Arbeitsmaterialien Analysis I

Arbeitsmaterialien
(Bezeichnungen, Definitionen,
Sätze, Beispiele, Übungsaufgaben)
zur Vorlesung
Analysis I
im WS 2005/06
(überarbeitete Version des WS 1993/94 und SS 1994)
FB Mathem., Univ. Siegen
zusammengestellt von
Prof. Dr. Hans-Jürgen Reinhardt
Analysis, Arbeitsmaterialien
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Abbildungen
1
1.1
Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
Funktionen, Abbildungen
3
(A, B Mengen) . . . . . . . . . .
2 Reelle Zahlen
6
2.1
Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Supremum und Infimum, das Vollständigkeitsaxiom . . . . . .
9
2.4
Natürliche Zahlen, Prinzip der vollständigen Induktion . . . .
14
2.5
Einfache Anzahlaussagen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.6
Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.7
Der Satz von Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.8
Die Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.9
Permutationen und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . .
20
3 Der Körper der komplexen Zahlen
24
3.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Der Körper C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3
Der Absolutbetrag in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
-i-
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4 Zahlenfolgen
28
4.1
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2
Der Konvergenzbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.4
Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.5
Wurzelberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.6
Häufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.7
Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen . . . . . . . . . . .
37
5 Reihen
38
5.1
Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5.2
Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.3
Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.4
Umordnung von Reihen, das Cauchy–Produkt . . . . . . . . .
43
5.5
Die g–adische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6 Stetigkeit
47
6.1
Reelle Funktionen, Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.2
Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.3
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7 Einige Sätze über stetige Funktionen
51
7.1
Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7.2
Existenz von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
- ii -
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7.3
Gleichmäßig stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4
Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunk-
7.5
8
9
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55
tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Die Logarithmusfunktion
57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzierbarkeit
60
8.1
Motivation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8.2
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.3
Zur Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
8.4
Zum Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Einige Sätze über differenzierbare Funktionen
66
9.1
Charakterisierung von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
9.2
Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . .
67
9.3
Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
9.4
Anmerkung zu lokalen Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.5
Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.6
Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
73
10 Das Riemann–Integral
76
10.1 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
10.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
78
10.3 Ober– und Unterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
10.4 Riemann–Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
- iii -
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10.5 Eine Auswahl integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . .
83
10.6 Weitere Aussagen über Integrale . . . . . . . . . . . . . . . .
83
11 Integration und Differentiation
85
11.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . .
85
11.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . .
86
11.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
11.4 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
11.5 Das Taylorsche Restglied in Integralform . . . . . . . . . . . .
91
11.6 Integrationsrezepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
12 Reihen und Funktionen
94
13 Metrische und topologische Räume
94
14 Vollständige metrische Räume, Banachräume
94
15 Der euklidische Raum Rn
94
16 Differenzierbarkeit im Rn
94
17 Der Satz über implizite Funktionen
94
A Grundlagen der Aussagenlogik
95
B Theoretische Übungsaufgaben
für Mathematiker und Physiker zu Analysis I
- iv -
100
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C Theoretische Übungsaufgaben
für Informatiker zu Analysis I
Index
141
157
-v-
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Literatur
[Bla92] Blatter, C.Analysis 1, 2, Springer, 1991, 1992.
[End89] Endl, K. Analysis I, II, III. Studien-Texte Mathematik, Akadem.
Verlagsges.1978, 1987, 1989.
[For01] Forster, O. Analysis 1, 2, 3. Vieweg, 1979, 1981, 2001.
[GF73] Grauert, H., Fischer, W. Differential- und Integralrechnung II. Heidelberger Taschenbücher Bd 36, Springer, 1973.
[HRS93] Harbarth, K., Riedrich, T., Schirotzek, W. Differentialrechnung für
Funktionen mit mehreren Variablen. Teubner, 1993.
[Heu02] Heuser, H. Lehrbuch der Analysis 1, 2. Teubner, 2001, 2002.
[KP93] Körber, K.-H., Pforr, E.-A. Integralrechnung für Funktionen mit
mehreren Variablen. Teubner, 1993.
[KK91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 3: Differentialrechnung. Fachbuchverlag Leipzig, 1991.
[KKr91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 4: Integralrechnung. Fachbuchverlag Leipzig, 1991.
[Lan70] Landau, E. Grundlagen der Analysis. Wiss. Buchges., Darmstadt,
1970.
[PS93] Pforr, E.-A., Schirotzek, W. Differential– und Integralrechnung für
Funktionen mit einer Variablen. Teubner, 1993.
[Rud98] Rudin, W. Analysis. Oldenbourg Verlag, 1998.
- vi -
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Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
[SH95] Salas, S. L., Hille, E. Calculus. Einführung in die Differential– und
Integralrechnung. Spektrum, 1995.
[SGT99] Schäfer, W., Georgi, K., Trippler, G. Mathematik–Vorkurs. Teubner, 1999.
[Wal04] Walter, W. Analysis 1, 2. Springer, 2002, 2004.
[WH99] Wenzel, H., Heinrich, G. Übungsaufgaben zur Analysis 1, 2. Teubner, 1999.
- vii -
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1
1.1
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Mengen und Abbildungen
Aussagen
... sind entweder wahr (w) oder falsch (f) aber nicht beides.
Bezeichnungen
Junktor
Sprechweise
Negation
... nicht ...
¬
Konjunktion
... und ...
∧
Alternative
... oder ...
∨
Implikation
... wenn, dann ...
=⇒
Äquivalenz
... genau dann, wenn ...
⇐⇒
Akkürzungen:
:= ,
=: ,
:⇐⇒ ,
Symbol
⇐⇒:
Indirektes Beweisverfahren
(P =⇒ Q)
1.2
⇐⇒
(¬Q =⇒ ¬P )
Mengen
... sind Zusammenfassungen wohlbestimmter Objekte.
Definitionen:
(A,B,C Mengen, A,B ⊂ C)
Teilmenge:
A ⊂ B :⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Gleichheit:
A = B :⇐⇒ A ⊂ B , B ⊂ A
Vereinigung:
A ∪ B := {x ∈ C|x ∈ A oder x ∈ B}
Durchschnitt:
A ∩ B := {x ∈ C|x ∈ A und x ∈ B}
Komplement:
A \ B := {x ∈ C|x ∈ A und x 6∈ B} (auch B 0 := A B)
leere Menge:
∅ oder {}
-1-
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Rechenregeln
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(A, B, C Mengen)
(R1)
A ⊂ B , B ⊂ C =⇒ A ⊂ C
(R2)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
(R3)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
(R4)
A∪B =B∪A
(R5)
A∩B =B∩A
(R6)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(R7)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(R8)
(A, B ⊂ X)
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 ,
Definition:
(Transitivität von ⊂“)
”
(Assoziativgesetze)
(Kommutativgesetze)
(Distributivgesetze)
(Regeln von de Morgan)
(A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 )
Potenzmenge P (A) (oder P OT (A))
= Menge aller Teilmengen von A
einschließlich der leeren Menge ∅
Definitionen:
(A, B Mengen)
(geordnetes) Paar: (a, b)
(a, b) = (a0 , b0 )
mit a ∈ A, b ∈ B ;
wenn a = a0
Cartesisches Produkt
und b = b0 ;
A × B = {(a, b)|a ∈ A , b ∈ B}
Rechenregel
(R9)
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) ,
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
Beispiele von Mengen
N := {1, 2, 3, . . .}
natürliche Zahlen
Z := {0, 1, −1, 2, −2, 3, . . .}
ganze Zahlen
Z+ := N0 := {0, 1, 2, . . .}
Q := ab a, b ∈ Z, b 6= 0
rationale Zahlen
-2-
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6
Q
f (x)
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•
(x, f (x))
-
x
1.3
Funktionen, Abbildungen
f : A −→ B ,
Bezeichnung:
Definition:
(A, B Mengen)
A = Definitionsbereich,
B = Bildbereich
f : A 3 x 7→ f (x) ∈ B
Graph von f
graph f := {(a, b)|a ∈ A , b = f (a)}
Beispiel:
A := B := Q , f : A 3 x 7→ 21 x − 1 ∈ B
Satz 1 Seien A, B Mengen, G ⊂ A × B. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
a) Es gibt eine Abbildung f : A → B mit graph f = G.
b) Zu jedem a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ G.
Definitionen:
(f : A −→ B ,
X ⊂ A,
Y ⊂ B)
Bild von X unter Abb. f : f (X) := {f (x)|x ∈ X}
Urbild von Y unter Abb. f : f −1 (Y ) := {x ∈ A|f (x) ∈ Y }
-3-
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Rechenregeln (f : A −→ B , X1 , X2 ⊂ A , Y1 Y2 ⊂ B)
(R1)
X1 ⊂ X2 =⇒ f (X1 ) ⊂ f (X2 )
(R2)
f (X1 ∪ X2 )
=
f (X1 ) ∪ f (X2 )
(R3)
f (X1 ∩ X2 )
⊂
f (X1 ) ∩ f (X2 )
(R4)
Y1 ⊂ Y2 =⇒ f −1 (Y1 ) ⊂ f −1 (Y2 )
(R5)
f −1 (Y1 ∪ Y2 )
=
f −1 (Y1 ) ∪ f −1 (Y2 )
(R6)
f −1 (Y1 \ Y2 )
=
f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 ) , falls Y2 ⊂ Y1 .
Bezeichnungen:
Quantoren
Notation
Sprechweise
∀a ∈ A
für alle Elemente a in A“
”
es existiert a ∈ A“
”
es existiert genau ein a ∈ A“
”
für alle a ∈ A ist P wahr“
”
für alle Elemente a ∈ A gilt Aussage P“
”
für alle Elemente a ∈ A gilt Aussage P“
”
∃a ∈ A
∃!a ∈ A
∀a ∈ A(P )
∀a ∈ A(P )
∀a ∈ A : P
Bemerkung: Unter Benutzung von Quantoren lassen sich die äquivalenten
Bedingungen von Satz 1 wie folgt formulieren:
a) ∃f : A −→ B : graph f = G
b) ∀a ∈ A ∃! b ∈ B : (a, b) ∈ G
Die letzte Bedingung b) — und damit auch a) — sagt, daß eine Abbildung immer wohldefiniert (oder wohlbestimmt) ist, was man noch äquivalent
schreiben kann als
∀a, a0 ∈ A : a = a0 =⇒ f (a) = f (a0 )
-4-
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oder äquivalent als
∀a, a0 ∈ A : f (a) 6= f (a0 ) =⇒ a 6= a0 .
Definitionen:
(A, B Mengen, f : A −→ B Abb.)
f surjektiv
:⇐⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A : b = f (a)
f injektiv
:⇐⇒ ∀a, a0 ∈ A : a 6= a0 =⇒ f (a) 6= f (a0 )
f bijektiv
:⇐⇒ f injektiv und surjektiv
identische Abbildung
idA : A 3 x 7→ x ∈ A
Hintereinander–Ausführung
g ◦ f (A, B, C Mengen, f : A −→ B ,
g : B −→ C)
A 3 x 7→ g(f (x)) ∈ C
Bemerkung:
Die Injektivität läßt sich auch wie folgt charakterisieren,
∀ a, a0 ∈ A : f (a) = f (a0 ) =⇒ a = a0 .
Man beachte den Unterschied zur Wohlbestimmtheit.
Rechenregeln
(R7)
(R8)
idB ◦ f
= f ◦ idA
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
(Assoziativgesetz)
Satz 2 Sei f : A −→ B Abbildung. Es gelten folgende Äquivalenzen:
f injektiv
⇐⇒ ∃g : B −→ A : g ◦ f = idA
f surjektiv
⇐⇒ ∃g : B −→ A : f ◦ g = idB
f bijektiv
⇐⇒ ∃g : B −→ A :
g ◦ f = idA
-5-
und
f ◦ g = idB
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Definition:
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(f : A −→ B bijektiv)
Umkehrabbildung
f −1 : f −1 ◦ f = idA ,
f ◦ f −1 = idB
Bem.: f −1 ist eindeutig bestimmt.
2
Reelle Zahlen
2.1
Körperaxiome
In R sind zwei Operationen Addition“ und Multiplikation“ erklärt, d.h.
”
”
jedem Paar (a, b) von Elementen aus R ist genau ein Element a + b ∈ R
(Summe) und genau ein Element a · b ∈ R (Produkt) zugeordnet. Dabei
gelten die folgenden neun Körperaxiome.
(A1)
a + (b + c) = (a + b) + c
Assoziativität
(A2)
∃ neutrales Element der Addition 0 ∈ R ( Null“)
”
mit a + 0 = a für alle a ∈ R.
(A3)
∀ a ∈ R ∃ additiv inverses Element (−a) ∈ R mit
a + (−a) = 0.
(A4)
a+b=b+a
Kommutativität
(A5)
(ab)c=a(bc)
(A6)
∃ neutrales Element der Multiplikation 1 6= 0 ( Eins“) mit
”
a · 1 = a für alle a ∈ R.
(A7)
∀ a 6= 0, a ∈ R, ∃ multiplikativ inverses Element a−1 ∈ R mit
Assoziativität
a · a−1 = 1.
(A8)
ab=ba
(A9)
a(b + c) = ab + ac
Kommutativität
Distributivität
Folgerung 1 Die neutralen Elemente sind eindeutig bestimmt.
-6-
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Folgerung 2 Die inversen Elemente (−a) und a−1 sind eindeutig bestimmt.
Folgerung 3 Für zwei Zahlen a, b ∈ R hat die Gleichung a + x = b genau
eine Lösung x = b + (−a). Entsprechend hat die Gleichung ax = b für a 6= 0
genau eine Lösung x = a−1 b.
Folgerung 4 ab = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 01
a
:= c−1 a für c 6= 0; b − a := b + (−a).
c
a b
ad + bc a b
ab a/c
ad
Regeln des Bruchrechnens: + =
, · = ,
=
.
c d
cd
c d
cd b/d
bc
Schreibweise:
Definitionen:
(a) Sei K ein Körper. K1 ⊂ K heißt Unterkörper von K, wenn K1 mit
arithmetischen Operationen von K ein Körper ist.
(b) Seien K1 , K2 Körper. Eine Abbildung ϕ : K1 −→ K2 heißt Homomorphismus, wenn gilt:
ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y) , ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ,
x, y ∈ K .
Lemma 5 Seien K1 , K2 Körper, ϕ : K1 −→ K2 Homomorphismus. Dann
gilt:
(a) ϕ(0) = 0 , ϕ(−x) = −ϕ(x)
∀x ∈ K1 .
(b) Gibt es ein x ∈ K1 mit ϕ(x) 6= 0, so gilt
ϕ(1) = 1 und ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1
ferner ist ϕ dann injektiv.
1
∨ oder ; ∧ und (s. Anhang A)
-7-
∀x ∈ K∗1 ;
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2.2
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Anordnungsaxiome
Es existiert eine Teilmenge P von R, genannt Menge der positiven Zahlen ,
mit den nachfolgenden Eigenschaften:
(A10)
Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Beziehungen a ∈ P
oder −a ∈ P oder a = 0.
(A11)
Sind a und b aus P , so ist auch a + b aus P .
(A12)
Sind a und b aus P , so ist auch ab aus P .
Bezeichnung:
a positiv , wenn a ∈ P ; a negativ , wenn −a ∈ P .
Definition:
a > b (oder b < a), falls a − b ∈ P für a, b ∈ R. a ≥ 0 bzw. a ≤ 0, wenn
a > 0 oder a = 0 bzw. a < 0 oder a = 0.
Bezeichnung:
a heißt nichtnegativ , wenn a ≥ 0.
Trichotomiegesetz: Für je zwei reelle Zahlen a, b gilt genau eine der drei
Beziehungen
a < b, a = b, a > b .
Rechenregeln
(R1)
Aus a −b.
(R2)
Aus a 0 folgt ac < bc; aus a bc.
(R6)
Aus a 6= 0 folgt a2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0.
(R7)
Aus a > 0 folgt
(R8)
Aus 0 < a 0, aus a < 0 folgt
a
b
< 1, ab > 1 und
-8-
1
a
1
a
< 0.
> 1b .
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Bemerkungen:
1) P 6= ∅, da 1 ∈ P .
2) Es gibt außer 0 und 1 weitere Zahlen 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1 usw. Wegen
0 < 1 < 2 < 3 gilt 0 <
Bezeichnung:
1
3
<
1
2
< 1.
Arithmetisches Mittel von a und b : 12 (a + b)
Noch eine Rechenregel:
(R10)
2.3
Aus a < b folgt a < 21 (a + b) < b.
Supremum und Infimum, das Vollständigkeitsaxiom
Definition:
(∅ =
6 A ⊂ R)
(a) A heißt nach oben beschränkt
:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : a ≤ b ;
b heißt dann eine obere Schranke von A. (Schreibweise: A ≤ b)
(b) A heißt nach unten beschränkt
:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : b ≤ a ;
b heißt dann eine untere Schranke von A. (Schreibweise: b ≤ A)
(c) A heißt beschränkt
:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : −b ≤ a ≤ b ;
b heißt dann eine Schranke von A.
-9-
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Ist eine obere bzw. untere Schranke gleichzeitig Element von A, so heißt
dieses maximales Element (oder Maximum) bzw. minimales Element (oder
Minimum) von A.
Beispiele:
(a) Die Menge N der natürlichen Zahlen ist nach unten beschränkt (1 ist
Minimum).
(b) Endliche Teilmengen von R sind beschränkt.
Definitionen:
(∅ =
6 A ⊂ R)
(a) x ∈ R heißt Supremum (auch: obere Grenze) von A
:⇐⇒
i) x ist obere Schranke von A ;
ii) wenn y obere Schranke von A , dann gilt x ≤ y .
(Wir schreiben dann: x = supa∈A a oder x = sup A)
(b) x ∈ R heißt Infimum (auch: untere Grenze) von A
:⇐⇒
i) x ist untere Schranke von A ;
ii) wenn y untere Schranke, dann gilt y ≤ x .
(Wir schreiben dann: x = inf a∈A a oder x = inf A)
Folgerung 6 Sei ∅ =
6 A ⊂ R. Supremum und Infimum sind eindeutig bestimmt, falls sie existieren.
Definition:
Der Körper der reellen Zahlen ist ein Körper (R, +, ·), in dem
gilt:
(A)
(V)
R ist angeordnet durch eine Menge P ;
Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum.
- 10 -
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Bemerkungen:
1. (A) heißt Anordnungsaxiom, (V) heißt Vollständigkeitsaxiom.
2. Aus (V) folgt: Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von
R besitzt ein Infimum.
3. Nach Folgerung 2 sind Supremum und Infimum eindeutig bestimmt.
Beispiel:
Die Menge P der positiven Zahlen nach oben nicht bechränkt,
jedoch nach unten beschränkt. Es ist inf P = 0, jedoch besitzt P kein kleinstes Element.
Wir halten fest:
(a) 0 ∈ R Nullelement, −a Negatives von a ∈ R, 1 ∈ R Einselement,
a−1 Inverses von a ∈ R∗ := R \ {0}.
(b) Es ist definiert x > y :⇐⇒ x − y ∈ P ; damit auch ≥ , < , ≤ . Es
gelten die Rechenregeln (R1) – (R10) aus 2.2.
(c) Es sind induktiv definiert:
n · x : 1 · x := x ,
xn : x1 := x ,
(n + 1) · x := x + n · x ,
xn+1 := x · xn .
(d) Es ist induktiv definiert (x ∈ R∗ = R \ {0} , n ∈ N0 := N ∪ {0}):
x0 := 1 ,
x−(n+1) := x−1 · x−n .
Vorzeichen und Absolutbetrag von a ∈ R


 1 für a > 0


sgn a =
0 für a = 0



 −1 für a < 0
Definition:
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heißt Vorzeichen von a.

 a für
|a| = a · sgn a =
 −a für
a>0
a < 0.
heißt Betrag oder Absolutbetrag von a.
Für reelle Zahlen a, b gelten die folgenden Rechenregeln:
(R2)
Für a 6= 0 ist |a| > 0.
|a| = |a|.
(R3)
Es ist a = b genau dann, wenn |a| = |b| und sgn a = sgn b ist.
(R4)
sgn a · sgn b = sgn (ab) und |a||b| = |ab|.
a a
a
sgn a
= sgn und = .
Für b 6= 0 ist
sgn b
b
b
b
Dreiecksungleichung: |a + b| ≤ |a| + |b|
und Folgerung |a| − |b| ≤ |a − b|.
(R1)
(R5)
(R6)
(R7)
|a| ≤ γ ⇐⇒ −γ ≤ a ≤ γ.
Definition:
Unendlich
Wir setzen sup A = ∞ bzw. inf A = −∞ wenn A nicht nach oben
beschränkt bzw. A nicht nach unten beschränkt ist.
R̄ = R ∪ {−∞, ∞}erweiterte Zahlengerade.
Rechenregeln für −∞, ∞(x ∈ R):
∞ + x = ∞,
−∞ + x = −∞
∞ · x = ∞ für x > 0, ∞ · x = −∞ für x < 0
x
x
=
=0
∞
−∞
∞+∞=∞·∞=∞
Beachte, dass ∞ − ∞ und 0 · ∞ nicht definiert sind.
- 12 -
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Definitionen:
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Intervalle (a, b ∈ R, a < b)
[a, b] := {x ∈ R| a ≤ x ≤ b}
abgeschlossenes Intervall,
(a, b) := {x ∈ R| a < x < b}
offenes Intervall,
[a, b) := {x ∈ R| a ≤ x < b}
(nach rechts) halboffenes Intervall,
(a, b] := {x ∈ R| a < x ≤ b}
(nach links) halboffenes Intervall.
(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a},
[a, ∞) := {x ∈ R|x ≥ a}
abgeschlossene unbeschränkte Intervalle;
(−∞, a) := {x ∈ R|x < a},
(a, ∞) := {x ∈ R|x > a}
offene unbeschränkte Intervalle.
Ein Interval heißt kompakt, wenn es beschränkt und abgeschlossen
ist.
Definitionen:
Umgebungen
Bε (a) := (a − ε, a + ε) ε-Umgebung von a (ε > 0)
U heißt Umgebung von a, wenn ein ε > 0 existiert mit Bε (a) ⊂ U.
Definitionen:
N0 = {0, 1, 2, 3, . . . , }
Z = {z ∈ R|z ∈ N0 oder − z ∈ N0 } ganze Zahlen
Q = {x ∈ R|x löst px = q mit p, q ∈ Z, p 6= 0} rationale Zahlen
Bemerkung:
Q erfüllt auch Körper- und Anordnungsaxiome; Q ist auch
ein archimedisch angeordneter Körper. Aber nicht jede nach oben (bzw. nach
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unten) beschränkte Menge in Q besitzt ein Supremum (bzw. in Infimum) in
Q.
Beispiel:
A = {x ∈ Q| x2 < 2}, B = {y ∈ Q| y 2 > 2}
A enthält keine größte Zahl“ (in Q) und A ist nach oben beschränkt (z.B.
”
durch 2).
B enthält keine kleinste Zahl“ (in Q) und B ist nach unten beschränkt.
”
Satz 7 Es gibt keine rationale Zahl x mit x2 = 2.
2.4
Natürliche Zahlen, Prinzip der vollständigen Induktion
Bezeichnung: (0, 1 ∈ R)

2
3
4
 z }|
{ z }| { z
}|
{
N = 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, · · · ,



