Analysis I - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Dr. rer. nat. habil. H. Winkler (Curiebau C 231),
Dipl.-Math. M. Vielitz, M.Sc. M. Kellner
WS 2012/13
Analysis I
11. Serie
Aufgabe 63 Es sei (an )n∈N ⊂ R eine beschränkte Zahlenfolge. In der Vorlesung wurde
der lim supn→∞ an als das Supremum der Häufungswerte von (an )n∈N eingeführt, d.h.
lim supn→∞ an := sup{α ∈ R | α ist Häufungswert von (an )n∈N }. Zeige, dass gilt
lim sup an ∈ {α ∈ R | α ist Häufungswert von (an )n∈N },
n→∞
also lim sup an ist ebenfalls ein Häufungswerte von (an )n∈N . Darüber hinaus beweise man:
n→∞
lim sup an = lim (sup ak ) = inf (sup ak ).
n→∞ k≥n
n→∞
n∈R k≥n
Aufgabe* 64 Es seien (an )n∈N , (bn )n∈N ⊂ R beschränkte Zahlenfolgen mit nichtnegativen Gliedern. Zeige, dass dann
lim sup(an · bn ) ≤ lim sup(an ) · lim sup(bn ).
n→∞
n→∞
n→∞
Zeige weiter: Ist (an )n∈N überdies noch konvergent, so gilt:
lim sup(an · bn ) = lim (an ) · lim sup(bn ).
n→∞
n→∞
n→∞
Aufgabe 65 Gegeben seien die reellen Zahlenfolgen (an )n∈N mit
a) an :=
n
,
n3 + n2 + 1
b) an :=
sin n + cos 3 n
√
,
n
c) an :=
√
n2 + 2 −
√
n2 + 1 .
Man untersuche die Zahlenfolgen auf Konvergenz, indem man zu jedem ε > 0 ein n0 (ε)
bestimmt, so dass für alle n > n0 (ε) gilt: |an − a| < ε.
Aufgabe* 66
(a) xn :=
Bestimme die Grenzwerte der reellen Folgen
√ n
n2 +n
,
(b) yn :=
√ n
n2 +1
,
(c) zn :=
√ 1
n2 +1
+
√ 1
n2 +2
+ ··· +
Aufgabe 67 Es seien m positive Zahlen a1 , a2 , · · · , am gegeben. Zeige, dass
p
lim n an1 + an2 + · · · + anm = max {ai } .
n→∞
i∈{1,··· ,n}
1
√ 1
n2 +n
.
Aufgabe 68
Gegeben seien die reelle Zahlenfolgen (xn )n∈N . Berechne lim xn , wobei
n→∞
√ √
√
b) xn := n( n + 1 − n) ,
√
c) xn := (n + 1)α − nα , α ∈ (0, 1) ,
d) xn := n 3n + 5n .
p
p
√
√
a) xn := n + n − n − n ,
Aufgabe 69
Grenzwerte.
Man prüfe die Konvergenz der Folgen (xn )n∈N und bestimme ggf. ihre
(a) xn+1 := 2 − x1n mit x1 ≥ 1 ,
Aufgabe 70
(a) zn :=
n+2
n+1
(b)* xn+1 :=
√
c + xn mit x0 = 0 und c > 0 .
Bestimme alle Häufungspunkte der komplexen Folgen (zn )n∈N mit
2n
+ i n+2
,
√ )n ,
(b) zn := ( 1+i
2
(c) zn :=
in
1+in
.
Die mit * markierten Aufgaben sind als Hausaufgaben zu bearbeiten und vor der nächsten
Übung am 17.12.12 abzugeben. Die restlichen Aufgaben sind so vorzubereiten, dass diese
an der Tafel vorgestellt werden können.
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