Arbeitsblatt Mathematik

Arbeitsblatt
Mathematik
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Datum:
Exponential- und Logarithmusfunktion
Regeln zum Rechnen mit Logarithmen
Es gilt: Multipliziert man zwei Potenzen, so werden ihre Hochzahlen addiert.
Ergänzen Sie bitte die Lücken in folgenden Gleichungen:
(
)
)
)
16 · 8 = 2
· 2(
=2( +
=2( )
Die Hochzahlen der Potenzen entsprechen aber genau dem Logarithmus zur Basis 2:
16 = 24; also 4 = log 2 (
Aus 16 · 8 = 27 folgt genauso: 7 = log 2 (
) und 8 = 23; also 3 = log 2 (
)
). Wir sehen also an diesem Beispiel:
log 2 (16 · 8) = log 2 (16) + log 2 (8)
© 2010 Cornelsen Verlag, Berlin. Alle Rechte vorbehalten.
Ein analoger Zusammenhang gilt nicht nur für das Produkt von 16 und 8, sondern auch für
ihren Quotient. Da man beim Dividieren zweier Potenzen die Hochzahlen subtrahiert, gilt nun
 16 
log 2   = log 2 (16) − log 2 (8)
8
Beide Regeln gelten nicht nur für die Zahlen 16 und 8 und die Grundzahl 2, sondern ganz allgemein. Es gelten die folgenden Rechenregeln für Logarithmen mit der Basis b und positiven
Zahlen u und v:
log b (u · v) = log b (u) + log b (v)
sowie
u
log b   = log b (u) − log b (v)
v
Es gilt: Potenziert man eine Potenz, so werden die Hochzahlen multipliziert.
Beispiel: 43 = (22)3 = 22 · 22 · 22 = 22 + 2 + 2 = 22 · 3 = 26
Da die Logarithmen zur Basis 2 genau der jeweiligen Hochzahl entsprechen, gilt hier
log b (uv) = v · log b (u)
log 2 ((22)3) = 3 · log 2 (22) = 3 · 2 = 6; und allgemein für positive u und v zur Basis b
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1 Berechnen Sie – wenn möglich – die folgenden Rechenausdrücke unter Anwendung dieser
drei Logarithmengesetze.
(Vereinbarung: Statt „log10“ für den Logarithmus zur Basis 10 schreibt man auch „log“.)
(a)
log 4 (2) + log 4 (8) =
(b)
log 3 (15) − log 3 (5) =
(c)
log 2 (24) + log 2 (20) − log2 (15) =
(d)
 1 
−log 5 
 − log 5 (2) =
 250 
(e)
2 · log 4 (2) =
(f)
3
log  5 10  =


(g)
log 9 (63) − log 9 (23) =
(h)
log 8
(i)
1
log 3 (35) − log 4   =
 16 
(j)
log 3 (12 + 15) =
(k)
log 3 (9 + 27) =
(l)
log 3
 8  + log
8 (512)
=
 27  + log  27  =
5
−1
1
(m) log4   − log 4 (8 ) =
2
(n) log 5 (25 − 150) =
(o)
log 2 (32) + log 2 (1 / 4)−1 =
(p)
log g (23) + log 5 (10) − log 5 (8) =
(q)
log 2 12 2 − log 2 (3) + log 2
(r)
2
log 3 (13,5 x) + log 3   =
x
(s)
 40 
log (5 x2) − log (2 x) + log   =
 x
(t)
log 5 (a2 − b2) − log 5 (a + b) − log 5 (a − b) =


 8 =
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Regeln zum Rechnen mit Logarithmen
2 Basiswechsel I
Mit Hilfe des dritten Logarithmengesetzes log b (uv) = v · log b (u) lässt sich die Basis eines
Logarithmus’ verändern.
Dies ist vor allem dann hilfreich, wenn man Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen
möchte. In der Regel gibt es dort nämlich nur eine Taste für den Logarithmus zur Basis 10
(LOG) und zur Basis e = 2,71828 (natürlicher Logarithmus; LN).
Beispiel:
Vorgehen:
Schreibe die Zahl x = log3 (121) als Logarithmus zur Basis 10.
Für die Zahl x = log 3 (121) gilt:
3 x = 121.
Nun bilden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus zur Basis 10:
log (3x) = log (121)
Mit dem o. g. Logarithmengesetz folgt:
x log (3) = log (121)
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Damit gilt für die Zahl x:
x=
log(121)
log(3)
Dieser Wert lässt sich bequem mit dem Taschenrechner ermitteln.
Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner die folgenden Werte:
log 2 (10) =
log 5 (17) =
log 8 (0,8) =
log (50) =
log 3 (29) =
log e (1000) =
log 15 (11) =
log 2 (−0,1) =
1
log 5   =
3
log 3 (6) =
3 Basiswechsel II
Auch eine Potenz lässt sich mit einer anderen Basis ausdrücken. Als Beispiel schreiben wir
die Potenz 25 als Potenz mit der Basis 10. Wir suchen also die Hochzahl x, dass 25 = 10x gilt.
Wieder bilden wir auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 10 und erhalten
log (25) = log (10x), und damit ist
x = log (25) = 5 · log (2) = 1,5051.
5
5 · log 2
1,5051
Es ist also 2 = 10
= 10
; der Basiswechsel ist geschafft!!
Stellen Sie die gegebene Potenz mit der vorgegebenen Basis 10 oder e dar:
37 = 10
122 = 10
= 10
22 = 10
= 10
8−3 = 10
= 10
122 = e
=e
2−1 = e
=e
1003 = (102)3 = 10
10 = e
95 = e
= 10
=e
=e
e = 10
= 10