eeee ee eeeeee ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ AAAA AA AAAA AA

AAA
AAA A
AA A
AA AA A
A A AA A
A A AA
Fachhochschule Jena
Fachbereich GW
Tutorium Mathematik I
Studiengang: BT/MT - Bachelor
Serie Nr.: 1
Semester: 1
Thema: Komplexe Zahlen
Hierzu sind die Materialien zum selbständigen Üben empfohlen; zunächst die ’Grundoperationen’.
Aus dem Material ’Augaben mit etwas mehr Theorie’ kommen speziell die folgenden Nummern in Frage:
2, 6, 8, 11, 13, 14, 16, 19 (besonders!), 22, 23, 24, 30, 31, 32, 36 und 37. Deren Behandlung sollte man
aber keinesfalls mit dem Studium der angegebenen Lösungen beginnen, sondern zuerst selbst angestrengt
nachdenken!
1. Ermitteln Sie ohne technische Hilfsmittel die Ergebnisse der folgenden Divisionen mit Brüchen als
10
− 11
Real- und Imaginärteil, also z. B. in der Gestalt von (2 − 3j) : (1 + 4j) = − 17
17 j !
a) (1−j) : (1+j) ,
b) (−7−2j) : (−3−5j) ,
f ) (208 − 312j) : (−104 − 52j) ,
c) (3+8j) : 5 ,
d) 2 : (3−j) ,
e) (12+13j) : (12+12j) ,
h) (2j) : (49 − 196j)
g) (83 + 249j) : (2 + j) ,
2. Ermitteln Sie die Ergebnisse der folgenden Rechnungen!
a)
1 + 2j
26 + 13j
+
,
7+j
−2 − j
b)
2−j
2 + 3j
+
,
1 + 8j
4 − 7j
e)
2 + 5j
−1 + 2j
+
,
4 − 3j
4 + 3j
8000 + 7000j
55
+
,
3000 − 2000j
66 − 44j
c)
1
j
63 + 21j
−42 + 105j
+
,
f)
+
1 − 12j
8 + 9j
2 − 9j
7 − 6j
√
√
3. Ermitteln Sie die Beträge der folgenden Zahlen (z. B. als 195 oder 4 195) !
d)
a) −7+6j ,
b) −7+7j ,
g) 109j ,
h)
k) 15(cos 45o +j sin 270o ),
c) −72−216j ,
19 + 44j
,
−44 + 19j
l)
d) (8−j)·(2+5j) ,
−105 + 60j
,
−90 + 165j
i)
367 − 874j
,
367 + 874j
o
o
m) 3 ej 209 ,
o
f ) −1745 ,
j) 22(cos 107o + j sin 107o ) ,
o
o
n) 3 ej 90 +12 ej 0 ,
o
p) 4 ej 71 + 9 ej 251 ,
e) (3+5j)−(2−j) ,
o
q) 5 ej 54 + 5 ej (−54
)
,
o
)
4. Lösen Sie die folgenden Gleichungen und stellen Sie die Lösung z in arithmetischer Form dar!
a) (2 − j)z + 3 + 4j = 8 − 3jz ,
d) (z − 2 + 2j)2 = (z + 5 + 3j)2 ,
g) z 2 + 6z + 51 = 0 ,
e)
b)
z+5−j
=2−j ,
z+2−j
c)
z + 2j
z−3
+
=2,
z + 1 − 2j
z−1−j
h) z 4 − 4z 2 = 15 ,
5. Für welche rellen Werte p 6= 0 ist (−2 + pj)3 eine reelle Zahl?
6. a) Für welche komplexen Zahlen ist z + z̄ reell?
b) Für welche komplexen Zahlen ist (z̄ − z)j reell?
c) Für welche komplexen Zahlen ist z · z̄ reell?
d) Ist der Imaginärteil von z̄ stets negativ?
e) Was läßt sich über die Beträge von z und z̄ sagen?
f) Was gilt für die Argumente von z und z̄ ?
