Mathematik - Schulbuchzentrum Online

Ursula Dahm
Mathematik
Berufskolleg I
Baden-Württemberg
1. Auflage
Bestellnummer 03262
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Bildquellenverzeichnis:
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• MEV Verlag GmbH, Augsburg:
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(© Ansgar Hohn),
(© Tein),
oben (© Klaus Eppele),
unten (© Jordan Lewy)
S. 98
• Projekt Photos GmbH & Co. KG, Augsburg: S. 109
Bildungsverlag EINS GmbH
Sieglarer Straße 2, 53842 Troisdorf
ISBN 978-3-427-03262-5
© Copyright 2008*: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf
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Bildungseinrichtungen.
Vorwort
Verschiedene Formen des Berufskollegs führen in Baden-Württemberg zur Fachhochschulreife; viele davon erreichen dieses Ziel in zwei Jahren. Der Inhalt dieses Lehr- und Arbeitsbuches deckt die Themen ab, die im seit Sommer 2007 gültigen Lehrplan für das erste
Jahr genannt sind.
Der Band kann aber auch an jeder anderen zur Fachhochschulreife führenden Schule
verwendet werden, wenn Polynomfunktionen, Exponentialfunktionen und trigonometrische
Funktionen und die zugehörigen Gleichungen behandelt werden.
Das Buch folgt in weiten Teilen der Intention des Lehrplans, die verschiedenen Funktionstypen nicht mehr nacheinander und damit gleichsam isoliert zu behandeln, sondern den
Unterricht überwiegend durch Aufgabenstellungen ⫺ zum Beispiel die Bestimmung von
Nullstellen ⫺ zu strukturieren. Daher folgen einer relativ kurz gehaltenen Einführung der
einzelnen Funktionstypen und der zugehörigen Gleichungen Kapitel, in denen jeweils Aufgaben zu allen Funktionstypen gestellt werden.
Viele Aufgaben verlangen vom Schüler, Zusammenhänge zu erkennen, Ergebnisse zu beurteilen und Aussagen zu begründen. Er lernt, grundlegende Eigenschaften von Funktionen
zu erkennen, und so zum Beispiel Graphen bestimmten Funktionstermen zuzuordnen. Dies
ist auch im Zusammenhang mit dem Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners wichtig,
um mögliche Eingabefehler zu erkennen.
Ein Kapitel mit Aufgaben zu verschiedenen Fragestellungen und Anwendungsaufgaben
rundet das Buch ab. Erstmals wurden zu diesem abschließenden Kapitel die Lösungen in
Kurzform im Buch mit abgedruckt. So hat jeder Schüler die Möglichkeit, eigenständig zu
üben und seine Ergebnisse zu überprüfen.
Alle Anwendungsaufgaben wurden in einem Kapitel zusammengefasst. Jeder Lehrer kann
nun entscheiden, ob er diese Aufgaben erst am Schluss behandelt, wenn alle verschiedenen
Aufgabenstellungen im Prinzip bekannt sind, oder ob er immer wieder geeignete Aufgaben
auswählt und in die Behandlung der anderen Kapitel integriert.
Die in das Berufskolleg eintretenden Schüler besitzen unterschiedliche Mathematikvorkenntnisse. Um eine gemeinsame Basis für den Mathematikunterricht zu erhalten, wurden in die
davon betroffenen Kapitel Wiederholungsübungen zu mathematischen Grundlagen eingearbeitet.
Die Einführung neuer Lehrinhalte erfolgt anhand von Aufgaben mit ausführlich dargestellten Lösungen. Definitionen, Lehr- und Merksätze sind durch Raster hervorgehoben.
Mit der ausführlichen Darstellung der zahlreichen Beispiele mit Lösungen soll den Schülern
die Möglichkeit zur selbstständigen Erarbeitung und Wiederholung des Stoffes gegeben
werden. Bei geeigneten Aufgaben werden auch verschiedene Lösungswege gezeigt. Die
gezeigten Lösungsverfahren sind allerdings Vorschläge, die nach Erfahrung und Neigung
des Lehrers oder Schülers abgewandelt werden können.
3
Vorwort
Da der grafikfähige Taschenrechner (GTR) wichtiges und notwendiges Hilfsmittel ist, ist
der Einsatz des GTR durchgängig eingearbeitet. Wichtige Anwendungen werden am Beispiel des CASIO CFX-9850GB PLUS ausführlich dargestellt; die Befehlsfolgen mit dem
CASIO CFX-9850GC PLUS sind identisch. Im Anhang werden die wichtigsten Befehle
auch für den TI-83 PLUS und den TI-84 PLUS erklärt. Diese Anleitungen lassen sich
aber auch auf andere grafikfähige Taschenrechner übertragen. So können die Schüler den
sicheren Umgang mit diesem Hilfsmittel üben.
