Algorithmische Zahlentheorie und Public Key Kryptographie (Forster)

Algorithmische Zahlentheorie und Public Key
Kryptographie (Forster)
Mitgeschrieben von Bernhard Weiß
Mitschrift aus dem SoSe 2009
1
INHALTSVERZEICHNIS
I
Inhaltsverzeichnis
1 Fibonacci-Zahlen
1.1 Schneller Algorithmus zur Berechnung der Fibonacci Zahlen . . . . .
1
1
2 Der Euklidische Algorithmus
2.1 Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
6
8
3 Der Restklassenring Z/n
10
4 Die multiplikative Gruppe (Z/m)∗ , Primitivwurzel
13
5 Quatratische Reste. Reziprozitätsgesetzt
19
Inhaltsverzeichnis
1
1
Fibonacci-Zahlen
Definition 1.1
Die Fibonacci-Zahlen werden rekursiv definiert durch:
fib(0) := 0 fib(1) := 1
fib(n + 2) := fib(n + 1) + fib(n)
fib(n) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Matrix Schreibweise:
fib(n + 1)
1 1
fib(n)
=
fib(n)
1 0
fib(n − 1)
1 1
A :=
1 0
fib(n + 1)
n fib(1)
=A
fib(n)
fib(0) fib(n)
fib(0)
= An
wobei fib(−1) = 1
fib(n − 1)
fib(−1)
fib(1) fib(0)
=E
fib(0) fib(−1)
Satz 1.1
Es gilt:
n
fib(n + 1)
fib(n)
1 1
n
=A =
fib(n)
fib(n − 1)
1 0
Korollar 1.2
fn+1 fn−1 − fn2 = (−1)n
Insbesondere sind fn+1 , fn teilerfremd.
gcd(fn+1 , fn ) = 1
1.1
Schneller Algorithmus zur Berechnung der Fibonacci Zahlen
Satz 1.3
Sei G eine Halbgruppe mit Einselement (multiplikativ geschrieben)
Sei nPeine natürliche Zahl mit Binär Darstellung
n = di=0 bi 2i , bi ∈ {0, 1}, bd = 1
abgekürzt:
n = (bd , . . . b0 )2
Für ein Element x ∈ G kann die Potenz xn mit hächstens 2d Multiplikationen in G
Bemerkung 1.1
Das Naive Ferfahren zur berechnung von xn benötigt n − 1 Multiplikationen.
Exponentielle Komplexität in Anzahl von Stellen von n.
Das Schnelle Verfahren hat Lineare Komplexität
2
Beweis nk := (bd , . . . , bd−k )2
n0 = 1; nd = n
Wir berechnen
der Reihe nach xni
(
2nk
falls bd−k−1 = 0
nk+1 =
2nk + 1 falls bd−k−1 = 1
Sei xi := xni
Dann ist(x0 = x
falls bd−k−1 = 0
x2k
xk+1 =
2
xk · x falls bd−k−1 = 1
Daraus folgt Behauptung.
1 FIBONACCI-ZAHLEN
Explizite Formel für die Fibonacci Zahlen
Ansatz zur Lösung der Rekursionsgleichung:
fn+2 = fn+1 + fn
Ansatz: fn = λn ( λ geeignet)
⇔λ2 = λ +q
1 ⇔λ2 − λ − 1 = 0
√
1 2
1
λ1/2 = 21 ±
5)
+
1
=
(1
±
2
2
Jede Linearkombination xn = c1 λn1 +c2 λn2 Ergibt eine Lösung der Rekursiongleichung.
Wähle c1 und c2 so dass die Anfangsbedinungen x0 = 0, x1 = 1 erfüllt sind.
n
n
Dann gilt fib(n)
√ = c1 λ1 + c2 λ2 ∀n ≥ 0
1
λ1 = 2 (1 + 5) =: g Goldener Schnitt
λ2 = − g1 = 1 − g
Es ergibt sich:
n
)
fib(n) = √15 (g n − (−1)
gn
Es folgt:
gn
)
fib(n) = round( √
5
Satz 1.4
1. fib(2n − 1) = fib(n)2 + fib(n − 1)2
2. fib(2n) = fib(n)2 + 2 fib(n) fib(n − 1)
fn+1 fn
1 1
n
Beweis
= A ,A =
fn fn−1
1 0
2n
n n
Aus A = A A folg
f2n+1 f2n
fn+1 fn
fn+1 fn
=
f2n f2n−1
fn fn−1
fn fn−1
⇒f2n = fn fn+1 + fn−1 fn ⇒ fn f (fn + fn−1 )fn−1 fn
2
f2n−1 = fn2 + fn−1
3
2
Der Euklidische Algorithmus
Definition 2.1
Für ganze Zahlen x, y definiert man:
x|y∃q ∈ Z : x = qy
Bemerkung 2.1
1. y|0∀y ∈ Z
2. 0|x ⇔ x = 0
3. z|y&y|x ⇒ z|x
4. y|x&x|y ⇔ x = ±y
In diesem heißen x, y assoziiert
Beweis „⇐„: Trivial
„⇒„:
Falls x = 0 folgt mit 2., dass y = 0 (y = 0 ⇒ x = 0 analog)
Sei also nun x 6= 0 6= y
y|x ⇒ x = q2 y
x|y ⇒ y = q1 x
⇒x = q2 q1 x
q1 ,q2 ∈Z
Mit Kürzungssatz: 1 = q2 q1 =⇒ q1 = q2 = ±1
5. y|x1 & y|x2 ⇒ y|(λ1 x1 + λ2 x2 ) ∀λ1 , λ2 ∈ Z
6. y|1 ⇔ y = ±1
7. 1|x∀x ∈ Z
Definition 2.2 (Größter gemeinsamer Teiler)
Eine ganze Zahl d heißt größter gemeinsamer Teiler der ganzen Zahlen x, y ⇔
1. d|x&d|y (gemeinsamer Teiler)
2. ∀d0 gemeinsamer Teiler von x, y ⇒d0 |d
Bezeichnung: gcd(x, y)
meistens wird er nichtnegative Repräsentatn gewählt.
