Die optimale Dose

École Internationale Allemande
Die optimale Dose
Ein Limonadenlieferant möchte sein Getränk in Dosen ausliefern
und dabei möglichst wenig Material verbrauchen. Schließlich ist
Aluminiumblech ein teurer Rohstoff, der zudem sehr viel Energie
bei der Herstellung und Verarbeitung benötigt.
Es sollen zylinderförmige Dosen zu 0,33l hergestellt werden.
(Abrundungen oben und unten werden hier vernachlässigt.)
Welche Maße muss die Dose haben, um möglichst wenig Material
zu verbrauchen?
Die Materialstärke kann dabei vernachlässigt werden.
Arbeitsanweisungen als Hilfe
■ Wie groß ist das Volumen V in Abhängigkeit von Radius r und
Höhe h der Dose?
(Formel für Zylinder)
■ Stelle die Höhe h in Abhängigkeit von r dar bei gegebenem
Volumen V=0,33l.
■ Wie groß ist die Dosenoberfläche A in Abhängigkeit von Radius r
und Höhe h der Dose?
■ Ersetze die Höhe h (Substitution) aus der Umformung der
Volumenformel.
■ Es ergibt sich eine Funktion für die Oberfläche in Abhängigkeit zum Radius:
A(r) =
■ Zeichne den Funktionsgrafen für A(r) (Längenmaße sind positive Zahlen).
■ Bei welchem Radius wird am wenigsten Material benötigt?
Ermittle zunächst mit Hilfe des Grafen und präzisiere durch Ausprobieren.
■ In welchem Verhältnis stehen Höhe und Radius in diesem Fall zueinander?
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su
Lö
ng
Volumen
2
VZ(r,h) = πr
 ⋅h
Grundfläche
V ist gegeben
h(r) =
VZ
πr 2
h(r) = 0,33
πr 2
Einheit ist Dezimeter, da 1Liter =1dm3.
Oberfläche
AZ(r) = 2⋅
2
πr

Deckel−/Grundfläche
+ 2πrh(r)

Mantel
h ersetzten (Substitution)
AZ(r) = 2⋅πr 2 + 2πr
AZ(r) = 2⋅πr 2 + 2
Vz
r
Vz
πr 2
AZ(r) = 2⋅πr 2 + 0,66
r
Graf
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Die Steigung der Funktion A(r) in einem Punkt x 0
m=
A(x 0 + h)− A(x 0) A(x 0 + h)− A(x 0)
=
h
( x0 + h)− x0
zusammen mit A(r) = 2⋅πr 2 + 0,66 ergibt das:
r
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜⎜2π ( x + h)2 + 0,66 ⎟⎟−⎜⎜2πx 2 + 0,66 ⎟⎟
0
0
⎜⎝
x 0 + h ⎟⎠ ⎜⎝
x 0 ⎟⎠
m=
h
umgeformt:
2π ( x 0 2 + 2x 0h + h2 ) + 0,66 −2πx 0 2 − 0,66
x0 + h
x0
m=
h
0,66x 0 −0,66 ( x 0 + h)
2πx 0 2 + 4πx 0h + 2πh2−2πx 0 2 +
( x0 + h) x0
m=
h
4πx 0h 2πh2 0,66x 0 −0,66 ( x 0 + h)
m=
+
+
h
h
( x0 + h) x0h
m=
4πx 0h 2πh2 0,66x 0 −0,66x 0 −0,66h
+
+
h
h
( x0 + h) x0h
m = 4πx 0 + 2πh−
0,66
x 0 2 + x 0h
Nun lassen wir h nach Null laufen
lim m = lim 4πx 0 +lim 2πh−lim
h→0
h→0
h→0
h→0
0,66
x 0 2 + x 0h
= 4πx 0 + 0− 0,66
= 4πx 0 − 0,66
2
x0
x02
Damit gilt für die Steigung im Punkt m:
m = 4πx 0 − 0,66
x02
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Wann wird die Steigung m = 0 ?
4πx 0 − 0,66
=0
x02
|⋅x 0 2 mit x 0 ≠ 0
4πx 0 3 −0,66 = 0
| +0,66
4πx 0 3 = 0,66
x 0 = 0,66
4π
3
|⋅ 1
4π
1
3
|…
1
⎛
⎞3
x 0 = ⎜⎜ 0,66 ⎟⎟ ≈ 0,374493850403921
⎝ 4π ⎠
großes HURRA!!!
Die Funktion der Steigung m(x) sieht so aus:
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