⊂R

N0 := {0, 1, 2, 3, · · · , }
Definition:
M ⊂ N ist induktiv , wenn 1 ∈ M und, für x ∈ M , ist x + 1 ∈ M .
Bemerkung:
N und N0 sind induktiv. x + 1 heißt Nachfolger“ von x.
”
Eigenschaften von N: Gilt für M ⊂ N
a) 1 ∈ M und
b) x ∈ M =⇒ x + 1 ∈ M
dann ist M = N.
Diese Eigenschaft heißt Prinzip der vollständigen Induktion“ oder Induk”
”
tionsprinzip“ .
Darauf beruht die
- 14 -
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Beweismethode der vollständigen Induktion“:
”
Eigenschaft E(n) ist richtig ∀ n ∈ N, wenn:
a) E(1) ist richtig ( Induktionsverankerung“ oder Induktionsanfang“
”
”
(IA)).
b) Für jedes k ist unter E(k) (i.e. Induktionsvoraussetzung“ (IV) oder
”
Induktionsannahme“) zu zeigen, dass auch E(k + 1) (i.e. Indukti”
”
onsbehauptung“ oder Induktionsschluss“ (IS)) richtig ist.
”
Darauf beruht auch die induktive Definitionsmethode“ :
”
Eine Eigenschaft E auf den natürlichen Zahlen N ist definiert, wenn:
a) E(1) ist definiert.
b) Falls E(k) definiert ist, läßt sich E(k + 1) definieren.
Beispiel:
Potenzen x1 = x, xn+1 = x · xn ; Fibonacci-Zahlen Fn .
Bemerkungen:
1) Das Induktionsprinzip ist äquivalent zur Aussage, dass jede nichtleere
Menge aus N ein kleinstes Element besitzt.
2) Die vollständige Induktion kann auch bei 0 oder einer anderen Zahl
k0 > 0 beginnen.
Beispiele:
1) Induktiv beweist man die Summenformel : 1 + 2 + · · · + n =
- 15 -
n(n + 1)
.
2
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2) Nicht richtig ist die Aussage A(n) : Sind n reelle Zahlen gegeben, so
”
sind sie alle gleich“. A(1) ist zwar richtig und man könnte von A(n)
auf A(n + 1) schließen, jedoch ist A(1) eine leere Aussage und ohne
Bedeutung; A(2) z.B. ist falsch.
Eigenschaften von N0 :
(a) Es ist n = 0 oder n ≥ 1.
(b) m, n ∈ N0 =⇒ m + n ∈ N, m · n ∈ N0 .
(c) Falls m ≤ n, dann n − m ∈ N0 .
(d) Zwischen n und n + 1 liegt keine weitere natürliche Zahl.
Satz 8 N0 ist wohlgeordnet“, d. h.
”
∀V ⊂ N0 , V 6= ∅, ∃k ∈ V
2.5
∀x ∈ V : x ≥ k .
Einfache Anzahlaussagen
Bezeichnung:
Nn = {1, . . . , n}
Definitionen:
(A 6= ∅ Menge)
a) A hat n Elemente, genau wenn es eine Bijektion f : A −→ Nn gibt.
Wir schreiben: card A = n oder #A = n. A heißt endliche Menge.
b) A heißt unendliche Menge, genau wenn es für kein n ∈ N eine Bijektion f : A −→ N gibt. Wir schreiben: #A = ∞.
c) A heißt abzählbar unendlich, genau wenn es eine Bijektion f : A −→ N
gibt.
- 16 -
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Beispiele:
1)
#Nn = n
2)
G := {m ∈ N|∃k ∈ N : m = 2k}
gerade Zahlen
G ist abzählbar unendlich;
Bijektion f : G 3 2k 7→ k ∈ N.
3)
G := {a, b, c} ,
M := {d, e} ,
F = {f |f : G −→ M Abb.}
#F = 8
Lemma 9
(M, N endliche Mengen). Es gelten die folgenden Aussagen:
1)
∃ Bijektion g : M −→ N =⇒ #M = #N
2)
M ∩ N = ∅ =⇒ #(M ∪ N ) = #M + #N
3)
#(M × N ) = #M · #N
Satz 10 Sei M endliche Menge, #M =: m. Dann gilt für die Potenzmenge
#P (M ) = 2m .
Definitionen:
(M endliche Menge). Jede bijektive Abb. f : M −→ M heißt Permutation. Die Menge
SM := {f : M −→ M |f bijektiv}
heißt symmetrische Gruppe von M .
Satz 11 Seien M, N endliche Mengen, m := #M , n := #N , und m ≤ n.
Dann gibt es genau
n · (n − 1) · · · · (n + 1 − m)
injektive Abbildungen f : M −→ N .
- 17 -
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Definition:
1
Y
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Produkte (induktiv)
k = 1,
k=1
n+1
Y
k=
k=1
Definition:
n
Y
!
k (n + 1)
k=1
n–Fakultät n!
0! = 1, 1! := 1 ,
Folgerung 12
(n + 1)! := (n + 1) · n!
(m := #M )
#SM = m!
Wir bezeichnen mit I eine Indexmenge, d.h. eine endliche oder unendliche
Teilmenge von N; auch I = N ist möglich.
Definition:
[
(Xi ⊂ C Mengen für i ∈ I)
Xi = {x ∈ C | x ∈ Xi für mindestens ein i}
i∈I
\
Xi = {x ∈ C | x ∈ Xi für alle i ∈ I}
i∈I
Für die Komplemente Xi0 = C \ Xi von Xi (in C) gelten die folgenden Re”
geln von de Morgan“:
!0
[
Xi
=
i∈I
\
Xi0
i∈I
!0
\
Xi
i∈I
2.6
=
[
Xi0
i∈I
Primzahlen
Definition:
m teilt n (m|n), genau wenn ∃k ∈ N : m · k = n
- 18 -
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Rechenregeln
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(m, n, k ∈ N)
(R1)
m|n =⇒ m ≤ n
(R2)
m|n , n|k =⇒ m|k
(R3)
m|n , m|k =⇒ m|(in + jk) ∀i, j ∈ N
Definition:
p 6= 1
p ∈ N Primzahl , falls
und ∀m ∈ N gilt die Aussage: m|p =⇒ m = 1 ∨ m = p .
Falls q ∈ N , q 6= 1 keine Primzahl, dann heißt q
zusammengesetzte Zahl .
Satz 13
a) Jede Zahl m ∈ N , m 6= 1, ist entweder Primzahl oder ein
Produkt von Primzahlen ( Faktorisierung in Primzahlen“)
”
b) Die Faktorisierung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Satz 14 Die Menge der Primzahlen ist nicht endlich.
Bemerkung:
2.7
n
pn < 22 , wobei pn = n–te Primzahl.
Der Satz von Archimedes
Satz 15 (Satz von Archimedes) ∀a, b ∈ R , a > 0 , ∃n ∈ N : n · a > b.
Bemerkung:
R ist ein archimedisch angeordneter Körper.
Folgerung 16 ∀a ∈ R , a > 0 , ∃n ∈ N :
1
< a.
n
Folgerung 17 ∀a, b ∈ R , a 0 ∃q ∈ Q : |x − q| < ε.
- 19 -
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Lemma 19 (Charakterisierung eines Supremums) Sei A ⊂ R , A 6=
∅ , A nach oben beschränkt, x ∈ R obere Schranke von A. Dann sind äquivalent:
(a) x = supa∈A a ,
(b) ∀ ε > 0 ∃a ∈ A : x − ε ≤ a.
Analog ist das Infimum einer nach unten beschränkten Menge charakterisiert
durch
(a) y = inf a,
a∈A
2.8
(b) ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a ≤ y + ε .
Die Quadratwurzel
Satz 20 ∀b > 0 ∃! x ∈ R : x > 0 , x2 = b.
Bezeichnung:
Bemerkung:
√
oder x = b (Quadratwurzel von b).
√
Für x := − b gilt auch x2 = b .
x = b1/2
Satz 21 ∀a ∈ R, a > 0, ∀n ∈ N, n ≥ 2 ∃! x ∈ R, x > 0 mit xn = a.
Bezeichnung:
2.9
x := a1/n (n-te Wurzel von a).
Permutationen und Binomialkoeffizienten
Frage: Wieviele Möglichkeiten gibt es, N Objekte auf r Plätze zu verteilen?
Antwort: N · (N − 1) · · · (N + 1 − r) =
Frage:
N!
(N − r)!
Wieviele Teilmengen von A , #A = N , mit r (≤ N ) Elementen
können ausgewählt werden?
Antwort: in Satz 22.
- 20 -
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Satz 22 Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge von N Elementen
Teilmengen mit r Elementen auszuwählen, ist gegeben durch
cN,r :=
Definition:
N!
(N − r)! r!
Binomialkoeffizienten
n
n!
n · (n − 1) · · · (n − k + 1)
:=
=
k
(n − k)! k!
k!
Satz 23
n
n
n
=
=1,
=n,
1 0 n
n−1
n−1
n
=
+
k−1
k
k
n
n
=
,
k
n−k
Am
besten be
rechnet man
die Binomialkoeffi
zienten mittels der Rekur
sion des vorstehenden Satzes, wo
bei man die Ergebnisse der einzelnen
Rekursionsschritte wie im folgenden Schema,
dem
Pascalschen Dreieck ,
notiert:
- 21 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
1
1
10
11
45
55
15
28
36
120
15
70
210
1
6
21
56
126
252
462
1
5
35
126
330
4
20
56
1
10
35
84
165
6
10
21
1
3
4
6
8
3
5
7
2
7
28
84
210
462
1
1
8
36
120
330
1
9
45
165
1
10
55
1
11
1
(jede Zahl ist die Summe der beiden links und rechts darüberstehenden).
Bekannt war dieses Dreieck schon den Arabern im 13. Jahrhundert, weiter
studiert haben es insbesonders Stiefel (1544) und Pascal (1659).
Satz 24 (Binomischer Lehrsatz) Seien a, b ∈ R , n ∈ N. Es gilt
n X
n n−k k
n
a
b .
(a + b) =
k
k=0
Folgerung 25 (Bernoullische Ungleichung)
(1 + a)n ≥ 1 + na
∀a > −1 .
Beispiele:
1. Wähle zufällig 4mal aus den Ziffern {0, . . . , 9} eine Ziffer aus. Wie
groß ist die (Laplace–) Wahrscheinlichkeit, lauter verschiedene Ziffern
zu erhalten?
- 22 -
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Definition:
Die (Laplace–)Wahrscheinlichkeit durch einen Zufalls”
mechanismus“ aus einer endlichen Menge X ein Element einer Teilmenge B , B ⊂ X, auszuwählen, ist definiert durch
PL (B) :=
#B
.
#X
A = {0, . . . , 9} , X = A × A × A × A,
Im Beispiel:
B = {(w, x, y, z) ∈ X|w, x, y, z
paarweise verschieden} .
Es gilt #X = 104 , #B = 10!/(10 − 4)! = 5040, also PL (B) = 0.504.
2. (ATP-WM) 2 Gruppen mit je 4 (Tennis–)Spielern.
Frage: Wieviele Spiele müssen pro Gruppe gespielt werden, damit
jeder einmal gegen jeden (seiner Gruppe) spielt?
4
4·3
=6.
Antwort:
=
1·2
2
3. Für a = b = 1 folgt aus dem binomischen Lehrsatz
n X
n
k=0
k
= 2n .
Dies ist bekanntlich die Anzahl aller Teilmengen von {1, · · · , n}.
Definitionen:
Summe
Produkt
1
X
ν=1
1
Y
ν=1
( (R, +, ·) Körper der reellen Zahlen, aν ∈ R)
aν := a1
aν := a1
,
,
n+1
X
ν=1
n+1
Y
ν=1
aν :=
aν :=
n
X
ν=1
n
Y
ν=1
- 23 -
aν + an+1 ,
aν · an+1 ,
n
X
ν=m
n
Y
ν=m
aν = 0 , falls n < m;
aν = 1, falls n < m .
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(a1 , . . . , am+n ∈ R, a ∈ R, b1 , . . . , bm ∈ R)
Rechenregeln
(R1)
m
X
aν +
ν=1
(R2)
a·
n
X
(R3)
(R4)
n
X
am+ν =
ν=1
aν =
ν=1
m
X
n
X
(R8)
(R9)
m
Y
ν=1
m
Y
µ=1
aν ·
aν ·
a·
n
Y
3.1
Q
n
Y
aν
µ=1
µ=1
ν=1
gelten analoge Regeln:
bν
ν=1!
ν=1
ν=m+1
n
X
ν=1
am+ν =
ν=1
m
Y
m
Y
ν=m+1
3
a · aν
m
X
bν =
(aν + bν )
ν=1



!ν=1 m ν=1
!
n
n
m
m
n
X
X
X
X
X
X

aν · 
bµ  =
aν · bµ  =
aν · bµ
aν +
ν=1
(R7)
aν
ν=1
ν=1
Für das Produkt
(R6)
m+n
X
m
X
ν=1
(R5)
Analysis, Arbeitsmaterialien
=
=
m+n
Y
m
Y
aν ;
ν=1
(aν · bν ) ;
ν=1
m
Y
(a1/m · aν ) , falls a > 0 ;
ν=1
an
aν
=
, falls m < n ( Teleskopprodukt“);
”
aν−1
am
(aν − aν−1 ) = an − am , falls m < n ( Teleskopsumme“).
”
Der Körper der komplexen Zahlen
Einführung
Da der Körper der reellen Zahlen angeordnet ist, gibt es keine Lösung a ∈ R
von a2 = −1 (Quadrate müssen in angeordneten Körpern positiv sein!)
Die Lösbarkeit von x2 = −1 ist äquivalent zu
x2 + 1 = 0 .
- 24 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
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Allgemein interessiert man sich für Nullstellen von Polynomen vom Höchstgrad n ≥ 2,
n
X
f : R −→ R f (x) =
ak xk ,
(
Pn :=
x∈R ,
k=0
mit a0 , . . . , an ∈ R .
Ziel: Erweiterung von R so, daß obige Gleichung lösbar ist; Rechnen mit
√
der imaginären Einheit i = −1.
3.2
Der Körper C
(R2 := R × R)
Definitionen:
Addition
+ : R2 × R2 3 ((x, y), (u, v)) 7→ (x + u, y + v) ∈ R2
Multiplikation
· : R2 × R2 3 ((x, y), (u, v)) 7→ (xu − yv, xv + yu) ∈ R2
Satz 1 (R2 , +, ·) ist ein Körper mit Nullelement 0 := (0, 0) und Einselement
1 := (1, 0).
Das Inverse (u, v) von (x, y) 6= (0, 0) ist gegeben durch
Bemerkung:
u :=
Definition:
x2
x
,
+ y2
v=
−y
+ y2
x2
C = Körper (R2 , +, ·) ;
i := (0, 1) heißt imaginäre Einheit
Folgerung 2
(a) C ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über dem Körper R mit Addition
wie oben und skalarer Multiplikation r · (x, y) := (rx, ry). Basis: 1 =
(1, 0) , i = (0, 1).
- 25 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
(b) C ist ein 1-dimensionaler Vektorraum über dem Körper C. Basis: 1 =
(1, 0).
Schreibweise: z = (x, y) ∈ C ,
z = x + iy
Definitionen:
x = Re(z)
Realteil von z
y = Im(z)
Imaginärteil von z
Schreibweisen:
1 statt (1, 0) bzw. 1 + i · 0 ,
0 statt (0, 0) bzw. 0 + i · 0 ,
x statt (x, 0) bzw. x + i · 0 ,
ix statt (0, x) bzw. 0 + ix .
Folgerung 3
∀a ∈ R ∃z ∈ C : z 2 + a = 0 .
ι : R 3 x −→ x + i · 0 ∈ C ist injektiver Homomorphismus,
Bemerkung:
so dass R als Unterkörper von C aufgefasst werden kann.
3.3
Der Absolutbetrag in C
Definitionen:
(a) Zu z = x + iy ∈ C heißt z := x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.
(b) Die Abbildung
| · | : C 3 x + iy 7→ (x2 + y 2 )1/2 ∈ R
heißt der Absolutbetrag (Betragsfunktion) in C.
- 26 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
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Rechenregeln
(R3)
z 1 + z 2 = z1 + z2 , z 1 z2 = z1 · z2 , z = z ;
1
−i
Re(z) = (z + z) , Im(z) =
(z − z) ;
2
2
|z| = |z| = (z · z)1/2 ;
(R4)
Re(z) ≤ |z| , Im(z) ≤ |z| .
(R1)
(R2)
Folgerung 4 Für |.| gilt
(a)
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
(Definitheit)
(b)
|zw| = |z| |w|
(Homogenität)
(c)
|z + w| ≤ |z| + |w|
∀z, w ∈ C
∀z, w ∈ C
(Dreiecksungleichung)
Darstellung in komplexer Zahlenebene
(auch Gaußsche Zahlenebene genannt):
Im 6
y
z
>
Z
Z
-y
- 27 -
x
Z
~ z̄
Z
-
Re
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4
Analysis, Arbeitsmaterialien
Zahlenfolgen
4.1
Folgen
Definition:
Sei M nichtleere Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung
f : N −→ M . Wir schreiben
a = (an )n∈N
mit
an := f (n) , n ∈ N .
Die Elemente an , n ∈ N, heißen Glieder der Folge.
Eine Folge (an )n∈N in M := R bzw. M := C heißt reelle bzw. komplexe
Zahlenfolge.
Bis auf weiteres sei jede Folge eine reelle Zahlenfolge.
Beispiele:
1. an := n2 ,
2. an := a ,
n ∈ N : 1, 4, 9, 16, . . .
n ∈ N : a, a, a, . . .
konstante Folge
3. an := (−1)n n ,
n ∈ N : −1, 2, −3, 4, . . .
4. an := 1 + (−1)n ,
5. an :=
1
,
n
6. a1 := 1 ,
n ∈ N : 0, 2, 0, 2, . . .
1 1 1
n ∈ N : 1, , , , . . .
2 3 4
an+1 :=
7. a1 := a2 := 1 ,
1
,
1 + an
1 2 3
n ∈ N : 1, , , , . . .
2 3 5
an+1 := an + an−1 ,
Fibonacci–Zahlen
- 28 -
n ∈ N : 1, 1, 2, 3, 5, . . .
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8. an :=
1
,
(n − 1)(n − 2)
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1 1 1
n ∈ N, n ≥ 3 : , ,
.
2 6 12
Diese Folge beginnt erst ab einem n0 ∈ N : an0 , an0 +1 , . . .
Definition:
(an )n∈N heißt beschränkt
:⇐⇒ ∃b ∈ R
4.2
∀n ∈ N : |an | ≤ b .
Der Konvergenzbegriff
Definitionen:
Sei (an )n∈N Folge.
(a) (an )n∈N heißt konvergent gegen a ∈ R
: ⇐⇒
∀ε > 0 ∃N ∈ N
∀n ≥ N : |an − a| < ε.
a heißt dann Grenzwert (oder Limes) von (an )n∈N . Wir schreiben
dann
a = lim an
n
oder a = lim an
n∈N
oder an −→ a(n ∈ N) .
(b) (an )n∈N heißt konvergent, wenn (an )n∈N gegen ein a ∈ R konvergiert.
(c) (an )n∈N heißt Nullfolge
:⇐⇒ (an )n∈N konvergiert gegen 0.
Folgerung 1 Jede Folge besitzt höchstens einen Grenzwert.
Bemerkung:
Konvergiert die Folge (an )n∈N gegen a, so kann man wegen
Folgerung 1 sagen:
Für jedes ε > 0 liegen nur endlich viele Glieder der Folge außerhalb von
(a − ε, a + ε).
Oder: Für jedes ε > 0 liegen fast alle an in (a − ε, a + ε).
- 29 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Folgerung 2 Ist die Folge (an )n∈N konvergent, so ist (an )n∈N beschränkt.
Definition:
Ist eine Folge (an )n∈N nicht konvergent, so sagen wir: (an )n∈N
ist divergent.
Beispiele:
1. an := n2 ,
n ∈ N, ist divergent, da nicht beschränkt.
2. an := a , n ∈ N, ist konvergent gegen a.
3. an := 1 + (−1)n , n ∈ N, ist divergent, da |an − an+1 | = 2 ∀n ∈ N.
4. an :=
1
, n ∈ N, ist Nullfolge.
n
5. an := an , n ∈ N, mit |a| < 1 ist Nullfolge.
4.3
Rechenregeln
Satz 3 Seien (an )n∈N , (bn )n∈N konvergente Folgen, a = lim an , b = lim bn ,
n
n
und λ ∈ R.
Es gilt:
(a) (an bn )n∈N ist konvergent, ab = lim(an bn ).
n
(b) (an + bn )n∈N ist konvergent, a + b = lim(an + bn ).
n
(c) (λan )n∈N ist konvergent, λa = lim(λan ).
n
Bemerkung:
Auch die Differenz konvergenter Folgen konvergiert.
Satz 4 Seien (an )n∈N , (bn )n∈N konvergente Folgen, a = lim an , b = lim bn .
n
Sei b 6= 0. Dann gilt:
- 30 -
n
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(a) ∃N0 ∈ N
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∀n ≥ N0 : bn 6= 0;
(b) (an b−1
n )n≥N0 ist konvergent und
ab−1 = lim an b−1
n .
n≥N0
Beispiele:
1. Potenzsummen
n
X
k l , n ∈ N , l ∈ N0 fest, sind divergent.
k=1
3
3n2 + 1
−→
(n ∈ N) .
2
2n − n + 1
2
n −k
1
(n ∈ N) , k ∈ N.
3. an :=
n −→
k!
k
2. an :=
4. an :=
2n−1
Y i=n
1
1+
i
5. an := nk an ,
−→ 2
(n ∈ N) .
n ∈ N , k ∈ Z , a ∈ (−1, 1) : lim an = 0 .
n
Satz 5 Seien (an )n∈N , (bn )n∈N Folgen. Es gilt:
(a) Ist (an )n∈N eine Nullfolge und (bn )n∈N beschränkt, so ist auch (an bn )n∈N
eine Nullfolge.
(b) Seien (an )n∈N , (bn )n∈N konvergent, und es gelte an ≤ bn ∀n ∈ N.
Dann gilt lim an ≤ lim bn .
n
n
(c) Seien (an )n∈N , (bn )n∈N konvergent mit a := lim an = lim bn . Gilt für
n
n
eine Folge (cn )n∈N , daß an ≤ cn ≤ bn ∀n ≥ N0 , dann konvergiert auch
(cn )n∈N und a = lim cn ( Sandwich–Theorem“).
”
n
Bemerkung zu (b): Wenn an < bn ∀ n ∈ N, dann gilt auch (nur) lim an ≤ lim bn .
n
- 31 -
n
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Beispiel:
6. Fibonacci–Zahlen
F1 := F2 = 1 ,
Fn+1 := Fn + Fn+1 .
Man beweist induktiv, daß
1
Fn = √ τ n − (−τ )−n , n ∈ N ,
5
mit
√
1
τ := (1 + 5) .
2
Daraus folgt
Fn
1 1 + (−τ )−2n (−1)n
1
=
−→ = τ − 1 ≈ 0.618 .
−2n
n
Fn+1
τ 1 − (−τ )
(−1)
τ
Die Folge an = Fn /Fn+1 , n ∈ N, erhält man auch durch
a1 := 1, an+1 :=
1
, n ∈ N.
1 + an
Konvergiert diese Folge – was später bewiesen wird – und gilt a :=
√
lim an 6= −1, dann folgt a = 1/(1 + a) ⇐⇒ a = 1 − a, und für
1 √
die positive Wurzel erhält man a = ( 5 − 1) ≈ 0.618 ( goldener
”
2
Schnitt“).
4.4
Konvergenzkriterien
Definitionen:
Eine Zahlenfolge (an )n∈N heißt
(a) monoton wachsend, falls an ≤ an+1
(b) monoton fallend, falls an ≥ an+1
∀n ∈ N ;
∀n ∈ N ;
(c) streng monoton wachsend, falls an < an+1
(d) streng monoton fallend, falls an > an+1
- 32 -
∀n ∈ N ;
∀n ∈ N .
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Beispiele:
n −k
1. an :=
n , n ∈ N , ist streng monoton wachsend für jedes k ∈
k
N.
1 n
2. an := 1 +
, n ∈ N , ist streng monoton wachsend.
n
P
3. (endliche geometrische Reihe). Für q 6= 1 sei an := nk=0 q k . Man zeigt
induktiv:
an =
1 − q n+1
.
1−q
Satz 6 Jede beschränkte, monoton wachsende (fallende) Folge ist konvergent.
1 n
ist monoton wachsend und beschränkt,
Beispiel: an := 1 +
n
1 n
2< 1+
≤3.
n
Damit ist (an )n∈N konvergent und für den Limes gilt
1 n
2 ≤ lim 1 +
≤3.
n
n
1 n
heißt Eulersche Zahl.
Definition: e := lim 1 +
n
n
Definition:
Sei (an )n∈N eine Folge und (µk )k∈N eine streng monoton
wachsende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (aµk )k∈N Teilfolge
von (an )n∈N .
Folgerung 7 Sei (an )n∈N konvergent und (aµk )k∈N eine Teilfolge. Dann ist
auch (aµk )k∈N konvergent und es gilt
lim aµk = lim an .
k
n
- 33 -
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Satz 8 (Satz von Bolzano–Weierstrass) Jede beschränkte Folge enthält
eine konvergente Teilfolge.
Definition:
Eine Folge (an )n∈N heißt Cauchy–Folge, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m, n ≥ N : |an − am | < ε.
Satz 9 Eine Folge (an )n∈N ist dann und nur dann konvergent, wenn sie
Cauchy–Folge ist.
Bemerkungen:
1. Jede Cauchy–Folge ist beschränkt.
2. Das Vollständigkeitsaxiom (V) kann man ersetzen durch das Axiom:
Jede Cauchy–Folge konvergiert.
3. Die Aussage von Satz 9 heißt auch das Cauchysche Konvergenzkriterium.
Beispiel 1: (vgl. Beispiel 6 in 4.3)
Betrachte die induktiv definierte Folge
a1 := 1 ,
an+1 :=
1
,
1 + an
n∈N.
(an )n∈N ist Cauchy–Folge.
n
X
1
Beispiel 2: an =
, n ∈ N, ist keine Cauchy-Folge, also divergent.
k
k=0
4.5
Wurzelberechnung
Satz 10 Seien b > 0 , q ∈ N , q ≥ 2. Dann existiert genau ein x > 0 mit
xq = b und für die induktiv definierte Folge
1
1 b
q
a1 > 0 mit a1 ≥ b , an+1 := 1 −
an +
q
q aq−1
n
- 34 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
gilt:
x = lim an .
n
Schreibweise: x =
Bemerkung:
b
oder
x = b1/q .
1
1 b
.
an+1 := an +
2
2 an
Häufungswerte
Definition:
:⇐⇒
√
q
Für q = 2 lautet die Vorschrift:
a21 ≥ b ,
4.6
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∀ε > 0
a ∈ R heißt Häufungswert der Folge (an )n∈N
∀N ∈ N ∃n ≥ N : |an − a| < ε .
Bemerkung:
1. a ∈ R ist Häufungswert von (an )n∈N , genau wenn für jedes ε > 0 in
(a − ε, a + ε) unendlich viele Glieder an liegen.
2. Man beachte den Unterschied von 1. zu konvergenten Folgen (dort:
fast alle an in (a − ε, a + ε)“).
”
Satz 11 Sei (an )n∈N Folge und a ∈ R. Dann sind äquivalent:
(a) a ist Häufungswert von (an )n∈N .
(b) Es gibt eine konvergente Teilfolge (aµk )k∈N von (an )n∈N mit a = lim aµk .
k
Folgerung 12 Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungswert.
Folgerung 13 Sei (an )n∈N konvergente Folge und a := lim an . Dann ist a
n
der einzige Häufungswert von (an )n∈N .
- 35 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Beispiele:
1. an := (−1)n , n ∈ N , hat Häufungswerte 1 und -1 .