Ich bitte alle Kollegen und Schüler, das Buch zu prüfen und durch Kritik zur Verbesserung beizutragen.
U. Dahm
4
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Mathematische Zeichen und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Funktionen und ihre Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1
Funktionen ⫺ eine Begriffsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Ganzrationale Funktionen ⫺ Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Ganzrationale Funktionen ersten Grades ⫺
Lineare Funktionen f : x 哫 mx + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Polynomfunktionen 2. Grades ⫺ Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Ganzrationale Funktionen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Die Exponentialfunktion f : x 哫 ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Die Exponentialfunktion f : x 哫 ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Die Funktion f : x 哫 aekx + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Das Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Die Funktionen f : x 哫 sin (x) und f : x 哫 cos (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Die Funktionen f : x 哫 a · sin (b (x + c)) + d und
f : x 哫 a · cos (b (x + c)) + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Graphen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
1
10
18
23
30
30
32
35
36
36
37
39
42
2
Gleichungen und Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.6
2.7
Gleichungen als Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichungen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logarithmen und Logarithmensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösen von Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Achsenschnittpunkte und Schnittpunkte
von Funktionsgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1
3.2
Achsenschnittpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Schnittpunkte von Funktionsgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
51
52
53
57
62
62
63
68
70
72
5
Inhaltsverzeichnis
4
Aufstellen von Funktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5
Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1
5.2
Aufgaben mit verschiedenen Funktionstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Anwendungsorientierte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Anhang:
Kurzlösungen zum Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Einige „etwas andere Aufgaben“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Anleitungen für den CASIO CFX-9850GB PLUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Anleitungen zu den grafikfähigen Taschenrechnern TI-83 Plus und
TI-84 Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6
Mathematische Zeichen
und Abkürzungen
Zeichen und Begriffe der Mengenlehre nach DIN 5473
A ⫽ {0, 1, 2, 3}
aufzählende Form einer endlichen Menge: Menge A wird gebildet aus den Elementen 0, 1, 2, 3.
A ⫽ {x 兩 x ⬍ 4}n
beschreibende Form einer endlichen Menge: A ist die Menge aller
x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl und x ist kleiner als 4.
2僆A
2 ist Element von A.
4僆A
4 ist kein Element von A.
0/
Leere Menge, sie enthält kein Element.
G
Grundbereich
D
Definitionsbereich
W
Wertebereich
L
Lösungsmenge
n ⫽ {0, 1, 2, …}
Menge der natürlichen Zahlen (n enthält die Zahl 0.)
z ⫽ {…, ⫺2, ⫺1, 0, 1, 2, …} Menge der ganzen Zahlen
q
Menge der rationalen Zahlen
r
Menge der reellen Zahlen
n*, z*, q*, r*
Mengen n, z, q, r ohne die Null
z⫹, q⫹, r⫹
positive Zahlen der Mengen z, q, r einschließlich der Null
z*⫹, q*⫹, r*⫹
positive Zahlen der Mengen z, q, r (ohne die Null)
negative Zahlen der Mengen z, q, r
z*⫺, q*⫺, r*⫺
A⫽B
A gleich B. Menge A und B haben die gleichen Elemente.
A債B
A ist Teilmenge von B.
A傺
A ist echte Teilmenge von B.
⬆ B
A傼b
Vereinigungsmenge von A und B. A vereinigt mit B.
A傽B
Durchschnittsmenge von A und B. A geschnitten mit B.
AaB
Differenzmenge von A und B. A ohne B.
Relationen zwischen Größen
a
a
a
a
⫽
⫽
⬍
⬎
b
b
b
b
a
a
a
a
gleich b
nicht gleich b
kleiner als b
größer als b
a ⱕ b a kleiner als b oder gleich b
a ⱖ b a größer als b oder gleich b
a 艐 b a ungefähr gleich b
Logische Zeichen
a∧b
a∨b
b a (oder ā)
a⇒b
a⇔b
a und b (Konjunktion)
a oder b (Disjunktion)
nicht a (Negation)
aus a folgt b (Implikation; Aussage ist stets wahr.)
a äquivalent (gleichwertig) b (Äquivalenz; Aussage ist
stets wahr.)
7
Mathematische Zeichen und Abkürzungen
Sonstige Zeichen
兩a兩
Betrag von a. 兩 a 兩 ist diejenige der beiden reellen Zahlen a und ⫺a, die nicht negativ ist.