1
3 + 2j
1 − 2j
=
,
z−4
z + 3j
f ) (5jz − 3 + 7j)4 = 0 ,
i) z − 5 + 2j =
o
o) 7 ej 11 +2 ej 11 ,
3
5 − 2j − z
7. Schreiben sie die nachstehenden Ausdrücke als Produkte von reellen oder komplexen linearen Faktoren in z!
a) z 2 − 9 ,
b) 3z 2 − 7 ,
c) z 2 + 7 ,
d) z 2 + 3z ,
e) z 2 + 2z + 1 ,
f ) z 2 + 2z − 1 ,
g) z 2 + 2z + 2
8. Geben Sie die folgenden Zahlen in der Exponentialform an!
a) −22 ,
b) −23−23j ,
c) −15j ,
d)
√
e) −5+5 3 j ,
j
,
3
f ) 219 ,
g)
1+j
,
1−j
h) (3+3j)2 −(3−3j)2
9. Berechnen Sie!
a) j 115 + j 116 + j 117 + j 118 ,
b) j 73 + j 75 ,
c) 159j 159 + 160j 160 + 161j 161 + 162j 162
10. Schätzen Sie den Betrag und das Argument der folgenden komplexen Summen!
a)
14(cos 720 +j sin 72o )+2(cos 75o +j sin 75o ) ,
c)
b)
33(cos 2930 +j sin 293o )+4(cos 110o +j sin 110o ) ,
9(cos 133o + j sin 133o ) + 9(cos 228o + j sin 228o )
11. Die Menge M komplexer Zahlen wird durch eine Gerade in der komplexen Ebene dargestellt.
M enthält die Zahl −13 + 105j, aber keine rein imaginäre Zahl.
Welche Gestalt haben alle Zahlen von M ?
Welche Menge von Argumenten haben die Zahlen aus M ?
12. Skizzieren oder beschreiben Sie verbal die folgenden Punktmengen Mk in der komplexen Ebene, die
die angegebenen Mengen Zk komplexer Zahlen repräsentieren!
a) Z1 = {z : Im(z) = 0} ,
d) Z4 = {z : Re(z) = 7} ,
b) Z2 = {z : Re(z) = 0} ,
e) Z5 = {z : Re(z) · Im(z) = 0} ,
g) Z7 = {z : Re(z) + 2 Im(z) + 6 = 0} ,
i) Z9 = {z : Im(z) < 0} ,
h) Z8 = {z : Re(z) ≥ 0} ,
l) Z12 = {z : −1 ≤ Re(z) < 4} ,
n) Z14 = {z : Re(z) − 1 < Im(z) < Re(z) + 1} ,
o) Z15 = {z : |z| = 4} ,
p) Z16 = {z : |z + 3| = 4} ,
r) Z18 = {z : |z| ≤ 3} ,
s) Z19 = {z : |z − j| > 2} ,
u) Z21 = {z : Arg(z) 6= 0} ,
f ) Z6 = {z : Re(z)−Im(z) = 0} ,
j) Z10 = {z : Re(z) < −3} ,
k) Z11 = {z : Re(z) + Im(z) + 3 ≥ 0} ,
m) Z13 = {z : −2 ≤ Im(z) ≤ 2} ,
b) Z3 = {z : Im(z) = −4} ,
q) Z17 = {z : |z + 2 − 5j| = 2} ,
t) Z20 = {z : 1 < |z + 1 − 2j| < 2} ,
o
v) Z22 = {z : Arg(z) = 30 } ,
x) Z24 = {z : |Arg(z)| ≤ 45o } ,
w) Z23 = {z : Arg(z−2j) = 340o } ,
y) Z25 = {z : 900 ≤ Arg(z) ≤ 270o } ,
z) Z26 = {z : |z| ≤ 5, 110o < Arg(z) < 150o } ,
A) Z27 = {z : 2 ≤ |z| ≤ 4, 0o ≤ Arg(z) ≤ 180o } ,
C) Z29 = {z : |z| > 1, 0o < Arg(z) < 30o } ,
B) Z28 = {z : 2 ≤ |z| ≤ 4, 90o ≤ Arg(z) ≤ 270o } ,
D) Z30 = {z : 2 < |z| < 5, 220o < Arg(z) < 300o }
o
13. Es ist z = 6.81 ej·109.5 , ermitteln Sie den Betrag von z̄ !
14. Das Argument der komplexen Zahl z liegt echt zwischen 0o und 90o .
Was läßt sich über die Argumente von z + 5 und z + 11j sagen?