 1 , n ungerade ,
1 ist einziger Häufungswert von (an )n∈N ,
2. an :=
 n , n gerade .
aber die Folge (an )n∈N ist divergent.
Folgerung 14 Ist (an )n∈N eine beschränkte Folge, dann ist die Menge der
Häufungswerte von (an )n∈N nichtleer und beschränkt.
Definition: Sei (an )n∈N eine beschränkte Folge und H := {a ∈ R|a Häufungswert von
(an )n∈N }. Wir setzen:
lim an := lim sup an := sup a Limes superior
n
n∈N
a∈H
lim an := lim inf an := inf a Limes inferior
n∈N
n
a∈H
Folgerung 15 Sei (an )n∈N beschränkte Folge. Dann sind lim an und lim an
n
n
Häufungswerte von (an )n∈N .
Folgerung 16 Sei (an )n∈N beschränkte Folge und H die Menge ihrer Häufungswerte. Dann sind für a ∈ R äquivalent:
(a) (an )n∈N konvergiert gegen a.
(b) H = {a}.
(c) a = lim an = lim an .
n
n
Folgerung 17 (s. Forster 1 [For01], Satz 9.4) Sei (an )n∈N beschränkte Folge.
a = lim an dann und nur dann, wenn
n
- 36 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
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i) ∀ ε > 0∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≤ a + ε
ii) ∀ ε > 0 ∀ n ∈ N ∃m ≥ n : am ≥ a − ε
Analog: a = lim an dann und nur dann, wenn
n
i) ∀ ε > 0∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≥ a − ε
ii) ∀ ε > 0 ∀ n ∈ N∃m ≥ n : am ≤ a + ε
Wir geben noch folgende Charakterisierung von lim und lim an (vgl. Forster
1 [For01], §9):
Satz 18 (Charakterisierung von lim und lim)
Sei (an )n∈N beschränkte Folge, und
bn := inf{ak |k ≥ n},
n ∈ N,
cn := sup{ak |k ≥ n},
n ∈ N.
Dann ist (bn )n∈N beschränkt und monoton wachsend bzw. (cn )n∈N beschränkt
und monoton fallend und
lim bn = lim an ,
n
4.7
n
lim cn = lim an .
n
n
Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen
Konvergenz–Aussagen können analog auf komplexe Zahlenfolgen übertragen
werden, wenn der Absolutbetrag in R durch den in C ersetzt wird. Wegen
|z| = (Re(z)2 + Im(z)2 )1/2 ,
z∈C,
konvergiert eine Folge (zn )n∈N in C gegen ein z ∈ C, genau wenn (Re(zn ))n∈N
gegen Re(z) und (Im(zn ))n∈N gegen Im(z) konvergieren. Aussagen, die sich
auf die Anordnung in R beziehen, sind in C nicht formulierbar.
- 37 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
5
Analysis, Arbeitsmaterialien
Reihen
5.1
Konvergenz von Reihen
Wir nennen
P∞
k=1 ak
(sn )n∈N ,
eine Reihe und
sn :=
n
X
ak ,
n∈N,
k=1
die Folge der zugehörigen Partialsummen.
Definition:
Die Reihe
P∞
k=1 ak
heißt konvergent genau dann, wenn die
Folge (sn )n∈N ihrer Partialsummen konvergiert; s = lim sn heißt Summe
n
(oder Wert) der Reihe. Wir schreiben
s :=
∞
X
ak .
k=1
Wenn
P∞
k=1 ak
nicht konvergiert, dann heißt die Reihe divergent.
Beispiele:
∞
X
1
ist konvergent, da die Folge der Partialsummen monoton wach1.
k2
k=1
send und beschränkt ist.
2. Geometrische Reihe: Sei a ∈ R , |a| < 1.
sn =
n
X
ak =
k=0
Für |a| ≥ 1 ist
∞
X
1 − an+1
,
1−a
∞
lim sn =
n
ak divergent.
k=0
∞
X
1
3. Die harmonische Reihe
ist divergent.
k
k=1
- 38 -
X
1
=
ak .
1−a
k=0
Analysis, Arbeitsmaterialien
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Bemerkung:
1. Zu einer Folge (an )n∈N kann man durch b1 := a1 , bn := an −an−1 , n ≥
P
Pn
2, eine Reihe ∞
k=1 bk so konstruieren, so daß an =
k=1 bk .
2. Für den Grenzwert einer Folge spielen endliche viele Glieder keine
Rolle; ändert man endlich viele Glieder von an , n ∈ N, so kann sich
allerdings der Wert der Reihe ändern.
3. Analog zu Reihen können unendliche Produkte als Folgen von Partialsummen endlicher Produkte definiert werden.
Rechenregeln Seien
∞
X
(R1)
(ak ± bk ) =
k=1
∞
X
(R2)
k=1 ak
∞
X
(λak ) = λ
,
ak ±
k=1
k=1
5.2
P∞
∞
X
P∞
k=1 bk
∞
X
konvergent.
bk ;
k=1
ak .
k=1
Konvergenzkriterien
Satz 1 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die folgenden Bedingungen sind
äquivalent:
(a)
∞
X
ak konvergiert;
k=1
n
X ak < ε .
(b) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n, m ≥ N , n ≥ m : k=m
Folgerung 2 Ist
Bemerkung:
P∞
n=1 an
konvergent, so ist (an )n∈N eine Nullfolge.
Die Umkehrung von Folgerung 2 gilt nicht (siehe harmoni-
sche Reihe)!
- 39 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Satz 3 (Leibniz–Kriterium für alternierende Reihen)
Sei (an ) eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert
P∞
k
k=1 (−1) ak ,
und es gilt
s2n+1 ≤ s ≤ s2n ,
wobei
sn :=
n
X
k
(−1) ak ,
s :=
∞
X
(−1)k ak .
k=1
k=1
Beispiel:
1. Die alternierende harmonische Reihe
∞
X
k=1
(−1)k
1
ist konvergent.
k
2. Die Reihe mit an := 1/k, falls n gerade bzw. an = 1/(2(k − 1)), falls
n ungerade, divergiert. Was ist im Hinblick auf das Leibniz-Kriterium
nicht erfüllt?
P
Definition:
Eine Reihe ∞
k=1 ak heißt absolut konvergent genau dann,
P∞
wenn k=1 |ak | konvergiert.
Folgerung 4 Jede absolut konvergent Reihe ist konvergent.
Satz 5 (Majoranten–Kriterium)
Seien (an )n∈N , (bn )n∈N Folgen mit |an | ≤ bn , n ∈ N. Ist
P
gent, so ist ∞
k=1 ak absolut konvergent, und es gilt:
∞
X
k=1
ak ≤
∞
X
k=1
|ak | ≤
∞
X
bk .
k=1
- 40 -
P∞
k=1 bk
konver-
Analysis, Arbeitsmaterialien
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Beispiele:
2.
∞
X
1
ist (absolut) konvergent.
k3
k=1
3.
∞
X
1
√ ist divergent.
k
k=1
Satz 6 (Quotientenkriterium)
Für die Reihe
P∞
k=1 ak
gelte:
(a) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an 6= 0 ;
(b) ∃q ∈ [0, 1) ∀n ≥ N : |an+1 | |an |−1 ≤ q .
Dann ist die Reihe
P∞
k=1 ak
absolut konvergent.
Beispiele:
4.
∞
X
k2
k=1
2k
ist konvergent
8
q = für n ≥ 3 ;
9
∞
X
1
5.
ist konvergent (s. Beispiel 1 in 5.1), das Quotientenkriterium
k2
k=1
ist hierfür jedoch nicht anwendbar.
Satz 7 (Wurzelkriterium) Gilt
∃q ∈ [0, 1) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |an | ≤ q n ,
dann ist die Reihe
P∞
k=1 ak
absolut konvergent.
Das Wurzelkriterium kann auch in folgender Weise formuliert werden.
- 41 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
p
Ergänzung: Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim sup n |an | < 1 gilt;
n→∞
p
die Reihe divergiert, wenn lim sup n |an | > 1 gilt; die Reihe kann sowohl din→∞
p
vergent als auch konvergent sein, wenn lim sup n |an | = 1 gilt. Eine analoge
n→∞
Aussage gilt für das Quotientenkriterium.
Man hat folgende Fehlerabschätzungen:
Sei
rN := s − sN =
P∞
k=N +1 bk
für die konvergente Reihe
P∞
k=1 bk .
Dann gilt für
Leibniz–Kriterium: bn = (−1)n an , (an )n∈N monoton fallende Nullfolge,
|rN | ≤ |bN +1 | ≤ aN +1 ;
Quotienten–Kriterium: |bn+1 | |bn |−1 ≤ q ∀n ≥ 1 , q ∈ [0, 1),
|rN | ≤ |bN +1 | ·
1
;
1−q
Wurzel–Kriterium: |bn | ≤ q n , n ≥ 1 , q ∈ [0, 1),
|rN | ≤ q N +1
1
.
1−q
Bemerkung: Diese (a–priori) Abschätzungen können benutzt werden, um
die Anzahl der zu berechnenden Summanden zu bestimmen, mit der eine
gewünschte Genauigkeit (sicher) erreicht wird.
Beispiele:
6.
∞
X
(−1)k
√
ist konvergent (nach Leibniz–Kriterium).
k
k=1
Die Genauigkeitsforderung |rN | ≤ ε mit ε = 10−5 ist erfüllt, wenn
|rN | ≤ √
1
≤ε,
N +1
d. h. N > 1010 .
- 42 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
7.
∞
X
k2
8 ist
konvergent
nach
dem
Quotientenkriterium,
q
=
; Feh9
2k
k=1
lerabschätzung:
|rN | ≤
5.3
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(N + 1)2
·9.
2N +1
Die Exponentialfunktion
Satz 8 Für jedes a ∈ R ist die Reihe
∞
X
1 k
a absolut konvergent.
k!
k=0
Definition:
Exponentialfunktion



 1 , falls a = 0 ,
∞
X
exp : R 3 a 7→
ak

, falls a 6= 0 .


k!
k=0
Folgerung 9
1
e = lim 1 +
n
n
=
∞
X
1
= exp(1) .
k!
k=0
Folgerung 10
N
X
ak 2|a|N +1
exp(a) −
≤
k! (N + 1)!
k=0
5.4
für
|a| ≤
N +1
.
2
Umordnung von Reihen, das Cauchy–Produkt
Beispiel:
Die Reihe
∞
X
(−1)k+1
k=1
Kriterium), aber die folgende
1 1 1
1
1− + − +
2 3 4
5
ist konvergent (nach dem Leibniz–
k
Umordnung“
”
1
1
1
1
1
1
1
+
− +
+
+
+
− + ···
7
6
9 11 13 15
8
konvergiert nicht. Es ist nämlich
2n
1
1
1
1
1
+ n
+ · · · + n+1
≥ 2n−1 n+1 =
+1 2 +3
2
−1
2
4
- 43 -
∀n ≥ 2 .
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Für die umgeordnete Reihe lassen sich die Summanden wie folgt zusammenfassen und abschätzen:
1
1
1
1
1
1
1
+ n
+· · ·+ n+1
−
≥ −
≥ , n≥9,
+1 2 +3
2
− 1 2n + 2
4 2n + 2
5
1 1
1
1
da
− =
≥
(⇐⇒ n + 1 ≥ 10) für n ≥ 9 gilt.
4 5
20
2n + 2
P
Definition: Sei τ : N −→ N eine Bijektion. Dann heißt ∞
k=1 aτ (k) eine
P∞
Umordnung von k=1 ak .
2n
Definitionen:
Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn
sie bei einer beliebigen Umordnung konvergent bleibt. Andernfalls heißen
konvergente Reihen bedingt konvergent.
P∞
absolut konvergent und τ : N −→
P
N eine Bijektion. Dann ist auch die Umordnung ∞
k=1 aτ (k) konvergent, und
Satz 11 (Umordnungssatz) Sei
k=1 ak
es gilt
∞
X
aτ (k) =
∞
X
ak .
k=1
k=1
Bemerkung: Der letzte Satz gilt ohne die absolute Konvergenz nicht
∞
X
(−1)k+1 Gegenbeispiel:
.
k
k=1
P∞
P∞
P
Definition: Seien ∞
k=1 ck mit
k=1 bk Reihen. Die Reihe
k=1 ak ,
ck :=
k
X
ak−m+1 bm ,
n∈N,
m=1
heißt das Cauchy–Produkt der Reihen
P
k
ak ,
P
k bk .
P∞
Satz 12 Das Cauchy–Produkt
k=1 ck der absolut konvergenten Reihen
P∞
P∞
k=1 ak ,
k=1 bk ist absolut konvergent, und es gilt
! ∞ !
∞
∞
X
X
X
ck =
ak
bk .
k=1
k=1
k=1
- 44 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
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Bemerkungen:
1. Für die Konvergenz eines Cauchy–Produkts reicht es aus, daß eine der
beiden beteiligten Reihen absolut konvergiert.
2. Konvergieren
P∞
k=1 ak
,
P∞
k=1 bk
und ihr Cauchy–Produkt
P∞
k=1 ck ,
so gilt
∞
X
ck =
k=1
∞
X
!
ak
k=1
∞
X
!
bk
.
k=1
Als Anwendung von Satz 12 erhält man
Folgerung 13 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)
Für alle a, b ∈ R gilt:
exp(a + b) = exp(a) exp(b) .
Folgerung 14 Es gilt
(a) exp(a) > 0
∀a ∈ R ;
(b) exp(−a) = exp(a)−1
(c) exp(n) = en
5.5
∀a ∈ R;
∀n ∈ N .
Die g–adische Entwicklung
Lemma 15 Sei g ∈ N , g ≥ 2. Dann konvergiert eine Reihe der Form
∞
X
ak g −k
mit
ak ∈ {0, . . . , g − 1} .
k=1
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Definition: Sei g ∈ N , g ≥ 2. Die Elemente {0, . . . , g−1} heißen g–adische
Ziffern zur Basis g, und
gm
∞
X
ak g −k ,
ak ∈ {0, . . . , g − 1} ,
k=1
heißt g–adische Entwicklung von x ∈ R, falls
x = gm
∞
X
ak g −k
mit
a1 6= 0 , m ∈ Z
k=1
und
∀N ∈ N ∃n ≥ N : an 6= g − 1 .
Ein Dezimalbruch 0, z1 z2 z3 · · · stellt die Zahl
Bemerkung:
z2
z3
z1
+
+
+ ···
10 102 103
dar, zi ∈ {0, . . . , 9}, und ist im obigen Sinne eine 10–adische Entwicklung
(mit m = 0 , z1 6= 0)
Satz 16 Sei g ∈ N , g ≥ 2. Jedes x ∈ R , x > 0, besitzt genau eine g–
adische Entwicklung.
Bezeichnungen:
x=g
m
N
X
Zahlen ±x ∈ R der Form
ak g −k ,
|m| ≤ M , ak ∈ {0, . . . , g − 1} , a1 6= 0
k=1
heißen abbrechende systematische Brüche zur Basis g oder Gleitkommazahlen zur Basis g mit Mantissenstellenzahl ( Genauigkeit“) N und Exponen”
tenbereich {m ∈ Z| |m| ≤ M }. Wir schreiben auch
x = ±0.a1 a2 · · · aN × g m
oder
x = ±|a1 · · · aN |m
(|m| ≤ M ; ai ∈ {0, . . . , g − 1} ; a1 6= 0)
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Für den Beweis von Satz 16 benötigt man folgende
Definition:
Gaußsche Klammer
[x] := max{k ∈ Z|k ≤ x}
Bezeichnung auch ent(x) = [x] für entier“.
”
Beispiele:
Basis
6
g = 10
:
Dezimalzahlen
g= 2
:
Dualzahlen
g= 8
:
Oktalzahlen
g = 16
:
Hexadezimalzahlen
Stetigkeit
6.1
Reelle Funktionen, Grenzwerte
Sei D, W ⊂ R , f : D −→ W Abbildung (oder Funktion)
D = Definitionsbereich, W = Wertebereich.
Bezeichnungen:
Unendliche Intervalle
[a, ∞) := {x ∈ R|x ≥ a} ,
(a, ∞) := {x ∈ R|x > a} ,
(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a} ,
(−∞, a) := {x ∈ R|x < a} .
Beispiele:
1.
Konstante Funktion
f : R 3 x 7→ a ∈ R ;
2.
Identische Funktion
id : R 3 x 7→ x ∈ R ;
3.
Absolutbetrag
abs : R 3 x 7→ |x| ∈ R ;
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4.
Gaußsche Klammer
5.
Signum–Funktion
6.
Exponentialfunktion
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[x] := max{k ∈ Z|k ≤ x} ,



1, x>0,


sign : R 3 x 7→
0, x=0,



 −1 , x < 0 ;
exp : R 3 x −→ exp(x) ∈ R .
Algebraische Verknüpfungen von Funktionen (f, g : D −→ R , r ∈ R) :
f + g : D 3 x 7→ f (x) + g(x) ∈ R ;
r·f
: D 3 x 7→ rf (x) ∈ R ;
f · g : D 3 x 7→ f (x) · g(x) ∈ R ;
f
g
: D0 3 x 7→
f (x)
∈R,
g(x)
wobei
Komposition oder Hintereinanderausführung
D0 := {x ∈ D|g(x) 6= 0}
(f : D −→ R , g : D0 −→
R ; f (D) ⊂ D0 )
g ◦ f : D 3 x 7→ g(f (x)) ∈ R .
Beispiele:
7. (vgl. Bspl. 3)
abs = g ◦ f
mit
√
f : R 3 x 7→ x2 ∈ R , g : [0, ∞) 3 x 7→ x ∈ R
√
(wobei x = 0 für x = 0 gesetzt wird).
8. Polynom vom Grad n :
p : R 3 x 7→
n
X
ai xi ∈ R
i=0
wobei a0 , . . . , an ∈ R , an 6= 0.
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Sei f : D −→ R , a ∈ D. c ∈ R heißt Grenzwert von f in a
Definition:
genau dann, wenn für jede Folge (xn )n∈N mit
xn ∈ D
∀n ∈ N ,
a = lim xn
n
gilt:
c = lim f (xn ) .
n
Wir schreiben: c = lim f (x) .
x→a
Satz 1 Sei f : D −→ R , a ∈ D , c ∈ R. Dann sind äquivalent:
(a) c = lim f (x)
x→a
(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0
∀x ∈ D : |x − a| < δ =⇒ |f (x) − c| < ε .
Beispiele:
9. (vgl. Bspl. 3)
10. (vgl. Bspl. 6)
lim abs(x) = 0 ;
x→0
lim exp(x) = 1 ;
x→0

 0, x<0,
11. f : R 3 x 7→
 1, x≥0;
6.2
lim f (x) existiert nicht.
x→0
Stetige Funktionen
Definitionen:
Sei f : D −→ R .
1. f heißt stetig in a ∈ D
:⇐⇒ lim f (x) existiert und f (a) = lim f (x) .
x→a
x→a
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2. f heißt stetig (in D)
:⇐⇒ f stetig in jedem a ∈ D.
Satz 2 Sei f : D −→ R , a ∈ D. Es sind äquivalent:
(a) f ist stetig in a ∈ D .
(b) Ist (xn )n∈N eine Folge mit xn ∈ D , n ∈ N , lim xn = a, dann gilt
n
lim f (xn ) existiert, lim f (xn ) = f (a) .
n
n
(c) ∀ε > 0 ∃δ > 0
∀x ∈ D : |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε .
Beispiele:
1. Die konstante und identische Funktion ist stetig in R .
2. Die Betragsfunktion abs ist stetig in R.
3. Die Exponentialfunktion exp ist stetig.
Satz 3 Sei f : D −→ R stetig in a ∈ D und f (a) > 0. Dann gilt:
∃δ > 0
Bemerkung:
∀x ∈ (a − δ, a + δ) ∩ D : f (x) > 0 .
Funktionen, die an diskreten Stellen erklärt sind, z. B.
f (n) = an , n ∈ N, sind immer stetig.
6.3
Rechenregeln
Satz 4 Seien f, g : D −→ R , r ∈ R, und seien f, g stetig in a ∈ D. Dann
gilt
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(a) f + g , f · g , r · f sind stetig in a.
(b) Ist g(a) 6= 0, so ist auch
f
stetig in a .
g
Satz 5 Seien f : D −→ R , g : D0 −→ R Funktionen mit f (D) ⊂ D0 . Ist f
stetig in a ∈ D und ist g stetig in b := f (a), so ist g ◦ f stetig in a.
Definitionen:
Sei f : D −→ R Funktion.
1. f heißt streng monoton wachsend bzw. monoton wachsend
:⇐⇒
∀x, y ∈ D : x < y =⇒ f (x) < f (y) bzw. f (x) ≤ f (y).
2. f heißt streng monoton fallend bzw. monoton fallend
:⇐⇒
∀x, y ∈ D : x < y =⇒ f (x) > f (y) bzw. f (x) ≥ f (y).
Satz 6 Sei f : [a, b] −→ R stetig, streng mononton wachsend, und es gelte
[A, B] = f ([a, b]) mit A < B. Dann existiert f −1 : [A, B] −→ R, und es gilt
f −1 ist stetig und streng monoton wachsend.
7
Einige Sätze über stetige Funktionen
Sei [a, b] ein Intervall mit a < b.
7.1
Der Zwischenwertsatz
Satz 1 Sei f : [a, b] −→ R stetig und es gelte:
f (a)f (b) < 0 .
Dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit f (z) = 0 .
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Bemerkungen:
1. Die Zahl z in Satz 1 heißt Nullstelle von f . Über die Eindeutigkeit
einer Nullstelle wird in Satz 1 nichts ausgesagt.
2. Das Konstruktionsprinzip für die Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N im Beweis
von Satz 1 — a ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · ≤ z ≤ · · · ≤ bn+1 ≤ bn ≤ b
— wird als Intervallschachtelungsverfahren 2 oder Bisektionsverfahren
bezeichnet. Als Abbruchkriterium kann man verwenden
max |x − z| ≤ bn − an ≤ 2−n+1 (b − a) , n ∈ N
x=an ,bn
(a–posteriori und a–priori Kriterium) .
Beispiele:
1. Das Polynom p(x) := x17 + 2x + 1 besitzt eine Nullstelle in (−1, 0) .
2. Die Gleichung exp(−x) = x besitzt eine Lösung z in [0, 1], d. h. eine
Nullstelle von exp(−x) − x .
Satz 2 (Zwischenwertsatz). Sei g : [a, b] −→ R stetig, sei c ∈ R eine Zahl
zwischen g(a) und g(b). Dann gibt es ein z ∈ [a, b] mit g(z) = c.
Folgerung 3 Sei f : [a, b] −→ R stetig und streng monoton wachsend.
Dann gilt f ([a, b]) = [f (a), f (b)] .
2
Intervallschachtelungsverfahren: a1 = a, b1 = b für n = 1 (o.E. f (a) < 0, f (b) > 0);
für n + 1 def. (induktiv) c := (an + bn )/2 und an+1 := an , bn+1 := c, falls f (c) ≥ 0; bzw.
an+1 := c, bn+1 := bn , falls f (c) < 0
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Beispiel:
3.