Satz 2.1
Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen ist (im Falle der existenz) bis
aufs Vorzeichen Eindeutig bestimmt.
Beweis Sind d1 , d2 zwei gcd so folgt aus definition:
d1 |d2 &d2 |d1 ⇒d1 = ±d2
4
2 DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS
Bemerkung 2.2
gcd(x, y) = gcd(y, x)
gcd(x, 0) = |x|
gcd(x, 1) = 1
gcd(x, x) = |x|
Definition 2.3
Für ganze Zahlen x, y bezeichne:
T (x, y)
die Menge aller gemeinsamer Teiler von x und y
Lemma 2.1
Seien x, y, λ ∈ Z
Dann gilt:
T (x, y) = T (x − λy, y)
Satz 2.2
Je zwei ganze Zahlen x, y esitzen einen größten gmeinsamen Teiler. Dieser Kann
durch den nachfolgenden Algorithmus berechnet werden.
Beweis ObdA x 6= 0, y 6= 0, x > 0, y > 0
x0 := x, x1 := y
Sukzessive Teilung mit Rest, bis der Rest null wird.
x0 = q1 x1 + x2 0 < x2 < x1
x1 = q2 x2 + x3 0 < x3 < x2
..
.
xk−2 = qk−1 xk−1 + xk 0 < xk < xk−1
xk−1 = qk xk + 0
Das Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab.
Behauptung: xk ist gcd von x1 und x2
Beweis (der Behauptung) Aus dem Hilfssatz folgt:
T (x0 , x1 ) = T (x2 , x1 ) = T (x3 , x2 ) = . . . = T (0, xk )
⇒Behauptung
Bemerkung 2.3 (zur Komplexität des Eukl. Algor.)
Worst case:
Bestimmung des gcd zweier aufeinandererfolgender Fibonaccizahlen.:
fn+1 = fn + fn−1
fn = fn−1 + fn−2
..
.
f2 = f1 + f0
|{z}
=0
Inbesondere: gcd(fn+1 , fn ) = 1
Da die Fibonacci-Zahlen exponentiell mit dem Index wachsen, folgt:
5
n = O(log fn )
Also gilt für den Euklidischen Alg.:
Für die Anzahl der Schritte k gilt:
k = O(log |y|)
Die Anzahl der Nötigen Schritte wird durch eine Lineare Funktion der Stellenzahl
von min(|x|, |y|) nach oben abgeschätzt.
⇒Lineare Komplexität
Satz 2.3 (Satz von Bézout)
Seien x, y ∈ Z und d = gcd(x, y)
⇒∃λ, µ ∈ Z :
d = λx + µy
Korollar 2.4
Zwei ganze Zahlen x, y sind genau dann teilerfremd (d.h. gcd(x, y) = 1)
⇔∃λ, µ ∈ Z : 1 = λx + µy
Beweis (Satz von Bézout) Mittels Erweiterten Euklidischen Algor.
x0 = q 1 x1 + x2
..
.
xi−1 = qi xi + xi+1
xi = xi+1 xi+1 + xi+2
..
.
Wir zeigen Induktiv, dass sich alle xi als ganzzahlige Linearkombination
xi = λi x0 + µi x1
schreiben Lassen.
Induktionsanfang: x0 = 1x0 + 0x1
x1 = 0x0 + 1x1
Induktionsschritt: xi−1 = λi−1 x0 + µi−1 x1
xi = λi x0 + µi x1
Aber xi+1 = xi−1 − qi xi
(λi+1 , µi+1 ) = (λi−1 , µi−1 ) − qi · (λi , µi )
Bemerkung 2.4
Man definiert analog den ggT von x1 , . . . , xn ∈ Z.
gcd(x1 , . . . , xn ) = gcd(gcd(x1 , . . . , xn−1 ), xn )
Es existieren λ1 , . . . , . . . λn ∈ Z mit
X
xi = gcd(x1 , . . . xn )
i=1
Definition 2.4 (Kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Die Zahl v heißt kgV von x, y ∈ Z wenn gilt
6
2 DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS
1. x|v&y|v (gemeinsames Vielfaches)
2. Ist w irgend ein gemeinsames Vielfaches von x, y so folgt
v|w
Bemerkung 2.5
Das kgV ist (Im Falle der Existenz) bis aufs Vorzeichen eindeutig bestimmt
Beweis Sind v1 und v2 kleinstes gemeinsames Vielfache so folgt nach Def.
v1 |v2 und v2 |v1
⇒v1 = ±v2
Satz 2.5
In Z besitzen zwei Elemente x, y steths ein kleinstes gemeinsames Vielfaches. es gilt:
lcm(0, 0) = 0
xy
falls (x, y) 6= (0, 0)
lcm(x, y) =
gcd(x, y)
Beweis Wir können annehmen x 6= 0, y 6= 0
Sei d := gcd(x, y)
v := xy
d
zeige: v = lcm(x, y)
1. x|x yd und y| xd y
d.h. v ist gemeinsames Vielfaches.
2. Sei x|w, y|w zeige: v|w:
w = αx, w = betay
d = λx + µy
1 = λ xd + µ yd ⇒α = λα xd + µα yd = λβ yd + µα yd =
= (λβ + µβ) yd
y
⇒ d |α ⇒ xy
|αx = w
d
2.1
Integritätsbereiche
Definition 2.5
Ein Integritätsberecih ist ein kommutativer Ring mit Einselement, der Nullteilerfrei
ist. d.h.
xy = 0 ⇒ (x = 0 oder y = 0)
Beispiel 2.1
Z, Q (allgemein jeder Körper)
Ist K ein Körper (z.b. K = Q)
so ist der Polynomring
n
X
K[X] = {
ci X i ci ∈ K, n ≥ 0}
i=1
2.1 Integritätsbereiche
7
EIn Integritätsbereich.
Ring der Ganzen Gaußschen Zahlen
Z[i] := {n + mi : n, m ∈ Z} ⊂ C
Z[i] ist integritätsbereich
Definition 2.6
Ein Element u eines Integritätsbreich R heißt Einheit wenn u in R invertierbar ist,
d.h. wennv ∈ R existieren, sodass uv = 1
Bemerkung 2.6
1. ±1 sind immer Einheiten.
