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Mathematik III (Sicherheit und Gefahrenabwehr)
Schwerpunkte
6
Integralrechnung
Unbestimmte Integrale: Stammfunktionen, Grundintegrale, Integrationsregeln: Linearität, Substitution, partielle Integration, Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung),
Integrationskonstante
Bestimmte Integrale: Flächenberechnung, Substitution und partielle Integration bestimmter
Integrale, Hauptsatz der Differential-Integralrechnung, Mittelwertsätz der Integral- und Differentialrechnung, Restglied der Taylorformel
Anwendungen: Berechnung von Flächen und Volumina, Schwerpunktberechnung.
Numerische Integration: Trapezregel, Keplersche Fassregel, Simpsonregel
6.1
6.1.1
Aufgaben
Bestimmen Sie Stammfunktionen
f (x) =
f (x) = sin( π2 x + π6 )
1
3x+4
2
f (x) = x + x sin x +
6.1.2
1
4x3 −x
−1
1+x3
1+x2 dx
2π
R
3
f (x) = (2x + 1) cos(3x + 2)
√ 2
dx
2−x2
2π
R
cosh x cos xdx
−2π
2
f (x) = xe−x , g(x) = 0;
f (x) = |x|, g(x) =
√
1 − x2
Berechnen Sie mittels Substitution:
R1
x3 cos x2 dx;
−1
1
1+ex
R1
dx;
0
x
1+x4
dx;
Lösen Sie die Integrale unter Anwendung partieller Integration:
Rπ
0
7
√
− 2
0
0
6.1.6
f (x) = (x − 1) ln x
Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen den Funktionen:
√
Rπ
6.1.5
√
R2
2
cos x + cos xdx
f (x) = x2 , g(x) = 3x + 5;
6.1.4
f (x) =
x4 +2x2 +3
x2 +2x+3
Berechnen Sie die Integrale
R1
6.1.3
f (x) = (6x + 2) cos(3x2 + 2x + 1)
x2 cos 2x dx;
R∞
2
ln x
(1−x)2
dx;
R1
(x2 + 3x + 5)e−3x dx;
0
Berechnen Sie mit der Simpsonregel auf drei Stellen genau:
R 1 −x2 /2
R1p
R1 4
ln(1 + x) dx;
dx;
e
dx;
0 1+x2
0
0
Mehrdimensionale Integration
Kurven: Parameterdarstellung von Kurven in Ebene und Raum, Tangenten, Krümmung, Krümmungsradius
Kurvenintegrale 1. Art: Längen von Kurven, Definition des Kurvenintegrals 1. Art, Eigenschaften, Transformation auf bestimmte Integrale, Anwendungen (Masse, Momente, Inhalt
von Zylinderflächen)
1
Kurvenintegrale 2. Art: Berechnung der Arbeit entlang einer Kurve, Definition des Kurvenintegrals 2. Art, Eigenschaften, Transformation auf bestimmte Integrale, Anwendungen (eben
Durchströmung von Kurven, Zirkulation, Berechnung von Flächeninhalten), Wegunabhängigkeit, Potentiale vollständiger Differentiale
Flächenintegrale: Iterierte (Doppel-)Integrale, Normalgebiete in der Ebene, Definition von Flächenintegralen, Berechnung von Flächenintegralen, Parameterdarstellung von Flächen, Transformation von Flächenintergralen.