(x; y)
geordnetes Paar
f : x 哫 f (x) oder x 哫 f (x)
Funktion: x abgebildet auf f von x
(abgekürzte Sprechweise: x Pfeil f von x)
f (x) ⫽ x oder y ⫽ x
Funktionsgleichung
[a; b] ⫽ {x 僆 r 兩 a ⬉ x ⬉ b}
abgeschlossenes Intervall
]a; b[ ⫽ {x 僆 r 兩 a ⬍ x ⬍ b}
offenes Intervall
Abkürzungen aus der Kostenrechnung
K
Kf
Kv
k
kv
E
e
G
xs
xg
xm
G (x m)
8
Gesamtkosten
fixe Gesamtkosten
variable Gesamtkosten
Stückkosten
variable Stückkosten
Gesamterlös
Stückerlös
Gesamtgewinn
Nutzenschwelle
Nutzengrenze
gewinnmaximale Menge
Nutzenmaximum
1 Funktionen und ihre Graphen
Lösung: Der Graph der Funktion g wird
1
mit dem Faktor
⫽ 2 in x-Richtung
0,5
gedehnt.
y
冨 冨
4
h
f
3
2
1
–4
Abb. 36.1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
AUFGABEN
Beschreiben Sie bei den angegebenen Funktionen, wie ihre Graphen aus dem Graphen
der Funktion g (x) ⫽ e x hervorgehen, und zeichnen Sie die Graphen der Funktionen für
einen jeweils geeigneten Bereich. G ⫽ r ⫻ r.
a) f (x) ⫽ 2 e x
d) f (x) ⫽ 0,5 e
⫺x
g) f (x) ⫽ 0,5 e x ⫺ 2
b) f (x) ⫽ ⫺3 e x
c) f (x) ⫽ e ⫺x
e) f (x) ⫽ e
f) f (x) ⫽ ⫺2 e 0,5 x
2x
i) f (x) ⫽ e ⫺2 x ⫺ 3
h) f (x) ⫽ ⫺e 0,5 x ⫹ 1
1.4
Die trigonometrischen Funktionen
1.4.1
Das Bogenmaß
Bisher wurden Winkel immer in Grad gemessen, wobei der volle Kreis
360° hat. Bei der Untersuchung trigonometrischer Funktionen ist es
sinnvoll und üblich, statt der Gradmessung das Bogenmaß zu verwenden. Die Angabe in Grad wird also durch eine Längenangabe ersetzt.
1
α
–1
0
x
1
–1
Dabei gibt das Bogenmaß die Länge des Kreisbogens am Einheitskreis
(Kreis mit dem Radius 1) an, der zu einem bestimmten Winkel gehört.
Abb. 36.2
Der Kreisumfang berechnet sich mit der Formel U ⫽ 2 πr. Der Umfang des Einheitskreises
(r ⫽ 1) beträgt also 2 π (π 艐 3,14159 …).
Es gilt: 360° Z 2 π und daher x : 2 π ⫽ 움 : 360.
Dieses Verhältnis ermöglicht es, Angaben in Grad und im Bogenmaß ineinander umzurechnen:
Gradmaß 씮 Bogenmaß
움 · 2π
⫽x
360
Bogenmaß 씮 Gradmaß
x · 360 x · 180
⫽
⫽움
2π
π
Einige nützliche Werte:
Winkel 움 in Grad
0°
30°
45°
60°
Maßzahl der Bogenlänge x
0
π
艐 0,52
6
π
艐 0,79
4
π
艐 1,05
3
36
90°
180°
π
艐 1,57 π 艐 3,14
2
Die trigonometrischen Funktionen 1.4
AUFGABEN
1. Geben Sie die die folgenden Winkel jeweils im Bogenmaß an (gerundet auf 2 Nachkommastellen)!
a) 움 ⫽ 15°
e) 움 ⫽ 275°
b) 움 ⫽ 100°
f) 움 ⫽ 420°
c) 움 ⫽ 95°
g) 움 ⫽ ⫺37°
d) 움 ⫽ 5°
h) 움 ⫽ 17°
2. Geben Sie die folgenden Winkel jeweils im Winkelmaß an (gerundet auf 2 Nachkommastellen)!
a) x ⫽ 2,67
e) x ⫽ 2,95
1.4.2
b) x ⫽ 0,25
f) x ⫽ 8,49
c) x ⫽ ⫺3,5
g) x ⫽ ⫺1,29
d) x ⫽ 1,50
h) x ⫽ 2,17
Die Funktionen f: x 哫 sin (x) und f: x 哫 cos (x)
Bei der Einführung der Funktionen wird zunächst das gewohnte Winkelmaß Grad verwendet,
da dies die Anschaulichkeit erhöht. Anschließend folgt der Übergang zur Winkelmessung
im Bogenmaß.
Wichtig ist es, jeweils den GTR richtig einzustellen.
Dazu ruft man im Modus RUN, GRAPH oder TABLE
das SetUp auf.
Bei Angle wählt man nun die gewünschte Einstellung
aus.
Dabei steht „Deg“ für die Gradmessung, „Rad“ für
das Bogenmaß.
Bisher wurden sin und cos nur im rechtwinkligen Dreieck definiert und daher nur auf Winkel
움 mit 0 ⬍ 움 ⬍ 90° angewendet. Oft ist es aber sinnvoll, diese Funktionen auch für andere
Werte zu definieren.