2. In Z sind ±1 die einzign Einheiten.
3. in Z[i] sind ±1, ±i die einzigen Einheiten
4. in einem Körper K ist jedes Element 6= 0 eine Einheit.
5. Die Einheiten in K[X] sind die konstanten Polynome 6= 0
Satz 2.6
Die Menge aller Einheiten eines Integritätsbereiches R bilden eine multiplikative Gruppe die mit R∗ bezeichnet wird.
Definition 2.7
Ein Element x ∈ R \ (R∗ ∪ {0}) eines Integritätsbereich R heißt
1. Irreduzibel , wenn für jede Zerlegung
x = yz, y, z ∈ R
gilt: y ∈ R∗ oder z ∈ R∗
2. prim , wenn aus x|a · b
folgt: x|a oder x|b
a, b ∈ R
Bemerkung 2.7
Die Begriffe irreduziben und prim stimmen nicht in jedem Integriätsbereich überein.
Beispiel:
√
R = Z[ −3]
Behauptung:√
Das Element
√ 2 ist irreduibel, aber nicht prim in R
denn: 2|(1 + √−3)(1 − −3) = 4√
Aber 2 - (1 + −3) und 2 - (1 − −3)
Bemerkung 2.8
Es gilt stets: prim ⇒irreduziebel.
Satz 2.7
in Z sind die Begriffe irreduzibel und prim äquivalent.
8
2 DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS
Beweis Sei p irreduzibel und es gelte p|xy
Falls p|x sind wir fertig.
Falls p - x dann sind p und x Teilerfremd.
Bezout
=⇒ ∃λ, µ ∈ Z mit:
λp + µx = 1
⇒λpy + µ xy = y
|{z}
=αp
d.h. (λy + µα)p = y
Satz 2.8
In Z gilt der Satz von der Eindeutigen Primfaktorzerlegung.
d.h. jede
Qnganze Zahl x ∈ Z \ 0 lässt sich schreiben als.
x = ± ν=1 pν , n ≥ 0
mit Primzahlen pν > 0
Diese Zerlegung ist bis auf Umordnung eindeutig bestimmt.
Q
Q
Beweis OBdA x > 0 Annahme x = nν=1 pν = µ=1 mqµ
Induktion nach n
n = 0 Klar
Induktionsschritt
(n-1)-> n
Qm
pn | µ=1 qµ
Also muss pn einen der Faktoren teien. OBdA(sonst umnumeriereung): pn |pm
⇒pQn = qm Q
m−1
⇒ n−1
µ=1 qµ
ν=1 pν =
Hierauf induktionsvoraussetzung anwenden.
2.2
Euklidische Ringe
Definition 2.8
Ein euklidischer Ring ist ein Integritätsbereich R mit einer Funktion
ν : R \ {0} → N
sodass gilt: Zu jedem Paar x, y ∈ R mit y 6= 0 gibt es Elemente q, r ∈ R sodass:
x = qy + r
Wobei r = 0 oder ν(r) < ν(y)
Bemerkung 2.9
In jedem euklidischen Ring R besitzen je zwei Elemente x, y ∈ R einen größten
gemeinsamen Teiler d der mit dem euklidischen Algorytmus bestimmt werden kann.
d ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt.
Beispiel 2.2
Z[i] ist euklidisch mit ν(n + mi) = n2 + m2
K[X] ist euklidich mit ν(f (X)) = deg f (X)
2.2 Euklidische Ringe
9
Definition 2.9
Seien x, y ∈ Z \ 0 Für eine Primzahl pbezeichne
ordp (x) = max{n ≥ 0 : pn |x}
Damit gilt:
Q
x = u · p∈¶ pOrdp (x)
Dabei ist u = ±1 und
¶ = {2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .} die Menge aller Primzahlen.
Alle bis auf endliche viele Faktoren sind = 1, also ist das Produkt in Wirklichkeit
endlich.
Es gilt:
x|y ⇔ Ordp (x) ≤ Ordp (y)∀p ∈ ¶
Daraus folgtQfür den ggT:
gcd(x, y) = p∈¶ pmin(Ordp (x),Ordp (y))
Q
lcm(x, y) = p∈¶ pmax(Ordp (x),Ordp (y))
Ensprechendes gilt für gcd(x1 , . . . , xn ), lcm(x1 , . . . xn )
10
3
3 DER RESTKLASSENRING Z/N
Der Restklassenring Z/n
Definition 3.1 (Kongruenzen)
Sei m eine ganze Zahl. Für Ganze Zahlen x, y definiert man
x≡y
mod m
⇔x − y ∈ mZ d.h. m|x − y
Bemerkung 3.1 (Regeln)
1. x ≡ y mod m ⇔ x ≡ mod (−m)
D.h. man kann sich auf m ≥ 0 beschränken.
2. x ≡ y mod 0 ⇔ x = y
3. x ≡ y mod 1 ∀x, y ∈ Z
Also: Die einzigen interessanten Fälle sind Kongruenzen modulo m ≥ 2
Satz 3.1
Die Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf Z
Definition 3.2 (Kongruenzklassen)
Eine ganze Zahl x modulo m besteht aus allen ganzen Zahlen, die zu x modulo m
kongruent sind.
[x]m oder (x mod m)
Wenn klar ist welches m gemeint ist, auch x oder [x].
[x]m = x + mZ = {y|x ≡ y mod m}
[0]m = mZ
Man nennt x einen Repräsentanten der Restklasse.
Die Menge alle Restklassen modulo m wird mit
Z/mZ oder kurz Z/m bezeichnet.
Für m > 0 gilt also:
Z/m = {0, 1, . . . m − 1}
Addition und Multiplkation von Restklassen:
x+y =x+y
x · y = x · y Diese Abbildungen sind Wohldefiniert. (Beweis wird nicht ausgeführt)
Satz 3.2
Die Menge der Restklassen Z/m bildet bzgl. der oben definierten Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring mit Einselement.