o
o
15. Welche Zahl hat den größeren Betrag: 6.81 ej·109.5 oder 6.81 ej·109.5 − 1 ?
16. Betrachtet wird die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 mit rellen Koeffizienten p und q.
Was ergibt sich für p und q bei jeweils folgenden Forderungen:
a) alle Lösungen der Gleichung sind positiv ?
b) alle Lösungen der Gleichung haben negative Realteile?
Skizzieren Sie den in Frage kommenden Bereich in der p − q−Ebene!
2
17. Die quadratische Gleichung az 2 − (11 + 3j)z + b = 0 hat die beiden Lösungen z1 = −3 + j und
z2 = 4 − 3j.
Ermitteln Sie a und b !
18. a) Es ist z irgendeine komplexe Zahl. Wie wird die konjugiert komplexe Zahl zu z + 8j geschrieben?
b) Ermitteln Sie u aus u + 2ū = 15 + j !
c) Welches Argument hat 1/z̄, ausgedrückt durch das von z ?
19. Ermitteln Sie ohne technische Hilfsmittel den Betrag von u + v für folgende Paare komplexer Zahlen:
a) u = 12.04
(cos 294.8o + j sin 294.8o ) und √
v = 3.03 (cos 114.8o + j sin 114.8o ),
√
o
o
b) u = 7 (cos 18.2 + j sin 18.2 ) und v = 7 (cos 108.2o + j sin 108.2o ),
c) u = 8.44 (cos 60o + j sin 60o ) und v = ū.
20. Ermitteln Sie im Kopf die Argumente der nachstehenden Produkte u · v zweier komplexer Zahlen!
a) u = 2.81 (cos 11.7o + j sin 11.7o ) und v = 131.7,
b) u = 8.91 (cos 219.3o + j sin 219.3o ) und v = −72.6j,
c) u = 0.992 (cos 135.3o + j sin 135.3o ) und v = 8.45 − 8.45j !
21. Ermitteln Sie den Parameter q in der quadratischen Funktion x2 − 8x + q so, daß für ihre Nullstelle
gilt: Im(x2 ) = −11 !
22. Es sind u und z komplexe Zahlen mit ganzzahligen Komponenten. Für den Quotienten u/z erhält
Student A einen Ausdruck (a + bj)/47 und Student B dagegen (c + dj)/45 mit jeweils ganzzahligen
Werten a, b, c und d. Beide Darstellungen sind maximal gekürzt.
Wer von den beiden hat sich garantiert verrechnet?
23. Ist der Betrag des Bruchs (23 + 41j)/(29 − 36j) kleiner oder größer als 1 ?
Entscheiden Sie das ohne Hilfe des Taschenrechners!
24. Ermitteln Sie z in arithmetischer Form!
1−z
z − 2 + 3j
=
+2
z+5+j
z−j
25. Das Argument von z liegt zwischen 90o und 210o , es ist Im(z)=1 und der Betrag des Produkts von
o
z mit 4.5ej·192 ist 27. Finden Sie z !
26. Es ist z = 12 − 5j. Wie sehen die Mengen MB und MA von Punkten der komplexen Ebene aus, die
Zahlen repräsentieren, welche 1) denselben Betrag haben wie z oder 2) dasselbe Argument?
27. Sei |z| > 8 und |z| + Im(z) = 0, finden Sie Arg(z) !
28. Von den zwei komplexen Zahlen z1 und z2 ist bekannt: Sie sind verschiedene Lösungen der Gleichung
|z| = |z − 8 + 6j| = 6. Finden Sie ihr arithmetisches Mittel!
29. Finden Sie ϕ in den Grenzen 0o ≤ ϕ < 360o !
√
o
o
o
o
a) |3 e72 ·j + 4 eϕj | = 7, b) |3 e72 ·j + 4 eϕj | = 1, c) |3 e72 ·j + 4 eϕj | = 5, d) |6 e12 ·j + 6 eϕj | = 6 2
30. Sei z = 7 − 3j, für welches u mit |u| = |z| ist
1
+ 1
z
u
maximal?