 x
, x ∈ Q ∩ [0, 1] ,
g(x) :=
 1 − x , x ∈ [0, 1] \ Q .
1
Diese Funktion ist nur stetig in a = , nimmt aber jeden Wert zwischen 0
2
und 1 an. Damit gilt die Umkehrung der Aussage des Zwischenwertsatzes
nicht, d. h. eine Funktion, bei der jeder Wert zwischen g(a) und g(b) als Bild
unter g auftritt, ist nicht notwendig stetig.
Definition:
Stetige Fortsetzung
Sei f : D −→ R stetig und D ⊂ E. Dann heißt eine stetige Funktion
g : E −→ R stetige Fortsetzung von f , falls
g|D = f
Beispiele:
4.
f (x) = exp(−1/x), x > 0,


exp(−1/x) , x > 0 ,
g(x) =

0
,x ≤ 0.
5.
g(x) = x, x ∈ [0, 1],
ist stetige Fortsetzung von
f (x) = x, x ∈ Q ∩ [0, 1] .
Bemerkung: Eine stetige Funktion f : [a, b] −→ R ist eindeutig bestimmt
durch Werte auf Q ∩ [a, b] (i.a. durch Werte auf einer dichten Teilmenge)
- 53 -
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Q ⊂ J dicht in J,
Definition:
wenn ∀ x ∈ J ∀ ε > 0 ∃ q ∈ Q : |x − q| < ε.
7.2
Existenz von Extrema
Gilt x := sup a ∈ A, dann schreiben wir
a∈A
x = max a = max A
a∈A
(x : Maximum von A)
Entsprechend:
y = min a = min A
a∈A
(y : Minimum von A)
falls y := inf a∈A a ∈ A.
Definition:
f : D −→ R heißt beschränkt, wenn f (D) beschränkt ist.
Satz 4 Ist f : [a, b] −→ R stetig, so ist f beschränkt, und es existieren
z, z ∈ [a, b] mit
f (z) = sup f (x) ,
f (z) = inf f (x) ,
x∈[a,b]
x∈[a,b]
d. h.
f (z) = max f ([a, b]) ,
f (z) = min f ([a, b])
Beispiele:
1. f : (0, 1] 3 x 7→
1
∈ R ist stetig, nimmt jedoch sein Supremum nicht
x
an.

 x , x ∈ [0, 1)
2. f : [0, 1] 3 x 7→
 0 , x=1
ist nicht stetig bei x = 1 und nimmt sein Supremum nicht an.
- 54 -
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7.3
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Gleichmäßig stetige Funktionen
Definition:
Eine Funktion f : D −→ R heißt gleichmäßig stetig (in D),
wenn gilt
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x0 ∈ D : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε .
Bemerkung:
Eine gleichmäßig stetige Funktion ist offenbar stetig, die
1
Umkehrung gilt jedoch nicht, wie das Beispiel f (x) = , x ∈ (0, 1], zeigt.
x
Für abgeschlossene Intervalle [a, b] als Definitionsbereich gilt auch die Umkehrung (s. Satz 5).
Satz 5 Ist f : [a, b] −→ R stetig, dann ist f gleichmäßig stetig.
7.4
Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunktionen
Die Exponentialfunktion exp ist bereits durch ihre Werte in Q festgelgt, was
die folgende Schreibweise nahelegt:
ex := exp(x) ,
x∈R.
Rechenregel
ex+y = ex ey ,
Definitionen:
x, y ∈ R .
((an )n∈N Folge)
(a) lim an = ∞ :⇐⇒
n
(b) lim an = −∞ :⇐⇒
n
∀K > 0 ∃N ∈ N
∀K < 0 ∃N ∈ N
- 55 -
∀n ≥ N : an > K .
∀n ≥ N : an < K .
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Uneigentliche Grenzwerte (f : D −→ R , D nicht nach
Definitionen:
oben beschränkt)
(c) c = lim f (x) :⇐⇒ ∀xn ∈ D , n ∈ N , lim xn = ∞ gilt c = lim f (xn )
x→∞
n
(d) Entsprechend: c = lim f (x) .
x→−∞
Bemerkung:
c = ± ∞ ist zugelassen!
Satz 6 Es gelten die folgenden Aussagen:
(a) Die Funktion R 3 x 7→ ex ∈ R ist streng monoton wachsend.
(b) lim ex x−q = ∞
x→∞
∀q ∈ N , d. h. die Exponentialfunktion wächst
stärker als jede Potenz.
(c) 1 + x ≤ ex ≤
(d) lim
x→0
x6=0
ex
1
1−x
∀x ∈ (−1, 1) .
x
=1.
−1
x n
(e) ex = lim 1 +
,
n
n
x∈R.
(f ) e 6∈ Q .
Definitionen:
Hyperbelfunktionen
cosh x :=
sinh x :=
tanh x :=
coth x :=
1 x
(e + e−x ) , x ∈ R
2
1 x
(e − e−x ) , x ∈ R
2
sinh x
, x∈R
cosh x
cosh x
, x∈R
sinh x
- 56 -
(Cosinus hyperbolicus)
(Sinus hyperbolicus)
(Tangens hyperbolicus)
(Cotangens hyperbolicus)
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Satz 7 Es gelten die folgenden Beziehungen:
(a) cosh x + sinh x = ex ,
(b) cosh x − sinh x = e−x ,
x∈R;
x∈R;
(c) (cosh x)2 − (sinh x)2 = 1 ,
x∈R;
(d) cosh(s + t) = cosh s cosh t + sinh s sinh t ,
s, t ∈ R ,
(e) sinh(s + t) = sinh s cosh t + cosh s sinh t ,
s, t ∈ R .
Bemerkung:
Der Name Hyperbelfunktionen“ stammt daher, daß sich
”
der rechte Ast der gleichseitigen Hyperbel {(x, y) ∈ R2 |x2 − y 2 = 1} mit cosh
und sinh parametrisieren“ läßt, d. h. (cosh t, sinh t) ∈ R2 , t ∈ (−∞, ∞),
”
beschreibt den Hyperbelast (s. Bild, S. 159, Abschnitt 7.18, in Walter 1 [?]
(1992)).
7.5
Die Logarithmusfunktion
Lemma 8 Die Funktion R 3 x 7→ ex ∈ (0, ∞) ist streng monoton wachsend,
stetig und surjektiv.
Definition:
Die Umkehrfunktion (Existenz nach Lemma 8 und Satz 6 in
Kap. 6)
ln : (0, ∞) −→ R
der Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus.
- 57 -
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Folgerung 9
(a) ln ist stetig und streng monoton wachsend.
(b) lim ln x = −∞ ,
x→0
lim ln x = ∞ .
x→∞
(c) ln(x · y) = ln x + ln y , x, y ∈ (0, ∞) .
(d) ln x1 = −ln x, x > 0.
Beispiel:
Zerfall einer radioaktiven Substanz
u(t) = u(0)e−αt ;
Halbwertzeit: T =
ln 2
α
.
Schreibweise bzw. Definition: ax := ex ln a ,
x ∈ R, a > 0 .
Folgerung 10
(a) ax+y = ax ay ,
(b) (ax )y = axy ,
(c) ax bx = (ab)x ,
Bezeichnung:
x, y ∈ R; a > 0 .
x, y ∈ R; a > 0 .
x ∈ R; a, b > 0 .
Logarithmusfunktion zur Basis a
loga : Umkehrfunktion von R 3 x 7→ ax ∈ (0, ∞) .
Bemerkung:
Bezeichnung:
ln = loge .
log := log10
Funktionalgleichung für den Logarithmus:
loga xy = loga x + loga y ,
x, y ∈ (0, ∞) ; a > 0 .
- 58 -
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Bemerkung:
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Die entsprechende Aussage zu Satz 6 (e) lautet
ln x = lim n
n
√
n
x−1 ,
x>0.
Daraus erhält man eine Rechenvorschrift für ln x :
ln x = lim 2k
k
√
2k
x−1
,
- 59 -
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8
Differenzierbarkeit
8.1
Motivation und Definition
Die Sehne durch zwei Punkte (x0 , f (x0 )) , (x1 , f (x1 )) des Graphen einer
Funktion f : D → R wird beschrieben durch die Gleichung
y − y0
=s,
x − x0
wobei y0 = f (x0 ) , y1 = f (x1 ) , s :=
lim
D3x7→x0
x6=x0
y1 − y0
= Steigung. Existiert
x1 − x0
f (x) − f (x0 )
=: c ,
x − x0
so nennt man diesen Grenzwert die Ableitung von f in x0 . Die Gerade
y = f (x0 ) + c(x − x0 )
heißt Tangente an den Graphen von f in (x0 , f (x0 )).
Definition:
Sei D ⊂ R . a ∈ R heißt Häufungspunkt von D falls gilt:
∀ε > 0 ∃x ∈ D : x 6= a , |x − a| < ε .
Folgerung 1 Sei D ⊂ R , a ∈ R. Dann sind äquivalent:
(a) a ist Häufungspunkt von D.
(b) Es gibt eine Folge (xn )n∈N mit
i. xn ∈ D , xn 6= a
∀n ∈ N;
ii. a = lim xn .
n
- 60 -
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Beispiele:
1. D := [c, d) , c < d . Häufungspunkte von D : [c, d].
2. D := {2} ∪ [0, 1) . Häufungspunkte von D : [0, 1].
Definition:
Sei f : D −→ R , a ∈ D Häufungspunkt von D.
f differenzierbar in a :⇐⇒ ∃c ∈ R
∀(xn )n∈N : xn ∈ D, xn 6= a ∀n ∈ N ,
f (xn ) − f (a)
lim xn = a , gilt: lim
=c.
n
n
xn − a
(Bez.: c = f 0 (a) =
df
(a) Ableitung (oder Differentialquotient)
dx
von f in a.)
Definition:
f : D −→ R heißt differenzierbar genau dann, wenn gilt:
(a) Jedes a ∈ D ist Häufungspunkt von D.
(b) f ist in jedem a ∈ D differenzierbar.
Beispiele:
3. f : R 3 x 7→ w ∈ R (w ∈ R Konstante) ist differenzierbar und
f 0 (a) = 0 ∀ ↑ a ∈ R .
4. f : R 3 x 7→ |x| ∈ R ist in a = 0
nicht differenzierbar, denn
f n1 − f (0)
= 1 und
lim
1
n
n −0
f − n1 − f (0)
lim
= −1 .
n
− n1 − 0
6
@
@
@
@
- 61 -
|x|
-
x
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5. D := {2} ∪ (0, 1) ; f : D −→ R, x 7→ |x| ist differenzierbar in jedem
a ∈ (0, 1), aber nicht in a = 2.
Satz 2 Sei f : D −→ R , a ∈ D Häufungspunkt von D. Dann sind für c ∈ R
äquivalent:
(a) f ist differenzierbar in a, und es gilt f 0 (a) = c.
(b) Es gibt eine Funktion ϕ : D −→ R mit
i. f (x) = f (a) + c(x − a) + ϕ(x)
∀x ∈ D;
ii. ϕ ist differenzierbar in a, und es gilt: ϕ0 (a) = 0.
Bemerkung:
Eine in a ∈ D differenzierbare Funktion f : D −→ R ist
lokal approximierbar durch eine Funktion der Form
t(x) := c1 x + c2 ,
x ∈ R (c1 , c2 ∈ R) .
Folgerung 3 Ist f : D −→ R in a ∈ D differenzierbar, so ist f stetig in a.
Bemerkung:
Das Beispiel f (x) = |x| zeigt, daß die Umkehrung von
Folgerung 3 nicht gilt.
Satz 4 Sei f : D −→ R , a ∈ D Häufungspunkt von D. Dann sind für c ∈ R
äquivalent:
(a) f ist differenzierbar in a, und es gilt: f 0 (a) = c.
(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0
∀x ∈ D \ {a} :
f (x) − f (a)
|x − a| < δ =⇒ − c < ε .
x−a
- 62 -
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8.2
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Rechenregeln
Satz 5 Seien f, g : D −→ R bei a ∈ D differenzierbar. Dann gilt:
(a) f + g ist differenzierbar in a, und es gilt:
(f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a) .
(b) f · g ist differenzierbar in a, und es gilt:
(f · g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a) · g 0 (a) .
(c) Ist g(a) 6= 0, so ist a Häufungspunkt von D0 := {x ∈ D|g(x) 6= 0}, und
es gilt:
f
: D0 −→ R ist differenzierbar in a und
g
0
f
f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a)
(a) =
g
g(a)2
Beispiele:
1. Für die identische Abbildung gilt id0 (a) = 1 ∀a ∈ R.
2. Für die Monome mn : R \ {0} 3 x 7→ xn ∈ R
m0n (a) = n an−1 ,
a ∈ R \ {0} .
3. Für ein Polynom
p(x) =
p0 (a) =
Pn
k
k=0 ck x hat
n
X
k ck ak−1 ,
k=0
man deshalb
a∈R.
- 63 -
(n ∈ Z) , gilt
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Satz 6 (Kettenregel) Seien f : D −→ R , g : D0 −→ R , f (D) ⊂ D0 , und
f differenzierbar in a ∈ D , g differenzierbar in b := f (a) ∈ D0 . Dann ist
g ◦ f differenzierbar in a , und es gilt:
(g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a) .
Satz 7 Sei f : [c, d] −→ R stetig, streng monoton wachsend, W := f ([c, d]),
und sei f differenzierbar in a ∈ [c, d]. Es gelte f 0 (a) 6= 0. Dann existiert
f −1 : W −→ R , f −1 ist differenzierbar in b := f (a), und es gilt:
0
f −1 (b) =
1
f 0 (a)
=
1
f 0 (f −1 (b))
.
Beispiele:
3. χ : (0, ∞) 3 y 7→
√
n
y ∈ (0, ∞) , n ∈ N, ist Umkehrfunktion von
1 1
ν : (0, ∞) 3 x 7→ xn ∈ (0, ∞). Nach Satz 7: χ0 (a) = a n −1 .
n
4. fq : (0, ∞) 3 x 7→ xq ∈ (0, ∞) ,
fq0 (a) = q aq−1 ,
Bemerkung:
q∈Q.
a ∈ (0, ∞) .
(zu rechts- und linksseitigen Ableitungen)
Sei f : D −→ R, wobei D = [α, β] oder D = [α, β) oder D = (α, β). Dann
ist f differenzierbar in a ∈ D und c = f 0 (a) genau dann, wenn
c=
lim
x→a,x6=a
x∈D
f (x) − f (a)
x−a
(Begründung: Jedes a ∈ D ist Häufungspunkt für die genannten Intervalle).
- 64 -
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8.3
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Zur Exponentialfunktion
Satz 8 Es gilt:
(a) exp : R −→ R ist differenzierbar, und es gilt
exp0 (a) = exp(a)
∀a ∈ R .
(b) ln : (0, ∞) −→ R ist differenzierbar, und es gilt
ln0 (a) =
1
a
∀a ∈ (0, ∞) .
Folgerung 9
(a) Sei b > 0. Die Funktion fb : R 3 x 7→ bx ∈ R ist differenzierbar und
fb0 (a) = ba ln(b) ∀a ∈ R.
(b) Sei a > 1 . loga : (0, ∞) −→ R ist differenzierbar und
log0a (z) =
8.4
1
z ln a
∀z ∈ (0, ∞) .
Zum Newton–Verfahren
Aufgabe: Sei f : [a, b] −→ R differenzierbar. Gesucht ist z ∈ [a, b] mit
f (z) = 0.
Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens:
x0 ∈ [a, b]
xn+1
(= Startnäherung)
f (xn )
, n ∈ N0
:= xn − 0
f (xn )
- 65 -
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Beispiele:
1. (vgl. Abschnitt 4.5 Wurzelbestimmung)
f : R 3 x 7→ x2 − b ∈ R
(b > 0)
b
f (x)
x2 − b
1
x+
=⇒ x − 0
=x−
=
f (x)
2x
2
x
b
1
xn +
Newton–Verfahren: xn+1 :=
2
xn
(vgl. Satz 4.10).
Konvergenz: ist quadratisch, d.h. |xn+1 − z| ≤ c|xn − z|2 .
2. f : R 3 x 7→ x2 ∈ R ,
z = 0 Nullstelle; beachte f 0 (z) = 0.
1
Newton–Verfahren: xn+1 := xn ,
2
x0 ∈ R
1
Konvergenz: (nur) linear |xn+1 − z| ≤ |xn − z|
2
9
Einige Sätze über differenzierbare Funktionen
9.1
Charakterisierung von Extrema
Definitionen:
(f : D −→ R , z ∈ D)
(a) z heißt lokales Maximum (bzw. Minimum)
:⇐⇒ ∃ε > 0
(bzw. ∃ε > 0
∀x ∈ D ∩ (z − ε, z + ε) : f (x) ≤ f (z)
∀x ∈ D ∩ (z − ε, z + ε) : f (x) ≥ f (z)) .
(b) z heißt lokales Extremum
:⇐⇒ z lokales Maximum oder lokales Minimum.
(c) z heißt globales Maximum (bzw. Minimum)
:⇐⇒ ∀x ∈ D : f (x) ≤ f (z) (bzw. ∀x ∈ D : f (x) ≥ f (z)) .
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Satz 1 Sei f : [a, b] −→ R , z ∈ (a, b). Ist z lokales Extremum und ist f
differenzierbar in z, so gilt f 0 (z) = 0.
Bemerkung:
1. Nach Satz 7.4 und Folgerung 8.3 nimmt eine differenzierbare Funktion
f : [a, b] −→ R ihr (globales) Maximum und (globales) Minimum an.
Liegt ein solches Extremum z am Rand (z = a oder z = b), so gilt
nicht notwendigerweise f 0 (z) = 0.
2. Notwendig für ein lokales Maximum in z ∈ [a, b] ist
f 0 (z)(x − z) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b] .
3. f 0 (z) = 0 (s. Satz 1) ist notwendig, aber nicht hinreichend für ein
lokales Extremum (Gegenbeispiel: f : [−1, 1] 3 x 7→ x3 ).
9.2
Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz
Satz 2 (Satz von Rolle)
Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b. Gilt
dann f (a) = f (b), so gibt es ein z ∈ (a, b) mit f 0 (z) = 0.
Folgerung 3 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) , a < b.
Dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
= f 0 (z) .
b−a
- 67 -
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Folgerung 4 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈
(a, b) , a < b. Dann gibt es ein ϑ ∈ (0, 1) mit
f (b) = f (a) + f 0 (a + ϑ(b − a))(b − a) .
Folgerung 5 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈
(a, b) ; a < b. Weiter gebe es m, M ∈ R mit
m ≤ f 0 (x) ≤ M
∀x ∈ (a, b) .
Dann gilt für beliebige x, y ∈ [a, b], x ≤ y :
m (y − x) ≤ f (y) − f (x) ≤ M (y − x) .
Ist f 0 (x) ≥ 0 (bzw. > 0) in (a, b), so ist f monoton (bzw. streng monoton)
wachsend; ist f 0 (x) ≤ 0 (bzw. < 0), so ist f monoton (bzw. streng monoton)
fallend.
Folgerung 6 (Erweiterter Mittelwertsatz)
Seien f, g : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b.
Gilt g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b), dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
f 0 (z)
= 0
.
g(b) − g(a)
g (z)
Folgerung 7 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈
(a, b), und es gelte f 0 (x) = 0 ∀x ∈ (a, b). Dann gilt:
∃c ∈ R
∀x ∈ [a, b] : f (x) = c .
- 68 -
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Beispiele:
1. Populationsmodell: P (t) = P0 ert ist einzige Lösung von
P 0 (t) = r P (t) , t ≥ 0 (r > 0, P0 > 0) .
P (0) = P0 ,
2. Verbessertes Populationsmodell: (a > 0, b > 0)
P 0 (t) = P (t)(a − b P (t)) , t ≥ 0 .
P (0) = P0 ,
Lösung: P (t) =
a
b+
e−(at+c)
Gleichgewichtszustand:
9.3
,
c = ln
P0
a − bP0
a
.
b
Taylorsche Formel
Definitionen:
(höhere Ableitungen) Sei f : D −→ R.
(a) k = 1 : D1 := {a ∈ D| f differenzierbar in a} ,
f (1) (a) := f 0 (a) , a ∈ D1 ;
k + 1 : Dk+1 := {a ∈ Dk | f (k) differenzierbar in a} ,
f (k+1) (a) := (f (k) )0 (a) , a ∈ Dk+1 ;
(b) f (k) : Dk −→ R heißt Ableitung k-ter Ordnung mit Definitionsbereich
Dk . Wir schreiben auch:
f (k) (a) =
df (k−1)
dk f
(a) ,
(a)
=
dx
dxk
a ∈ Dk ;
(c) f heißt k-mal differenzierbar genau dann, wenn Dk = D.
(d) f heißt k-mal stetig differenzierbar , genau wenn gilt:
Dk = D ,
f (k) : Dk −→ R ist stetig.
- 69 -
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Beispiele:
1. f : R 3 x 7→ x|x| ∈ R
ist stetig differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar.
2. Die Exponentialfunktion ist k-mal stetig differenzierbar für jedes k ∈
N.
Satz 8 (Taylorsche Formel)
Sei f : [a, b] −→ R
(n + 1)-mal stetig differenzierbar und sei x0 ∈ [a, b].
Dann gibt es zu jedem x ∈ [a, b] ein ξ zwischen x0 und x mit
f (x) =
n
X
1
1 (k)
f (x0 )(x − x0 )k +
f (n+1) (ξ)(x − x0 )n+1
k!
(n + 1)!
k=0
n
X
1 (k)
f (x0 )(x − x0 )k
k!
k=0
heißt Taylor–Polynom (vom Grad n);
Bezeichnungen:
Pn,f,x0 (x) =
1
f (n+1) (ξ)(x − x0 )n+1
(n + 1)!
heißt Restglied bzw. Lagrangesche Darstellung des Restglieds; x0 ∈ [a, b]
Rn,f,x0 (x) := f (x) − Pn,f,x0 (x) =
heißt Entwicklungspunkt.
Bemerkung:
(a) Andere Schreibweise der Taylor–Formel:
f (x) =
n
X
1 (k)
f (x0 )(x − x0 )k +
k!
k=0
+
1
f (n+1) (x0 + ϑ(x − x0 ))(x − x0 )n+1 ,
(n + 1)!
- 70 -
0 < |ϑ| < 1 .
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(b) Restgliedabschätzung:
Kn+1
|x − x0 |n+1
(n + 1)!
|Rn,f,x0 (x)| ≤
falls |f (n+1) (ξ)| ≤ Kn+1
Beispiel:
∀ξ ∈ (a, b) .
Taylor–Polynom für die Exponentialfunktion
n
X
1 k
x ,
Pn (x) =
k!
x∈R.
k=0
Definitionen:
(f : [a, b] −→ R)
1. f heißt unendlich oft differenzierbar , falls f k-mal differenzierbar ist
für jedes k ∈ N.
2. Sei f unendlich oft differenzierbar und sei x0 ∈ [a, b]. Dann heißt
∞
X
1 (k)
Tf,x0 (x) :=
f (x0 )(x − x0 )k ,
k!
x ∈ [a, b] ,
k=0
die Taylor–Reihe von f im Entwicklungspunkt x0 .
3. f wird durch Tf,x0 dargestellt, wenn f (x) = Tf,x0 (x) ,
x ∈ [a, b] .
Beispiele:
1. Texp,x0 (x) = ex ,
x ∈ R.