Die natürliche Abbildung
%Z → Z/m, %(x) = [x]m
ist ein surjektiven Ring-Homomorphismus
Satz 3.3
Ein Element x ∈ Z/n ist genau dann invertierbar (in Z/m) wenn x und m teilerfremd
sind.
11
Beweis
1. Sei gcd(x, m) = 1 ⇒λx + µm = 1
⇒λx = 1 − µm
⇒λx ≡ 1 mod m
=⇒λ · x = 1
2. Sei x invertierbar in Z/m
⇒∃z ∈ Z, sodass zx = 1
d.h. zx = 1 + km mit k ∈ Z
⇒zx − km = 1
⇒gcd(x, m) = 1
Bemerkung 3.2 (Bezeichnungen)
(Z/m)∗ Bezeichnet die multiplikative Gruppe der Invertierbaren Elemente von Z/m
Korollar 3.4
Z/m ist genau dann Körper, wenn m eine Primzahl ist.
p Prim ⇒
Fp = Z/p
Andere Bezeichnung: Fp = GF (p) (Galoisfeld)
Definition 3.3 (Eulersche Phi-Funktion)
Für m ≥ 1 setzt man:
ϕ(m) := #(Z/m)∗
ϕ(m) = #{x ∈ Z : 0 < x ≤ m mit gcd(x, m) = 1}
Insbesondere ϕ(1) = 1
Sei p prim. k ≥ 1
ϕ(p) = p − 1
ϕ(pk = pk − pk−1 = pk−1 (p − 1) oder pk (1 − p1 )
Definition 3.4 (Direktes Produkt von Ringen)
A1 , . . . Ar Ringe.
A := A1 × . . . × Ar
Addition und Multiplikation komponentenweise.
Nullelement: (0, . . . , 0)
Einselement: (1, . . . , 1)
Satz 3.5
Sei m|n dann hat man einen Natürlichen Ringhomomorphismus
Z/n → Z/m; [x]n 7→ [x]m
Satz 3.6 (Chinesischer Restsatz)
Seien m1 , . . . mr paarweise Teilerfremde natürliche Zahlen und m := m1 · . . . · mr
Dann ist die Abbildung
Φ : Z/m → Z/(m1 ) × . . . Z/(mr )
[x]m 7→ ([x]m1 , . . . , [x]mr )
ein Ringisomorphismus
12
3 DER RESTKLASSENRING Z/N
Beweis Φ ist Ring Homomorphismus. X
Nur noch zu Zeichen, dass Φ bijektiv.
Da die linke und rechte endliche Menge mit m = m1 · . . . · mr Elementen sind, reicht
es zu zeigen, dass Φ injektiv ist oder dass Φ surjektiv ist.
1. Zeige, dass Φ injektiv ist. Es genügt dass Φ−1 (0) = {0}
Sei x ∈ ker φ. d.h. φ(x) = 0
⇒ mj |x für alle j
teilerf remd
=⇒ m|x d.h. x = 0
(Beweis konstruktiv)
2. Zeige: dass Φ surjektiv ist.
Sei
e1 := (1, 0, . . . , 0)
..
.
er := (0, . . . , 0, 1)
Konstruiere Element ui ∈ Z/m mit Φ(ui ) = ei
Eigenschaft von ui :
ui ≡ 1 mod mi
ui ≡ 0 mod mjQ
i 6= j
Sei Dazu zi := i6=j mj
Dann gilt zi ≡ 0 mod mj , ∀j 6= i
und zi 6= 0 mod mi
und es gilt sogar: gcd(zi , mi ) = 1
Daher ist zi invertierbar modulor mi
d.h. ∃λi ∈ Z : λi zi ≡ 1 mod mi
Setze nun ui := λi zi Q
Sei jetzt (x1 , . . .P
, xr ) ∈ (Z/mj ) beliebig vorgegeben.
Setze nun y := rj=1 xj uj ∈ Z/m
Dann gilt φ(y) = (x1 , . . . , xr )
Bemerkung 3.3 (Klassische Formulierung)
Seien m1 , . . . m2 paarweise teilerfremd.
Dann ist für jedes r-tupel a1 , . . . ar das System der Kongruenzen
x ≡ a1 mod m1
..
.
x ≡ ar mod mr
lösbar. Die Lösung ist modulor m := m1 · · · . . . · · · mr eindeutig bestimmt.
Korollar 3.7
Mit derselben Voraussetzung gilt:
∼
=
(Z/m)∗ −→ (Z/m1 )∗ × . . . × (Z/mr )∗
Insbesondere gilt für paarweise teilerfremde mj :
ϕ(m1 · · · . . . · · · mr )ϕ(m1 ) · . . . · · · ϕ(mr )
13
Spezialfall:
Sei n ∈ N
und n = pk11 · . . . · pkr r
∼
= Q
Dann gilt Z/n =−→ rj=1 Z/mj
∼
= Q
und (Z/n)∗ −→ (Z/mj )∗
Q
k
und ϕ(n) = rj=1 ϕ(pj j
Satz 3.8 Q
ϕ(n) = n p|n (1 − p1 )
k
k
k −1
k
Beweis ϕ(pj j ) = pj j − pj j = pj j (1 −
Q
Q
k
k Q
ϕ(pj j = rj=1 (pj j ) rj=1 (1 − p1j )
4
1
)
pj
Die multiplikative Gruppe (Z/m)∗, Primitivwurzel
Satz 4.1 (Lagrange)
Sei G eine endliche Gruppe und H ⊂ G eine Untergruppe.