Zur Wiederholung sind hier noch einmal die bisher verwendeten Definitionen angegeben:
sin (움) ⫽
Hypotenuse
Gegenkathete
α
Gegenkathete
Hypotenuse
cos (움) ⫽
Ankathete
Ankathete
Hypotenuse
Abb. 37.1
Mithilfe des Einheitskreises (Kreis mit dem Radius 1) lässt sich diese Definition leicht auf
Winkel außerhalb dieses Definitionsbereichs erweitern.
Q (u2⎮v)
P (u1⎮v)
β
1
α
cos (α)
Abb. 37.2
sin (α)
1
Da der Radius die Länge 1 hat, kann man bei dieser Darstellung direkt die Werte für sin (움) und
cos (움) ablesen.
Es gilt: u1 ⫽ cos (움)
v ⫽ sin (움)
Wie man an der Zeichnung erkennen kann, hat der
Punkt Q denselben y-Wert wie P. Q kennzeichnet
den Schnittpunkt des freien Schenkels des Winkels
β mit dem Einheitskreis.
Dies ermöglicht es, sin auch für Winkel zu definieren, die nicht zwischen 0 und 90° liegen.
Es gilt: v ⫽ sin (β)
37
1 Funktionen und ihre Graphen
Dies ermöglicht es, den Graphen der Funktion f mit f (움) ⫽ sin (움) direkt aus der Darstellung
am Einheitskreis herzuleiten.
y
1
1
0,5
90˚
–1
30˚
210˚
1
30
–0,5
60
30˚
90
120
150
180
90˚
210
240
270
300
330
360
α
210˚
–1
–1
Abb. 38.1
Wählt man statt des Winkelmaßes in Grad das Bogenmaß, ergibt sich folgender Graph.
y
1
1
X2
X1
–1
0,5
1
–0,5
X3
X1 = π
6
X2 = π
2
π
2π
X3 = 7 π
6
X
–1
–1
Abb. 38.2
Wie man aus dieser Darstellung der Funktion erkennen kann, wiederholen sich die Funktionswerte nach 360° beziehungsweise 2 π. Deshalb spricht man hier von einer periodischen Funktion mit der Periode p ⫽ 2 π.
Der Abstand zwischen dem höchsten Funktionswert 1 und dem niedrigsten Funktionswert
⫺1 beträgt 2. Die Hälfte dieses Abstands nennt man Amplitude der Funktion, also hat die
Funktion f (x) ⫽ sin (x) die Amplitude 1.
Die Darstellung am Einheitskreis zeigt den Zusammenhang zwischen sin und cos deutlich auf.
π
Durch Drehung um wird aus dem Winkel x 1 der Winkel x 2:
2
x2
x1
冢
Es gilt also: cos (x 1) ⫽ sin (x 2) ⫽ sin x 1 ⫹
π
.
2
冣
Verschiebt man also den Graphen der sin-Funktion um
nach links, so erhält man den Graphen der cos-Funktion.
Abb. 38.3
38
π
2
Die trigonometrischen Funktionen 1.4
y
f(x) = sin(x)
1
0
1
–1
2
3
4
5
6
x
g(x) = cos(x)
Abb. 39.1
Daraus folgt:
Auch die cos-Funktion hat die Periode 2 π und die Amplitude 1.
Betrachtet man die Graphen der sin- und der cos-Funktion, so erkennt man Symmetrieeigenschaften:
Der Graph der sin-Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph der cos-Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
y
f (x) = sin(x)
1
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
–1
1
2
3
4
5
6
x
g(x) = cos(x)
Abb. 39.2
1.4.3
Die Funktionen f: x 哫 a · sin (b (x + c)) + d und
f: x 哫 a · cos (b (x + c)) + d
Vergleicht man den Graphen der Funktion f mit f (x) ⫽ sin (x) mit den Graphen der Funktionen g1, g2 und g3 mit g1(x) ⫽ 2 sin (x), g2 (x) ⫽ 0,5 sin (x) und g3 (x) ⫽ ⫺2 sin (x), so erkennt
man, dass die Periode aller vier Funktionen gleich ist. Die Faktoren bewirken eine Dehnung
in y-Richtung, also eine Veränderung der Amplitude. Ist a ⬍ 0, so wird der Graph zusätzlich
an der x-Achse gespiegelt.
Abb. 39.3
Die Funktion f hat die Amplitude 1, g1 die Amplitude 2, g2 die Amplitude 0,5 und g3 wie g1
die Amplitude 2.