Volumenintegrale: Dreifachintegrale, Normalgebiete im Raum, Definition und Berechnung von
Volumenintegralen
Integraloperatoren und Integralsätze: Skalar- und Vektorfelder, Nablaoperator, Gradient,
Divergenz, Rotation, Gaussscher Integralsatz, Definition von Oberflächenintegralen
7.1
Aufgaben
7.1.1 Berechnen Sie
R
xyzds mit
a)
c
AB
b)
c)
7.1.2
d — Gerade von (0|0|1) nach (3|2|1)
AB
d — Spirale x = 5 cos t, y = 5 sin t, z = 2t, −π ≤ t ≤ π
AB
d
AB — Kreis im Schitt von x2 + y 2 + z 2 = 4 und x + 2y + 3z = 0
Berchnen Sie den Schwerpunkt
der Kurve y = x2 mit 0 ≤ x ≤ 1
der Ellipse (als Kurve) 3x2 + 4y 2 = 12
des Kreisbogens x = 4 cos t, y = 4 sin t mit π2 ≤ t ≤
7.1.3
3π
2
Berechnen Sie die Arbeit
0
−9.81
bei Umlauf eines Kreises mit dem Radius 1 um den Punkt M = (0|0) im Kraftfeld
F~ (x, y) = [x2 , xy]T
von P1 = (0|0) nach P2 = (5| − 2) im Kraftfeld F~ (x, y) = [3x2 y , x3 ]T
entlang der Kurve y = x von x = 0 bis x = a im Kraftfeld F~ (x, y) =
2
7.1.4
Berechnen Sie
RR
AR
xy dxdy
R
1 ≤ x ≤ 3,
mit A :
x2 + y 2 dxdy
mit B :
1 ≤ y ≤ 2x
(x − 1)2 + y 2 ≤ 2
B
RRR
xyz dxdydz
mit V :
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
und x + 2y + 3z ≤ 6
V
7.1.5
Beweisen Sie
H
yzdx + xzdy + xydz = 0
P
R2
(−1 + xye−xy )dx + x2 e−xy dy ist wegunabhängig
P1
2
7.1.6
Berechnen Sie die Potentiale von
xdx + ydy
8
(x2 + 3xy 2 )dx + 3x2 ydy
ydx + xdy
Differentialgleichungen
Eigenschaften: Klassifikation: Ordnung, Grad, nichtlinear/linear, homogen/inhomogen, Anfangswerte/Randwerte, Rolle der Integrationskonstanten.
Dgl. erster Ordnung: Trennung der Veränderlichen, Typ y 0 = f (y/x), Typ y 0 = f (ax + by + c),
lineare Differentialgleichung 1. Ordnung, Variation der Konstanten.
Lineare Dgl: Struktur der allgemeinen Lösung, Ansatzverfahren für konstante Koeffizienten, Ansatzverfahren für spezielle rechte Seiten, Variation der Konstanten.
Rand- und Eigenwertaufgaben: Zweipunktrandwertaufgaben für lineare Differentialgleichungen, Lösbarkeit, Eigenwertprobleme für lineare DGL zweiter Ordnung.
Numerische Verfahren Runge-Kutta-Verfahren für Anfangswertprobleme erster Ordnung,
Übertragung auf Systeme und DGL höherer Ordnung, Schießverfahren
8.1
Aufgaben
8.1.1
Klassifizieren Sie die Differentialgleichungen
y 000 + 5y 0 y 00 = x,
8.1.2
7y 000 + 6y 00 + 5y 0 + 4y = 3 + x2 ,
Lösen Sie
y 0 = xy, y(2) = 3;
8.1.3
y0 =
sin x
sin y ,
y( π2 ) =
y0 =
π
2;
x
x+y
Bestimmen Sie die Lösung:
y 0 + 21 y = x3 − x, y(0) = 1;
2y 0 +
y
x
√
√
y 00 = 3y 2 + 3 y, y(0) = 2, y 0 (0) = 4 + 2;
8.1.4
y 0 = cos(x + y) + cos(x − y)
= 1;
y 0 − 17y = 0, y(0) = 0
y 0 + xy = x2 + 1, y(0) = 1
Lösen Sie die Anfangswertprobleme:
y 00 + 9y = ex , y(0) = 0, y 0 (0) = −3;
y 000 + 2y 00 + y 0 = x2 e−x y(1) = 0, y 0 (1) = 1, y 00 (1) = 0
y 00 + 4y 0 + 3y = x2 , y(3) = −3, y 0 (3) = 3
y 00 + 4y 0 + 5y = (x cos x + 2 sin x)e−2x ; y(0) = a, y 0 (0) = b
8.1.5
Lösen Sie die Randwertprobleme:
y 00 + 3y 0 − 4y = 0, y(0) = 0, y(1) = 1;
y 000 + 2y 00 + y 0 = x y(1) = 0, y 0 (1) = 1, y(0) = 0
y 00 − y 0 = 0, y 0 (0) = 1, y 0 (1) = 2.7;
y 00 − y 0 = 0, y 0 (0) = 1, y 0 (1) = e;
3
9
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kombinatorik: Permutationen, Kombinationen, Variationen, n!, Binomialkoeffizienten
Zufällige Ereignisse: Zufälliges Experiment, Elementarereignisse, Addition, Multiplikation und
Differenz von Ereignissen, Komplementärereignis, vollständige Ereignissysteme, bedingte Ereignisse. Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit von Ereignissen.