Dann gilt:
#H ist ein Teiler von #G
Dabei bezeichne #M die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M
Für endliche grupen schreibt man auch
Ord(G) = #G
Beweis Wir betrachten die Nebenklassen von H d.h. die Mengen:
xH := {xh : h ∈ H}x ∈ G
Für diese Nebenklassen gilt genau eine der Alternatien:
1. x1 H = x2 H
2. x1 H ∩ x2 H = ∅
Denn: sei (2.) nicht der Fall dann gibt es ein z ∈ x1 H ∩ x2 H
z = x1 h1 = x2 h2 , hi ∈ H
Zeige x1 H ⊂ x2 H
Ein beliebiges y ∈ x1 H lässt sich schreiben als:
y = x1 h
x1 = x2 h2 h−1
1
Also: y = x2 h2 h−1
1 h ∈ x2 H
Analog zeigt man x2 H ⊂ x1 H
Jede Nebenklasse xH hat ebensoviele Elemente wie H. Aus der aussage Oben folgt:
˙ rH
G = x1 H P
∪˙ . . . ∪x
r
⇒#G = j=1 #(xj H) = r · (#H)
14
4 DIE MULTIPLIKATIVE GRUPPE (Z/M )∗ , PRIMITIVWURZEL
Bemerkung 4.1 (Bezeichnung)
Ord(G)
=: [G : H]
Ord(H)
Index von H in G
Definition 4.1
x ∈ G, G endliche Gruppe:
Ord(x) := min{n ≥ 1| xn = e}
< x >:= {xn | n ∈ N} sei die von x erzeugte Untergruppe
Definition 4.2
Eine Gruppe G heißt zyklisch, falls es ein Element g ∈ G gibt, sodass:
< g >= G
g heißt erzeugendes Element (Generator) von G
Für jedes Element x ∈ G ist die Untergruppe H :=< x > zyklisch.
Satz 4.2
Sei G eine endliche Gruppe und x ∈ G dann gilt
Ord(x)| Ord(G)
xOrd(G) = e
Beweis 1. Behauptung folgt aus Satz von Lagrange
die 2. Behauptung:
Ord(x) · r = Ord(G) für ein r ∈ N
xOrd(G) = xOrd(x)r = (xOrd(x) )r = er = e
Satz 4.3 (Euler)
Sei m ≥ 2 und x eine zu m teilerfremde ganze Zahl, dann gilt:
xϕ(m) ≡ 1 mod m
Beweis die multiplikative Gruppe (Z/m)∗ hat die Ordung ϕ(m)
Satz 4.4 (kleiner Satz von Fermat)
sei p eine Primzahl und x eine ganze zahl mit p - x dann gilt
xp−1 ≡ 1
mod p
Andere Formulierung p prim x ∈ Z beliebig.
xp ≡ x mod p
Definition 4.3
Eine ganze Zahl g heißt Primitivwurzel modulo m :⇔
g zu m teilerfremd ist und (Z/m)∗ =< g >. d.h. Ord(g) = ϕ(m)
15
Satz 4.5
Sei x Element einer (endlichen abelschen) Grupe G mit Ordnung m. Sei k eine zu m
teilerfremde ganze Zahl. Dann hat xk ∈ G ebenfalls die Ordnung m.
Beweis (xk )m = xkm = (xm )k = 1
⇒Ordnung von xk ist ein Teiler von m
⇒Angenommen, die Rondung von xk wäre ein echter Teiler m0 von m
Dann sind k und m0 teilerfremd.
0
0
1 = (xk )m = xkm und Ord(x) = m ⇒ m|km0
Da m und k teielrfremd sind, so folgt: m|m0
⇒m = m0
Korollar 4.6
x ∈ G, Ord(x) = m; l ∈ Z beliebig ⇒Ord(xl ) =
Beweis d := gcd(l, m)
m1 := md
Dann Hat xd die Ordnung m1
Nun ist m1 und dl sind
teilerfremd.
l
Also nach Satz: Ord (xd ) d
m
gcd(l,m)
= Ord(xd ) = m1 =
m
gcd(l,m)
Satz 4.7
Seien x, y zwei Elemente einer endlichen abelschen Gruppe mit Ord(x) = k, Ord(y) =
l
Falls k und l teilerfremd sind gilt:
Ord(xy) = k · l
Beweis
1. (xy)kl = xkl y kl = (xk )l (y l )k = 1
Daraus folgt dass Ord(xy)|kl
2. ANgenommen Ord(xy) währe ein echter Teiler von kl
⇒ Ord(xy) = k 0 l0 mit k 0 |k, l0 |l
ObdA sei k 0 < k
0 0
0
0
0
0
Es gilt (xy)k l = 1 = (xy)k l = (xl )k (y l )k = (xl )k
Da gcd(l, Ord(x)) = 1 hat xl ebenfalls Ordnung k
0
Widerspruch zu (xl )k = 1
Satz 4.8 (Gauß)
Sei G ⊂ K ∗ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe Eines Körpers K.
Dann ist G zyklisch, dh.h. es gilt ein ζ ∈ G sodass
G = hζi
16
4 DIE MULTIPLIKATIVE GRUPPE (Z/M )∗ , PRIMITIVWURZEL
Beweis Ord(G) =: m = q1k1 . . . qrkr die Kanonische Primfaktorzerlegung.
k
Es genügt zu zeigen,
dass es Elemente xj ∈ G gibt mit Ord(xj ) = qj j
Q
Dann hat g := xj die Ordnung m
Beweis dieser Aussage:
Zur Vereinfachung lassen wir den Index j weg.
Sei q eine Primzahl und k ≥ 1 mit q k km (d.h. q k ist die höchste Potenz von q die in
m aufgeht)
m
Wähle ein z ∈ G mit z q 6= 1
Korollar 4.9
Zu jeder Primzahl p existiert eine Primitivwurzel g modulo p
Beweis Satz Anwenden auf K = Z/p und
G = (Z/p)∗
m
Die Anzahl der Elemente z ∈ G mit z q = 1 ist höchstens gleich
mindestens m −
( mq )
m
qk
= m(1 −
1
)
q
Elemente mit z
m
q
m
q
also gibt es
6= 1
Definiere x := z
Behauptung: Ord(x) = q k
Beweis davon:
m
k
k
xq = (z qk )q = z m = 1
Es folgt, dass die Ordnung von X ein Teiler von q k ist.