39
2 Gleichungen und Lineare Gleichungssysteme
AUFGABEN
5. a) x 4 ⫺ 3 x 2 ⫹ 2 ⫽ 0
6. a) ⫺0,2 x 4 ⫹ 2 x 2 ⫺ 1,8 ⫽ 0
2.5
Exponentialgleichungen
2.5.1
Rechnen mit Potenzen
b) x 4 ⫺ 6 x 2 ⫹ 8 ⫽ 0
b) 0,5 x 4 ⫺ 1,5 x 2 ⫺ 2 ⫽ 0
Im Folgenden wird der allgemeine Wurzelbegriff vorausgesetzt. Dabei gilt:
Definition 62.1
Die n-te Wurzel aus einer positiven Zahl a (n冪a) ist diejenige positive Zahl, deren n-te
Potenz gleich a ist. (n冪a)n ⫽ a (a 僆 r⫹; n 僆 n*a{1})
Es gilt: n冪0 ⫽ 0; für negative a ist n冪a nicht erklärt.
Bereits im Abschnitt 1.3.1 wurden folgende Festlegungen angegeben:
Definition 62.2
Für a 僆 r*, n, m 僆 n* gilt:
an ⫽ a · a · a · … · a · a
n-mal
a0 ⫽ 1
1
a⫺n ⫽ n für a ⫽ 0
a
m
a n ⫽ n冪am für a ⱖ 0
Dies ermöglichte dort, die Exponentialfunktionen auf ganz r zu definieren. Dabei wurde
außerdem vorausgesetzt, dass auch Potenzen mit irrationalen Exponenten möglich sind.
Die Regeln für das Rechnen mit Potenzen werden im folgenden Satz zusammengefasst.
Satz 62
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und
die Exponenten addiert: am · an ⫽ am ⫹ n (a 僆 r, m, n 僆 r).
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die
Exponenten subtrahiert: am : an ⫽ am ⫺ n (a 僆 r, m, n 僆 r).
Potenzen mit dem gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert: an · bn ⫽ (a · b)n
(a, b 僆 r, m, n 僆 r).
Potenzen mit dem gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert
a n
an
und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert: an : bn ⫽ n ⫽
b
b
(a, b 僆 r, b ⫽ 0, m, n 僆 r).
冢冣
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis mit
diesem Produkt potenziert: (am)n ⫽ am · n (a 僆 r, m, n 僆 r).
Ein Zusammenfassen von Potenzen durch Addition oder Subtraktion ist nur möglich, wenn
Basis und Exponent übereinstimmen.
62
Exponentialgleichungen 2.5
AUFGABEN
Bei den folgenden Aufgaben wird vorausgesetzt, dass bei Quotienten der Nenner und bei
negativen Exponenten die Basis nicht gleich 0 ist. Bei Potenzen mit nichtganzzahligen
Exponenten wird vorausgesetzt, dass die Basis positiv ist.
Vereinfachen Sie mithilfe der Potenzsätze die folgenden Terme jeweils soweit wie möglich.
1. a) 3 a · 2 a2 ⫹ a3
b) x 3 · x 2 · x n ⫺ 2
c) an ⫹ 1 · an ⫹ 2
2. a) 2 b2 · b3 ⫺ b2 ⫺ 2 b5
b) ax ⫹ 1 · ax ⫺ 1
c) z3 ⫺ m · zm ⫺ 2
b)
a2 p
ap
4. a) 42 · 22
b)
冢3冣 · 冢10冣
5. a) 1,23 : 0,33
b) 24 :
6. a) (24)3
b) (4 a2)2
7. a) a3 · a⫺4
b)
8. a) 7冪a14
b) 冪a6
3. a)
2.5.2
27
25
2
c)
9
3
3
c) (⫺6 a)n · (⫺0,5)n
冢冣
1
2
b2 r
b2
4
c)
34 · 44
64
c) (5 a2 b3)3
x3 · x2
x8
c) a2 n ⫺ 3 · a3 ⫺ 2 n
c) 冪a · 冪a3
Logarithmen und Logarithmensätze
Logarithmen
Bei der Potenzrechnung wird der Wert einer
Potenz gesucht; Basis und Exponent der Potenz sind gegeben.
Potenzrechnung
(Potenzieren)
25 = x
Exponent
25 = 32
Basis
Beim Radizieren sind der Potenzwert (Radikand) und der Exponent gegeben; die Basis
wird gesucht.
Sind Basis und Potenzwert bekannt und
wird aus ihnen der Exponent gesucht, so
führt das zum Logarithmieren.
Potenzwert
Wurzelrechnung
(Radizieren)
x5 = 32
Wurzelexponent
Wurzel(wert) x = 5 32
Radikand
Logarithmenrechnung
(Logarithmieren)
2x = 32
Numerus
x = log232
Logarithmus
Basis
Die Gleichung x ⫽ log2 32 liest man: x gleich Logarithmus 32 zur Basis 2. Der Logarithmus1
entspricht in der Potenzgleichung dem Exponenten, der Numerus2 dem Potenzwert. Das Logarithmieren ist wie das Radizieren eine Umkehrung des Potenzierens.
