¨Ubung zur Vorlesung Grundlegende Stochastische Algorithmen

Übung zur Vorlesung
Grundlegende Stochastische Algorithmen
Prof. Dr. S. Heinrich SoSe 14
Blatt 2
Abgabe bis Mittwoch, den 21.05.2014, 12:00 Uhr, in den Kasten der AG
( Geb. 48, 6. Stock )
Aufgabe 1:
In einer Urne befinden sich vier Zettel mit den Ziffernfolgen 110, 101, 011 und 000. Betrachte die Ereignisse
• A1 : ein zufällig gezogene Zettel habe in seiner Ziffernfolge eine 1 an erster Stelle,
• A2 : ein zufällig gezogene Zettel habe in seiner Ziffernfolge eine 1 an zweiter Stelle,
• A3 : ein zufällig gezogene Zettel habe in seiner Ziffernfolge eine 1 an dritter Stelle.
(a) Was kann man über die Unabhängigkeit von je zwei der Ereignisse A1 , A2 und A3
aussagen?
(b) Wie steht es mit der Unabhängigkeit der Gesamtheit aller drei Ereignisse?
Aufgabe 2:
Ein Bernoulli-Experiment hat den Ereignisraum Ω = {0, 1} mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten µ({0}) = λ und µ({1}) = 1 − λ = 1 − µ({0}).
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit pm , m-mal das Ereignis
0 als Ausgang von n ExPn
perimenten zu erhalten? Was folgt für die Summe m=0 pm all dieser Wahrscheinlichkeiten?
b) Das Experiment wird so lange durchgeführt, bis das Ereignis 1 als Ausgang eintritt.
Wie viele Versuche werden im Mittel durchgeführt?
Aufgabe 3:
Die Dauer t des Besuches einer Internet-Seite folge der exponentiellen Dichtefunktion
t
f (t) = 51 e− 5 für t > 0. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, daß ein Besuch länger als
5 Minuten, zwischen 5 und 6 Minuten, weniger als 3 Minuten oder, als letzten Fall, unter
der Voraussetzung, daß er schon länger als 3 Minuten ist, weniger als 6 Minuten dauert.
Aufgabe 4:
Sei X : Ω −→ IR eine diskrete Zufallsvariable, d.h. Ω ist abzählbar. Zeigen Sie:
a) Ist X beschränkt (d.h. X(Ω) ist beschränkt), so existieren E(X) und E(|X|).
b) Ist A ⊆ Ω und χA die zugehörige charakteristische Funktion, so gilt für deren Erwartungswert E(χA ) = µ(A) .