Wäre die Ord(x) = q l mit l < k, so würde folgen
m
m
k−1
l
k−1
= z q 6= 1 Widerspruch
1 = q q ⇒ 1 = xq
= (z qk )q
Korollar 4.10
Zu Jeder Primzahl p existiert eine Primitivwurzel g modulo p
Satz 4.11
Sei p eine Primzahl
Eine Ganze Zahl g mit p - g ist genau dann eine Primitivwurzel modulo p wenn gilt:
p−1
∀q|p − 1
g q 6=≡ mod p
Beweis Die bedinung ist trivialerweise notwendig
Die Bedinung ist hinreichend weil:
in jedem Fall gilt:
g p−1 ≡ 1 mod p
Wäre die Ordnung von g ein echt kleiner als p − 1
r := Ord(Z/p)∗ ((g) > p − 1
so gäbe es einen Primteiler q|p − 1 mit r| p−1
⇒ 1 = gr ⇒ g
q
p−1
q
≡ 1 Widerpspruch.
Satz 4.12
Es gibt geneu ϕ(p − 1) Primitivwurzeln modulo p
Beweis Sei g eine Primitivwurzel
Ein Element g1 = g k ist genau dann Primitivwurzel wen gcd(k, p − 1) = 1
17
Bemerkung 4.2
Ist p − 1 = q1k1 . . . qkkr
die kanonische Primfaktorzerlegung
von p − 1 so gilt:
Qr
1
ϕ(p − 1) = (p − 1) i=1 (1 − q )
j
Qr
ϕ(p−1)
1
d.h. p−1 = j=1 (1 − qj )
Bemerkung 4.3 (Vermutung von Artin)
Die Zahl 2 ist Primitivwurzeln von unendlich vielen Primzahlen p.
Satz 4.13
Unter Annahme der Erweiterten Riemanschen Vermutung gibt es eine Konstante
c > 0 sodass für jede Primzahl p eine Primitivwurzel g existiert mit g ≤ c(log p)2
Definition 4.4
Sophie German Primzahl-Paare
q und p := 2q + 1 prim
Primitivwurzeln modulo Primzahlpotenz
Satz 4.14
Sei p eine ungerade Primzahl und g eine Primitvwurzel
1. g ist genau dann Primitivwurzel
mod p
mod p2 , wenn g p−1 6≡ 1 mod p2
2. Falls g p−1 ≡ 1 mod p2 so ist g̃ := g + p Primitivwurzel modulo p2
Beweis
1. Die Bedinung ist Notwendig (T rivialerweise)
Hinreichend:
Aus der Bedinung folgt:
g p−1 = 1 + ap (in Z)
mit p - a
Annahme: g währe keine Primitivwuzel mod p2
Dann ist Ord(Z/p2 )∗ ) (g) ein echter Teiler von Ord(Z/p2 )∗ ) = (p − 1)p Es gäbe
daher einen Primteiler q|(p − 1)q
(p−1)p
dass g q ≡ 1 mod p2
1. Fall: q = p
(p−1)p
Aber g q = g p−1 6≡ 1 nach voraussetzung D.h. dieser Fall tritt nicht auf.
2. Fall:
q|p − 1
Da p teilerfremd zu p − 1 ist g p ebenfalls Primitivwurzel modulo p
p−1
⇒(g p ) q 6≡ 1 mod p
p−1
⇒(g p ) q 6≡ 1 mod p2
2. Sei g p−1 ≡ 1 mod p2
⇒g̃ p−1 = (g + p)p−1 = g p−1 + (p − 1)pg p−2 mod p2
(gilt wegen Binomischen Lehrsatz und p2 in jedem weitern Summanden)
4 DIE MULTIPLIKATIVE GRUPPE (Z/M )∗ , PRIMITIVWURZEL
18
Aber (p − 1)pg p−2 6≡ 0 mod p2
⇒g̃ p−1 6≡ 1 mod p2
⇒Behauptung.
Satz 4.15
Sei p eine ungerade Primitivzahl und k ≥ 2 Eine gNze Zahl ist dann Primitiwurzel
dann Primitivwurzel modulo pk wenn sie Primitivwurzel modulo p2 ist.
Beweis Eine Implikation ist trivial. Zur Umkehrung: Sei also vorausgesetzt, dass g
Primitivwurzel modulor p2 ist. Dann gilt:
g p−1 = 1 + ap, p - a
k−2
Dann gilt für alle k ≥ 2 : g (p−1)p = 1 + apk−1 mod pk
Durch Induktion: k → k + 1
k−2
Wir können annahmen : g (p−1)p = 1 + apk−1
Potenzierung mit p:
Binom
g p−1 pk−1 = (1 + apk−1 )p = 1 + apk mod pk+1
Daraus folgt dass g PW mod pk d.h. dass g in (Z/pk )∗ die Ordnung.
Ord(Z/pk )∗ = (p − 1)pk−1 hat. Dies ist gleichbedeutend damit, dass für jeden Primteiler q|(p − 1)pk−1
gilt
g (p−1)
pk
q
6≡ 1 mod pk
Bemerkung 4.4
Für (Z/2k )∗
(Z/2)∗){1} zyklisch
(Z/4)∗ = {pm1 zyklisch
(Z/8)∗ = {1, 3, 5, 7} ist nicht zyklisch.
Hier gilt.
für alle x ∈ (Z/8)∗
Hier gilt:
x2 ≡ 1 mod 8 für alle x ∈ (Z/8)∗
Also ist diese Grupe nicht Zyklisch.
Es folgt:
(Z/2k )∗ ist nicht zyklisch für k ≥ 3
Es gilt Ord(Z/2k )∗ = 2k−1
Für x ∈ (Z/2k )∗ gilt:
k−2
x2 ≡ 1 mod 2k
Für das Element 5 ∈ (Z/2k )∗ , k ≥ 3 gilt:
Ord(Z/2k )∗ (5) = 2k−2
Es gilt genauer.
Die Abbildung:
(Z/2) × (Z/2k−2 ) → (Z/2k )∗
(, ν) 7→ (−1) 5ν
Ist Bijektiv und ein Gruppenhomo.
19
5
Quatratische Reste. Reziprozitätsgesetzt
Definition 5.1
Eine Zahl a heißt quadratische Rest modulo m, falls die gleichung
x2 ≡ a mod m lösbar ist mit x ∈ Z
Bemerkung 5.1 (Spezialfall)
m = p 6= 2
sq : F∗p → F∗p ; x 7→ x2
Es gilt: sq(xy) = sq(x) sq(y)
⇒sq ist Gruppenhomo.