 exp − 1
, x 6= 0 ,
x2
2. f : R 3 x 7→

 0
, x=0,
Tf,0 (x) = 0 ∀x ∈ R. Dieses Beispiel zeigt, daß eine konvergente
Taylor–Reihe nicht notwendigerweise f darstellt.
- 71 -
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3. f : (−1, ∞) 3 x 7→ ln(1 + x) ∈ R ,
∞
X
(−1)k+1 k
Tf,0 (x) =
x , x > −1 .
k
k=1
Diese Reihe ist konvergent für x ∈ (−1, 1] und divergent sonst; Tf,0
stellt f für x ∈ (−1, 1] dar.
9.4
Anmerkung zu lokalen Extrema
Satz 9 Sei f : [a, b] −→ R n-mal stetig differenzierbar, sei z ∈
(a, b), a < b, und es gelte
f (j) (z) = 0
f (n) (z) 6= 0 ;
∀j : 1 ≤ j ≤ n − 1 ,
n≥2.
Dann gelten die Aussagen:
(a) Ist n ungerade, so ist z kein lokales Extremum.
(b) Ist n gerade, so ist


lokales Maximum
z

lokales Minimum
9.5
falls


f (n) (z) < 0

f (n) (z) > 0 .
Die Regel von de l’Hospital
Sei D ⊂ R; a ∈ R heißt Berührungspunkt von D genau
Definition:
dann, wenn
∃(xn )n∈N : xn ∈ D
Definition:
∀n ∈ N ,
lim xn = a .
n
Seien f : D −→ R, a Berührungspunkt von D , c ∈ R.
c = lim f (x) :⇐⇒ ∀(xn )n∈N , xn ∈ D
x→a
lim f (xn ) = c .
n
- 72 -
∀n ∈ N ,
lim xn = a :
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(Die Fälle c ∈ {−∞, ∞} , a ∈ {−∞, ∞} sind zugelassen.)
Beispiele:
1. f : [0, 1) 3 x 7→
1
1−x
2. f : R \ {1} 3 x 7→
∈R;
limx→1 f (x) = ∞ ;
1−x2
x3 −x2 +x−1
limx→1 f (x) = −1 ,
∈ R ; ( beachte: f (x) =
−(1 + x)
)
x2 + 1
limx→∞ f (x) = 0 .
Satz 10 (Regel von de l’Hospital)
Seien f, g : (a, b) −→ R differenzierbar, c ∈ R, a < b , (b = ∞ sei zugelassen). Es gelte
g 0 (x) 6= 0
∀x ∈ (a, b)
und
lim f (x) = lim g(x) = 0 .
x→b
x→b
Dann gilt:
(a) g(x) 6= 0
∀x ∈ (a, b) .
f 0 (x)
=c
x→b g 0 (x)
(b) Aus lim
folgt
lim
x→b
f (x)
=c.
g(x)
Beispiel:
ex − e−x
ex + e−x
= lim
=2.
x→0
x→0
x
1
lim
9.6
Die trigonometrischen Funktionen
Definitionen:
sin(x) := sin x
:=
∞
X
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
Sinus–Funktion
(−1)k
x2k
(2k)!
Cosinus–Funktion
k=0
cos(x) := cos x :=
∞
X
k=0
Bemerkung:
Die angegebenen Reihen konvergieren absolut nach dem
Quotientenkriterium.
- 73 -
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Folgerung 11
(a) sin(0) = 0 ,
cos(0) = 1 ;
(b) sin(−x) = − sin(x) , cos(−x) = cos(x) ,
x∈R,
(Sinus ist ungerade, Cosinus gerade Funktion);
(c) x −
x3
≤ sin(x) ≤ x ,
6
(d) 1 −
x2
x2 x4
≤ cos(x) ≤ 1 −
+
,
2
2
24
x>0;
x>0.
Satz 12 Die Funktionen sin, cos : R −→ R sind stetig, differenzierbar, und
es gilt:
sin0 (x) = cos(x) ,
cos0 (x) = − sin(x) .
Folgerung 13
(e) sin2 (x) + cos2 (x) = 1 ,
x∈R;
(f ) | sin(x)| ≤ 1 , | cos(x)| ≤ 1 ,
x∈R;
(g) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) ,
x, y ∈ R ;
(h) cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) ,
x, y ∈ R ;
sin(x)
=1,
x→0
x
(i) lim
1 − cos(x)
1
= .
2
x→0
x
2
lim
Lemma 14 Sei A := {x ∈ [0, ∞)| cos(x) = 0}. Es gilt:
√ 7
A 6= ∅ und γ := inf A ∈
2,
, γ∈A.
4
Definition:
π := 2γ (= 3.14159 . . .)
- 74 -
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Eigenschaften
(a) sin
π 2
=1,
cos
π 2
=0;
π
= cos(x) ,
(b) sin x +
2
π
cos x +
= − sin(x) ,
2
(c) sin(x + π) = − sin(x) ,
cos(x + π) = − cos(x) ,
(d) sin(x + 2π) = sin(x) ,
cos(x + 2π) = cos(x) ,
(e) cos(x) 6= 0
für x 6= (2k + 1)
(f) sin(x) 6= 0
für x 6= kπ ,
π
,
2
x∈R;
x∈R;
x∈R;
k∈Z;
k∈Z.
Definition:
sin(x)
π
, x ∈ R , x 6= (2k + 1) ,
cos(x)
2
Tangens–Funktion;
cos(x)
cot(x) :=
, x ∈ R , x 6= kπ , k ∈ Z ,
sin(x)
Cotangens–Funktion.
tan(x) :=
k∈Z,
Satz 15 Es gelten folgende Aussagen:
(a) cos ist auf [0, π] streng monoton fallend und cos([0, π]) = [−1, 1] .
h π
(b) sin ist auf − ,
2
π
(c) tan ist in − ,
2
h π π i
πi
streng monoton wachsend und sin − ,
= [−1, 1] .
2
2 2
π π π
streng monoton wachsend und tan − ,
=R.
2
2 2
(d) cot ist in (0, π) streng monoton fallend und cot((0, π)) = R .
(e) tan0 (x) =
1
1
, cot0 (x) = − 2
.
2
cos (x)
sin (x)
- 75 -
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Definitionen:
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Umkehrfunktionen von cos, sin, tan bzw. cot:
: [−1, 1] −→ [0, π] ,
h π πi
arcsin : [−1, 1] −→ − ,
,
2 2
π π
arctan : R −→ − ,
,
2 2
arccos
: R −→ (0, π) .
arccot
Folgerung 16
(a) arccos0 (x) = − √
(b) arcsin0 (x) = √
1
,
1 − x2
1
,
1 − x2
x ∈ (−1, 1) ,
x ∈ (−1, 1) ,
1
, x∈R,
1 + x2
1
(d) arccot0 (x) = −
, x∈R.
1 + x2
(c) arctan0 (x) =
Bemerkung:
sin, cos, tan, cot sind periodische Funktionen (mit Periode
2π). Für die Umkehrfunktionen wurde jeweils nur ein ausgezeichneter Ast“
”
benutzt; man kann sich auch auf andere Periodenintervalle beziehen.
10
Das Riemann–Integral
Im folgenden sei I = [a, b] ein Intervall, a < b.
10.1
Treppenfunktionen
Beispiel:
Der Flächeninhalt des Bereichs B := {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤
y ≤ x2 } läßt sich annähern durch eine Summe von Rechtecken
FN :=
N
−1
X
k=0
1
fk ,
N
fk := f (xk ) ,
- 76 -
xk =
k
, k = 0, . . . , N ,
N
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wobei f : [0, 1] 3 x 7→ x2 ∈ R. Man erhält
FN =
(N − 1)N (2N − 1)
6N 3
und
lim FN =
N →∞
1
.
3
Definitionen:
(a) Eine Zerlegung Z von I ist eine Anzahl von Punkten x0 , . . . , xN mit
a = x0 < x1 < · · · < xN = b.
(b) ϕ : I −→ R heißt Treppenfunktion auf I, wenn eine Zerlegung Z :
a = x0 < x1 < · · · < xN = b und Zahlen c0 , c1 , . . . , cN existieren mit
ϕ(x) = ci falls x ∈ (xi−1 , xi ], ϕ(x0 ) = c0 .
(c) T (I) := T [a, b] := {ϕ : I −→ R| ϕ Treppenfunktion auf I} .
Definition:
Gemeinsame Verfeinerung zweier Zerlegungen
Z : a = x0 < · · · < xN = b ,
Z 0 : a = x00 < · · · < x0M = b :
Ordne Punkte {xi |i = 0, . . . , N } ∪ {x0i |i = 0, . . . , M } der Größe nach, numeriere sie neu – evtl. doppelt auftretende Punkte erhalten gleichen Index,
Resultat: Z̃ : a = x̃0 < · · · < x̃Ñ = b.
Eigenschaften
(a) 0 ∈ T [a, b]
von T [a, b]:
(0 = Nullfunktion,
0(x) = 0
∀x ∈ [a, b]) ;
(b) ϕ ∈ T [a, b] , c ∈ R =⇒ cϕ ∈ T [a, b] ;
(c) ϕ, ψ ∈ T [a, b] =⇒ ϕ + ψ ∈ T [a, b] .
Wiederholung:
C[a, b] := {f : [a, b] −→ R|f stetig } .
- 77 -
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Satz 1 Es gilt die Aussage:
∀f ∈ C[a, b] ∀ε > 0 ∃ϕ, ψ ∈ T [a, b]
∀x ∈ [a, b] :
ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε ∧ ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x) .
10.2
Das Integral von Treppenfunktionen
Definition:
Für eine Treppenfunktion ϕ zur Zerlegung Z : a = x0 <
· · · < xN = b mit Werten
1
(xk + xk−1 ) ,
ck := ϕ
2
k = 1, . . . , N ,
sei
SZϕ :=
N
X
ck (xk − xk−1 ) .
k=1
Lemma 2 Sei ϕ ∈ T [a, b] Treppenfunktion zu den Zerlegungen Z und Z 0 .
Dann gilt SZϕ = SZϕ0 .
D.h.: Der Wert SZϕ ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.
Definition:
S ϕ := SZϕ =
PN
k=1 ck (xk
− xk−1 ) heißt Integral von ϕ für
eine Treppenfunktion ϕ und eine beliebige Zerlegung Z. Wir schreiben
Z b
ϕ(x) dx := S ϕ .
a
Definition:
Seien f, g : D −→ R .
f ≤ g :⇐⇒ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ D .
Folgerung 3 Seien ϕ, ψ ∈ T [a, b] , c ∈ R. Dann gilt
Z
(a)
b
Z
(cϕ)(x) dx = c
a
b
ϕ(x) dx ;
a
- 78 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
b
Z
(b)
Z
(ϕ + ψ)(x) dx =
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b
a
Z
a
b
Z
b
ϕ(x) dx ≤
ψ(x) dx .
a
a
10.3
ψ(x) dx ;
a
(c) Aus ϕ ≤ ψ folgt:
b
Z
ϕ(x) dx +
Ober– und Unterintegrale
Bezeichnung:
B[a, b] := {f : [a, b] −→ R|f beschränkt }
Es gilt
C[a, b] ⊂ B[a, b] und (o. E.) T [a, b] ⊂ B[a, b] .
Lemma 4 Seien f ∈ B[a, b] ,
α := inf x∈[a,b] f (x) ,
β := supx∈[a,b] f (x) ,
ϕu : [a, b] 3 x 7→ α ∈ R ,
ϕo : [a, b] 3 x 7→ β ∈ R .
Dann gilt:
(a) ϕu ∈ Fu := {ϕ ∈ T [a, b]|ϕ ≤ f } ,
ϕo ∈ Fo := {ψ ∈ T [a, b]|f ≤ ψ} .
Z b
Z b
(b) α(b − a) ≤
ψ(x) dx ∀ψ ∈ F0 ,
ϕ(x) dx ≤ β(b − a)
aZ
a
Z b
b
ϕ(x) dx ≤
ψ(x) dx ∀ϕ ∈ Fu , ψ ∈ Fo .
a
a
Definitionen: (f ∈ B[a, b])
Z b
Z b
– f (x) dx := inf
ψ(x) dx|ψ ∈ T [a, b] , f ≤ ψ
a
a
heißt oberes Integral (oder Oberintegral ) von f ;
Z b
Z b
ϕ(x) dx|ϕ ∈ T [a, b] , ϕ ≤ f
– f (x) dx := sup
a
a
heißt unteres Integral (oder Unterintegral ) von f .
- 79 -
∀ϕ ∈ Fu ,
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Folgerung 5
Z b
Z b
– ϕ(x) dx =
–a ϕ(x) dx
a
∀ϕ ∈ T [a, b] .
Beispiele:
1. f : [0, 1] 3 x 7→ x2 ∈ R ,
Z 1
Z 1
1
–
–0 f (x) dx = 0 f (x) dx = 3 .
2.
f (x) :=


1 , x ∈ Q ∩ [0, 1] ,
 −1 , x ∈ [0, 1] , x 6∈ Q ,
Z 1
Z 1
–
f (x) dx = 1 , – f (x) dx = −1 .
f ∈ B[0, 1] ,
0
0
Folgerung 6 Seien f, g ∈ B[a, b]. Es gelten folgende Rechenregeln:
Z b
Z b
Z b
(a) – (f + g)(x) dx ≤ – f (x) dx + – g(x) dx ;
a
Z
a
b
Z
a
b
Z
b
(b) – (f + g)(x) dx ≥ – f (x) dx + – g(x) dx ;
a
a
a
Z b
Z b
(c) – (cf )(x) dx = c– f (x) dx
a
Z b
(d) – (cf )(x) dx = c– f (x) dx
a
a
Z
∀c ∈ [0, ∞) ;
a
b
∀c ∈ [0, ∞) ;
Z b
Z b
Z b
Z b
(e) – (−f )(x) dx = −– f (x) dx , – (−f )(x) dx = −– f (x) dx .
a
a
a
a
- 80 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
10.4
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Riemann–Integrierbarkeit
f ∈ B[a, b] heißt Riemann–integrierbar genau dann, wenn
Definition:
gilt:
Z b
Z b
– f (x) dx =
–a f (x) dx .
a
Schreibweise/Bezeichnung:
Z
b
Z b
f (x) dx := – f (x) dx
a
Riemann–Integral von f
a
Riemann–“ wird im folgenden weggelassen.
”
Sei f ∈ B[a, b] integrierbar.
Bezeichnungen:
Z
b
f (x) dx heißt Integral von f (über [a, b]) ;
a
a heißt untere Grenze,
b heißt obere Grenze,
f
heißt Integrand,
x heißt Integrationsvariable.
Folgerung 7 Jede Treppenfunktion ist integrierbar.
Beispiele:
1. f : [0, 1] 3 x 7→
x2
Z
∈R,
1
f (x) dx =
0
1
.
3
2. Das obige Beispiel 2 aus Abschnitt 10.3 ist nicht (Riemann–)integrierbar.
Satz 8 Sei f ∈ B[a, b]. Dann sind äquivalent:
(a) f ist integrierbar.
- 81 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Analysis, Arbeitsmaterialien
(b) ∀ε > 0 ∃ϕ, ψ ∈ T [a, b] : ϕ ≤ f , f ≤ ψ ,
Z b
Z b
ϕ(x) dx ≤ ε .
ψ(x) dx −
a
a
Folgerung 9 Seien f, g ∈ B[a, b] integrierbar und c ∈ R. Dann gilt:
f + g, cf sind integrierbar und
Z b
Z b
Z b
g(x) dx ,
f (x) dx +
(f + g)(x) dx =
a
a
a
Z b
Z b
(cf )(x) dx = c
f (x) dx .
a
a
R[a, b] := {f ∈ B[a, b]|f integrierbar } ist ein Vektorraum über R und das
Z b
Integral
. . . definiert eine lineare Abbbildung auf R[a, b].
a
Sei f : D −→ R ,
Definitionen:

 f (x) ,
f+ : D 3 x 7→
 0
,

 −f (x)
f− : D 3 x 7→

0
Bemerkung:
falls f (x) > 0 ,
sonst;
, falls f (x) < 0 ,
, sonst.
Offenbar gilt
f = f+ − f− ,
|f | := abs ◦f = f+ + f− .
Satz 10 Seien f, g ∈ B[a, b] integrierbar. Dann gilt:
(a) f+ , f− sind integrierbar.
(b) |f | ist integrierbar und
Z b
Z b
|f |(x) dx .
f (x) dx ≤
a
a
- 82 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
Z
(c) Ist f ≤ g, so folgt:
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
b
Z
f (x) dx ≤
a
Bemerkung:
b
g(x) dx.
a
Für Riemann–Integrierbarkeit folgt aus
(a) f ist integrierbar,
daß
(b) |f | ist integrierbar;
die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. In der Lebesgueschen Theorie wird
der Integralbegriff so eingeführt, daß (a) und (b) äquivalent sind.
10.5
Eine Auswahl integrierbarer Funktionen
Satz 11 C[a, b] ⊂ R[a, b] .
Satz 12 Ist f : [a, b] −→ R monoton, so ist f integrierbar.
Satz 13 Gilt f, g ∈ R[a, b], so gilt auch f · g ∈ R[a, b].
10.6
Weitere Aussagen über Integrale
Satz 14 Sei f ∈ B[a, b] , c ∈ (a, b). Dann sind äquivalent:
(a) f ∈ R[a, b] .
(b) f |[a,c] ∈ R[a, c] ∧ f |[c,b] ∈ R[c, b] .
Ist (a) erfüllt, so gilt
Z b
Z b
Z c
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx .
a
a
c
- 83 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Folgerung 15 Ist f ∈ R[a, b] , a ≤ a1 < b1 ≤ b , so gilt:
f ∈ R[a1 , b1 ] .
Folgerung 16 Ist f : [a, b] −→ R stetig bis auf endlich viele Punkte in
[a, b], so gilt:
f ∈ R[a, b] .
Sei f : [a, b] −→ R , a ≤ b.
Definitionen:
Z
b
(a) Für a = b :
f (x) dx = 0 .
a
a
Z
b
Z
(b) Ist f ∈ R[a, b] :
f (x) dx = −
b
f (x) dx .
a
Folgerung 17 Seien f ∈ R[a, b] , a1 , b1 , c1 ∈ [a, b]. Dann gilt:
Z
b1
Z
c1
f (x) dx +
Z
a1
f (x) dx +
a1
b1
f (x) dx = 0 .
c1
Folgerung 18 Seien f, g : [a, b] −→ R stetig bis auf endlich viele Punkte
xi , 1 ≤ i ≤ ` , und f (x) = g(x) ∀x ∈ [a, b] \ {x1 , . . . , x` } . Dann gilt
Z
b
Z
f (x) dx =
a
Bemerkung:
b
g(x) dx .
a
Es gilt die weitergehende Aussage in Heuser 1 [Heu02], Satz
79.6, S. 454.
- 84 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
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11
Integration und Differentiation
11.1
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Satz 1 (Mittelwertsatz)
Sei f ∈ C[a, b] , g ∈ R[a, b] , g ≥ 0. Dann gilt f · g ∈ R[a, b], und es gibt ein
ξ ∈ [a, b] mit
Z b
Z b
g(x) dx .
(f · g)(x) dx = f (ξ)
a
a
Folgerung 2 Ist f ∈ C[a, b], so gibt es ξ ∈ [a, b] mit
Z b
f (x) dx = f (ξ)(b − a) .
a
Definitionen:
1. Ist Z : a = x0 < . . . < xN = b eine Zerlegung von [a, b], so heißt
∆Z := max (xk − xk−1 )
1≤k≤N
die Feinheit (oder das Feinheitsmaß ) von Z.
2. Seien f : [a, b] −→ R , Z : a = x0 < . . . < xN = b, ξk ∈ [xk−1 , xk ] , k =
1, . . . , N . Die Zahl
SZ :=
N
X
f (ξk )(xk − xk−1 )
k=1
heißt die Riemannsche Summe von f (zur Zerlegung Z mit Stützstellen
ξ1 , . . . , ξN ).
Satz 3 Seien f ∈ C[a, b] , (Zn )n∈N eine Folge von Zerlegungen von [a, b]
und (SZn )n∈N eine zugehörige Folge von Riemannschen Summen. Gilt
lim ∆Zn = 0 ,
n
- 85 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
so folgt
Z
n
b
f (x) dx .
lim SZn =
a
a
Z
Beispiel:
Berechnung von
1
Wähle
(n)
xk
1
dx für a > 1.
x
k
n
(n)
:= a , k = 0, . . . , n , Zn : x0
(n)
(n)
< . . . < xn , und ξk
:=
(n)
xk−1 , k = 1, . . . , n. Dann
1
SZn = n a n − 1 ,
lim ∆Zn = 0 ,
n
Z
1
a
1
dx = lim SZn = ln a .
n
x
Numerische Integration (zur numerischen Approximation von Integralen) durch geschickte Wahl der Stützstellen in den Riemannschen Summen:
b−a
(Schrittweite), xk := a + kh , k =
Sei f ∈ R[a, b] , N ∈ N, h :=
N
0, . . . , N ,
Z : a = x0 < x1 < · · · < xN = b
äquidistante Zerlegung .
Rechteckregel: ξk := xk , k = 1, . . . , N ,
Z
b
f (x) dx ≈ h
a
N
X
f (xk ) .
k=1
1
Mittelpunktregel (oder Tangententrapezformel ): ξk := (xk + xk−1 ) , k = 1, . . . , N ,
2
Z
b
a
11.2
N
X
xk + xk−1
f (x) dx ≈ h
f
.
2
k=1
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Definition:
Sei f : D −→ R. Eine Funktion F : D −→ R heißt Stamm-
funktion von f genau dann, wenn gilt:
F ist differenzierbar, F 0 (x) = f (x) ∀x ∈ D .
- 86 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
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Folgerung 4 Sei f : [a, b] −→ R , F Stammfunktion von f . Dann sind für
G : [a, b] −→ R äquivalent:
(a) G ist Stammfunktion von f .
(b) ∃γ ∈ R
∀x ∈ [a, b] : G(x) = F (x) + γ .
Sei f ∈ R[a, b] , c ∈ [a, b]. Die Funktion
Z x
[a, b] 3 x 7→
f (t) dt ∈ R
Definition:
c
heißt ein unbestimmtes Integral von f .
Lemma 5 Sei f ∈ C[a, b]. Dann ist jedes unbestimmte Integral eine Stammfunktion.
Satz 6 (Hauptsatz) Sei f ∈ C[a, b], F Stammfunktion von f . Dann gilt
Z b1
f (t) dt = F (b1 ) − F (a1 ) ∀a1 , b1 ∈ [a, b] , a1 ≤ b1 .
a1
Bemerkung:
Die Fläche unter dem Graph einer stetigen Funktion läßt
sich bei Kenntnis einer Stammfunktion mit Satz 6 sofort berechnen.
Bezeichnung:
Z
f (t) dt
stellt ein Symbol für die Gesamtheit der Stammfunktionen dar.
Schreibweise:
F (b) − F (a) =: F (x)|ba
Beispiele:
- 87 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
1. f : [0, 1] 3 t −→ t2 ∈ R ,
2. F (x) =
1
Stammfunktion: F (x) = x3 , x ∈ [0, 1] .
3
1 αx
e , x ∈ R , ist Stammfunktion von eαt . Also
α
Z a
1
eαt dt = (eαa − 1) .
α
0
3. F (x) = ln x , x > 0 , ist Stammfunktion von
a
Z
1
11.3
1
. Also
x
1
dt = ln a − ln 1 = ln a .
t
Substitutionsregel
Satz 7 (Substitutionsregel)
Seien f ∈ C[a, b] , g ∈ C[α, β], und es gelte:
i. g ist stetig differenzierbar,
ii. g([α, β]) ⊂ [a, b] .
Dann gilt:
Z
g(β)
Z
β
f (t) dt =
g(α)
f (g(y))g 0 (y) dy .
α
Beispiele:
β
Z
(c + dy)n dy , α, β ∈ R , d 6= 0 , n ∈ N.
1. Berechne
α
Setze g(y) := c + dy , y ∈ R , f (t) = tn , t ∈ R. Dann folgt
Z
β
α
y=β
1
n+1 (c + dy) dy =
(c + dy)
.
d(n + 1)
y=α
n
- 88 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
dp
Z
2. Berechne
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1 − x2 dx
für −1 ≤ c < d ≤ 1 .
c
Substitution: x = sin(y) , y ∈ [a, b] , a := arcsin(c) , b := arcsin(d).
Dann folgt
Z
dp
1 − x2 dx =
c
Speziell (wegen
Z
1
p
π
= arcsin(1) = − arcsin(−1)):
2
1 − x2 dx =
−1
11.4
p
1 p
d 1 − d2 − c 1 − c2
2
1
+ (arcsin(d) − arcsin(c)) .
2
π
.
2
Partielle Integration
Satz 8 Seien f, g ∈ [a, b] −→ R stetig differenzierbar. Dann gilt:
Z
b
a
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x)|ba −
Z
Beispiel: 1) Ia,b (p) :=
b
tp e−t dt
Z
b
f 0 (x)g(x) dx .
a
für 0 < a 0 ;
a
Es gilt Ia,b (p) = −bp e−b + ap e−a + p Ia,b (p − 1).
Definiert man I(p) := lim lim Ia,b (p) , dann existieren die Limites
b→∞
a→0
und es gilt I(n) = n!
Z ∞
(Wir schreiben:
tn e−t dt = n! ; dies ist ein uneigentliches Integral“)
”
0
Definition:
Uneigentliches Integral
Sei −∞ < a < b ≤ ∞, f ∈ R[a, β] ∀β ∈ [a, b]. Ist b = ∞ oder f in [a, b]
nicht beschränkt, dann heißt
Z
b
f (t) dt
a
- 89 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Analysis, Arbeitsmaterialien
uneigentliches Integral bei b. Falls
β
Z
f (t) dt
lim
β→b
a
existiert, heißt das uneigentliche Integral konvergent; der Wert des uneigentlichen Integral ist
Z
Zβ
b
f (t) dt := lim
f (t) dt;
β→b
a
a
Z
b
andernfalls heißt
f (t) dt divergent.
a
Bemerkung: Man erklärt uneigentliche Integrale an der unteren Grenze
Z b
Z a
über
... = −
...
a
b
Beispiele:
Z
∞
2)
−t
e
0
Z
3)
0
Z
4)
1
Z
β→∞ 0
1
dt = lim
β→0
t
∞
β
dt = lim
1
Z
β
e−t dt = 1
1
dt = ∞ divergent!
t
tp−1 e−t dt ist konvergent (s. Beispiel 1)
0
Die Abbildung
Z
d: (0, ∞) 3 p 7→
∞
tp−1 e−1 dt ∈ R
0
heißt Eulersche Gammafunktion.
- 90 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
11.5
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Das Taylorsche Restglied in Integralform
Satz 9 Sei f : [a, b] −→ R n + 1-mal stetig differenzierbar, und sei x0 ∈
[a, b]. Dann gilt für x ∈ [a, b] :
Z
n
X
1 x
1 (k)
k
(x − t)n f (n+1) (t) dt .
f (x) =
f (x0 )(x − x0 ) +
k!
n! x0
k=0
Bezeichnung:
1
Rn (x) :=
n!
Z
x
(x − t)n f (n+1) (t) dt
x0
heißt Restglied der Taylorentwicklung in Integralform.
11.6
Integrationsrezepte
Wiederholung:
Z
1
xα dx =
xα+1
α
+
1
Z
Z
cos x dx = sin x ,
sin x dx = − cos x
Z
Z
1
1
eαx dx = eαx ,
dx = ln x
α
x
Z
1
dt = arctan(t)
1 + t2
p
Zu rationalen Funktionen, d. h. Funktionen der Form , wobei p, q Polynoq
p
me, sind Stammfunktionen stets angebbar. Für erreicht man durch Diviq
sion mit Rest (Euklidischer Algorithmus), daß für die zu betrachtenden Polynome der Grad von p kleiner als der von q ist. Nach dem Fundamentalsatz
der Algebra läßt sich das Polynom q schreiben als Produkt von Polynomen
ersten und zweiten Grades,
q(x) =
m
Y
j=1
(Aj x + Bj )sj
`
Y
(Ak x2 + 2Bk x + Ck )rk .
k=1
- 91 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Macht man nun für
p(x)
q(x)
=
Analysis, Arbeitsmaterialien
p
den Ansatz
q
sj
m X
X
j=1 `=1
+
α`
(Aj x + Bj )`
rk ` X
X
k=1 i=1
βi
γi x
+
2
i
2
(Ak x + 2Bk x + Ck )
(Ak x + 2Bk x + Ck )i
dann lassen sich die Koeffizienten α` , βi , γi durch Koeffizientenvergleich bep
stimmen. (Dieses Verfahren der Zerlegung von
in einfache Funktionen
q
heißt Partialbruchzerlegung.)
Beispiele:
1.
4
x2 − 2x + 1
=x−3+
.
x+1
x+1
2.
x2 − x + 1
α
β
γx
=
+ 2
+ 2
,
3
2
x − x + 2x − 2
x−1 x +2 x +2
da für das Nennerpolynom gilt x3 −x2 +2x−2 = (x−1)(x2 +2); Ausmul1
1
2
tiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert: α = , β = − , γ = .
3
3
3
Der obige Ansatz zeigt, daß es für rationale Funktionen genügt, die Stammfunktionen der folgenden Funktionen zu kennen:
Typ 1:
1
,
(Ax + B)k
Typ 2:
1
,
(Ax2 + 2Bx + C)k
A 6= 0 , k ≥ 1 ;
D := AC − B 2 > 0 ;
x
,
+ 2Bx + C)k
A 6= 0 , k ≥ 1 ;
D := AC − B 2 > 0 ;
Typ 3:
(Ax2
A 6= 0 , k ≥ 1 ;
- 92 -
,
Analysis, Arbeitsmaterialien
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zu Typ 1: Substitution t = Ax + B (i. e. x = A−1 (t − B)),
Z
Z
1
dx
dt
=
;
k
A
(Ax + B)
tk
√
zu Typ 2: Substitution x = A−1 ( D t − B) ,
Z
Z
dx
Ak−1
dt
=
;
2 + 1)k
k− 12
(Ax2 + 2Bx + C)k
(t
D
die Stammfunktion von (t2 + 1)−k läßt sich rekursiv berechnen:
Z
dt
= arctan(t)
k=1 :
2
t +1
Z
Z
dt
1
t
2k − 1
dt
k+1 :
=
+
2
k+1
2
k
2
2k (t + 1)
2k
(t + 1)
(t + 1)k
zu Typ 3:
Z
x dx
2
(Ax + 2Bx + C)k
1
2A
=
Z
B
−
A
2Ax + 2B
dx
+ 2Bx + C)k
(Ax2
Z
(Ax2
dx
+ 2Bx + C)k
2. Integral: Typ 2.
1. Integral: g(x) := Ax2 + 2Bx + C
Z
Beispiel:
Z
2Ax + 2B
dx =
2
(Ax + 2Bx + C)k
x
1
dx =
2
x +x+1
2
Z
Z