1
2
logos (griech.): Vernunft, Rechnung; arithmos (griech.): Zahl
numerus (lat.): Zahl
63
2 Gleichungen und Lineare Gleichungssysteme
Beachte: Der Logarithmus ist ein Exponent.
Definition 64
Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a
potenzieren muss, um b zu erhalten.
log a b ⫽ x, wenn ax ⫽ b (a 僆 r*⫹a{1}, b 僆 r*⫹, x 僆 r)
log2 8 ⫽ 3 (lies: Logarithmus 8 zur Basis 2 gleich 3), weil 23 ⫽ 8
log2 2 ⫽ 1, weil 21 ⫽ 2
loga a ⴝ 1, weil a1 ⫽ a
0
log2 1 ⫽ 0, weil 2 ⫽ 1
loga 1 ⴝ 0, weil a0 ⫽ 1
Beachten Sie: Logarithmus x 僆 r; der Logarithmus kann auch eine irrationale Zahl sein.
AUFGABEN
1. Verwandeln Sie folgende Potenzgleichungen in Logarithmengleichungen!
Beispiel: 4⫺1 ⫽ 14 ; log4 14 ⫽ ⫺1
a) 26 ⫽ 64
b) 34 ⫽ 81
c) 43 ⫽ 64
d) 62 ⫽ 36
2. Verwandeln Sie folgende Logarithmengleichungen in Potenzgleichungen!
1
Beispiel: log64 4 ⫽ 13; 64 3 ⫽ 4 (3冪 64 ⫽ 4)
a) log3 81 ⫽ 4
b) log5 125 ⫽ 3
c) log7 49 ⫽ 2
d) log2 128 ⫽ 7
3. Verwandeln Sie in Potenzgleichungen und berechnen Sie dann x!
Beispiel: log3 x ⫽ 4; x ⫽ 34 ⇔ x ⫽ 81
a) log3 x ⫽ 2
b) log4 x ⫽ 3
c) log8 x ⫽ 2
d) log2 x ⫽ 5
e) log5 x ⫽ 0
f) log6 x ⫽ 1
g) log3 x ⫽ ⫺1
h) log1 x ⫽ 2
3
Zehnerlogarithmen und natürliche Logarithmen
Zur Lösung von Exponentialgleichungen benutzt man oft Logarithmen zur Basis 10 oder zur
Basis e.
Für log10 a schreibt man kurz lg a. Logarithmen zur Basis 10 nennt man Zehnerlogarithmen,
dekadische Logarithmen oder Briggs’sche1 Logarithmen.
Exponentialgleichungen mit Potenzen der Basis e löst man einfacher mit natürlichen Logarithmen (Logarithmen zur Basis e), wie sich später bei entsprechenden Aufgabenlösungen zeigen
wird. Auch hierfür benutzt man eine abgekürzte Schreibweise: loge a ⫽ ln a.2 Für beide Logarithmensysteme gibt es Taschenrechner-Tasten.
1
2
Henry Briggs (1561⫺1630), Professor in London, gab als Erster 1624 eine (unvollständige) Tafel von Zehnerlogarithmen heraus.
ln ist die Abkürzung für logarithmus naturalis (lat.), natürlicher Logarithmus.
64
Exponentialgleichungen 2.5
Definition 65
Die Logarithmen zur Basis 10 nennt man Zehnerlogarithmen. Für log10 a schreibt
man kurz lg a.
Die Logarithmen zur Basis e nennt man natürliche Logarithmen. Für loge a schreibt
man kurz ln a.
Satz 65
Unabhängig von der Basis gilt:
x ⬎1
⇔ loga x ⬎ 0
x ⫽1
⇔ loga x ⫽ 0
0 ⬍ x ⬍ 1 ⇔ loga x < 0
Für x ⱕ 0 ist loga x nicht definiert.
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben:
1. Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner die folgenden Werte auf 5 Nachkommastellen genau!
a) lg 15
b) lg 3 260
c) lg 0,0091
d) ln 3
e) ln e
f) ln 1
2. Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner zu den folgenden Logarithmen die Numeri!
a) lg x ⫽ 2,46835
b) lg x ⫽ 0,79796
c) lg x ⫽ ⫺0,14997
d) ln x ⫽ 3,17806
e) ln x ⫽ 0,5
f) ln x ⫽ ⫺2,30259
Lösungen:
1. a) Mit dem GTR:
log 15 EXE
d) Mit dem GTR:
ln
3 EXE
2. a) Mit dem GTR:
SHIFT
10x 2.46835 EXE
d) Mit dem GTR:
SHIFT
ex
3.17806 EXE
1. a) lg 15 ⫽ 1,17609
d) ln 3 ⫽ 1,09861
2. a) x ⫽ 294
b) x ⫽ 6,28
b) lg 3 260 ⫽ 3,51322
c) lg 0,0091 ⫽ ⫺2,04096
e) ln e ⫽ 1
g) ln 1 ⫽ 0
c) x ⫽ 0,708
d) x ⫽ 24
e) x ⫽ 1,64872
f) x ⫽ 0,1
65
Anleitungen zu den
grafikfähigen Taschenrechnern
TI-83 Plus und TI-84 Plus
Da die Bedienung des TI-Rechners anders strukturiert ist als die des CASIO-Rechners, orientiert sich diese Anleitung an Aufgabenstellungen.