31. a) Für welche komplexe Zahl z mit |z| = 11 ist Arg(z + 5 − 4j) = 90o ?
b) Für welche komplexe Zahl z mit |z| = 11 ist Arg(z + 5 + 14j) = 90o ?
c) Für welche komplexe Zahl z mit |z| = 11 ist Arg(z + 15 + 3j) = 90o ?
32. Addieren Sie - ohne Taschenrechner! - die folgenden komplexen Zahlen und geben Sie das Ergebnis
in der Exponentialform an!
o
a) 4 e71
o
e) 5 e0
j
j
o
und 7 e71
o
und 5 e90
j
j
,
,
o
b) 4 e251
f ) 5 e0
o
j
j
o
und 7 e71
o
und 5 e270
j
j
,
,
3
o
j
j
und 2 e109
c) 4 e71
o
g) 2 e19
o
j
j
,
und 7 e251
o
,
o
o
d) 4 e71 j und 4 e289 j ,
√
o
o
h) 3 e180 j und e270 j ,
33. Überführen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners die folgenden Werte und Ausdrücke in die
Exponentialform der betreffenden komplexen Zahl!
a) 92 ,
b) −47 ,
h)
o
d) −3 e8
c) −99j ,
9 − 3j
,
−1 − 3j
o
i) 6 e142
j
j
,
o
e) 14j e104
· (2 − 2j) ,
j
,
o
f ) (18 e229 j ) : (−4) ,
o
j) (3 e301 j ) : (4j) ,
o
k) 8 e45
j
o
g) 11 eln 3−37
j
√
− 8 2j
34. Welche der nachfolgenden Rechnungen sind warum und wie falsch?
a)
6 + 8j
= 2 + 4j ,
3 + 2j
b)
28 − 20j
5−j
(5 − j)(5 − 3j)
=
=
,
5 + 3j
52 + (3j)2
16
c) |z + 7j| =
p
z 2 + 72
35. Sei z = a + bj = r(cos ϕ + j sin ϕ). Damit |z| > 1 zutrifft muß
• a > 1 und b > 1 gelten,
• mindestens einer der Werte |a| oder |b| muß größer 1 sein,
• es muß r > 1 sein,
• die Summe a + b muß größer 1 sein,
Welche der vorstehenden Kriterien sind richtig, welche warum falsch?
36. Finden Sie z in arithmetischer Form, ermitteln Sie seinen Betrag und schätzen Sie sein Argument!
z+1
2z
z−j
z−1
−
+
−
=z+2
1 − 2j
2 − 4j
3 − 6j
4 − 8j
37. Welche rein imaginäre Zahl muß man zu 5 − 16j addieren, damit die Summe ein Argument von 60o
hat?
38. Bekannt sei: Es ist Arg(z) = 219o , |z| = 4.3, |u| = 8.1, |u + z| = 12.4. Ermitteln Sie Arg(z − u) !
39. Damit jede mögliche Lösung y(x) der Differentialgleichung y 000 + py 00 + qy 0 + ry = 0 die Bedingung
limx→+∞ y(x) = 0 erfüllt (das nennt man ’Stabilität’) muß jede der drei Nullstellen des Polynoms
P3 (λ) = λ3 + pλ2 + qλ + r negative Realteile haben. Die Nullstellen sind entweder alle drei reell oder
es gibt eine reelle und ein Paar zueinander konjugiert komplexe.
Welche leicht zu überprüfende Forderung an p und r ergibt sich aus der Bedingung Re(λk ) < 0 für
k = 1, 2, 3 ?
40. Finden Sie alle komplexen Zahlen z = a + bj 6= 0 mit der Eigenschaft: z 2 = b + aj !
o
41. Es gilt z = 12.45 ej · 64.38 . Ermitteln Sie im Kopf diejenige komplexe Zahl u, mit der bei w = uz
gilt: w ist rein imaginär und Im(w) = |z| !
4
,