 ln g
, k=1
g 0 (x)
dx
=
1
k

g(x)
g −k+1 , k > 1
−k + 1
2x + 1
1
dx −
2
x +x+1
2
Z
x2
dx
,
+x+1
wobei
Z
2x + 1
dx = ln(x2 + x + 1) ,
x2 + x + 1
Z
Z
dx
2
dt
2
2
1
=√
= √ arctan √ (x + ) .
x2 + x + 1
t2 + 1
2
3
3
3
- 93 -
.
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12
Analysis, Arbeitsmaterialien
Reihen und Funktionen
folgt noch
13
Metrische und topologische Räume
folgt noch
14
Vollständige metrische Räume, Banachräume
folgt noch
15
Der euklidische Raum
Rn
folgt noch
16
Differenzierbarkeit im
Rn
folgt noch
17
Der Satz über implizite Funktionen
folgt noch
- 94 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
A
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Grundlagen der Aussagenlogik
Bezeichnungen
Aussagen sind Sätze, deren Inhalt entweder wahr oder falsch ist.
Wahrheitswerte
W : wahr (gelegentlich auch T für engl. true)
F : falsch (engl. false)
Aussagenvariablen p,q sind Buchstaben oder andere Zeichen, an deren Stelle
Aussagen oder Wahrheitswerte gesetzt werden können.
Aussageformen sind Aussagen, die Aussagenvariablen enthalten. Die folgenden Sonderfälle logischer Aussageformen sollen besonders hervorgehoben
werden.
Eine Aussageform, die bei jeder Belegung ihrer Variablen den Wahrheitswert
• W annimmt, heißt Wahrform (Tautologie, logisch wahre Aussageform,
logisches Gesetz),
• F annimmt, heißt Falschform (Kontradiktion, logisch falsche Aussageform, logischer Widerspruch).
Eine Aussageform, die weder Wahrform noch Falschform ist, heißt Neutralform (Neutralität, logisch teilgültige Aussageform).
Verknüpfungszeichen, Verknüpfungen
Verknüpfungen von Aussagen zu einer neuen Aussage bezeichnet man auch
als Junktionen. Die Verknüpfungszeichen ¬, ∧ , ∨ , → , ↔ , ←7→ nennt
man Junktoren.
- 95 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Bezeichnung
Schreibweise
Sprechweise
¬p
nicht p
Konjunktion
p∧q
p und q
Disjunktion
p∨q
p oder q (einschließendes (in-
Negation
klusives) oder)
¬p ∨ q, auch: (p → q)
Subjunktion
p subjungiert q
Bijunktion
(p → q) ∧ (q → p), auch: (p ↔ q)
Antivalenz
¬(p ↔ q), auch: (p ←7→ q)
(Alternative)
p bijungiert q
entweder p oder q (ausschließendes (exklusives) oder)
Wahrheitstafel zu den Verknüpfungen
p
q
¬p
p∧q
p∨q
p → q
p ↔ q
p ←7→ q
W
W
F
W
W
W
W
F
W
F
F
F
W
F
F
W
F
W
W
F
W
W
F
W
F
F
W
F
F
W
W
F
Beispiele:
• p ∨ ¬p, ¬(p ∧ q) ∨ q sind Tautologien.
• p ∧ ¬p, ¬(p ∨ q) ∧ q sind Kontradiktionen.
• p ∨ q, p ∧ q, p → q sind Neutralformen.
Seien A und B Aussageformen. Man sagt:
• A impliziert B ( A ⇒ B ), wenn A → B eine Tautologie ist (andere Sprechweisen: wenn B, dann A, B folgt aus A, A ist hinreichende
- 96 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
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Bedingung für B, B ist notwendige Bedingung für A), und spricht von
logischer Implikation,
• A ist äquivalent zu B ( A ⇔ B ), wenn A ↔ B eine Tautologie ist
(andere Sprechweise: A genau dann, wenn B), und spricht von logischer
Äquivalenz.
Beispiel:
p ∧ q ⇒ p ∨ q, weil p ∧ q → p ∨ q eine Tautologie ist.
Gesetze der Aussagenlogik
Kommutativgesetze
1. p ∨ q ⇔ q ∨ p
2. p ∧ q ⇔ q ∧ p
Assoziativgesetze
1. (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
2. (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
Distributivgesetze
1. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
2. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Idempotenzgesetze
1. p ∨ p ⇔ p
- 97 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
2. p ∧ p ⇔ p
Absorptionsgesetze (Verschmelzungsgesetze)
1. p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
2. p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
de Morgan–Gesetze
1. ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
2. ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
Andere Verneinungsgesetze
1. ¬(¬p) = p
2. ¬W = F
3. ¬F = W
Satz vom ausgeschlossenen Dritten
p ∨ ¬p ist eine Tautologie.
Satz vom Widerspruch
p ∧ ¬p ist eine Kontradiktion.
Kontrapositionsgesetz
(p → q) ⇔ (¬q → ¬p)
- 98 -
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Transitivgesetz
((p → q) ∧ (q → r)) ⇒ (p → r)
Abtrenngesetze
1. p ∧ (p → q) ⇒ q (direkter Schluß)
2. (p → q) ∧ ¬q ⇒ ¬p (indirekter Schluß)
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B
Analysis, Arbeitsmaterialien
Theoretische Übungsaufgaben
für Mathematiker und Physiker zu Analysis I
Übungen (1)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Lösen Sie folgende Ungleichungen über Re . Skizzieren Sie zudem die Lösungsmenge auf der x−Achse.
a)
x+3
2x−5
> 3;
b)
|x|−1
x2 −1
≥ 12 ;
c) |x − |x − 1|| > −2x + 1.
Hinweis:
Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen für x.
Aufgabe 2
Seien A, B und C Teilmengen von X. Für A ⊂ X ist das Komplement A0
von A in X erklärt durch A0 := X \ A. Zeigen Sie
a) A ∪ B = B ∪ A
(Kommutativgesetz);
b) (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
(Regel von de Morgan);
c) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
Bemerkung:
Die oben angegebenen Regeln für Mengen gelten auch, wenn man jeweils ∪
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durch ∩ und ∩ durch ∪ ersetzt. Die Regel von de Morgan gilt nicht nur für
zwei, sondern auch für eine beliebige endliche oder unendliche Anzahl von
Mengen.
Aufgabe 3
Seien B und C Teilmengen einer Menge A. Zeigen Sie die Äquivalenz von
a) B ⊂ C;
b) B ∩ C = B;
c) B ∪ C = C.
Aufgabe 4
a) Welche der folgenden Formulierungen bzw. Ausdrücke sind mathematische Aussagen, d.h. Sätze denen man unabhängig vom Betrachter
genau einen der Wahrheitswerte wahr oder falsch zuordnen kann? Begründen Sie kurz Ihre Entscheidung.
i) Diese Aufgabe ist sehr schwer.
ii) Dies ist eine Aufgabe zur Aussagenlogik.
iii) Diese Art von Aufgabe kommt in der Klausur vor.
b) Die Aussage q sei gegeben durch Das Parallelogramm D ist ein Qua”
drat.“. Geben Sie jeweils eine andere Aussage p an, so daß gilt:
i) q ⇒ p, aber nicht p ⇒ q;
ii) p ⇒ q, aber nicht q ⇒ p;
iii) p ⇔ q.
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Übungen (2)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgaben für Mathematiker und Physiker:
Aufgabe 1
Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ∀ A, B ⊂ X;
b) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) ∀ C, D ⊂ Y ;
c) f (f −1 (C) ∩ A) = C ∩ f (A) ∀ A ⊂ X, C ⊂ Y.
Aufgabe 2
Seien A, B und C Mengen; seien f : A → B und g : B → C Abbildungen.
Zeigen Sie:
a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.
b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, und es gilt (g ◦ f )−1 =
f −1 ◦ g −1 .
Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 3
Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
a) f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B) ∀ A, B ⊂ X;
b) f −1 (C \ D) = f −1 (C) \ f −1 (D) ∀ C, D ⊂ Y.
Aufgabe 4
Sei X eine Menge, und X ⊂ P(X). X heißt σ−Algebra in X, wenn gilt:
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i) X ∈ X ;
ii) A ∈ X ⇒ A0 ∈ X ;
iii) An ∈ X (n ∈ N) ⇒
S
n∈N An
∈ X.
Zeigen Sie:
a) Ist X eine σ−Algebra, und ist B ⊂ X, so ist
XB := {Z ∩ B | Z ∈ X }
eine σ−Algebra in B.
b) Sei Y eine Menge, sei f : Y → X eine Abbildung. Ist X eine σ−Algebra
in X, so ist
f −1 (X ) := {f −1 (Z) | Z ∈ X }
eine σ−Algebra in Y.
Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivität, Injektivität und
Bijektivität:
a) f : Re → Re , x 7→ 2x − 1;
b) g : [−2; ∞[→ [−2; ∞[, x 7→ x2 − 2x − 1;
c) h : Re \{0} → Re , x 7→
x3
|x| .
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Aufgabe 4
Zwei ohmsche Widerstände R1 und R2 werden zum einen in Reihe mit Gesamtwiderstand Rr und in einer zweiten Schaltung parallel mit Gesamtwiderstand Rp geschaltet. Zeigen Sie, daß zwischen den Gesamtwiderständen
folgende Ungleichung gilt:
Rr ≥ 4Rp .
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Übungen (3)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
Beweisen Sie die richtigen Aussagen und geben Sie für die falschen
Aussagen ein Gegenbeispiel an.
i) Jedes Maximum ist ein Supremum.
ii) Zu jeder Teilmenge von Re gibt es ein Supremum.
iii) Infimum und Minimum sind dasselbe.
iv) Ist s das Supremum einer Teilmenge von Re , so ist s + 1 eine
obere Schranke dieser Teilmenge.
b) Bestimmen Sie – falls vorhanden – das Infimum, Supremum, Minimum
und Maximum der Menge M, die
|x|
M :=
1 + |x|
durch
x ∈ Re ⊂ Re
definiert ist.
Aufgabe 2
Die sog. Fibonacci-Zahlen beschreiben das Fortpflanzungsverhalten von Kaninchen. Das stark vereinfachte Modell sieht folgendermaßen aus:
Ein neugeborenes Kaninchenpaar k1 bringt nach dem ersten und dem zweiten Monat ein neues Paar zur Welt – k2 und k3 . Jetzt kommt k1 für die
weitere Fortpflanzung – aus welchen Gründen auch immer – nicht mehr in
Frage. Der Nachwuchs zeigt nun dasselbe Verhalten wie seine Eltern, wobei
wir voraussetzen, daß jedes Paar aus Männlein und Weiblein besteht und
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beide nicht fremdgehen. Bezeichnet man mit Fn die Anzahl der zu Beginn
des n−ten Monats geborenen Kaninchenpaare, so kann das Modell durch
die folgende Rekursion beschrieben werden:
F1 := 1, F2 := 1, Fn := Fn−1 + Fn−2 für n = 3, 4, . . .
Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion:
a)
F1 + F2 + · · · + Fn−1 + 1 = Fn+1 ,
n ∈ N≥2 ;
b)
Fn−1 Fn+1 = Fn2 + 1,
n ∈ N, n gerade;
c)
2
F2n+1 = Fn+1
+ Fn2 ,
n ∈ N.
Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 3
Gegeben Sei die Menge K := {a, b, c}. Auf K × K seien die Abbildungen +
und · durch die folgenden Tafeln definiert:
+
a
b
c
·
a
b
c
a
c
a
b
a
a
b
c
b
a
b
c
b
b
b
b
c
b
c
a
c
c
b
a
K ist mit den angegebenen Verknüpfungen + und · ein Körper.
a) Bestimmen Sie das Nullelement und das Einselement von K. Verifizieren Sie die entsprechenden Eigenschaften.
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b) Beweisen Sie das Kommutativgesetz bzgl. + und ·.
c) Berechnen Sie x := a + (−c), y := a · c−1 .
Aufgabe 4
Beweisen Sie mit Hilfe der Anordnungsaxiome folgende Rechenregeln:
a) Aus a −b.
b) Aus a 0 folgt ac < bc.
c) Aus a bc.
d) Aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt ac < bd.
Aufgaben Physiker:
Aufgabe 3
Bestimmen Sie – falls vorhanden das Infimum, Supremum, Minimum und
Maximum der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:
a)
1
1 +
m, n ∈ N ;
m n 1 1
x+ <x≤2 .
x 2
A1 :=
b)
A2 :=
Aufgabe 4
In der ehemaligen Sowjetunion wurden Geldscheine nur für 3 und 5 Rubel
gedruckt. Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, daß es möglich
ist, jeden ganzzahligen Betrag ab 8 Rubel in Geldscheinen zu bezahlen.
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Übungen (4)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
a) Verneinen Sie folgende Aussagen:
i) Zu jedem Mann existiert eine Frau, die ihn nicht liebt.
ii) ∀ a, b ∈ Re mit a > b ∃ c ∈ Q : a > c > b.
b) Beweisen Sie durch indirekten Beweis
i)
ii)
√
√
b−
2+
√
a<
√
√
b−a
a, b ∈ Re , b > a > 0;
3 ist irrational.
Hinweis:
Sie dürfen benutzen, daß
√
6 irrational ist.
Aufgabe 2
Zeige Sie mit Hilfe des Satzes von Archimedes und des Wohlordnungssatzes,
daß folgende Aussage gilt:
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl n ∈ Z
mit
n ≤ x < n + 1.
Hinweis:
i) Für x ∈ Z ist die Aussage trivialerweise erfüllt. Für x ∈ Re \Z unterscheide zwischen x ≥ 0 und x < 0. Beweisen Sie die Eindeutigkeit
indirekt.
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ii) Es gibt eine analoge Aussage der Form:
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl
m ∈ Z mit
m − 1 < x ≤ m.
iii) Dadurch werden die Funktionen
bxc := n
bzw.
dxe := m
erklärt. Für bxc ist auch die Gauß-Klammer [x] üblich.
Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 3
Sei X eine Menge; seien A, B ⊂ X. Die symmetrische Differenz A 4 B von
A und B ist definiert durch
A 4 B := {x ∈ X | x ∈ A ∪ B, x 6∈ A ∩ B}.
a) Zeigen Sie
A 4 B = (A ∩ B 0 ) ∪ (A0 ∩ B).
b) Berechnen Sie A 4 B für die folgenden Mengen:
i)
A := {x ∈ Re | x2 > 1}
und B := {x ∈ Re | |x + 0, 5| < 1};
ii)
A := {(x, y) ∈ Re 2 | x2 +y 2 ≤ 2}
- 109 -
und B := {(x, y) ∈ Re 2 | x2 +y 2 ≤ 1}.
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Aufgabe 4:
Auf Re \{2} werde eine Verknüpfung ⊗ durch
a ⊗ b := ab − 2(a + b) + 6,
a, b ∈ Re \{2},
definiert. Zeigen Sie, daß (Re \{2}, ⊗) eine Gruppe ist. Ist diese Gruppe
abelsch, d.h. kommutativ?
Hinweis:
Eine nichtleere Menge G mit einer Verknüpfung ⊗ : G×G → G, (a, b) 7→ a⊗b
heißt Gruppe, wenn sowohl ein neutrales als auch ein inverses Element bzgl.
⊗ existieren und das Assoziativgesetz gilt.
Neutrales Element: ∃ e ∈ G : e ⊗ a = a ⊗ e = a ∀ a ∈ G.
Inverses Element: ∀ a ∈ G ∃ b ∈ G : a ⊗ b = b ⊗ a = e.
Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 3
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
a)
n
X
i=1
1
i3 = n2 (n + 1)2 ,
4
n ∈ N;
b)
n
X
1
1
< 2 − 2,
3
i
n
n ∈ N, n ≥ 2.
i=1
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Anzahl der Tripel (n1 , n2 , n3 ) ∈ N3 mit
n1 + n2 + n3 = n + 1, n ∈ N, n ≥ 2.
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Übungen (5)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
a) Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung:
Sei a ∈ Re , a > −1, sei n ∈ N, dann gilt
(1 + a)n ≥ 1 + na.
b) Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum von
1 n M :=
1− 2
n∈N .
n
Hinweis:
i) Sie können benutzen, daß für n ∈ N und a ∈ Re , 0 < a < 1, die
Ungleichung 0 < an < 1 gilt.
ii) Verwenden Sie Teil a) zum Beweis von b).
Aufgabe 2
a) Zeigen Sie die folgende Gleichheit für die Binomialkoeffizienten:
n
n
n+1
+
=
, n, k ∈ N0 .
k
k+1
k+1
Hinweis:
Für k > n setzt man
n
k
:= 0. Behandeln Sie auch die Fälle k ≥ n.
b) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, daß für beliebige n, k ∈ N
gilt:
n X
k+j−1
j=1
k
- 111 -
=
n+k
.
k+1
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Aufgabe 3
a) Bringen Sie die folgenden Ausdrücke auf die Form x + iy, x, y ∈ Re :
√ 2
1+i√3
3
i
i) i4 + i5 + i6 + i7 ; ii) 1−i
; iii) 1i + 1+i
; iv) 1−i
.
3
b) Beweisen Sie für z ∈ C mit |Re(z)| < 1 die Ungleichung
z |z|
1 − z 2 ≤ 1 − (Re(z))2 .
- 112 -
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Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 4
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion
a)
n
Y
(1 − aj ) ≥ 1 −
j=1
n
X
0 ≤ aj ≤ 1 ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n};
aj ,
j=1
b)



