Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 1

Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung
Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 1
Blatt 1
WS 2007/08
B. Wilking, J. Schürmann
Abgabe: Freitag, 26.10.2007, 11:00 Uhr
Aufgabe 1 (mündlich):
1. Seien a, b, c ∈ N. Formen Sie folgende Ausdrücke jeweils zu einem vollständig gekürzten
Bruch ganzer Zahlen um:
a
b
a
,
+ ac
1
1
a
+
a
.
1 + 1+a a
,
1 2
b
b
2. Die Richterskala ist ein logarithmisches Maß für die freigesetzte Energie eines Erdbebens.
Aus einem Wert M (Magnitude) auf dieser Skala ermittelt sich die seismische Energie Es
(Einheit: Tonnen TNT) gemäß der Formel
log Es = −3 + 1.5M.
(a) Auf das Erdbeben der Stärke 7,6 in der indisch-pakistanischen Grenzregion Kaschmir am 8.10.2005 folgte ein Nachbeben der Stärke 5,9. Welche seismischen Energien
wurden bei diesen Beben freigesetzt?
(b) Um welchen Faktor unterscheiden sich die freigesetzten Energien bei Erdbeben der
Stärke 7, 6 und 5, 9? Um welchen Faktor unterscheiden sich die freigesetzten Energien
bei Erdbeben der Stärke M und M + 1?
Lösung:
1.
a
b
a
+
a
c
1
1
a
+
1 2
=
=
a
=
ac+ab
bc
1
=
b+a 2
b
ab
a
1 + 1+a a
b
=
abc
bc
=
,
ac + ab
c+b
1
(b+a)2
(ab)2
=
a2 b2
(ab)2
=
,
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
a
a
=
=
a
ab
1 + b+a
1 + b+a
b
a
b+a+ab
b+a
=
a(a + b)
a2 + ab
=
.
b + a + ab
b + a + ab
2a. Es ist
log Es = −3 + 1, 5M
⇔
Es = 10−3+1.5M .
Setzt man die Werte 7, 6 bzw. 5, 9 für die Magnitude M ein, so ergeben sich die seismischen
Energien
251 188 643.2 Tonnen TNT
bzw.
707 945.8 Tonnen TNT.
Das Erdbeben hat also
251 188 643.2 Tonnen TNT
= 354.8
707 945.8 Tonnen TNT
mal soviel seismische Energie freigesetzt wie das Nachbeben.
2b. Allgemeiner entspricht ein Punkt auf der Richterskala etwa der 32fachen Menge an freigesetzter seismischer Energie, denn
10−3+1.5(M +1)
10−3 · 101.5M +1.5
101.5M · 101.5
=
=
= 101.5 ≈ 31.62.
10−3+1.5M
10−3 · 101.5M
101.5M
(Vergleiche: 32(7.6−5.9) ≈ 362.)
Aufgabe 2:
1. Sei a > 0. Schreiben Sie folgende Zahlen in Potenzform ax :
p√
√
5 3
a
a9
1
√
√ , √
,
.
4
a−2.8
a−4
a6
2. Die vier Boxen einer Lautsprecheranlage geben jeweils einen Schallpegel von 115 dB her.
Hierbei entspricht ein Schallpegel LI (in dB) einer Schallintensität I (in Watt pro Quadratmeter) mit LI = (120 + 10 · log I). Wieviele der Boxen können bei voller Leistung
maximal angeschlossen werden, ohne die Schmerzgrenze von 120 dB zu überschreiten?
Lösung:
1.
√
√
a9
a6
1
√
4 −2.8
a
p√
5 3
a
√
a−4
9
6
9
6
3
= a 2 · a− 2 = a 2 − 2 = a 2 ,
14
1
1
1
14
1
7
= ((a− 5 ) 4 )−1 = a(− 5 )· 4 ·(−1) = a 10 ,
1
1 1
1
3
3
23
= ((a3 ) 5 ) 2 · ((a−4 ) 2 )−1 = a3· 5 · 2 · a(−4)· 2 ·(−1) = a 10 · a2 = a 10 +2 = a 10 .
2. Die Schallintensität I kann in Leistung/Fläche gemessen werden, die Einheit ist dann
W/m2 , d.h. Watt pro Quadratmeter. Der Schall(intensitäts)pegel LI (in dB) ist dann
definiert durch
LI = (120 + 10 · log I)
d.h.
I = 10
(LI −120)
10
.
Jede der Boxen liefert demnach maximal eine Schalintensität von
I0 = 10
(115−120)
10
1
1
W/m2 = 10− 2 W/m2 = √ W/m2 ≈ 0.3162 W/m2 .
10
Also bleiben drei Boxen bei voller Leistung noch gerade unter der Schmerzgrenze, vier
liegen bereits darüber, denn
(120−120)
2
2
10
3 · I0 ≈ 0.9486 W/m2 < 10
| {z } W/m < 1.2649 W/m ≈ 4 · I0 .
=1
2
Aufgabe 3:
1. Seien a, b, c > 0. Schreiben Sie folgende Ausdrücke als Linearkombination von log a, log b
und log c:
!
√
0.25
√ −0.5 √ 3
ab2
ab
3 −2.1
√
log a bc
, log
, log
b .
c0.5
c
2. Bei Ausgrabungen im Südosten Englands werden die Überreste eines hölzernen Schiffs
gefunden. Durch Massenspektrometrie wird der Massenanteil des 14 C-Isotops am im Wrack
enthaltenen Kohlenstoff auf 8, 905 · 10−13 bestimmt. Berechnen Sie, wann die zum Bau des
Schiffes verwendeten Bäume gefällt wurden. Nehmen Sie dazu an, dass der Massenanteil
des 14 C-Isotops am Kohlenstoff der Umgebung bis heute konstant bei 10−12 geblieben ist.
Lösung:
1.
log a3 bc−2.1 = log a3 + log b + log c−2.1 = 3 log a + log b − 2.1 log c,
!
√
3
1
1
1
1
ab2
√
log
= log (ab2 ) 3 · c− 2 = log (ab2 ) 3 + log c− 2
c
1
1
1
1
=
log ab2 − log c =
log a + log b2 − log c
3
2
3
2
1
1
1
2
1
=
(log a + 2 log b) − log c = log a + log b − log c,
3
2
3
3
2
0.25
√ −0.5 √ 1
1
1
1 1
ab
log
b
= log a 1/4 b− 2 b 2 c− 2 = log a4 c− 2
c0.5
1
1
= log a4 + log c− 2 = 4 log a − log c.
2
2. Sei M0 = 10−12 der Anteil des 14 C-Isotops am Kohlenstoff zum Zeitpunkt t0 . Nach einem
Jahr ist noch M · x der ursprünglichen Stoffmenge vorhanden. Da Kohlenstoff 14 C eine
Halbwertzeit von 5730 Jahren hat, gilt x5730 = 0.5, also
log(0.5) = 5730 · log x
⇔
log x =
log(0.5)
5730
Der Massenanteil 14 C-Isotops am im Wrack enthaltenen Kohlenstoff beträgt M = 8.995 ·
10−13 , d.h. es ist die Gleichung M0 · xt = M zu lösen, d.h.
10−12 · xt = 8.905 · 10−13 ⇔ xt = 8.905 · 10−1 ⇔ t log x = log xt = log(0.8905)
und somit
t=
5730
· log(0.8905) ≈ 958.7.
log(0.5)
Das im Wrack verbaute Holz wurde also vor etwa 958 Jahren geschlagen.
3