Im(sq) ⊂ F∗p ist Untergruppe aller Quadrate.
ker(sq) = {±1}
Da # ker = 2 folgt # Im = p−1
2
Es gibt also genausoviele nichtquadrate wie Quadrate.
QR · QR = QR
QR · N R = N R
N R · QR = N R
N R · N R = QR
( p· )
sqr
1 → {±1} → F∗p −→ F∗p −→ {±1} → 1
Ist eine exakte Sqeuenz.
Definition 5.2
Sei p eine
( ungerade Primzahl nd a eine ganze Zahl mit p - a
1
falls aquadratischer Rest
a
:=
p
−1 sonst
Man setzt noch ap = 0 falls p|a
Satz 5.1 (Euler-Kriterium)
Sei p eine ungerade Primzahl.
Dann gilt
für
alle a ∈ Z
p−1
a
a 2 ≡ p
mod p
Beweis Falls p|a sind beide Seiten gleich 0 mod p
Sei also p - a
1. Sei a QR mod p, d.h. ∃x∈ Z : x2 ≡ a mod p
p−1
⇒a 2 ≡ xp−1 ≡ 1 = ap
2. Sei a NR Wähle g Primitivwurzel.
Dann gilt a ≡ g ν , (ν ungerade. sonst a Quadrat.)
ν = 2k + 1
p−1
p−1
p−1
a 2 ≡ g 2 ·(2k+1) ≡ (g (p−1) )k · g 2 ≡ −1
| {z } |{z}
=1
=−1
20
5 QUATRATISCHE RESTE. REZIPROZITÄTSGESETZT
Definition 5.3
Sei p ungerade Primzahl
}
H(p) := {1, 2, . . . p−1
2
Bemerkung 5.2
Jede Zahl a mit p - a ist Modulo p äquivalent zu genau einem Element von H(p) ∪
−H(p)
Definition 5.4
Für a ∈ Z mit p - a seien Funktionen
a : H(p) → {±1},
σa : H(p) → H(p)
definiert durch:
ax = a (x)δa (x) mod p
für alle x ∈ H(p)
Bemerkung 5.3
σa ist bijektiv, d.h. eine Permutation
Lemma 5.1 (Gauss)
Sei p ungerade Primzahl und a ∈ Z mit p - a. Dann gilt:
Y
a
=
a (x)
p
x∈H(p)
Anders ausgedrückt:
Die Zahl a ist QR bzw NR, je nachdem die Anzahl der absolut kleinsten Reste der
Zahlen 1a, . . . , p−1
a die Negativ sind, gerade bzw ungerade ist.
2
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Beweis x∈H(p) ax = x∈H(p) a (x)σa (x) ≡ x∈H(p) x∈H(p) σa (x) ≡ x∈H(p) a (x) y∈H(p) y
Q
Q
p−1 Q
⇒a 2
=
(x)
a
x∈H(p)
x∈H(p)
x∈H(p) x
Q
p−1
⇒ a 2 ≡ x∈H(p) a (x)
Satz 5.2 (Ergänzungs-Sätze zum quadratischen Reziprozitätsgesetz)
Sei p ungerade Primzahl.
1.
2.
−1
p
2
p
Beweis
= (−1)
= (−1)
p−1
2
p2 −1
8
(
1
=
−1
falls p ≡ 1 mod 4
falls p ≡ 3 mod 4
(
1
=
−1
falls p ≡ ±1 mod 8
falls p ≡ ±3 mod 8
1. Euler-Kriterium
21
2. Alle x ∈ H(p) werden mit 2 multipliziert.
Es Entstehen die Zahlen:
2, 4, 6, . . . p − 1
Welche dieser Zahlen haben negativen absolu kleinsten Rest?
Alle Zahlen < p2 haben pos abs kleinsten Rest
Alle Zahlen > p2 und < p negativen.
x hat positiven absolut kleinsten Rest ⇔ 2x < p2 ⇔ x < p4
x hat negativen abs. kleinsten Rest ⇔ 2x > p2 ⇔ x > p4 Fallunterscheidung
(a) p = 8k + 1 #H(p) = 4k
positiv absolu kleinste Reste: 2k
negative
absolut kleinste Reste: 2k
⇒ p2 = +1
(b) p = 8k + 3 #H(p) = 4k + 1
positiven absolu kleinsten Reste: 2k
negativen
absolut kleinste Reste: 2k + 1
⇒ p2 = −1
(c) p = 8k + 5 #H(p) = 4k + 2
positive absolut kleinsten Reste: 2k + 1
negativen
absolut kleinste Reste: 2k + 1
2
⇒ p = −1
(d) p = 8k + 7 #H(p) = 4k + 3
positive absolut kleinste Reste: 2k + 1
ngative
absolu kleinste Reste: 2k + 2
⇒ p2 = +1
Definition 5.5
Für eine ganze zahl ν > 0 sei
Iν := {x ∈ R : (ν − 1) p2 < x < ν p2
Es gilt: Der Absolut kleinste Rest von ka genau dann negativ, wenn ka ∈ Iν , ν gerade.