n
n
X
X
1
 ≥ n2 ,

aj  
aj
j=1
aj ∈ Re , aj > 0 ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}.
j=1
Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Teilmengen von C, die durch die folgenden Gleichungen
bzw. Ungleichungen charakterisiert werden, und skizzieren Sie diese:
a)
|z − 1| = |z + 1|;
b)
|z − 2| ≤ |z + 2|;
c)
|z + 1| ≤ |z − 2|;
d)
Re
z+1
z−1
- 113 -
≥ 2, z 6= 1.
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Übungen (6)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Es seien A, B nichtleere Teilmengen von Re . Es gelte
a ≤ b ∀ a ∈ A, b ∈ B.
Beweisen Sie:
a)
s := sup A
und t := inf B
existieren;
b)
sup A ≤ inf B;
c)
sup A = inf B ⇔ ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A, b ∈ B : b − a < ε.
Aufgabe 2
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren
Grenzwert:
a)
an := 2−n (2n − (−2)n ), n ∈ N;
b)
bn := (−1)−n
n2 − n + (−1)n
, n ∈ N;
3n3 − 4n + 5
c)
cn :=
n
X
k=1
1
, n ∈ N;
k(k + 1)
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Hinweis:
Schreiben Sie die Summe in eine Teleskopsumme um.
d)
dn :=
√
n+4−
√
n + 2, n ∈ N.
Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 3
Die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N seien definiert durch
0 < a1 < b1 , an+1 =
2an bn
1
, bn+1 = (an + bn ).
an + bn
2
a) Zeigen Sie, daß die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N beschränkt und monoton sind.
b) Zeigen Sie, daß die Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren,
und bestimmen Sie diesen.
Aufgabe 4
Es sei eine Folge (an )n∈N gegeben mit der folgenden Eigenschaft:
∃ q ∈ Re mit 0 < q < 1 : |an+1 − an | ≤ q|an − an−1 |, n ≥ 2.
Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, daß (an )n∈N konvergiert.
Hinweis:
Benutzen Sie an geeigneter Stelle die geometrische Summenformel
1−q k+1
1−q ,
q 6= 1.
Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 3
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Pk
j=0 q
j
=
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Die rekursive Folge (an )n∈N sei definiert durch
a1 :=
√
6, an+1 =
√
an + 6, n ∈ N.
Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren
Grenzwert.
Aufgabe 4
Betrachten Sie eine Flüssigkeit A1 in einem Behälter B1 und eine Flüssigkeit
A2 in einem Behälter B2 von jeweils 100 cm3 . 10 cm3 von A1 werden nun zur
Flüssigkeit A2 in den Behälter B2 gegeben. Nach gründlichem Vermischen
werden 10 cm3 aus B2 wieder zu der Flüssigkeit in B1 gegeben. Anschließend wird die Flüssigkeit in B1 gründlich vermischt. Im nächsten Schritt
entnimmt man wiederum 10 cm3 aus B1 und schüttet diese in den Behälter
B2 , usw.; d.h. dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt. Die Folge (cn )n∈N
bezeichne die relative Menge der Flüssigkeit A1 im Behälter B1 nach dem
n−ten Schritt.
a) Geben Sie die Rekursionsformel für die Folge (cn )n∈N an.
b) Wie oft muß der Vorgang durchlaufen werden, bis sich in dem Behälter
B1 weniger als 70 cm3 der Flüssigkeit A1 befinden?
c) Zeigen Sie, daß die Folge (cn )n∈N konvergiert, d.h. daß es eine Grenzmischung gibt.
Hinweis:
Betrachten Sie parallel zur Folge (cn )n∈N eine Folge (dn )n∈N bzgl. des Behälters
B2 .
- 116 -
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Übungen (7)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Häufungswerte der unten angegebenen Folgen:
a) an :=
p
n
1 + (−1)n , n ∈ N;
b) bn := | n1 + in |, n ∈ N;
c) cn :=
|z|n
1+|z|n ,
n ∈ N, z ∈ C;
d) dn := nx − [nx], n ∈ N, x ∈ Q.
Aufgabe 2
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen. Zeigen Sie:
a) Konvergiert (an )n∈N , so konvergiert auch (|an |)n∈N , und es gilt
lim |an | = | lim an |.
n→∞
n→∞
Gilt auch die Umkehrung?
b) Konvergiert (an )n∈N , so konvergiert auch
1
n
n
P
j=1
!
aj
, und es gilt
n∈N
n
1X
aj = lim an .
n→∞
n→∞ n
lim
j=1
c) Geben Sie eine divergente Folge an, für welche die zugehörige Folge
der arithmetischen Mittel konvergiert.
Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 3
- 117 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
a) Bestimmen Sie alle Häufungswerte sowie lim inf und lim sup der Folge
(an )n∈N , die definiert ist durch
n(n+1)
2
(−1)n (−1)
an :=
+
2
3
.
b) Zeigen Sie, daß für jede reelle Folge (an )n∈N die folgenden Gleichungen
gelten:
lim sup an = inf{x ∈ Re | x ≥ an für fast alle n} = sup{x ∈ Re | x ≤ an für unendlich viele n}.
n→∞
- 118 -
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Aufgabe 4
Sei (an )n∈N eine Folge. Die Folgen (bn )n∈N und (cn )n∈N seien definiert durch
bn := a2n und cn := a2n+1 . Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Konvergieren (bn )n∈N und (cn )n∈N beide gegen a, dann konvergiert
auch (an )n∈N gegen a.
b) Ist (an )n∈N konvergent, dann sind auch (bn )n∈N und (cn )n∈N konvergent.
c) Es gibt eine Folge (an )n∈N , so daß die beiden Folgen (bn )n∈N und
(cn )n∈N konvergieren, aber nicht die Folge (an )n∈N .
Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 3
Beweisen Sie:
a)
n−1
Q 1+
j=1
b) 3
n n
3
1
j
j
=
nn
n! ,
≤ n! ≤ 2n
n ∈ N;
n n
,
2
n ∈ N.
Hinweis:
i) Benutzen Sie für Teil b) Teil a) und die Abschätzung 2 ≤ 1 +
3, n ∈ N.
ii) Für k > n gilt:
n
P
j=k
aj := 0,
n
Q
aj := 1.
j=k
Aufgabe 4
- 119 -
1 n
n
<
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√
a) Ein Schiff fährt 3 2 km in Richtung Nordost, danach 5 km nach
√
Westen, dann 1 km nach Süden und schließlich 2 2 km nach Nordwest. Wie weit entfernt und in welcher Richtung vom Ausgangspunkt
befindet sich das Schiff. Benutzen Sie zur Berechnung die Gaußsche
Zahlenebene.
b) Sie finden eine Anleitung zur Schatzsuche auf einer Insel:
Auf der Insel befinden sich zwei Bäume A und B sowie ein Galgen.
”
Man gehe vom Galgen direkt zu Baum A und zähle die Schritte, wende sich im rechten Winkel nach links und gehe die gleiche Schrittzahl
geradeaus und markiere den Endpunkt. Die gleiche Prozedur vollziehe
man für Baum B, wende sich in diesem Fall aber nach rechts. Auf
der Hälfte der Strecke der zwei markierten Punkte fange man an zu
graben.“
Sie fahren zur Insel und finden die Situation wie beschrieben vor – nur
der Galgen ist verschwunden. Sie sind zunächst bestürzt, überlegen eine Weile und freuen sich dann allerdings, in der Analysis die Gaußsche
Zahlenebene und die komplexen Zahlen kennengelernt zu haben. Sie
können den Grabungspunkt nämlich ohne Kenntnis der Position des
Galgens bestimmen.
Hinweis:
Wählen Sie den Nullpunkt geeignet. Was bedeutet die Multiplikation
mit i bzw. −i geometrisch?
- 120 -
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Übungen (8)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie
den Wert der konvergenten Reihen:
a)
∞
X
n=1
n2
n+4
;
− 3n + 1
b)
∞
X
n=1
c2n+1
,
(1 + c2 )n
c ∈ Re ;
c)
∞
X
n=1
1
.
n(n + 1)(n + 2)
Hinweis:
Um die Divergenz einer Reihe nachzuweisen, kann man das Minorantenkriterium benutzen:
Gibt es eine Folge (bn )n∈N nichtnegativer Zahlen mit bn ≤ an , n ∈ N, und
∞
∞
P
P
bn = ∞, dann divergiert auch die Reihe
an .
n=1
n=1
Aufgabe 2
a) Beweisen Sie das sog. Reihenverdichtungskriterium:
Ist (an )n∈N eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen, so kon∞
P
vergiert die Reihe
an genau dann, wenn die verdichtete Reihe
∞
P
n=1
2n a2n konvergiert.
n=1
- 121 -
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b) Verwenden Sie das Reihenverdichtungskriterium, um zu zeigen, daß
die Reihe
∞
X
1
,
nα
α ∈ Q,
n=1
für α > 1 konvergiert und für α ≤ 1 divergiert.
- 122 -
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Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 3
a) Die Folgen (an )n∈N0 , (bn )n∈N0 und (cn )n∈N0 seien definiert durch
n
X
(−1)n
an := bn := √
, cn :=
an−k bk ,
n+1
k=0
Zeigen Sie, daß die Reihen
Cauchy-Produkt
∞
P
∞
P
an und
n=0
∞
P
n ∈ N0 .
bn konvergieren, aber ihr
n=0
cn nicht konvergiert.
n=0
b) Zeigen Sie, daß für |x| < 1 gilt:
∞
X
(n + 1)xn =
n=0
1
.
(1 − x)2
Aufgabe 4
Es seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei beschränkte Folgen nichtnegativer Zahlen.
Zeigen Sie:
a) lim sup an bn ≤
n→∞
lim sup an
lim sup bn ;
n→∞
n→∞
b) Ist (an )n∈N konvergent, so gilt
lim sup an bn =
n→∞
lim an
n→∞
lim sup bn .
n→∞
Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a)
∞
X
n!
;
nn
n=1
- 123 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
b)
∞
X
n=1
(−n)n
;
(n + 1)n+1
c)
2
∞
X
(n + 1)n
n=1
nn2 2n
;
Aufgabe 4
Stellen Sie sich vor, es ist wieder Bastelabend in der Fachschaft. Sie bieten
dieses Jahr an, einen Turm von Hanoi“ bauen zu wollen, dessen Bauanlei”
tung Sie von Ihrer letzten Schatzsuche mitgebracht haben. Dieser soll die
folgende Gestalt haben: Die erste Platte soll einen Durchmesser von 10 cm
haben, jede folgende Platte besitzt genau den halben Durchmesser der vorhergehenden. Weiterhin soll die erste Platte 4 cm dick sein, die zweite halb
so dick wie die erste, die Dicke der dritten Platte soll ein Drittel der zweiten
betragen usw.. Sie stellen sich nun folgende Fragen:
a) Welche Dicke und welchen Durchmesser besitzt die n−te Platte?
b) Welche Gesamthöhe Hn und welches Gesamtvolumen Vn besitzt der
Turm Tn , der aus den ersten n Platten besteht?
c) Welche Höhe hätte eigentlich T∞ und wieviel cm3 Holz wären für den
Bau eines solchen Turmes nötig?
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Übungen (9)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
a) Beweisen Sie die Stetigkeit der folgenden Funktionen in x = a mit
Hilfe der ε − δ−Definition der Stetigkeit:
i) f : (0; 1) 3 x 7→
ii) f : Re 3 x 7→
√
x ∈ Re ;
1
1+x2
∈ Re ;
a ∈ (0; 1);
a ∈ Re .
b) Untersuchen Sie die folgende Funktion f : Re → Re auf Stetigkeit in
Re :


