (a) 18P, b) 2 P)
Gegeben seien die Messwertepaare
Xi
1
yi
1
2
2
3
6
a) Geben Sie die Parabel y = ax2 + bx + c an, die durch die o.g. 3 Messpunkte (xi,yi), i=1,2,3,
verläuft.
b) Skizzieren Sie die Daten und die Parabel in einem Koordinatensystem!
7) (20 Punkte) (a)=10P, b)=10P)
1 2 0


Sei A =  1 0 1 .
 0 2 2


a) Geben Sie die Determinante |A| von A an!
b) Geben Sie die Inverse Matrix zu A an!
III. Differentialrechnung und Zahlenfolgen (2 aus 4 Aufgaben auswählen)
8) (20 Punkte)
Berechnen Sie folgenden Grenzwert lim a n mit
n →∞
3n
an =
(−1)
+
( 4) n
(n
(n
3
)
2
+1 − n
4
+ n3 + n
)
Begründen Sie alle Ihre Aussagen! (Verwenden Sie ggf. Grenzwertsätze!)
9) (20 Punkte)
2
In welchen Bereichen ist die Funktion f(t) = 1- 3e − x
a) monoton wachsend?
b) konvex ( = linksgekrümmt)?
( t ∈R)
10) (15 Punkte)
Wie lautet die Gleichung der Tangenten an die Funktion f(x)= (sin(x))x an der Stelle x=π/2?
11) (10 Punkte, je 5)
Berechnen Sie die 1. Ableitung:
a)
f ( x) =
2x3 − 1
3
x + 10
c) f ( x) = 3( x − 1)e ( x
2
+3)
3