Sei rν die Anzahl der ka, k ∈ H(p) die in Iν liegen. Dann ist:
p
p
rν = bν 2a
c − b(ν − 1) 2a
c
(keine der zahlen ka liegt auf dem Rand eines der Intervalle, da a und p teilerfremd
sind)
Beispiel 5.1
p = 13; a = 5
H(p) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lemma
5.2
Pba2c
a
= (−1)m mit m = k=1 bk ap c − b(k − 21 ) ap c
p
22
5 QUATRATISCHE RESTE. REZIPROZITÄTSGESETZT
Satz 5.3
Seien p 6= q zwei ungerade Primzahlen und a eine nicht durch p teilbare ganze zahl
mit
p ≡ ±q mod 4a
Dann gilt:
a
a
=
p
q
P
Beweis ap = (−1)m , m = 1≤2νa (s2ν − ssν−1 )
p
mitsµ = bµ 2a
c
P
0
a
= (−1)m , m0 = 1≤2νa (s02ν − s0sν−1 )
q
q
mit s0µ = bµ 2a
c
Sei nun q ≡ p mod 4a
d.h. q = p + 4al
q
p
p
p
c = bµ( 2a
+ 2l)c = bµ 2a
c + 2µl ≡ bµ 2a
c ≡ sµ mod 2
⇒ s0µ = bµ − 2a
0
Esfolgt
m ≡m mod 2
a
⇒ p = aq
Sei nun q ≡ −p mod 4a
d.h. q = 4al − p mit l ∈ Z
(. . . ) ⇒
Satz 5.4 (Quadratisches Reziprozitätsgesetz)
Seien p 6= q ungerade Primzahlen.
Dann gilt:
p−1 q−1
q
p
= (−1) 2 2
q
p
D.h. pq = pq falls p ≡ 1 mod 4 oder q ≡ 1 mod 4
p
q
=
−
falls p ≡ 3 mod 4 und q ≡ 3 mod 4
q
p
Beweis
1. Sei p ≡ q4
ObdA sei p > q
Dann
q + 4t
gilt:
p = p−1
p−q
−q
q
t
4t
2
=
=
=
=
(−1)
p
p
p
p p 4t+q
t
4t
=
=
q = pq
q
q
Nach
satz gilt:
vorherigem
t
t
= p
q
  q
falls p ≡ 1 mod 4
p
⇒ pq =
− q
falls p ≡ 3 mod 4
p
23
2. p 6≡ q mod 4
⇒p + q ≡ 0 mod 4
p +q =4t,t > 0
p+q
4t
t
=
=
= pq
p
p
p
t
= 4tq = p+q
= pq
q
q
Definition 5.6 (Fermat-Zahlen)
n
Fn := 22 + 1 Die n-te Fermat Zahl.
für n ≤ 4 sind diese Prim.
Aber 641|F5
Lemma 5.3
Sei n > 1 und Fn Prim dann ist 3 Primitivwurzel modulo Fn
Beweis
Wir zeigen zunächst, dass 3 ein qudaratischer Nicht-Rest modulot Fn ist.
3
= Fn 3 = 32 = −1
Fn
n
n
Fn ≡ 1 mod 4, Fn = 22 + 1 ≡ (−1)2 + 1 ≡ 2 mod 3
Euler Fn −1
=⇒ 3 2 ≡ −1 mod Fn
n
Die multiplikative Gruppe Z/Fn∗ hat 22 Elemente
Die Ordnung eines Beliebigen Elements ζ ∈ Z/Fn∗ ist eine Zweierpotenz
Spezialfall ζ = 3
n
2n −1
Behauptung Ord 3 = Fn − 1 = 22 denn sonst wäre 32
≡ 1 mod Fn aber dies ist
≡ −1
Satz 5.5
Fn ist genau dann eine Primzahl, wenn
3
Fn −1
2
2n −1
= 32
≡ −1
mod Fn
Beweis Bedinung ist notwendig nach dem vorherigen Satz.
Die Bedinnung ist hinreichend:
2n
Denn es Folgt 3Fn −1 = 32 ≡ 1 mod Fn
n
⇒ Ord Z/Fn (3)|22
n
Andererseits ist Ord(3) nicht kleiner von 22
n
⇒3 erzeugt in (Z/Fn )∗ eine Untergruppe der Ordnung 22 = Fn − 1 ⇒Z/Fn Körper
⇒Fn prim.
Satz 5.6
Jeder mögliche Primteiler einer Fermatzahl p|Fn
k · 2n+2 + 1 mit k ≥ 1
Bemerkung 5.4
Anwendung auf F5 haben die Teiler die Gestalt:
p = k27 + 1 = 128k + 1
n ≥ 5 hat die Gestalt: p =
24
5 QUATRATISCHE RESTE. REZIPROZITÄTSGESETZT
p = 129, 257, 385, 513, 641, . . .
für k = 1, 2, 4 ensteht keine Primzahl.
257 = F3
aber allgemein gcd(Fn , Fm ) = 1
Also 257 - F5
Also 641 ist der erste zu Testende Teiler. Um zu Testen ob p := k2n+2 + 1 ein Teiler
n
von Fn ist, genügt es zu untersuhen, ob 22 ≡ −1 mod p ist
Dies spielt sich in (Z/p)∗ ) ab.
Definition 5.7
sei m ≥ 3 ungerade.
m = p1 · . . . · p r
die Primzahlzerlegung.(pj ) nicht notwendig paarweise verschieden.
a
m
Anmerkung:
A QR modulo m, gcd(a, m) = 1 =⇒
Die Umkehrung
gilt
jedoch nicht.
2
2
2
Bsp: 15 = 5 5 = −1 − 1 = 1
Aber 2 ist kein Quadrat modulo 15.
:=
r Y
a
j=1
a
m
pj
=1
Bemerkung
5.5
(Eigenchaften)
a
1. m
= mb falls a ≡ b mod m
b
a
2. ab
=
m
m
m
a
a
= ka m
für ungerade m, k ≥ 3
3. km
4.
a
m
= 0 ⇔ gcd(a, m) 6= 1
Satz 5.7 (Rez. Gesetz für Jacobi)
m−1
= (−1) 2
1. −1
m
2.
2
m
= (−1)
m2 −1
8
3. sind k, m teilerfremd. ungerade Zahlen ≥ 3
so folgt:
m
m−1 k−1
k
= (−1) 2 2
m
k
Bemerkung 5.6
Berechnung
des
Legendresymbols.
85
170
2
85
= 211 211 = − 211
= −
211 2
− 3 =1
211
85
= −
41
85
= −
85
41
= −
3
41
= −
41
3
=
25
Wurzelziehen modulo p
1. p ≡ 3 mod 4
p−1
Sei ap = 1 d.h. a 2 ≡ 1 mod p
p+1
⇒a 2 ≡ a mod p Setze x := a
⇒x2 = a
p+1
4