 |x − 2| (x2 +x−6)(x+2) , x 6= 2 
x2 −4x+4
f (x) :=
.
 20,
x=2 
Aufgabe 2
Eine Funktion f : D ⊂ Re → Re heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante
0 ≤ L < ∞ existiert, so daß für alle x, y ∈ D gilt:
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|.
Zeigen Sie:
a) Jede auf D Lipschitz-stetige Funktion ist auch stetig in D.
b) Der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen ist ein Vektorraum über
Re .
c) Ist D ein Intervall, dann ist auch das Produkt zweier Lipschitz-stetiger
Funktionen wieder Lipschitz-stetig.
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Aufgabe 3
Die Funktion f : Re → Re sei gegeben durch
f (x) :=
9x3 − 18x2 − 2x + 2
.
x2 + 1
Zeigen Sie, daß f mindestens eine Nullstelle in den Intervallen [−1; 0] und
[0; 1] besitzt. Gibt es eine weitere Nullstelle im Intervall [1; ∞)?
Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 4
Für die Funktion f : Re → Re gelte f (0) = 1 und
f (x + y) ≤ f (x)f (y) ∀ x, y ∈ Re .
Zeigen Sie, daß f in Re stetig ist, wenn f im Nullpunkt stetig ist.
Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 4
Das Trägheitsmoment eines Systems aus N Massenpunkten mj , j ∈ {1, . . . , N },
ist definiert durch
Θ=
N
X
mj rj2 ,
j=1
wobei rj den Abstand des Massenpunktes mj senkrecht zur Drehachse angibt. Der Begriff des Trägheitsmomentes läßt sich mit Hilfe eines Grenzwertprozesses auch auf homogene Körper wie z.B. die Scheiben des Turms
von Hanoi (vgl. Blatt 8) fortsetzen. Berechnen Sie das Trägheitsmoment der
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ersten Holzscheibe, wobei die Dichte ρ als konstant vorausgesetzt sei. Die
Rotationsachse stehe dabei senkrecht auf der Scheibe und gehe durch den
Mittelpunkt.
Hinweis:
i) Zerlegen Sie die Scheibe in n Kreisringe, wobei die Differenz des äußeren und des inneren Radius konstant sein soll.
ii) Schätzen Sie die Trägheitsmomente dieser Kreisringe geeignet nach
oben und unten ab.
iii) Summieren Sie diese Teilergebnisse und vereinfachen Sie diese mit Hilfe
der Formeln für
n
X
i=1
i,
n
X
i=1
2
i ,
n
X
i3 .
i=1
iv) Führen Sie nun den Grenzwertprozeß mit n → ∞ durch.
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Weihnachts-Übungsblatt
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1: Vollständige Induktion
Für welche n ∈ N0 sind folgende Aussagen wahr?
a) 2n + 1 ≤ 2n ;
b) n2 ≤ 2n .
Aufgabe 2: Urbilder von Mengen
Seien X, Y nichtleere Mengen. Sei f : X → Y eine Funktion. Zeigen Sie:
a) Sind A ⊂ Y und B ⊂ Y disjunkt, dann sind auch f −1 (A) und f −1 (B)
disjunkt.
b) Sei Y das kartesische Produkt zweier nichtleerer Mengen Y1 , Y2 , d.h.
Y := Y1 × Y2 . Sei f := (f1 , f2 ) definiert durch die Komponenten f1 :
X → Y1 und f2 : X → Y2 . Für beliebige Teilmengen A1 ⊂ Y1 und
A2 ⊂ Y2 gilt
f −1 (A1 × A2 ) = f1−1 (A1 ) ∩ f2−1 (A2 ).
Aufgabe 3: Reihen
a) Sei
∞
P
an eine Reihe. Zeigen Sie:
n=1
p
Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim sup n |an | < 1 gilt;
p n→∞
die Reihe divergiert, wenn lim sup n |an | > 1 gilt;
n→∞
die Reihe kann sowohl divergent als auch konvergent sein, wenn lim sup
n→∞
1 gilt.
Hinweis:
Eine analoge Aussage gilt für das Quotientenkriterium.
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p
n
|an | =
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b) Zeigen Sie die Divergenz folgender Reihen:
i)
∞
P
(−1)n
√
n
n;
n=1
ii)
∞
P
n=1
72n
.
(4+(−1)n )3n
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Aufgabe 4: Logarithmus- und Hyperfunktionen
a) Beweisen Sie die Funktionalgleichung für die Logarithmusfunktion:
ln(xy) = ln(x) + ln(y), x, y > 0.
b) Beweisen Sie für x, y ∈ Re folgende Beziehungen für die Funktionen
cosh und sinh :
i) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y);
ii) sinh(x + y) = cosh(x) sinh(y) + sinh(x) cosh(y);
iii) cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1.
Hinweis:
Sie dürfen die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion benutzen.
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Übungen (10)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Zeigen Sie, daß die folgenden Funktionen auf dem Intervall I := (−1, 1)
streng monoton und stetig sind und bestimmen Sie die Ableitungen der
Umkehrfunktionen f −1 bzw. g −1 an den Stellen f (0) bzw. g(0).
a) f : I 3 x 7→ x3 − 3x + 3 ∈ Re ;
b) g : I 3 x 7→ ln(−(x − 1)2 + 5) ∈ Re ;
Aufgabe 2:
a) Beweisen Sie:
Sind h1 > 0, h2 differenzierbar auf D ⊂ Re , dann gilt für h(x) :=
h1 (x)h2 (x)
h0 (x) =
h02 (x) ln(h1 (x)) + h2 (x)
h01 (x)
h1 (x)
h1 (x)h2 (x) ,
x ∈ D.
b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
i) f : Re + 3 x 7→ (3x)ln(x) ∈ Re ;
ii) g : Re 3 x 7→
xe−x
(1+x2 )2
∈ Re ;
Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 3:
Zeigen Sie ohne die Differenzierbarkeit zu benutzen, daß die folgenden Funktionen
auf
Definitionsbereich gleichmäßig stetig sind:
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ihrem
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a) f : (0, 2) 3 x 7→ x3 ∈ Re ;
b) g : Re 3 x 7→
1
1+|x|
∈ Re ;
Aufgabe 4:
Eine Funktion f : [a, b] → Re heißt genau dann streng konvex, wenn gilt
f (tx + (1 − t)y) < tf (x) + (1 − t)f (y) ∀ t ∈ (0, 1), ∀ x, y ∈ [a, b], x 6= y.
a) Zeigen Sie, daß es genau ein z ∈ [a, b] gibt mit
f (z) = min f (x),
x∈[a,b]
falls f : [a, b] → Re streng konvex und stetig ist.
b) Gilt die Aussage von a) auch für das Maximum?
c) Zeigen Sie, daß f : [−2, 3] 3 x 7→ x2 ∈ Re streng konvex ist.
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Aufgaben Physiker:
Aufgabe 3:
Beweisen Sie folgenden Gleichungen für n ≥ 2, indem Sie die Ableitungen
geeigneter Funktionen benutzen und diese an passender Stelle auswerten:
a)
n
P
k=1
b)
n
P
k
n
k
= n2n−1 ;
k(k − 1)
k=1
n
k
= n(n − 1)2n−2 .
Hinweis:
Die Funktionen sind Polynome.
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms
p(x) := ax2 + bx + c,
so daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
i) Das Polynom p besitzt eine Nullstelle für x = 1.
ii) Die Tangente im Punkt (2, p(2)) ist parallel zu der Geraden y +2x = 2.
iii) Die Tangente im Punkt (−1, p(−1)) steht senkrecht auf der Geraden
y − x = 5.
Hinweis:
Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Produkt ihrer
Steigungen −1 ist.
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Übungen (11)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Die Funktion f : Re ⊃ D → Re sei gegeben durch
f (x) =
x3
, x ∈ D.
x2 − 1
Unterziehen Sie die Funktion f einer Kurvendiskussion:
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Schnittpunkte mit
den Achsen.
b) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie: Ist f ggf. eine gerade
oder ungerade Funktion?
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f und untersuchen Sie
das Verhalten von f für x → ±∞.
d) Bestimmen Sie alle Maxima sowie Minima (lokale, globale), Wendeund Sattelpunkte.
e) Zeichnen Sie die Funktion f für x ∈ [−6, 6].
Hinweis:
i) Eine Funktion g heißt gerade bzw. ungerade, wenn gilt
g(x) = g(−x)
bzw. g(x) = −g(−x) ∀ x ∈ D.
ii) Ein Wende- bzw. Sattelpunkt liegt bei der Funktion g u. a. vor, wenn
gilt
g 00 (x) = 0 ∧ g 0 (x), g 000 (x) 6= 0
bzw. g 0 (x) = g 00 (x) = 0 ∧ g 000 (x) 6= 0.
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Aufgabe 2
Der Graph der Funktion f mit f (x) = (x2 − 4)2 schließt mit der x−Achse
eine Fläche ein. Dieser Fläche können Dreiecke einbeschrieben werden, die
gleichschenklig und symmetrisch zur y−Achse sind und deren Spitzen im
Ursprung des Koordinatensystems liegen. Läßt man diese Dreiecke um die
y−Achse rotieren, so entstehen Kegel. Gesucht ist der Kegel mit dem maximalen Volumen.
a) Fertigen Sie eine Zeichnung an, die den Sachverhalt wiedergibt.
b) Zeigen Sie, daß für das Volumen V des Kegels
1
V (r) = π(r3 − 4r)2
3
gilt.
c) Bestimmen Sie mit Hilfe von V (r) den Radius r und die Höhe h des
Kegels mit dem maximalen Volumen sowie das maximale Volumen
Vmax .
Aufgabe 3
Berechnen Sie e1/2 auf 10−3 exakt. Verwenden Sie dazu die Taylorformel mit
Entwicklungspunkt 0 und die Darstellung des Restgliedes nach Lagrange.
Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 4
Zeigen Sie:
Ist die Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig und in (a, b) zweimal differenzierbar, dann ist Sie auf [a, b] streng konvex, wenn gilt
f 00 (x) > 0,
x ∈ (a, b).
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Hinweis:
i) Die strenge Konvexität wurde auf Blatt 10, Aufgabe 4 definiert.
ii) Definieren Sie z := (1 − t)y + tx und nehmen Sie ohne Beschränkung
der Allgemeinheit y < x an. Benutzen Sie an geeigneter Stelle den
Mittelwertsatz.
iii) Gilt in der obigen Aussage f 00 (x) ≥ 0, dann ist f auf [a, b] konvex. Gilt
jedoch f 00 (x) < 0 bzw. f 00 (x) ≤ 0, dann ist f auf [a, b] streng konkav
bzw. konkav.
Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 4
Die Hermite-Polynome Hn sind Lösungen der Differentialgleichung
v 00 − 2yv 0 + ( − 1)v = 0
mit = 2n + 1, n ∈ N0 . Diese Differentialgleichung tritt u. a. in der Quantenmechanik bei der Betrachtung des eindimensionalen Oszillators, der z. B.
die Schwingungen eines zweiatomigen Moleküls beschreibt, auf. Eine Darstellung der Hermite-Polynome lautet
Hn (y) = (−1)n ey
2
dn −y2
e ,
dy n
n ∈ N0 .
a) Begründen Sie kurz, warum Hn ein Polynom ist, obwohl die Exponentialfunktion in der Darstellung auftaucht, und berechnen sie die ersten
4 Hermite-Polynome.
b) Zeigen Sie, daß die Hermite-Polynome Hn der Differentialgleichung
Hn00 − 2yHn0 + 2nHn = 0
genügen.
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c) Zeigen Sie, daß für die Hermite-Polynome die folgende Beziehung gilt:
1
nHn−1 + Hn+1 = yHn ,
2
n ∈ N.
Hinweis:
Sie dürfen in Teil b) und c) die Beziehung Hn0 = 2nHn−1 , n ∈ N, benutzen.
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Übungen (12)
zur Vorlesung Analysis I für Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
ex +e−x −2
;
x2
x→0
a) lim
b) lim
x→0
ex −1 1/x
.
x
Aufgabe 2
Beweisen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung folgende Identitäten:
a) 2 arctan(x) = arcsin
b) 2 arccot
q
1−cos(x)
1+cos(x)
2x
1+x2
,
= π − x,
−1 ≤ x ≤ 1;
0 ≤ x < π.
Aufgabe 3
Beweisen Sie folgende Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:
a) cos
π
2
= 0,
b) cos x +
π
2
sin
π
2
= 1;
= − sin(x),
c) cos(x + π) = − cos(x),
d) cos(x + 2π) = cos(x),
π
2
= cos(x),
x ∈ Re ;
sin(x + π) = − sin(x),
x ∈ Re ;
sin x +
sin(x + 2π) = sin(x),
x ∈ Re .
Sie dürfen dazu nur die Sätze und Definitionen der Vorlesung bis einschließlich Lemma 14 in §11 und die Definition von π benutzen.
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Aufgaben für Mathematiker:
Aufgabe 4
Seien f, g : [a, b] → Re beschränkte Funktionen. Zeigen Sie für die Oberbzw. Unterintegrale:
R
R
R
a) –(f + g)(x)dx ≤ –f (x)dx + –g(x)dx;
R
R
R
b) –(f + g)(x)dx ≥ – f (x)dx + – g(x)dx;
R
R
c) –(cf )(x)dx = c–f (x)dx, c ∈ [0, ∞).
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Aufgaben für Physiker:
Aufgabe 4
Gegeben Sei eine Differentialgleichung der Form
n
X
ak y (k) (x) = g(x),
ak ∈ Re , an 6= 0, n ∈ N0 .
k=0
Zeigen Sie:
a) Ist V die Menge der Lösungen der Differentialgleichung für g = 0,
dann ist V einen Vektorraum.
b) Sei z eine Lösung der Differentialgleichung, und sei Vg die Menge der
Lösungen der Differentialgleichung. Dann gilt
Vg = {z + h | h ∈ V }.
Hinweis:
i) Die obige Differentialgleichung ist eine lineare Differentialgleichung
n−ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
ii) Gilt g = 0, so liegt eine homogene Differentialgleichung vor; ist g 6= 0,
eine inhomogene.
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C
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Theoretische Übungsaufgaben
für Informatiker zu Analysis I
Übungen (1)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Lösen Sie folgende Ungleichungen über Re . Skizzieren Sie zudem die Lösungsmenge auf der x−Achse.
a)
x+3
2x−5
> 3;
b)
|x|−1
x2 −1
≥ 12 ;
c) |x − |x − 1|| > −2x + 1.
Hinweis:
Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen für x.
Aufgabe 2
Seien A, B und C Teilmengen von X. Für A ⊂ X ist das Komplement A0
von A in X erklärt durch A0 := X \ A. Zeigen Sie
a) A ∪ B = B ∪ A
(Kommutativgesetz);
b) (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
(Regel von de Morgan);
c) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
Bemerkung:
Die oben angegebenen Regeln für Mengen gelten auch, wenn man jeweils ∪
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durch ∩ und ∩ durch ∪ ersetzt. Die Regel von de Morgan gilt nicht nur für
zwei, sondern auch für eine beliebige endliche oder unendliche Anzahl von
Mengen.
Aufgabe 3
Seien B und C Teilmengen einer Menge A. Zeigen Sie die Äquivalenz von
a) B ⊂ C;
b) B ∩ C = B;
c) B ∪ C = C.
Aufgabe 4
a) Welche der folgenden Formulierungen bzw. Ausdrücke sind mathematische Aussagen, d.h. Sätze denen man unabhängig vom Betrachter
genau einen der Wahrheitswerte wahr oder falsch zuordnen kann? Begründen Sie kurz Ihre Entscheidung.
i) Diese Aufgabe ist sehr schwer.
ii) Dies ist eine Aufgabe zur Aussagenlogik.
iii) Diese Art von Aufgabe kommt in der Klausur vor.
b) Die Aussage q sei gegeben durch Das Parallelogramm D ist ein Qua”
drat.“. Geben Sie jeweils eine andere Aussage p an, so daß gilt:
i) q ⇒ p, aber nicht p ⇒ q;
ii) p ⇒ q, aber nicht q ⇒ p;
iii) p ⇔ q.
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Übungen (2)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ∀ A, B ⊂ X;
b) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) ∀ C, D ⊂ Y ;
Aufgabe 2
Seien A, B und C Mengen; seien f : A → B und g : B → C Abbildungen.
Zeigen Sie:
a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.
b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, und es gilt (g ◦ f )−1 =
f −1 ◦ g −1 .
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivität, Injektivität und
Bijektivität:
a) f : Re → Re , x 7→ 2x − 1;
b) g : [−2; ∞[→ [−2; ∞[, x 7→ x2 − 2x − 1;
c) h : Re \{0} → Re , x 7→
x3
|x| .
Aufgabe 4
Man bestimme alle reellen Zahlen x, die der Ungleichung
|||1 − x| − x| − x| − x < −
genügen.
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1
10
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Übungen (3)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Sei fn für n ∈ N ∪ {0} die n–te Fibonacci–Zahl, d.h.
f0 := 0 ,
f1 := 1
und
fn+1 := fn + fn−1
für n ≥ 1 .
Zeigen Sie, dass
fn+m = fn−1 fm + fn fm+1 .
Aufgabe 2
Zeigen Sie für jede natürliche Zahl n > 1 die Beziehung
1
1
13
1
+
+ ... +
>
.
n+1 n+2
2n
24
Aufgabe 3
Bestimmen Sie (falls vorhanden) das Infimum, Supremum, Minimum und
Maximum der folgenden Mengen reeller Zahlen.
1 1
+
m, n ∈ N
1.
m n
1 1
2. x + < x ≤ 2
x 2
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Übungen (4)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
In wieviele Teile kann eine Ebene durch n Geraden maximal aufgeteilt werden?
Aufgabe 2
Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n die Zahl 11n+2 + 122n+1 durch
133 teilbar ist.
Aufgabe 3
Man bringe die folgenden komplexen Zahlen auf die Form x + yi.
(a)
(3 + 4i) · (2 − i), (b)
(5 + i)/(1 + i), (c)
1 + i + i2 + i3 , (d)
Aufgabe 4
Welche Funktion wird durch folgenden C-Quelltext berechnet?
int machwas(int n, int m) { int k, r = 0;
for(k = 0; k < n; k++) { if(k < m) { r += k; } else r++; } return
r; }
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i379 .
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Übungen (5)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Lösen Sie den Ausdruck
5
2
1 (x + y)10 + x2 + y 2 + 4 · x5 + y 5 + 4 · x10 + y 10
10
auf.
Aufgabe 2
Man zeige für alle natürlichen Zahlen n und k die Beziehung
n+1
n
n
=
+
.
k+1
k+1
k
Aufgabe 3
Berechnen Sie z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 , z1 /z2 für
√
1. z1 = 1 + i 3, z2 = 1 − i,
2. z1 = 2 + 3i, z2 = 3 − 5i,
3. z1 = 4 − 5i, z2 = 4 + 5i und
4. z1 = i, z2 = −2 − 4i.
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die komplexen Zahlen, die durch folgende Gleichungen bzw.
Ungleichungen gegeben sind. Welche geometrische Form haben sie in der
Gaußschen Zahlenebene?
1. 0 < 2 · =(z) < |z|.
2. |z + 4i − 3| = 3.
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3. |z − 1| = |z − i|.
4. |z + i| ≥ 2 · |z + 1|.
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Übungen (6)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Grenzwerte der durch
1
(a) an = √
(b)
n
(c)
an =
(e)
an =
(3n + 2)(3n − 2)2
9n3 + 3n2
√
n
√
n+1−
√ n
an =
5n + 1
7n − 2
(d)
an = 3−(n+2) (1n + 2n + 3n )
(f)
an =
√
n
n + 7n
gegebenen Folgen (an )n∈N .
Aufgabe 2
Für welche α0 , α1 , α2 ∈ R und β0 , β1 , β2 ∈ R+ := {x ∈ R | x > 0} ist die
durch
an =
α2 n2 + α1 n + α0
β2 n2 + β1 n + β0
bestimmte Folge (an )n∈N konvergent?
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe 3
Sei c ∈ R+ , sei a0 ∈ ] 0 , 1/c [ und sei an für n ∈ N rekursiv durch
an := an−1 (2 − can−1 )
definiert. Zeigen Sie, dass die Folge (an )n∈N monoton wächst und von oben
beschränkt ist, und bestimmen Sie deren Grenzwert.
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Übungen (7)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Welche Folge(n) ist/sind konvergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls den
Grenzwert.
1. an = 1 + − 12 , n ∈ N;
2. an = (−1)n +
1
2n ,
n ∈ N;
3. an = (−1)n (2n + 1), n ∈ N;
4. an =
1
2n+1 ,
5. an = 1 +
n ∈ N;
2 n
,
n
n ∈ N.
Aufgabe 2
Die Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N seien durch
an :=
(3 − n)3
3n3 − 1
bzw.
bn :=
1 + (−1)n n2
2 + 3n + n2
definiert. Man entscheide für jede der beiden Folgen, ob sie beschränkt,
konvergent bzw. divergent ist, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe 3
Für x ∈ C \ {−1} und n ∈ N sei
an (x) =
x−1
x+1
Man bestimme folgende Mengen:
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2n+1
.
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1. A1 = {x ∈ C | (an (x))n∈N ist beschränkt}.
2. A2 = {x ∈ C | (an (x))n∈N ist konvergent}.
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Übungen (8)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.
∞
X
(a)
n=1
1
n(n + 1)(n + 2)
∞
X
(b)
n=2
n2
1
−1
Aufgabe 2
Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
∞
X
8n + 2n
n=0
16n
.
Aufgabe 3
Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren.
√
∞ √
∞ p
X
X
n+1− n
(a)
(b)
( n2 + 1 − n)
n
n=1
n=1
Aufgabe 4
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
(a)
∞
X
√
( n n − 1)n
n=1
(b)
∞
X
n=1
n2
n
2 + n1
- 151 -
(c)
∞
X
n=1
nn
(n + 1)!
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Analysis, Arbeitsmaterialien
Übungen (9)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Ermitteln Sie, für welche reellen Zahlen x die folgenden Terme nicht definiert sind. Für welche dieser Zahlen lassen sich die Terme stetig, für welche
eindeutig stetig fortsetzen?
x2 − 1
.
x2 + 3x + 2
p
2. x2 − 4.
1.
3.
x8 − x3 + 379
.
x2 + x + 1
Aufgabe 2
In den folgenden Termen bestimme man die reellen Unstetigkeitsstellen und
klassifiziere diese nach den Typen:
• hebbare Unstetigkeit, d.h. der Grenzwert existiert,
• Sprungstelle, d.h. links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, sind
aber verschieden,
• Pol,
• keine der obigen Arten.
(a)
(c)
x − 42
|x − 42|
x3 − 3x
x3 − x
(b)
21/x
(d) x · frac
- 152 -
p
|x|
Analysis, Arbeitsmaterialien
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Hierbei ist frac(x) = x − floor(x) der gebrochene Anteil von x.
Aufgabe 3
Die Funktionen fn : R → R seien für n ∈ N durch
fn (x) :=
nx
1 + |nx|
definiert. Man zeige, dass alle diese Funktionen stetig sind. Für welche x ∈ R
ist die Funktion
f (x) = lim fn (x)
n→∞
definiert und wo ist sie stetig?
Aufgabe 4
Man zeige, dass die Gleichung x3 − 3x − 1 = 0 drei reelle Lösungen hat.
Man gebe ein Verfahren an, mit dem sich diese Lösungen beliebig genau
bestimmen lassen und bestimme damit die Lösung mit einer Genauigkeit
von 10 Stellen.
- 153 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Übungen (10)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1:
a) Beweisen Sie:
Sind h1 > 0, h2 differenzierbar auf D ⊂ Re , dann gilt für h(x) :=
h1 (x)h2 (x)
h0 (x) =
h02 (x) ln(h1 (x)) + h2 (x)
h01 (x)
h1 (x)
h1 (x)h2 (x) ,
x ∈ D.
b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
i) f : Re + 3 x 7→ (3x)ln(x) ∈ Re ;
ii) g : Re 3 x 7→
xe−x
(1+x2 )2
∈ Re ;
Aufgabe 2:
Beweisen Sie folgenden Gleichungen für n ≥ 2, indem Sie die Ableitungen
geeigneter Funktionen benutzen und diese an passender Stelle auswerten:
a)
n
P
k=1
b)
n
P
k
n
k
= n2n−1 ;
k(k − 1)
k=1
n
k
= n(n − 1)2n−2 .
Hinweis:
Die Funktionen sind Polynome.
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms
p(x) := ax2 + bx + c,
so daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- 154 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
i) Das Polynom p besitzt eine Nullstelle für x = 1.
ii) Die Tangente im Punkt (2, p(2)) ist parallel zu der Geraden y +2x = 2.
iii) Die Tangente im Punkt (−1, p(−1)) steht senkrecht auf der Geraden
y − x = 5.
Hinweis:
Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Produkt ihrer
Steigungen −1 ist.
- 155 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Übungen (11)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion f (x) = sin(x) im Punkt
x0 = 0. Zeichnen Sie die Funktion f und ihre Näherungen durch die TaylorPolynome bis zum 5. Grad.
Aufgabe 2
2
Für x ∈ R sei p(x) := 3 + 4(x − 1)2 und f (x) := p(x)e−x . Man bestimme
alle lokalen und globalen Extrema.
Aufgabe 3
Man diskutiere den Verlauf der Kurven y = 2+ x212−4 und y = x3 − x13 , d.h. man
bestimme Symmetrieeigenschaften, Definitions- und Wertebereich, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Unstetigkeitsstellen, Asymptoten, Monotoniebereiche, lokale und globale Extrema, Konvexität, Konkavität und
Wendepunkte.
- 156 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Übungen (12)
zur Vorlesung Analysis I für Informatiker
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
sin(3x)
.
x→0
x
1. lim
x − sin x
.
x→0
x3
2. lim
3. lim xx .
x→+0
4. lim x ln x.
x→+0
Aufgabe 2
Diskutieren Sie den Verlauf der folgenden Kurven.
1. f (x) = (x + 2)2/3 − (x − 2)2/3 .
2. f (x) = x − ln(x).
3. f (x) =
x2 − x
.
x2 + 1
Aufgabe 3
Beweisen Sie, dass
x2 + 1
2
≤ 2
≤2
3
x +x+1
für alle
x∈R.
- 157 -
Index
Abbildung, 3, 28
Betragsfunktion, 26, 47, 50
identische, 5, 63
Beweisverfahren, indirektes, 1
injektive, 5
Bijektion, 16, 17, 44
lineare, 82
bijektiv, 5
wohlbestimmt, 4
Bild, 3
wohldefiniert, 4
Bildbereich, 3
Ableitung, 60, 61
höhere, 69
Binomialkoeffizient, 20, 21
Binomischer Lehrsatz, 22
Ableitung k-ter Ordnung, 69
Bisektionsverfahren, 52
Ableitungen
Bruch
linksseitige, 64
absolut konvergent, 41, 43
systematischer, 46
Bruchrechnen, 7
Absolutbetrag, 11, 12
abzählbar unendlich, 16
Cartesisches Produkt, 2
Addition, 25
Cauchy–Folge, 34
Algebraische Verknüpfungen, 48
Cauchy–Produkt, 44
Anordnungsaxiom, 11
Cauchysches Konvergenzkriterium, 34, 39
Anordnungsaxiome, 8
Cosinus, 74
Arithmetisches Mittel, 9
Cosinus hyperbolicus, 56
Assoziativgesetz, 2, 5
Cosinus–Funktion, 73
Assoziativität, 6
Cotangens hyperbolicus, 56
Cotangens–Funktion, 75
Basis, 46
Berührungspunkt, 72
Definitheit, 27
Bernoullische Ungleichung, 22
Definitionsbereich, 3
beschränkt, 9, 30, 34, 38, 54, 79
Definitionsmethode
induktive, 15
nach oben, 9
nach unten, 9
Betrag, 12, 26
Dezimalbruch, 46
Dezimalzahlen, 47
158
Analysis, Arbeitsmaterialien
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Differentialquotient, 61
Feinheitsmaß, 85
differenzierbar, 61–64, 67–69, 71, 73, 86
Fibonacci–Zahlen, 28, 32
Distributivgesetz, 2
Flächeninhalt, 76
divergent, 30, 36, 38, 41, 72
Folge, 28
Dreiecksungleichung, 12, 27
beschränkte, 29, 30, 35
Dualzahlen, 47
Glieder der, 28
Durchschnitt, 1
konstante, 28
Fundamentalsatz der Algebra, 91
Einheit, imaginäre, 25
Funktion, 3
Einselement, 11, 25
gerade, 74
Element
gleichmäßig stetige, 55
additiv inverses, 6
identische, 47, 50
maximales, 10
integrierbare, 83
minimales, 10
konstante, 47, 50
multiplikativ inverses, 6
periodische, 76
neutrales, 6
rationale, 91
Entwicklungspunkt, 70, 71
stetige, 49
Euklidischer Algorithmus, 91
ungerade, 74
Eulersche Gammafunktion, 90
Funktionen, trigonometrische, 73
Eulersche Zahl, 33
g–adische Entwicklung, 46
Exponentenbereich, 46
Exponentialfunktion, 43, 45, 48, 50, 55–
57, 65, 70, 71
Funktionalgleichung der, 45
Extremum
lokales, 66, 72
g–adische Ziffern, 46
ganze Zahlen, 13
Gaußsche Klammer, 48
Gaußsche Klammer, 47
Gaußsche Zahlenebene, 27
Genauigkeit, 46
Faktorisierung in Primzahlen, 19
Gleichheit, 1
Fakultät, 18
gleichmäßig stetig, 55
Fehlerabschätzung, 42, 43
Gleitkommazahl, 46
Feinheit, 85
Graph, 3, 60, 87
- 159 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Analysis, Arbeitsmaterialien
uneigentliches, 89
Grenze
obere, 10
untere, 10
unteres, 79
Integralbegriff
Grenzwert, 29, 49
Lebesguescher, 83
Gruppe, symmetrische, 17
Riemannscher, 81
Integrand, 81
Häufungspunkt, 60–64
Häufungswert, 35, 36
Halbwertzeit, 58
Integrationsvariable, 81
integrierbar, 81–83
Intervall
Hauptsatz, 87
Hexadezimalzahlen, 47
Hintereinanderausführung, 5, 48
Homogenität, 27
kompaktes, 13
Intervalle, 13
Intervallschachtelungsverfahren, 52
Inverses, 11, 25
Homomorphismus, 7
Hyperbelfunktionen, 56, 57
Körper, 7, 25, 26
archimedisch angeordneter, 19
Imaginärteil, 26
Indexmenge, 18
Induktion
Prinzip der vollständigen, 14
Induktionsanfang, 15
Induktionsannahme, 15
Induktionsbehauptung, 15
Induktionsschluss, 15
Induktionsverankerung, 15
Induktionsvoraussetzung, 15
Infimum, 10, 11, 20
injektiv, 5
der rellen Zahlen, 10
Körperaxiome, 6
Kettenregel, 64
Koeffizienten, 92
Koeffizientenvergleich, 92
Kommutativgesetz, 2
Kommutativität, 6
Komplement, 1
Komplemente, 18
Komposition, 48
konvergent, 29–31, 33, 35, 38, 71, 72
Konvergenz
Integral, 78, 81
absolute, 44
oberes, 79
unbestimmtes, 87
Lagrangesche Darstellung, 70
- 160 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Lebesgue, 83
der Integralrechnung, 85
leere Menge, 1
erweiterter, 68
Leibniz–Kriterium, 40, 42
monoton fallend, 32, 51
Limes, 29
monoton wachsend, 32, 38, 51
Limes inferior, 36
Multiplikation, 25
Limes superior, 36
Logarithmus, 58
Funktionalgleichung des, 58
natürlicher, 57
Logarithmusfunktion zur Basis a, 58
Nachfolger, 14
Natürliche Zahlen, 14
Negatives, 11
Newton–Verfahren, 65
Nullelement, 11, 25
Majoranten–Kriterium, 40
Nullfolge, 29–31
Mantissenstellenzahl, 46
Nullfunktion, 77
Maximum, 10, 54
Nullstelle, 52
lokales, 66, 72
Numerische Integration, 86
Menge, 1
N0 , 13
Q, 13
Z, 13
obere Grenze, 81
Oberintegral, 79
Oktalzahlen, 47
abzählbar unendlich, 16
Partialbruchzerlegung, 92
der positiven Zahlen, 8
Partialsumme, 38, 39
dichte, 54
Partielle Integration, 89
endliche, 16
Pascalsches Dreieck, 21
induktiv, 14
Periode, 76
unendliche, 16
Permutation, 20
wohlgeordnet, 16
Polynom, 25, 48, 52, 63, 91
Minimum, 10, 54
Populationsmodell, 69
lokales, 66, 72
verbessertes, 69
Mittelpunktregel, 86
Potenzmenge, 2, 17
Mittelwertsatz
Potenzsumme, 31
der Differentialrechnung, 67
Primzahl, 19
- 161 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
Primzahlen, 18
Restgliedabschätzung, 70
Prinzip der vollständigen Induktion, 14
Riemann–Integral, 81
Produkt, 23
Riemann–integrierbar, 81, 83
unendliches, 39
Quadratwurzel, 20
Sandwich–Theorem, 31
Satz
Quantoren, 4
Umordnungssatz, 44
Quotientenkriterium, 41, 42, 73
von Archimedes, 19
von Bolzano–Weierstrass, 34
Rationale Zahlen, 2
von Rolle, 67
rationale Zahlen, 13
Zwischenwertsatz, 52
Realteil, 26
Schnitt
Rechteckregel, 86
reelle Zahlen, 6, 10
goldener, 32
Schranke, 9
Regel von de l’Hospital, 73
obere, 9, 10
Regeln
untere, 9, 10
des Bruchrechnens, 7
Schrittweite, 86
von de Morgan, 18
Sehne, 60
Regeln von de Morgan, 2
Signum-Funktion, 48
Reihe, 38
Sinus, 74
absolut konvergent, 40
Sinus hyperbolicus, 56
alternierende, 40
Sinus–Funktion, 73
alternierende harmonische, 40
Stützstelle, 85
bedingt konvergent, 44
Stammfunktion, 86–88
endliche geometrische, 33
Steigung, 60
geometrische, 38
stetig, 49–52, 54, 57, 62, 64, 67, 68
harmonische, 38
stetig differenzierbar, 69, 70, 72, 88, 89
Umordnung, 44
stetige Fortsetzung, 53
unbedingt konvergent, 44
streng monoton fallend, 32, 51, 75
Restglied, 70
streng monoton wachsend, 32, 33, 51, 52,
Integralform, 91
56, 57, 64, 75
- 162 -
Analysis, Arbeitsmaterialien
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Substitutionsregel, 88
unendlich, 12, 16
Summe, 23, 38
untere Grenze, 81
Riemannsche, 85, 86
Unterintegral, 79
Summenformel, 15
Unterkörper, 7
Supremum, 10, 11, 20, 54
Urbild, 3
surjektiv, 5, 57
Vektorraum, 25, 26, 82
Tangens hyperbolicus, 56
Vereinigung, 1
Tangens–Funktion, 75
Verfeinerung, gemeinsame, 77
Tangente, 60
vollständige Induktion
Tangententrapezformel, 86
Beweismethode, 14
Taylor–Polynom, 70
Prinzip, 14
Taylor–Reihe, 71
Vollständigkeitsaxiom, 11, 34
Taylorentwicklung, 91
Vorzeichen, 11, 12
Taylorsche Formel, 70
Wahrscheinlichkeit, 23
Teilfolge, 33
wohlbestimmt, 4
Teilmenge, 1
wohldefiniert, 4
Teleskopprodukt, 24
wohlgeordnet, 16
Teleskopsumme, 24
Wurzel
Transitivität, 2, 8
n-te, 20
Treppenfunktion, 77, 78, 81
Wurzelbestimmung, 66
Trichotomiegesetz, 8
Wurzelkriterium, 41, 42
Umgebungen, 13
Zahl
Umkehrabbildung, 6
Eulersche, 33
Umkehrfunktion, 57, 58, 64, 76
konjugiert komplexe, 26
Umordnung, 43, 44
negativ, 8
Uneigentliche Grenzwerte, 56
nichtnegativ, 8
Uneigentliches Integral, 89
positiv, 8
divergent, 90
konvergent, 90
zusammengesetzte, 19
Zahlen
- 163 -
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Analysis, Arbeitsmaterialien
ganze, 13
Menge der positiven, 8
natürliche, 14
rationale, 13
reelle, 6, 10, 24
Zahlenfolge
komplexe, 28
reelle, 28
Zahlenfolgen, komplexe, 37
Zahlengerade
erweiterte, 12
Zerlegung, 77, 78, 85
äquidistante, 86
- 164 -