Oft gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine bestimmte Aufgabe zu lösen bzw. etwas einzugeben (zum Beispiel eine Matrix). In diesen Fällen wird meist nur ein Weg dargestellt; nur in
Einzelfällen werden verschiedene Wege gezeigt. Es bleibt natürlich jedem Lehrer überlassen,
andere Lösungswege aufzuzeigen, die er für seine Schüler als geeigneter empfindet.
Zwei Vorbemerkungen
Mit der Tastenfolge 2ND QUIT kommt man aus den anderen Fenstern (Grafikfenster, Tabelle, …) immer wieder ins Hauptfenster zurück.
Der TI-Rechner unterscheidet zwischen dem „Rechenminus“ ⫺ und dem „Vorzeichenminus“
(⫺) . Dabei muss am Anfang eines Terms immer das Vorzeichenminus verwendet werden.
Eingabe einer Funktionsgleichung in den Y=-Editor
Mit der Taste Yⴝ ruft man das nebenstehende Fenster
auf, in dem man Gleichungen von Funktionen eingeben
kann.
Die Unterlegung des ⫽ zeigt an, dass die Funktion Y1 aktiv ist, also beim Zeichnen und bei der Erstellung einer Wertetafel berücksichtigt wird.
Um dies zu ändern, geht man mit dem Cursor auf das ⫽
der entsprechenden Funktion und drückt die ENTER Taste.
Wählt man eine Funktion aus und drückt die CLEAR Taste, so wird die Gleichung gelöscht.
Für die Eingabe der e-Funktion gibt es zwei Möglichkeiten:
2ND e ∧ x ENTER
oder
⇒ Anzeige: Y1
2ND ex x ) ENTER
⇒ Anzeige: Y2
Erstellen einer Wertetafel
Zu einer Funktion kann eine Wertetafel für einen gewünschten Bereich erstellt werden. Dazu wählt man 2ND
TBLSET , um einzustellen, für welche x-Werte die Funktionswerte berechnet werden sollen.
Man gibt dabei an, bei welchem x-Wert begonnen werden
soll (TblStart) und welche Schrittweite gelten soll (ΔTbl).
Bei den hier gezeigten Standardeinstellungen bei Indpnt und
Depend (Auto) wird nun die Tabelle erstellt. Wählt man bei
Indpnt die Einstellung Ask, wird nur für einzelne eingegebene Werte der Funktionswert berechnet.
130
Anleitungen zu den grafikfähigen Taschenrechnern TI-83 Plus und TI-84 Plus
Mit 2ND TABLE wird die Wertetafel angezeigt.
Benötigt man die Funktionswerte für größere oder kleinere
x-Werte, so kann man mit den Pfeiltasten weitere x-Werte
aufrufen; der Cursor muss dabei in der Spalte mit den
x-Werten stehen.
Zeichnen von Funktionsgraphen und Parallelen zur y-Achse
Wenn die Funktionsgleichung im Y1-Editor eingegeben
und aktiviert ist, kann der Graph der Funktion gezeichnet
werden.
Für das Zeichnen des Graphen kann man mit WINDOW
das Fenster wählen, in dem man einstellt, welcher Bereich
dargestellt werden soll.
Xscl und Yscl geben dabei die Schrittweite der Skala an,
Xres gibt die Pixelauflösung an. Kleine Werte verbessern
die Darstellung, führen aber eventuell dazu, dass das Zeichnen länger dauert.
Mit GRAPH wird nun das Zeichenfenster aufgerufen und
der Graph der ausgewählten Funktion (oder auch Funktionen) gezeichnet.
Mit TRACE wird der TRACE-Cursor auf dem gezeichneten Graphen angezeigt. Er kann mit den Pfeiltasten 䉳 und
䉴 auf dem Graphen bewegt werden. Die Koordinaten des
jeweiligen Punktes werden angezeigt.
Sind mehrere Graphen gezeichnet, wählt man mit den Pfeiltasten 䉲 䉱 den gewünschten Graphen aus.
Um z. B. die Gerade x ⫽ 3 (Parallele zur y-Achse) in ein
Koordinatensystem einzuzeichnen, wählt man im Hauptfenster 2ND DRAW 4 (Vertical),
gibt dann den x-Wert 3 ein und bestätigt mit ENTER .
