7.¨Ubung zur Computerphysik

Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln
J. Berg
D. Weghorn, J. Berg, S. Mandt, M. Sitte, J. Franke
7. Übung zur Computerphysik
Sommersemester 2010
Abgabe:
Mo., d.7.6.2010
A Strukturen und rekursive Funktionen
2+1=3 Punkte
a) Lesen Sie Kapitel 9.1 − 9.4 und 9.7 des Online-Lehrgangs von Stefan Thiemert auf
www.c-programme.de. Schreiben Sie eine struct complex number, die eine komplexe
Variable durch zwei (double-wertige) ‘reelle’ Zahlen darstellt. Schreiben Sie eine
Funktion, die das komplexe Produkt zweier komplexer Zahlen als komplexe Zahl
zurückgibt. Ob sie hierbei in Polar- oder kartesischen Koordinaten arbeiten, bleibt
Ihnen überlassen. Dies ist ein erster Schritt in Richtung des objektorientierten Programmierens.
b) Funktionen können
Q ihrerseits Funktionen aufrufen, auch sich selber. Berechnen Sie den
Wert von N ! ≡ N
n=1 n mit einer rekursiven Funktion, d.h. mit einer Funktion, die sich
selber aufruft.
B Harmonischer Oszillator
1+1+4+4=10 Punkte
Die Schrödingergleichung lautet in einer Dimension
i~
∂
ψ(x, t) = Ĥψ(x, t),
∂t
(1)
wobei Ĥ den Hamiltonoperator des Systems bezeichnet.
Bei entsprechendem Hamiltonoperator können beliebige Funktion und somit auch ein vorgegebener Anfangszustand ψ(x, t = 0) als Linearkombination der Eigenzustände {ϕn (x)}n∈N0 des
Hamiltonoperators geschrieben werden,
ψ(x, t = 0) =
∞
X
αn ϕn (x).
n=0
Die Koeffizienten {αn }n∈N0 sind die Projektionen des Anfangszustands ψ(x, t) auf die Eigenzustände,
Z ∞
αn = (ϕn (x), ψ(x, t = 0)) ≡
dxϕ∗n (x)ψ(x, t = 0).
(2)
−∞
Die obige Definition des quantenmechanischen Skalarprodukts wird im Folgenden immer mit
(·, ·) bezeichnet. ·∗ ist hierbei komplexe Konjugation.
a) Zeigen Sie analytisch, daß bei gegebenem Anfangszustand ψ(x, P
t = 0) der Zustand zu
−in t/~ .
einem beliebigen Zeitpunkt t > 0 gegeben ist durch ψ(x, t) = ∞
n=0 αn ϕn (x)e
Hier ist n der Energieeigenwert des nten Eigenzustandes.
Hinweis: Sie können z. B. eine Taylorentwicklung von ψ(x, t) in t um t = 0 aufstellen
und Gl.(1) und die Eigenwerteigenschaft des Hamiltonoperators in der Wirkung auf
seine Eigenzustände benutzen.
bitte wenden!
1
b) Im Falle des harmonischen Oszillators in einer Dimension lautet der Hamiltonoperator
Ĥ = −
~2 ∂ 2
mω 2 2
+
x̂
2m ∂x2
2
mit m der Masse des Teilchens und ω der Frequenz des Oszillators. Diesen Fall betrachten wir im Folgenden.
Die Eigenzustände diesen Hamiltonoperators (Masse m = 1 und Frequenz ω = 1 und
in Einheiten von 1/~) sind in Ortsdarstellung
ϕn (x) = π −1/4 √
1 2
1
Hn (x)e− 2 x
n
2 n!
(3)
mit {Hn }n∈N0 den sogenannten ‘Hermitepolynomen’. Diese Polynome gehorchen der
Rekursionsrelation
H0 (x) = 1
(4)
H1 (x) = 2x
(5)
Hn (x) = 2xHn−1 − 2(n − 1)Hn−2 (x),
n ≥ 2.
(6)
Schreiben Sie eine Funktion, die als Argument einen Wert x und eine Ordnung n nimmt
und rekursiv unter Benutzung von Gln.(4)-(6) den Wert des Hermitepolynoms nter
Ordnung Hn (x) an der Stelle x ermittelt und zurückgibt.
c) Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Zustand des Systems gegeben durch
2 /2
ψ(x, t = 0) = π −1/4 e−(x−x0 )
,
(7)
ist also die um x0 nach rechts verschobene Wellenfunktion des Grundzustands.
Berechnen Sie mit Hilfe der Trapezregel und der im vorigen Aufgabenteil programmierten Funktion für die Hermitepolynome die Koeffizienten {αn } für n = {1, . . . , 15} und
x0 = 2.
Hinweis: Aufgrund des exponentiellen Abfalls der Eigenzustände Gl.(3) und des Anfangszustands Gl.(7) können Sie das unendliche Integral des Skalarprodukts Gl.(2) auf
das Intervall x ∈ (−50, 50) beschränken. Es lohnt sich, die αn in einem Array zu speichern.
d) Mit diesen Koeffizienten {αn }n∈{0,...,15} und dem Ausdruck für die Zeitentwicklung aus
Aufgabenteil a) können Sie jetzt im Prinzip1 die Wellenfunktion ψ(x, t) für jeden beliebigen Zeitpunkt t > 0 angeben. Beschreiben und plotten Sie die Dynamik des Betragsquadrats |ψ(x, t)|2 = ψ(x, t)∗ × ψ(x, t) für t ∈ (0, 10).
C Kohärente Zustände
10 Punkte
Betrachten Sie die Dynamik des quantenmechanischen Erwartungswerts von Ort und Impuls
der Wellenfunktion und vergleichen Sie diese Dynamik mit der Bewegung eines vergleichbaren
klassischen Teilchens im entsprechenden harmonischen Potential. Interpretieren Sie den
Vergleich des quantenmechanischen und des klassischen Systems mit Hinblick auf das
Ehrenfest-Theorem.
Schlagen Sie in einem Quantenmechaniklehrbuch Ihrer Wahl das Stichwort ‘kohärente
Zustände’ nach.
1
Bis auf Unsicherheiten aufgrund der numerischen Integration, der Einschränkung des Integrationsintervalls
und der Einschränkung der Entwicklung des Anfangszustands auf nur 15 der unendlich vielen Eigenzustände
2