I Unterricht 3

1
I
Unterricht 3
I.1
Reelle Zahlen
Eine Funktion
f :N→R
ist beschränkt, wenn Konstanten cf und Cf existieren, sodass
∀n ∈ N : cf ≤ f (n) ≤ Cf .
gilt.
Seien
f :N→R
und
g:N→R
beschränkte Funktionen.
Wir nehmen an:
∀n ∈ N : f (n + 1) ≤ f (n)
(I.1)
∀n ∈ N : g(n + 1) ≤ g(n)
Zeigen Sie, dass
inf{f (n) + g(n) : n ∈ N} = inf{f (n) : n ∈ N} + inf{g(n) : n ∈ N}
(I.2)
Beweis:
Es ist klar, dass
∀n ∈ N : inf{f (m) : m ∈ N} + inf{g(m) : m ∈ N} ≤ f (n) + g(n)
(I.3)
und deshalb gilt
inf{f (m) : m ∈ N} + inf{g(m) : m ∈ N} ≤ inf{f (n) + g(n) : n ∈ N}. (I.4)
Seien a ∈ N und b ∈ N, sodass
inf{f (m) : m ∈ N} ≥ f (a ) − (I.5)
inf{g(m) : m ∈ N} ≥ g(b ) − (I.6)
und
2
Sei n0 = min(a , b ) . (I.1), (I.5), (I.6) implizieren dass,
inf{f (m) : m ∈ N} + inf{g(m) : m ∈ N} ≥ f (n0 ) + g(n0 ) − 2
(I.7)
und deswegen
∀ > 0 : inf{f (m) : m ∈ N}+inf{g(m) : m ∈ N} ≥ inf{f (m)+g(m) : m ∈ N}−2
(I.8)
und es folgt schlieÿlich, dass
inf{f (m) : m ∈ N}+inf{g(m) : m ∈ N} ≥ inf{f (m)+g(m) : m ∈ N}. (I.9)
(I.2) folgt aus (I.4) und (I.9).
I.2
Komplexe Zahlen
Finden Sie alle komplexen Zahlen (z ) mit
z n = 1.
(I.10)
Wir benutzen die Polardarstellung. Seien r ∈ R+ und φ ∈ [0, 2π), sodass
z := reiφ .
(I.11)
Es folgt, dass
z n = 1 ⇐⇒ rn einφ = rn (cos(nφ) + i sin(nφ)) = 1,
deshalb
rn = 1, cos(nφ) = 1, sin(nφ) = 0
und deswegen
r = 1, nφ = 2πk, ∀k ∈ Z.
(I.12)
Die Lösungen (φ ∈ [0, 2π)) von den Gleichungen (I.12) sind:
r = 1, φ ∈ {φ0 , φ1 , · · · φn−1 }
wobei
φk :=
2πk
.
n
(I.13)
(I.14)
Die Lösungen von Gleichung (I.10) lauten dann:
wk := eiφk , k ∈ {0, 1, · · · , n − 1}.
(I.15)
3
Seien
wk , k ∈ {0, 1, · · · , n − 1}.
deniert durch Gleichung (I.15). Zeigen Sie, dass
w0 + w1 + · · · wn−1 = 0
(I.16)
Beweis:
Aus (I.15) folgt, dass
∀l ∈ {0, · · · , n − 1} : wl (w0 + w1 + · · · wn−1 ) = w0 + w1 + · · · wn−1 , (I.17)
und daher
(1 − wl )(w0 + w1 + · · · wn−1 ) = 0.
(I.18)
Wir wählen l, sodass wl 6= 1 und schlieÿen (I.16) aus (I.18).
Seien z, w ∈ C. Nehmen Sie an, dass |z| = 1 und z w̄ 6= 1 sind.
Zeigen Sie, dass
|(z − w)
1
| = 1.