Man kann auch im Zeichenfenster 2ND DRAW 4 (Vertical) eingeben und dann den x-Wert mit den Pfeiltasten 䉳
䉴 anwählen. Allerdings ist es dabei oft nicht möglich, den
Wert genau auszuwählen.
Lösen von Gleichungen ⴚ Bestimmung von Nullstellen einer Funktion
Für das Lösen einer Gleichung und damit die Bestimmung von Nullstellen einer Funktion
gibt es zwei Möglichkeiten, eine im Hauptfenster und eine mithilfe der Grafik.
131
Anleitungen zu den grafikfähigen Taschenrechnern TI-83 Plus und TI-84 Plus
Wenn man im Hauptfenster arbeitet, kann man mit
MATH ein Menü aufrufen, in dem man mit 0 (Solver)
das Programm zum näherungsweisen Lösen von Gleichungen aufrufen kann. Man kann auch mit den Pfeiltasten diesen Punkt auswählen und dann mit ENTER bestätigen.
Nun gibt man die zu lösende Gleichung ein und bestätigt
die Eingabe mit ENTER .
Die Gleichung muss dafür in die Form „Term ⫽ 0“ umgestellt sein.
Ist aufgrund früherer Rechnungen bereits eine Gleichung
gespeichert, so erscheint direkt die weiter unten abgebildete
Darstellung. Mit der Pfeiltaste 䉱 kommt man dann in das
hier gezeigte Fenster zurück und kann mit CLEAR die
gespeicherte Gleichung löschen.
Ist der Term der Gleichung bereits im Y⫽-Editor gespeichert, kann er hier durch Angabe der entsprechenden
Y-Variablen eingefügt werden. Dazu drückt man zunächst
VARS 䉴
dann 1 und wählt dann die entsprechende Funktion aus.
Die Gleichung wird allerdings hier nicht angezeigt, man
muss also wissen, welche Funktion man braucht.
Im folgenden Fenster gibt man einen Schätzwert für die
(erste) Lösung ein. Die Standardeinstellung ist 0, das heißt,
wenn man keinen anderen Wert eingibt, bestimmt der GTR
zunächst die Lösung, die am nächsten bei 0 liegt.
Gibt man einen anderen Wert ein, so bestimmt der GTR die Lösung, die dem vorgegebenen
Wert am nächsten kommt. Bei Gleichungen mit mehreren Lösungen muss man also nacheinander verschiedene „Schätzwerte“ vorgeben.
132
Anleitungen zu den grafikfähigen Taschenrechnern TI-83 Plus und TI-84 Plus
Nach Eingabe des Schätzwertes bestimmt man mit
ALPHA SOLVE die Lösung (hier nur für die erste Lösung gezeigt).
Geeignete Schätzwerte kann man zum Beispiel dadurch bestimmen, dass man den Gleichungsterm als Funktionsterm
im Y⫽-Editor eingibt und mithilfe einer Wertetafel bestimmt, bei welchen x-Werten ungefähr eine Nullstelle der
Funktion und damit eine Lösung der Gleichung liegt.
Alternativ gibt es die Möglichkeit, mit dem Grafik-Solver
die Lösungen der Gleichung als Nullstellen der zugehörigen
Funktion zu bestimmen. Dazu gibt man im Y⫽-Editor den
Term der Gleichung ein.
Dann wechselt man ins Zeichenfenster und lässt den Graphen der Funktion zeichnen.
Mit 2ND CALC ruft man den Grafik-Solver auf und
wählt dort mit 2 (zero) das Programm zur Bestimmung
von Nullstellen.
Im Zeichenfenster muss man nun Unter- („Left Bound?“)
und Obergrenze („Right Bound?“) des Intervalls angeben,
in dem eine Nullstelle gesucht werden soll. Diese Werte
können entweder mithilfe der Pfeiltasten ( 䉳 䉴 ) bestimmt
oder direkt über die Tastatur eingegeben werden.
Zusätzlich wird ein Schätzwert („Guess?“) für die Lösung
erfragt.
Gibt man einen Wert ein, so wird nun die Nullstelle der
Funktion und damit die (erste) Lösung der Gleichung ermittelt.
Anschließend wiederholt man den ganzen Vorgang, um
weitere Lösungen zu bestimmen.
Lösen linearer Gleichungssysteme (LGS)
Zum Lösen eines LGS müssen die Koeffizienten der Variablen und die „Werte hinter dem ⫽“
in einer Matrix erfasst werden.
x ⫹ 2 y ⫽ 3 gehört demnach die Matrix 1 2 3
Zum LGS 2 x
⫹ 7y ⫽ 1
2 7 1 . Um diese Matrix einzugeben,
kann man mit 2ND MATRIX 䉴 䉴 das Programm zum Editieren von Matrizen aufrufen.
冢
冣
133