Wahrscheinlichkeit: klassische Wahrscheinlichkeit, Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit von
Ereignissen, Berechnung der Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse, Totale Wahrscheinlichkeit, Bayessche Formel.
Zufallsgrößen: Zufallsgröße, Definition und Eigenschaften von Verteilungsfunktionen, diskrete
Zufallsgrößen, Einzelwahrscheinlichkeit, stetige Zufallsgrößen, Dichtefunktion, Erwartungswerte, Dispersion und Standardabweichung, Median, Quantile, Binomialverteilung, Poissonverteilung, Normalverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Transformation
auf die Standardnormalverteilung, Verteilungen von Funktionen von Zufallsgrößen.
Parameterschätzung: Schätzfunktionen, Eigenschaften von Schätzfunktionen, Schätzen von Erwartungswert und Varianz normalverteilter Zufallsgrößen, Konfidenzintervalle,.
9.1
9.1.1
Aufgaben
Beschreiben Sie A ∩ B, A ∪ B, A\B und A ∪ B für
- A: “Eine Messergebnis liefert mehr als 35% Ausbeute”
B: “Das gleiche Messergebnis liefert weniger als 50% Ausbeute”
- A: “Schumacher wird 2005 Weltmeister”
B: “Die Weltmeisterschaft geht 2005 an Ferrari”
- A: “Von 5 Maschinen sind 4 betriebsbereit”
B: “Die erste Maschine ist kaputt”
9.1.2
Wieviele Möglichkeiten gibt es,
-
9.1.3
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
-
9.1.4
Aus 30 verschiedenefarbigen Karten 5 auszuwählen
Aus je 15 roten und grünen Karten zwei verschiedenfarbige zu wählen
Aus 8 schwarzen und 4 weißen Kugeln zwei gleiche zu ziehen
vierstellige Zahlen zu bilden, die nur gerade Ziffern enthalten
vierstellige Zahlen zu bilden, die nur ungerade Ziffern enthalten
mit zwei Würfeln mehr als 10 zu würfeln
unter 15 Zahlen 2 von 3 Zahlen richtig zu tippen
wenn 3% aller Teile fehlerhaft sind, 7 fehlerfreie Teile zu erhalten
wenn 3 von 100 Teilen fehlerhaft sind, 7 fehlerfreie Teile aus diesen Hundert zu greifen
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten falls P (Ei ) = pi =
A = (E1 ∩ E2 ∩ E4 ) ∪ E3
D = (E1 ∩ E2 ∩ E4 ) ∪ E3
B = E1 ∩ E2 ∩ (E4 ∪ E3 )
E = E1 ∩ E2 ∩ (E4 ∪ E3 )
4
1
i+1 :
C = (E1 ∩ E2 ) ∪ (E3 ∩ E2 ) ∪ (E4 ∩ E5 )
F = (E1 ∪ E2 ) ∩ (E3 ∪ E2 ) ∩ (E4 ∩ E5 )
9.1.5
Ein Messergebnis X sei mit µ = 7.81 und σ = 0.08 normalverteilt Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit,
-
die Messung 5% Genauigkeit hat?
der Messwert größer als 7.75 ist?
der Messfehler größer als 0.1 ist?
das Ergebnis im Intervall 7.7 ≤ X ≤ 7.9 liegt?
5