1 − z̄w
Beweis:
1
1−z w̄
|(z − w) 1−z̄w
| = |(z − w) |1−z
|
w̄|2
1−z w̄
1−z w̄
= |z(1 − wz −1 ) |1−z
| = |z||(1 − w |z|z̄ 2 ) |1−z
|
w̄|2
w̄|2
1−z w̄
|=
= |(1 − wz̄) |1−z
w̄|2
|1−z w̄|2
|1−z w̄|2
= 1,
wobei wir benutzt haben, dass
∀c1 , c2 ∈ C, |c1 c2 | = |c1 ||c2 |, c1 + c2 = c̄1 +c̄2 , c1 c2 = c¯1 c¯2 , c−1
1 =
I.3
c¯1
, |c1 |2 = c1 c̄1 .
2
|c1 |
Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen
Seien A1 , A2 , A3 , · · · Mengen. Wir nehmen an, dass
∀i ∈ N : #{Ai } = #{N}.
Zeigen Sie, dass
#{
∞
[
i=1
Ai } = #{N}.
(I.19)
4
Beweis: Sei
Ai := {aki }k∈N
und
A :=
∞
[
Ai .
i=1
Wir denieren die Funktion
H : N × N → A, (i, k) → aki .
H ist surjektiv. Für jedes Element a ∈ A wählen wir ein Element (ia , ka ),
sodass
H((ia , ka )) = a.
Wir denieren
h : A → N × N, a → (ia , ka ).
Es ist klar, dass h injektiv ist und deshalb ist A isomorph zu einer Teilmenge von N × N und somit abzählbar.
Seien A1 , A2 , A3 , · · · Mengen. Wir nehmen an, dass
∀i ∈ N : #{Ai } = #{N}.
Zeigen Sie, dass
∀n ∈ N : #{A1 × · · · × An } = #{N}
(I.20)
Beweis: Zuerst beweisen wir, dass für alle Mengen C1 , C2 das Folgende
gilt:
#{C1 } = {N}, #{C2 } = {N} =⇒ #{C1 × C2 } = #{N}
.
Sei
Hi : N → Ci
eine Bijektion und
J :N→N×N
eine Bijektion (siehe Satz IV.4).
Wir denieren die Funktion
H1 × H2 : N2 → C1 × C2 .
(I.21)
5
durch
H1 × H2 (n, m) := (H1 (n), H2 (m)).
Es ist klar, dass H1 × H2 eine Bijektion ist und deshalb ist auch
H1 × H2 ◦ J : N → C1 × C2 , n → H1 × H2 (J(n))
eine Bijektion. Es folgt, dass
#{C1 × C2 } = #{N}.
Wir nehmen an, dass
#{A1 × · · · Ak } = #{N}
Wir setzen
C1 := A1 × · · · Ak , C2 = Ak+1
Es folgt aus (I.21), dass
#{N} = #{C1 × C2 } = #{A1 × · · · × Ak+1 }.
(I.21) folgt schlieÿlich aus Induktion.
Seien A1 , A2 , A3 , · · · Mengen. Wir nehmen an, dass
∀i ∈ N : 0 ∈ Ai
und, dass
∀i ∈ N : #{Ai } = #{N}
Sei B die folgende Menge
B := {f : N →
[
Ai |f (i) ∈ Ai , ∃Nf ∈ N,
sodass f (i) = 0∀i ≥ Nf }.
i∈N
Zeigen Sie, dass B abzählbar ist.
(I.22)
Beweis:
Wir denieren
Bk := {f : N →
[
Ai |f (i) ∈ Ai , f (i) = 0 ∀i ≥ k}.
i∈N
Es ist klar, dass
[
k∈N
Bk = B.
(I.23)
6
S (Da Bk ⊂ B ,
S
k∈N
Bk ⊂ B . Aus f ∈ BNf ∀f ∈ B folgt, dass B ⊂
k∈N Bk
Wir zeigen jetzt, dass Bk für alle k aus N abzählbar ist.
Wir denieren die Funktion
Fk : Bk → A1 × · · · × Ak , Fk (f ) := (f (1), f (2), · · · , f (k)).
(I.24)
Es ist klar, dass Fk eine Bijektion ist. Es folgt aus (I.20), dass
#{Bk } = #{N}.
Es folgt aus (I.23), (I.25) und Satz IV.11, dass #{B} = #{N} ist.
(I.25)