Übungsblatt 1 - Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes
Rechts- und wirtschaftswissenschaftliche Fakultät
Allgemeine BWL
Übungen zur Vorlesung
Wissenschaftliches Arbeiten: Quantitative Methoden (WS 08/09)
Blatt 1
Prof. Dr. Stefan Nickel
Dipl.-Kfm. Hans-Peter Ziegler
Aufgabe 1:
Drücken Sie die folgenden Sätze mit Hilfe der Zeichen ∀, ∃, ∃!, ¬, ∨, ∧, →, ↔ und bekannten weiteren
mathematischen Symbolen wie z.B. +, ∗, ..., N, ... so weit wie möglich aus.
a.) Zu jedem x und jedem y gibt es ein z mit x + y = z.
b.) Kein x ist kleiner als y.
c.) Es gibt ein x mit x + y = y für alle y.
d.) Für jedes x ist x + y = y + x für alle y.
e.) Jede ganze Zahl ist gerade oder ungerade.
f.) Nicht alle Primzahlen sind ungerade.
g.) Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere Primzahl.
h.) Die Menge M ⊆ R hat kein größtes Element.
i.) Es gilt x + z < y + z, falls x < y und x,y,z beliebige natürliche Zahlen sind.
j.) Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y und umgekehrt.
k.) Es gibt genau eine Lösung x ∈ N der Gleichung x2 = 1.
l.) Für das Potenzieren der natürlichen Zahlen gilt das Kommutativgesetz ab = ba nicht.
Außerdem negiere man die Aussagen h.), i.) und k.).
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Aufgabe 2:
Gegeben seien die Aussagen:
A1 :
A2 :
A3 :
A4 :
A5 :
A6 :
Es ist schönes Wetter.
Es ist noch Arbeit zu erledigen.
Markus spielt Poker.
Markus besucht Eva.
Eva geht schwimmen.
Markus geht mit Eva essen.
Stellen Sie mit Hilfe dieser 5 Aussagen die folgenden Aussagen dar.
a.) Wenn schönes Wetter ist, geht Eva schwimmen.
b.) Wenn kein schönes Wetter ist und keine Arbeit zu erledigen ist, geht Markus mit Eva essen.
c.) Entweder spielt Markus Poker oder er besucht Eva.
d.) Markus spielt genau dann Poker, wenn Eva schwimmen geht oder noch Arbeit zu erledigen
ist.
e.) Entweder ist schönese Wetter und Eva geht schwimmen oder Markus besucht Eva und beide
gehen gemeinsam essen.
f.) Es trifft nicht zu, dass Markus Eva besucht, wenn noch Arbeit zu erledigen ist.
g.) Nur dann, wenn keine Arbeit zu erledigen ist, geht Markus mit Eva essen.
Aufgabe 3:
Die bekannte Aussage: Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnde Unternehmung maxi”
miert den Faktorertrag und minimiert den Faktoreinsatz“ ist falsch.
a.) Formulieren Sie diese Aussage mit Hilfe der Ihnen aus der formalen Logik bekannten Symbole
und bilden Sie die Negation dieser Aussage.
b.) Prüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel den Wahrheitsgehalt der negierten Gesamtaussage.
Aufgabe 4:
Überprüfen Sie die Aussage Wenn die Preis-Absatz-Funktion linear ist (mit einer Steigung
”
6= 0, ∞), dann ist die zugehörige Umsatzfunktion nicht linear.“ auf ihren Wahrheitsgehalt.
Aufgabe 5:
Beschreiben Sie die folgenden Mengen durch die Angabe wenigstens einer Eigenschaft E(x) in der
Form {x|E(x)}.
a.) {7,35,14,42,28,21}
b.) {2,3,5,9,17,33,65}
c.) {-12,-7,-2,3,8,13,18}
d.) {1,-1}
2
Aufgabe 6:
Gegeben seien die Mengen
A := {1, 2}, B := {1, 2, 3, 4}, C := {2}, D := {1, A, B, C}.
Welche der folgenden Beziehungen sind
(a) 4 ∈ B
(b) A ⊂ B
(f) 1 ∈ D
(g) {} ∈ C
(k) {1, B} ⊆ D (l) A ∪ C ⊂ B
richtig?
(c)
A∈D
(h) {} ⊂ D
(m) C ⊂ D
(d)
(i)
(n)
A⊂D
C∈B
C∈D
(e)
(j)
(o)
2∈D
1⊂D
{C} ⊂ D
Aufgabe 7:
Berechnen Sie:
(a)
5
P
i
(b)
i=1
(e)
7
P
2i − i2
i=3
100
P
(5 · i + 3)
(f)
20
P
3i
∞
P
(g)
8
i
(d)
0, 4i
(h)
i=4
3 P
6
P
i·j
i=1 j=5
i=1
i=2
i=10
7
P
(c)
∞
P
i · 0, 2i
i=0
Aufgabe 8:
Berechnen Sie die folgenden Summen:
(a)
81
P
(3 · i − 5)
(b)
i=3
(e)
38
P
(2 · i + 2i )
20
P
i=0
(m)
14
P
i=4
1, 2i
40
P
(c)
i=0
(f)
i=6
(i)
27
P
29
P
i=2
19
i
ln(i) + 2i
(j)
16
P
i=0
(n)
∞
P
1, 2(i−2)
(d)
i=3
29
i
18
i+2
27
P
(g)
i · 0, 3i
17
P
(k)
0, 4(i+1)
(h)
ln(i)
200
P
i=0
19
P
2 · (i + 4)
i=3
i=1
(o)
0, 2i
i=18
i=4
∞
P
(l)
13
P
ln(i + 2)
i=2
√
i
i=10
Aufgabe 9:
Beweisen Sie die folgende Aussage für natürliche Zahlen n ∈ N: Wenn n ungerade ist, so ist auch
n2 ungerade.
Aufgabe 10:
Beweisen Sie: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem
Quadrat der Hypotenuse.
Aufgabe 11:
Zeigen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
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Aufgabe 12:
Man beweise:
Wenn p ∈ P, a ∈ N und a ∈
/ {n · p|n ∈ N}, dann existieren α, β ∈ Z mit α · p + β · a = 1.
Hinweis: Sie können den Satz von Euler-Fermat ausnutzen, nach dem gilt, dass ap−1 − 1 durch
p teilbar ist, ∀ p ∈ P.
Aufgabe 13:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
Die Summe der dritten Potenzen dreier aufeinanderfolgender Zahlen aus N0 ist durch 9 teilbar.
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